5.A.1 不变子空间

1. 公式
   观察依据

   手写定义中出现为 U ⊆ V 且 T ∈ ℒ(V)。

V

包含子空间 U 的背景向量空间。

向量空间。

1. 公式
   观察依据

   手写定义中出现为 U ⊆ V，且在集合构造表示法 {Tu : $u \in U$} 中出现。

U

T 作用下的像被考察的一个 V 的子集或子空间。

V 的一个子集；后被明确指定为 V 的子空间。

1. 公式
   观察依据

   手写定义中出现为 T ∈ ℒ(V)，且在表达式 $T(U)$ 中出现。

T

向量空间 V 上的一个线性算子。

ℒ(V)，即从 V 到 V 的所有线性算子构成的集合。

1. 公式
   观察依据

   手写定义中出现为 T ∈ ℒ(V)。

$\mathcal{L}(V)$

向量空间 V 上所有线性算子构成的集合。

从 V 到 V 的所有线性映射构成的集合。

1. 公式
   观察依据

   在手写集合构造表示法中写作 $u \in U$。

u

子集或子空间 U 中的任一元素。

U 的一个元素。

1. 公式
   观察依据

   出现在手写定义中：$T(U)$ = \{Tu : $u \in U$\}。

$T(U)$

集合 U 在映射 T 下的像。

V 的子集。

1. 公式
   观察依据

   在手写注释中写作 range(T) = $T(V)$。

range(T)

算子 T 的值域，定义为整个向量空间 V 在该算子下的像。

V 的子集。

1. 公式
   观察依据

   黑板反复使用 $V$ 在 $U \le V$、$T \in \mathcal{L}(V)$ 以及 $T|_U : U \to V$。

V

当前讨论所处的环境向量空间。

向量空间

1. 公式
   观察依据

   黑板在定义和判据中通篇写出$U \le V$、$T(U)$、$u \in U$和$T|_U$。

U

正在检验其不变性或用作限制映射定义域的$V$的子空间。

$V$的子空间

1. 公式
   观察依据

   黑板陈述了$T \in \mathcal{L}(V)$，并使用了$T(u)$、$T(U)$和$T|_U$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说再次取$T$作为我们的算子。

T

作用于$V$上的线性算子。

作用于$V$上的线性算子

1. 公式
   观察依据

   记号$\mathcal{L}(V)$出现在$T \in \mathcal{L}(V)$和$T|_U \in \mathcal{L}(U)$中。该符号写作花体字母 L。

$\mathcal{L}(V)$

作用于$V$上的所有线性算子构成的集合。

线性映射/算子的集合

1. 公式
   观察依据

   第一条定义写的是$T(U)=\{Tu:u\in U\}$。

$T(U)$

在 $U$ 下的像，即所有满足 $T$ 的向量 $Tu$ 的集合，其中 $u\in U$。

$V$的子集

1. 声音
   观察依据

   首先，集合 U 在映射 T 下的像记作 $T(U)$，即所有形如 T 作用于 u 的点构成的集合，其中小写字母 u 是大写字母 U 中的一个元素。

2. 公式
   观察依据

   手写文字：“定义：$U \subseteq V$ 在 $T \in \mathcal{L}(V)$ 下的像为 $T(U)$ = \{Tu : $u \in U$\}。”

子集 U（U 是向量空间 V 的子集）在线性算子 T 下的像，是指对 U 中每个元素应用 T 所得到的所有向量构成的集合。

1. U 是 V 的子集（U ⊆ V）。

2. T 是 V 上的线性算子（T ∈ ℒ(V)）。

1. 声音
   观察依据

   假设我们有一个算子 T，那么称子空间 U 在 T 下是不变的，是指 U 经 T 映射后仍回到自身内部。换句话说，U 的像包含于 U 之中。

2. 公式
   观察依据

   手写文字：‘定义 设 T ∈ ℒ(V)。子空间 U ⊆ V 在 T 下不变，当且仅当 $T(U)$ ⊆ U。’

若对任意向量空间 V 的子空间 U 中的任意向量应用线性算子 T，所得结果仍在 U 中，则称 U 在 T 下是不变的。

1. T 是 V 上的线性算子（T ∈ ℒ(V)）。

2. U 是 V 的子空间（U ⊆ V）。

1. 线性映射下集合像的定义

1. 公式
   观察依据

   第一行手写内容将$U\le V$在$T\in\mathcal{L}(V)$下的像定义为$T(U)=\{Tu:u\in U\}$。

2. 声音
   观察依据

   口述讲解与屏幕上显示的‘$U$在$T$下的像’的定义一致。

对于子空间 $U$ of $V$ 和线性算子 $T$ on $V$ 的像为 $U$ 在 $T$ 是将 $T$ 应用于 $U$ 的所有元素所得到的所有输出的集合。这是 $U$ 在映射 $T$ 下的集合论像。

1. 对应的式子为：$U\le V$

2. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

1. 公式
   观察依据

   第二行手写内容为：$\text{Def Let } T\in\mathcal{L}(V).\ \text{A subspace } U\le V \text{ is invariant under } T \iff T(U)\subseteq U.$

2. 声音
   观察依据

   讲师解释说，要检验不变性，需任取一个$u\in U$，并验证$T(u)$仍属于$U$。

子空间 $U$ 称为在 $V$ 下不变的，当且仅当将 $T$ 应用于 $T$ 的任意元素时，结果始终属于 $U$。等价地，整个像 $U$. Equivalently, the whole image $T(U)$ 包含于 $U$。

1. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

2. 对应的式子为：$U\le V$

1. 子空间在线性算子作用下的像。

1. 公式
   观察依据

   第三行手写内容为：$\text{So to check if } U \text{ is invariant, pick an arbitrary } u\in U \text{ \text{且} check that } T(u)\in U.$

2. 声音
   观察依据

   讲师说：任取$U$中的一个元素，并验证它的$T$仍属于$U$。

为验证$U$在$T$下是否不变，可任取一个向量$u\in U$，并直接证明其像$T(u)$也属于$U$。这将集合包含条件$T(U)\subseteq U$简化为逐元素检验。

1. 对应的式子为：$U\le V$

2. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

1. 线性算子下的不变子空间

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：$\text{Def Let } T\in\mathcal{L}(V).\ \text{If } U\le V \text{ is a subspace, then the restriction of } T \text{ to } U \text{ is } T|_U:U\to V \text{ by } T|_U(u)=T(u)\ \text{for } u\in U.$

2. 声音
   观察依据

   主讲人借助限制算子的概念，介绍了思考不变子空间的另一种方式，随后指出该限制算子用带下标$U$的竖线符号表示，是从$U$到$V$的映射，其定义方式与$T$相同。

给定一个线性算子 $T$ 在 $V$ 上，以及一个子空间 $U\le V$, the restriction of $T$ 在 $U$ 上的限制是指保持与 $T$ 相同的映射规则，但仅允许来自 $U$ 的输入。在黑板上，这个受限映射记为 $T|_U$，并最初被视为从 $U$ 到 $V$。

1. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

2. 对应的式子为：$U\le V$

1. 子空间在线性算子作用下的像。

1. 公式
   观察依据

   最后的手写语句为：$\text{Then } U \text{ is invariant under } T \iff T|_U\in\mathcal{L}(U),\ \text{i.e., } \operatorname{range} T|_U\subseteq U.$

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，借助这一概念，$U$在$T$下不变当且仅当该受限算子是$U$上的一个算子；并进一步说明，这意味着$T$限制在$U$上的值域包含于$U$中。

借助限制算子，我们可获得关于不变性的第二种视角：$U$在$T$下不变，当且仅当受限映射$T|_U$不仅是一个从$U$到$V$的映射，而且本身就是$U$上的一个算子。而这恰好发生在$T|_U$的每一个输出都保留在$U$内部时。

1. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

2. 对应的式子为：$U\le V$

1. 线性算子下的不变子空间
2. 算子在子空间上的限制

1. 公式
   观察依据

   定义：设 $\mathcal{U}\le V$，$T\in\mathcal{L}(V)$，则 $\mathcal{U}$ 在 T 下的像为 $T(\mathcal{U})$ = \{ Tu : $u\in\mathcal{U}$ \}。

对 V 的子空间 $\mathcal{U}$ 和 V 上的线性算子 T，$\mathcal{U}$ 在 T 下的像是指将 T 作用于 $\mathcal{U}$ 中所有向量所得的所有向量构成的集合。

1. T 属于 V 上的线性算子空间

2. U 是 V 的子空间

1. 公式
   观察依据

   定义：设 $T\in\mathcal{L}(V)$，若 V 的子空间 $\mathcal{U}\le V$ 满足 $T(\mathcal{U})\subseteq \mathcal{U}$，则称 $\mathcal{U}$ 在 T 下不变。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，不变子空间使我们能将 V 拆分为更小的部分，并分别研究 T 在每一部分上的作用。

子空间 $\mathcal{U}$ 在 T 下不变，当且仅当对 $\mathcal{U}$ 中任意向量应用 T 所得结果仍是 $\mathcal{U}$ 中的向量。等价地，$\mathcal{U}$ 在 T 下的像包含于 $\mathcal{U}$ 中。

1. T 属于 V 上的线性算子空间

2. U 是 V 的子空间

1. 子空间在线性映射下的像的定义

1. 公式
   观察依据

   因此，要检验 $\mathcal{U}$ 是否不变，可任取 $u\in\mathcal{U}$，并验证 $T(u)\in\mathcal{U}$。

为验证一个子空间在 T 下不变，需取该子空间中任一元素 u，并证明其像 $T(u)$ 也属于该子空间。

1. U 是 V 的子空间

2. T 属于 V 上的线性算子空间

1. 不变子空间的定义

1. 公式
   观察依据

   定义 设 $T\in\mathcal{L}(V)$。若 $\mathcal{U}\le V$ 是子空间，则 T 在 $\mathcal{U}$ 上的限制记为 T|_{$\mathcal{U}$}:\mathcal{U}$\to V$，且对任意 $u\in\mathcal{U}$，有 T|_{$\mathcal{U}$}(u)=$T(u)$。

给定 V 上的线性算子 T 和子空间 $\mathcal{U}$，T 在 $\mathcal{U}$ 上的限制是指这样一个映射：它在 $\mathcal{U}$ 中每个向量上的取值都与 T 相同，但其定义域仅为 $\mathcal{U}$。

1. T 属于 V 上的线性算子空间

2. U 是 V 的子空间

1. 子空间在线性映射下的像的定义

1. 公式
   观察依据

   那么 U 在 T 下不变当且仅当 T 在 U 上的限制属于 U 上的线性算子空间，即 T 在 U 上的限制的值域包含于 U。

子空间 U 在 T 下不变，当且仅当限制映射 T 在 U 上的限制可视为 U 上的线性算子；等价地，该限制映射的值域位于 U 内。

1. T 属于 V 上的线性算子空间

2. U 小于或等于 V

1. 不变子空间的定义
2. 线性映射在子空间上限制的定义

1. 公式
   观察依据

   右上角有一条绿色批注，写着$\operatorname{range} T = T(V)$，随后是$\text{but } U \text{ can be smaller}$。

对于正在讨论的算子$T$，有$\operatorname{range} T = T(V)$。

1. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

对于固定的算子 $T$ 在 $V$ 上。

1. 公式
   观察依据

   黑板上指出$U\le V$在$T \iff T(U)\subseteq U$作用下保持不变。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过逐元素说明同一条件：任取$u\in U$，验证$T(u)$仍属于$U$。

子空间$U\le V$在$T$作用下不变，当且仅当$T(U)\subseteq U$。

1. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

2. 对应的式子为：$U\le V$

对所有$u\in U$，该条件等价于$T(u)\in U$。

1. 公式
   观察依据

   最后一行指出$U$在$T \iff T|_U\in\mathcal{L}(U)$下保持不变，即$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出$U$在$T$下保持不变当且仅当限制算子是作用在$U$上的算子，并进一步将此重述为：$T$限制在$U$上的值域包含于$U$中。

对$T\in\mathcal{L}(V)$和$U\le V$而言，$U$在$T$下保持不变当且仅当$T|_U\in\mathcal{L}(U)$，等价地，当且仅当$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$。

1. 对应的式子为：$T\in\mathcal{L}(V)$

2. 对应的式子为：$U\le V$

对所有$u\in U$和$T|_U(u)=T(u)$，该等价性关注的是这些取值是否仍属于$U$。

1. 公式
   观察依据

   命题：对T∈ℒ(V)，{0}、V、null T、ran T均为不变子空间。

2. 声音
   观察依据

   讲者指出，平凡子空间V、零空间以及T的值域均为不变子空间。

对任一定义在V上的线性算子T，子空间{0}、V、null T与ran T均在T下不变。

1. T 是 V 上的线性算子

对所有T ∈ ℒ(V)。

1. 公式
   观察依据

   板书从先前的定义$T(U)\subseteq U$过渡到后续的陈述$T|_U\in\mathcal{L}(U)$，即$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出，还可借助限制算子来理解不变子空间，并进而得出结论：$U$在$T$下保持不变当且仅当限制算子是作用在$U$上的算子，这意味着其值域包含于$U$中。

1. 视频中陈述了该等价关系并进行了口头解释，但并未逐行写出形式化证明。

1. 公式

   $$T(U)=\{Tu:u\in U\}$$
   解释

   从$U$在$T$下的像的定义出发。

   步骤依据

   定义显示在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$U\text{ invariant under }T\iff T(U)\subseteq U$$
   解释

   不变性通过要求$U$的像落在$U$内部来定义。

   步骤依据

   定义显示在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$T|_U:U\to V,\quad T|_U(u)=T(u)\text{ for }u\in U$$
   解释

   将$T$限制到$U$定义为与$T$相同的映射规则，但输入被限定在$U$中。

   步骤依据

   定义显示在黑板上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\operatorname{range} T|_U = T(U)$$
   解释

   因为 $T|_U(u)=T(u)$ 对每个 $u\in U$ 都成立，该限制映射的输出集合恰好是 $U$ 在 $T$ 下的像。

   步骤依据

   由$T|_U$的已展示定义及像的定义推导得出。

   依据视频推导
5. 公式

   $$T|_U\in\mathcal{L}(U)\iff \operatorname{range} T|_U\subseteq U$$
   解释

   为使该限制映射成为作用于$U$上的算子，其输出必须重新落回$U$中。

   步骤依据

   该等价关系以口头解释方式给出，并作为最终结论写在黑板上。

   视频直接表达
6. 公式

   $$U\text{ invariant under }T\iff T|_U\in\mathcal{L}(U)$$
   解释

   综合前述观察，即可得到所宣称的两种不变性观点之间的等价性。

   步骤依据

   所展示定义的链式结构，加上值域的推导恒等式。

   依据视频推导

子空间$U$在$T$下不变，当且仅当限制映射$T|_U$是作用于$U$上的算子，等价地，当且仅当$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$。

1. 公式
   观察依据

   证明 T(\{0\}) = \{0\}

2. 公式
   观察依据

   $T(V)$ 是 V 的子集

3. 公式
   观察依据

   T（零空间 T）＝ {0} ⊆ 零空间 T

4. 公式
   观察依据

   T 的值域等于 T 作用在 V 上的结果，且包含于 V；因此，T 作用在 T 的值域上所得结果包含于 T 作用在 V 上的结果，也就是 T 的值域。

5. 声音
   观察依据

   讲师在书写每一步的同时口头解释其合理性。

1. 公式

   $$T(\{0\}) = \{0\}$$
   解释

   平凡子空间的唯一元素是0，而线性映射将0映为0，因此 \{0\} 的像仍是 \{0\}。

   步骤依据

   由线性性得 $T(0) = 0$；这是子空间像的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$T(V) \subseteq V$$
   解释

   由于 T 是 V 上的算子，其陪域为 V，因此 V 的全体像自然包含于 V 中。

   步骤依据

   T ∈ ℒ(V) 的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$T(null T) = \{0\} \subseteq null T$$
   解释

   null T 中的每个向量都被 T 映为0，故 null T 的像恰好是 \{0\}；又因 null T 是子空间，必含0，所以 \{0\} ⊆ null T。

   步骤依据

   零空间与子空间性质的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$ran T = T(V) \subseteq V$$
   解释

   T 的值域是整个空间 V 在 T 下的像。

   步骤依据

   值域（或像）的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$T(ran T) \subseteq T(V) = ran T$$
   解释

   对 ran T ⊆ V 两边同时应用 T，得到 T(ran T) ⊆ $T(V)$，而 $T(V)$ 恰好就是 ran T。

   步骤依据

   映射下像的单调性，加上值域的定义。

   视频直接表达

因此，{0}、V、null T 和 ran T 均在 T 下不变。

1. 声音
   观察依据

   此处需加以区分：T 的值域是 T 对整个向量空间 V 的作用结果，而 U 可以更小。

2. 图示
   观察依据

   绿色手写批注出现在定义上方：‘range(T) = $T(V)$，但 U 可以更小’，并带有一箭头指向 $T(U)$。

1. 文字“range(T) = $T(V)$”

2. 但U可能更小

3. 箭头指向$T(U)$

1. 绿色文字与箭头呈现在屏幕上。

1. 黑色手写定义$T(U)$保持可见。

该视觉注释阐明：尽管T的值域是整个空间V的像，但$T(U)$可以取自一个更小的子集U。

1. 声音
   观察依据

   因此，或许值得强调：这二者通常并不相等，而仅仅是包含关系；它们可能相等，但往往严格更小。

2. 图示
   观察依据

   蓝色手写注释出现在定义下方：“未必相等”，并附一箭头指向$T(U)$ ⊆ U中的包含符号⊆。

1. 文字“未必相等”

2. 箭头指向⊆

1. 蓝色文字与箭头呈现在屏幕上。

1. 黑色手写体的不变子空间定义仍清晰可见。

图示标注强调：不变子空间的条件要求像集 $T(U)$ 是 U 的子集，但这并不意味着二者一定相等。

1. 图示
   观察依据

   整个画面为一块白色数字白板：左上角标题为“5.A.1 不变子空间”，主区域为黑色手写数学文本，右上角有一条绿色注释。

1. 标题：“5.A.1 不变子空间”

2. 黑色手写定义与命题

3. 右上角的绿色注释

1. 随着讲授推进，新行逐步添加在已有定义的下方。

1. 标题始终固定于左上角。

2. 关于$\operatorname{range} T=T(V)$的绿色注释始终可见于右上角。

3. 先前的定义保留在屏幕上，后续定义逐条添加。

视觉编排呈现了一组定义序列，最终导向不变子空间的一个等价刻画。

1. 图示
   观察依据

   右上角绿色手写体写着$\operatorname{range} T = T(V)$，但$U$可以更小，另有一小箭头指向主定义区域。

1. 绿色文字$\operatorname{range} T = T(V)$

2. 绿色文字“但$U$可以更小”

3. 小箭头

1. 该注释在整个片段中持续可见。

该批注提醒：$T$的完整值域是在整个$V$上计算得出的，而当前讨论的子空间$U$可能是一个更小的定义域，其像为$T(U)$。

1. 动画
   观察依据

   公式 $T(u)$ 中的 $T|_U(u)=T(u)$ 下方出现一个红点，然后移动到 $U$ 在 '$U\le V$' 中。

1. 此时并未口头说明确切的强调意图。

1. 红点

2. 公式$T|_U(u)=T(u)$

3. 文字“$U\le V$”

1. 红色圆点首先标出限制公式中右侧的$T(u)$。

2. 然后它转到假设 '$U$' 中的 $U\le V$'。

1. 指针移动时，底层公式保持不变。

该运动在视觉上将定义$T|_U$的规则，回连至原始算子$T$以及关于$U$的子空间假设。

1. 图示
   观察依据

   屏幕显示一块白色数字黑板，标题为“5.A.1 不变子空间”，板书有手写定义，右上角有一处绿色批注，随后下方写出一个命题及其证明。

1. 标题“5.A.1 不变子空间”

2. 手写定义

3. 绿色批注：“ran $T = T(V)$，但 U 可以更小”

4. 命题行

5. 证明行

1. 大约在20秒时，讲师开始书写“Prop”。

2. 从大约20秒到57秒，命题列出了\{0\}、V、null T、ran T。

3. 从大约60秒到147秒，证明的各行依次添加在命题下方。

1. 先前的定义始终保留在上方可见，而新的命题与证明则写在下方。

2. 黑板始终保持为一页静态的手写内容，中间没有镜头切换。

视觉呈现顺序呼应逻辑结构：先给出定义，再提出关于标准不变子空间的命题，最后通过像集与包含关系进行直接验证。

1. 声音
   观察依据

   此处需稍作区分：T 的值域是 T 作用在整个向量空间 V 上的结果，而 U 可以更小；这正是它与我们此前所见值域的区别所在。

误以为 $T(U)$ 总是指算子 T 的值域。

T 的值域特指 $T(V)$，即整个向量空间的像；而 $T(U)$ 是某个可能更小的子集 U 的像。

1. 声音
   观察依据

   因此或许值得强调：这通常并非相等关系，而仅仅是包含关系；它可能相等，但往往严格更小。

认为子空间要成为不变子空间，其像必须恰好等于该子空间自身（即 $T(U) = U$）。

定义仅要求像包含于该子空间之内（$T(U) \subseteq U$），可以严格更小。

1. 图示
   观察依据

   绿色注释明确写出$\operatorname{range} T = T(V)$，但$U$可以更小。

人们可能仅因$T(U)$和$\operatorname{range} T$均为$T$下的像，就认为二者相同。

黑板对此作了区分：$\operatorname{range} T=T(V)$使用来自$V$的全部输入，而$T(U)$仅使用来自更小子空间$U$的输入。

1. 公式
   观察依据

   该限制首先被写作$T|_U:U\to V$由$T|_U(u)=T(u)$对$u\in U$所定义。

2. 公式
   观察依据

   直到稍后，黑板才明确写出$T|_U\in\mathcal{L}(U)$，即$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$。

在定义$T|_U$之后，人们可能会认为它已经是作用于$U$上的算子。

视频首先将 $T|_U$ 定义为从 $U$ 到 $V$ 的映射。当 $U$ 是不变的，即当 $U$ 时，它恰好成为 $\operatorname{range} T|_U\subseteq U$ 上的算子。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出T|_{$\mathcal{U}$}:\mathcal{U}$\to V$，随后单独陈述：不变性当且仅当ran(T|_{$\mathcal{U}$})$\subseteq \mathcal{U}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师区分了限制映射作为到V的映射，与使其成为$\mathcal{U}$上的算子的条件。

人们可能误以为将T限制在$\mathcal{U}$上，就自动使其成为从$\mathcal{U}$到$\mathcal{U}$的映射。

限制映射首先被定义为$\mathcal{U}\to V$的映射；它成为$\mathcal{U}$上的算子，即属于$\mathcal{L}(\mathcal{U})$，当且仅当$\mathcal{U}$在T作用下不变。

1. 公式
   观察依据

   绿色批注：“ran $T = T(V)$，但U可以更小。”

人们可能将 T(𝒰) 与 T 的整个值域混淆。

整个值域是 $T(V)$。对于更小的子空间 𝒰 ≤ V，像集 T(𝒰) 可能严格小于 $T(V)$。

1. 声音
   观察依据

   换句话说，若 U 的像仍落在 U 内部。

2. 公式
   观察依据

   不变子空间的定义中使用的记号 $T(U)$，此前已作定义。

理解不变子空间的定义，需要先掌握线性映射下集合的像这一概念。

1. 公式
   观察依据

   不变性的定义紧接在$T(U)$的定义之后写出，并直接使用该记号：$T(U)\subseteq U$。

像$T(U)$的概念是陈述不变子空间定义$T(U)\subseteq U$所必需的。

1. 公式
   观察依据

   黑板在给出定义$T(U)\subseteq U$之后，紧接着用一句话说明如何通过任取$u\in U$并验证$T(u)\in U$来检验不变性。

逐元素验证的方法，是实际应用不变性集合包含定义的可行方式。

1. 公式
   观察依据

   在定义$T|_U$之后，最后一行再次使用它，将不变性刻画为$T|_U\in\mathcal{L}(U)$，即$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$。

不变子空间的等价刻画依赖于先前对限制算子$T|_U$的定义。

1. 公式
   观察依据

   黑板同时呈现了$T(U)\subseteq U$和$T|_U\in\mathcal{L}(U)$，即$\operatorname{range} T|_U\subseteq U$，作为同一性质的两种刻画。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将限制算子引入为理解不变子空间的另一种思路，随后陈述了二者等价。