环的局部化

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“假设我们从交换环 R 出发。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“交换环 R”，随后在定义中使用了$R$位于$S^{-1}R = \{ r/s \mid r \in R, s \in S \}$之内。

R

正在被局部化的交换环。

一般的交换环；在例子中它被特化为整环。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“我们选取 R 的一个乘法闭子集。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示“$S \subset R$乘法封闭”，并在后续定义中使用了$s \in S$ in the definition of $S^{-1}R$。

S

环$R$的一个乘法闭子集，用作允许的分母集合。

$R$的子集；在例子中取为$R_0$，即整环的所有非零元。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“若 S 是乘法闭的，则我们引入环 S⁻¹R。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出“$S^{-1}R = \{ r/s \mid r \in R, s \in S \}$”。

$S^{-1}R$

$R$在$S$处的局部化，此处描述为分子属于$R$、分母属于$S$的分式构成的集合。

由$R$和$S$构造出的一个环。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，该环由“分子属于R、分母属于乘法闭集”的元素构成。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的集合构造式使用了通用元素$r/s$。

1. 该片段说明了分数形式，但尚未展示或讨论关于数对$(r,s)$的等价关系。

$r/s$

$S^{-1}R$的一个典型元素，其分子$r$来自$R$，分母$s$来自$S$。

对应的式子为：$r \in R$，$s \in S$。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“那么，若取S为R去掉零元。”

2. 公式
   观察依据

   黑板在整环示例中写下“$S \subset R_0$”。

1. 符号$R_0$未在屏幕上单独定义；其含义由口述短语“R去掉零元”给出。

$R_0$

非零元素的集合$R$在$R$为整环的例子中。

从$R$中移除$0$所得的子集。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示“交换环 R”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将元素 a 和 $r_i$ 称为局部化讨论中环 R 的元素。

R

正在进行局部化的交换环。

交换环

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示“$S \subset R$ 为乘法闭子集”，随后使用 $s \in S$ 和 $t \in S$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说“S 中的一个元素 s”和“S 中的一个元素 t”。

S

用于局部化的环 R 的一个乘法闭子集。

R 的一个在乘法下封闭的子集

1. 公式
   观察依据

   黑板上定义 $S^{-1}R$ = { $r/s$ | $r \in R$, $s \in S$ }。

$r/s$

一个形式分式，其分子 $r \in R$，分母 $s \in S$。

r 属于 R，s 属于 S

1. 公式
   观察依据

   黑板上在定义中及关于分式域的结论中均写作 $S^{-1}R$。

2. 声音
   观察依据

   说话人边写“in $S^{-1}R$”边说“新环”。

$S^{-1}R$

R 关于 S 的局部化，表示为分式 $r/s$ 的集合。

由 R 和 S 构造的环。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出“if $S \subset R_0$”，作为整环陈述中的条件。

1. 下标0清晰可辨，但本片段中视频未明确定义 $R_0$。

$R_0$

很可能是 R 的非零部分，用于构造分式域的条件中。

R 的子集。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出“$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$”，作为分式域陈述下的一个例子。

$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$

该例子表明：对整数环进行局部化或取分式，得到有理数域。

标准数系。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出“More generally : sa = 0”。

2. 声音
   观察依据

   说话人说“s 乘以 a 等于零”，并解释 $a \in R$ 且 $s \in S$。

sa = 0

S 中的一个元素 s 与 R 中的一个元素 a 的乘积等于零；这是在整环情形之外的零因子情况。

s 属于 S，a 属于 R

1. 声音
   观察依据

   讲师将本主题介绍为：“环的局部化，即为一般环引入分数。”

2. 字幕依据
   观察依据

   黑板上写出的标题是“环的局部化”。

本视频将局部化介绍为一种向一般环中引入类似分数的元素的过程，其起点是一个交换环，而不仅限于整环。

1. 讨论从一个交换环$R$开始。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，$S$是$R$的一个子集，且该子集在乘法下封闭，即若从$S$中任取两个元素，它们的乘积也属于$S$；此外，该子集还包含乘法单位元。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“$S \subset R$在乘法下封闭”。

环$S$的子集$R$若在乘法下封闭且包含乘法单位元，则称其为乘法封闭。本片段中，选取这样的$S$作为局部化所允许的分母集合。

1. $S$是交换环$R$的一个子集。

2. $S$中元素的乘积仍属于$S$。

3. 乘法单位元属于$S$。

1. 局部化的用途

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“若S是乘法封闭的，则我们引入一个环S⁻¹R，它由R中的分子与乘法封闭集中的分母构成。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示“$S^{-1}R = \{ r/s \mid r \in R, s \in S \}$”。

1. 本片段给出了分数记法，但尚未展示使该构造良定义的等价关系。

给定一个交换环$R$以及一个乘法封闭子集$S$，局部化$S^{-1}R$被定义为一个环，其元素写作分数形式$r/s$，其中分子为$r \in R$、分母为$s \in S$。

1. $R$是一个交换环。

2. $S \subset R$是乘法封闭的。

1. 乘法封闭子集

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当$R$是整环（即不存在非平凡零因子）时，这一概念已为大家所熟悉；此时若取$S$为$R$去掉零元后的集合，则得到$R$的分式域。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“若$R$是整环”，接着写“$S \subset R_0 \Rightarrow S^{-1}R =$分式域”。

当$R$是整环，且分母集合取为$R$的所有非零元时，局部化便还原为我们所熟知的$R$的分式域。主讲人明确将此情形与更一般的任意交换环情形加以对比。

1. $R$没有非平凡零因子。

2. $S$是$R$的非零元构成的集合。

1. $S^{-1}R$的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“交换环 R”、“S ⊂ R 是乘法闭子集”，以及“$S^{-1}R$ = { $r/s$ | $r \in R$, $s \in S$ }”。

1. 该片段给出了分式集合的定义，但在可见部分中并未完整展开加法、乘法或一般情形下的等价关系。

对于交换环 R 和其乘法闭子集 S ⊂ R，局部化 $S^{-1}R$ 被定义为所有形式分式 $r/s$ 构成的集合，其中分子 r 属于 R，分母 s 属于 S。

1. R 是一个交换环。

2. S ⊂ R 是乘法闭子集。

3. $r \in R$ 且 $s \in S$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“若 R 是整环，则当 S ⊂ $R_0$ 时，有 $S^{-1}R$ = 分式域”，并给出例子 “ℤ → ℚ”。

1. $R_0$ 的精确定义在此片段中未单独陈述，尽管它出现在所展示的条件中。

当 R 是整环且 S 包含于 R 的非零部分 $R_0$中时，局部化 $S^{-1}R$ 就等同于 R 的分式域；黑板上给出的标准例子是 $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$。

1. R 是一个整环。

2. S 是 $R_0$ 的子集。

1. 局部化 $S^{-1}R$ 的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，在一般情形下存在若干微妙之处，并以 R 不是整环时 $s a = 0$ 为例加以说明。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：“更一般地：$s a = 0$”。

在非整环的情形下，可能存在某个看似非零的元素 $a \in R$，但乘以某个 $s \in S$ 后变为零。讲座利用这一点解释为何元素在局部化后的环中可能变为零。

1. 该论证适用于更一般的情形，即 R 不必是整环。

1. 局部化 $S^{-1}R$ 的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $r_1/s_1 = r_2/s_2$，接着 ($r_1 s_2 - s_1 r_2$) = 0，然后 $\exists t \in S$ : $t(r_1 s_2 - s_1 r_2) = 0$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当两个分式的交叉积为零，或存在某个 $t \in S$ 使得该交叉积乘以 t 后为零时，这两个分式等价。

1. 本片段将此作为所需的普遍条件予以呈现，但并未在该片段内证明传递性，也未完全验证该定义确实构成一个等价关系。

对于局部化中的两个分式 $r_1/s_1$ 与 $r_2/s_2$，其相等性不仅由朴素的交叉相乘条件 $r_1s_2 = s_1r_2$ 刻画，更一般地，还要求存在某个 $t \in S$，使得该交叉相乘差被 t 零化。

1. $r_1$、$r_2$ 属于 R。

2. $s_1$、$s_2$ 属于 S。

3. S 对乘法封闭。

1. 局部化 $S^{-1}R$ 的定义
2. 一般局部化中的微妙之处：S 可能导致零化。

1. 公式
   观察依据

   写作 $\exists t \in S$ : $t(r_1s_2 - s_1r_2) = 0$

2. 声音
   观察依据

   指出：若存在这样的元素，则这两个分数等价。

Two fractions $r_1/s_1$ 和 $r_2/s_2$（其中 S^{-1R 中的元素被定义为等价，如果存在乘法闭集 S 中的一个元素 t，使得 $t(r_1s_2 - s_1r_2) = 0$。

1. $r_1$、$r_2$ 属于 R

2. $s_1$、$s_2$ 属于 S

3. S 是环 R 的一个乘法闭子集

1. 公式
   观察依据

   记作 +, $\times S^{-1}R$ 是一个新环

2. 声音
   观察依据

   指出：我们可以按通常方式定义加法和乘法，且 $S^{-1}R$ 构成一个新环。

一旦在分数上建立了等价关系，便可在这些等价类上按通常方式定义加法与乘法，从而使得 $S^{-1}R$ 成为一个新环。

1. S 是环 R 的一个乘法闭子集

1. 局部化中分数的等价关系

1. 公式
   观察依据

   记作：若 S 是所有正则元构成的集合，则 $S^{-1}R$ = 总分式环

2. 声音
   观察依据

   指出：若 S 是环 R 中所有正则元（即非零因子）构成的集合，则该环称为总分式环。

若乘法闭子集 S 由环 R 的所有正则元（即非零因子）组成，则所得的局部化环 $S^{-1}R$ 称为总分式环。

1. S 是环 R 的所有正则元构成的集合

1. 局部化 $S^{-1}R$ 的环结构

1. 公式
   观察依据

   记作 ℤ → ℚ

2. 声音
   观察依据

   指出：我们此前已给出从整数环 ℤ 到有理数域 ℚ 的例子。

将整数环 ℤ 关于其所有非零元素进行局部化，得到有理数域 ℚ。

1. 总分式环

1. 公式
   观察依据

   黑板上写有：「若 R 是整环，则当 S ⊂ $R_0$ 时，$S^{-1}R$ 等于 R 的分式域。」

1. 该片段仅给出该命题的断言与例子，并未提供证明。

若 R 是整环且 S ⊂ $R_0$，则 $S^{-1}R$ 是 R 的分式域。

1. R 是一个整环。

2. S 是 $R_0$ 的子集。

该性质对所展示的代数对象 R 和 S 具有普适性。

1. 公式
   观察依据

   黑板上推导出：$a/1$ = sa/s = $0/s = 0$ ⇒ $a = 0$ 在 $S^{-1}R$ 中成立，依据是 sa = 0。

2. 声音
   观察依据

   主讲人总结道：“在新环中，a 必须被设为零。”

若 $s \in S$ 且 $a \in R$ 满足 sa＝0，则 a／1 在 $S^{-1}R$ 中的等价类为零。

1. s 属于 S。

2. a 属于 R。

3. s 乘以 a 等于 0。

对任意满足该条件的 s 和 a。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 ∃$t \in S$ ：t($r_1 s_2$ － $s_1 r_2$) ＝ 0，作为 $r_1/s_1$ ＝ $r_2/s_2$ 的判定条件。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称：当交叉积为零，或存在某个 $t \in S$ 使得该交叉积乘以 t 后为零时，这些分式等价。

1. 该片段陈述了该判定条件，但并未证明它确实是正确的通用等价关系。

两个分式 $r_1/s_1$ 与 $r_2/s_2$ 在局部化中相等，当且仅当存在 $t \in S$，使得 t($r_1s_2$－$s_1r_2$)＝0。

1. $r_1$、$r_2$ 属于 R。

2. $s_1$、$s_2$ 属于 S。

对所有 $r_1$、$r_2 \in R$ 以及 $s_1$、$s_2 \in S$。

1. 公式
   观察依据

   ab $\in p \implies a \in p \lor b \in p$ 写在黑板上。

2. 声音
   观察依据

   主讲人明确陈述素理想的定义性质：若乘积 ab 属于 p，则 a 属于 p 或 b 属于 p。

对环 R 中的一个素理想 p，若两个元素 a 和 b 的乘积属于 p，则 a 和 b 中至少有一个属于 p。

1. p 是一个素理想

2. a、b 属于实数集 R

对任意 a, $b \in R$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“环 R 可以通过其局部性质来编码，也就是说，通过它关于各个素理想的局部化环的性质来编码。”

2. 公式
   观察依据

   黑板显示：“环 R 可以通过其局部性质来编码。”

一个环 R 可以被其局部性质完全刻画或‘编码’，这些局部性质即它关于各个素理想 p 的局部化环 $R_p$ 的性质。

1. R 是一个环

2. p 取遍 R 的所有素理想

对任意环 R 及其素理想 p。

1. 声音
   观察依据

   主讲人首先阐明为一般环引入分数的目标，接着定义乘法封闭子集$S$，再定义$S^{-1}R$，最后回顾大家所熟悉的整环情形。

2. 公式
   观察依据

   黑板内容依次推进：从「交换环$R$」到「$S \subset R$关于乘法封闭」，再到「$S^{-1}R = \{ r/s \mid r \in R, s \in S \}$」，最后给出整环的例子。

1. 该片段在证明所展示的分式描述定义良好之前就结束了，也未在$S^{-1}R$中定义加法和乘法。

1. 公式

   $$R \text{ is a commutative ring}$$
   解释

   从一个一般的交换环出发，而非预先假设所有非零元素均可逆。

   步骤依据

   讲师在片段开头直接陈述了这一点。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S \subset R \text{ multiplicatively closed}$$
   解释

   选取一个子集$S$，它将充当分母的角色；要求该子集对乘法封闭，并且包含$1$，以确保允许的分母之积仍属于允许的分母。

   步骤依据

   由讲师口头陈述并写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$S^{-1}R = \{ r/s \mid r \in R,\ s \in S \}$$
   解释

   将局部化环定义为分子取自$R$、分母取自$S$的分式构成的集合。

   步骤依据

   公式以板书形式展示，并配有口头解释。

   视频直接表达
4. 公式

   $$R \text{ integral domain},\ S = R_0 \Rightarrow S^{-1}R = \text{field of fractions of } R$$
   解释

   在特殊情形下，若$R$没有非平凡零因子，且将所有非零元素取逆，则该构造退化为熟悉的分式域。

   步骤依据

   在一般定义之后，明确作为例子给出。

   视频直接表达

该片段通过指出整环的通常分式域其实是更广泛构造的一个特例，来引出局部化的动机：该更广泛构造适用于任意交换环，且使用一个关于乘法封闭的分母集合。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示链式等式：$a/1$ = sa/s = $0/s = 0$ ⇒ $a = 0$ 在 $S^{-1}R$ 中，前提是 sa = 0。

2. 声音
   观察依据

   主讲人口头推演同一链式等式，并得出结论：a 在新环中必须为零。

1. 公式

   $$sa = 0$$
   解释

   从一般性假设出发：R 中某个元素 a 被 S 中某个元素 s 零化。

   步骤依据

   讲座中给出的假设。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{a}{1} = \frac{sa}{s}$$
   解释

   将 $a/1$ 的分子与分母同乘以同一个 s 来重写。

   步骤依据

   局部化中使用的标准分式等价关系。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{sa}{s} = \frac{0}{s}$$
   解释

   将 sa = 0 代入分子。

   步骤依据

   直接依据假设进行代入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{0}{s} = 0$$
   解释

   认识到$0/s$ 是局部化环中的零元。

   步骤依据

   分数模型中零的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{a}{1} = 0 \quad \text{in } S^{-1}R$$
   解释

   得出结论：a 在局部化中的像为零。

   步骤依据

   上述等式链。

   视频直接表达

若 sa =0，其中 $s \in S$，则 a 在 $S^{-0}R$ 中变为1}R.

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $r_1/s_1 = r_2/s_2$，接着 ($r_1 s_2 - s_1 r_2$)=0，然后存在 $t \in S$，使得 $t(r_1 s_2 - s_1 r_2)=0$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：等式成立不仅要求叉积为零，还要求存在某个 $t \in S$ 能使该叉积变为零。

1. 该片段未展示这一条件在一般情形下既必要又充分的完整证明；而是将该规则作为所需的精细化准则予以呈现。

1. 公式

   $$\frac{r_1}{s_1} = \frac{r_2}{s_2}$$
   解释

   从局部化中的两个任意分数出发。

   步骤依据

   比较等式的设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$r_1 s_2 - s_1 r_2 = 0$$
   解释

   在整环的直观理解中，等式可通过叉积差是否为零来检验。

   步骤依据

   常规的交叉相乘启发法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\exists t \in S : t(r_1 s_2 - s_1 r_2) = 0$$
   解释

   在一般情形下，允许引入一个额外的乘子 $t \in S$，使交叉积之差变为零。

   步骤依据

   讲座中提出的改进方法，用于处理零因子现象。

   视频直接表达

局部化分式中一般相等条件是：存在 $t \in S$，使得 $t(r_1s_2-s_1r_2)=0$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人采用反证法：若 S 中两个元素的乘积属于 p，则其中至少一个因子必属于 p，这与 S 是 p 的补集相矛盾。

1. 公式

   $$a, b \in S = R \setminus p$$
   解释

   假设 a 和 b 是素理想 p 的补集中的元素。

   步骤依据

   为证明乘法封闭性所作的设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$ab \in p$$
   解释

   假设为反证起见，其乘积 ab 属于 p。

   步骤依据

   反证假设。

   视频直接表达
3. 公式

   $$a \in p \lor b \in p$$
   解释

   根据素理想的定义，若 ab 属于 p，则 a 属于 p 或 b 属于 p。

   步骤依据

   素理想的定义（claim-prime-def）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Contradiction}$$
   解释

   这与最初假设 a 和 b 均属于 S（即 p 的补集）相矛盾。

   步骤依据

   逻辑矛盾。

   视频直接表达
5. 公式

   $$ab \in S$$
   解释

   因此，乘积 ab 不可能属于 p，这意味着它必须属于 S。

   步骤依据

   反证法证明的结论。

   视频直接表达

集合 $S = R \setminus p$ 是乘法封闭的。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“当 R 是整环时，这已经为大家所熟悉……那么，若取 S 为 R 去掉零元所得的集合，则 S⁻¹R 就是 R 的分式域。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“若$R$是整环”以及“$S \subset R_0 \Rightarrow S^{-1}R =$分式域”。

识别$S^{-1}R$ 变为 $R$ 是一个整环，且 $S$ 被选为 的非零元素集$R$。

1. $R$是整环。

2. $S$是$R$去掉零元，黑板上写作$R_0$。

确定所得的局部化对象。

1. 公式

   $$R \text{ integral domain}$$
   解释

   假设$R$中不存在非平凡的零因子。

   步骤依据

   由讲师直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S = R_0$$
   解释

   取分母集为$R$的所有非零元。

   步骤依据

   口述短语“R 去掉零元”，并以符号$R_0$书写。

   视频直接表达
3. 公式

   $$S^{-1}R = \text{field of fractions of } R$$
   解释

   在这些假设下，局部化恰好得到标准的分式域。

   步骤依据

   明确的结论写在黑板上并口头陈述。

   视频直接表达

$S^{-1}R$是$R$的分式域。

主讲人指出这是通用构造中一个熟悉的特例。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在“分式域”陈述下方写下“ℤ → ℚ”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“从整数集 ℤ 到有理数集 ℚ”。

指出从整环出发构造分式的标准例子。

1. R 等于整数集 ℤ。

2. 目标是该环的分式域。

陈述所得的分式域。

1. 公式

   $$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$$
   解释

   黑板以有理数集为例，展示其为由整数集所得到的分式域。

   步骤依据

   黑板上直接展示的标准代数例子。

   视频直接表达

有理数集 ℚ

与整环陈述下方所显示的例子相匹配。

1. 公式
   观察依据

   黑板书写：“更一般地：sa = 0”，随后写出链式等式 $a/1$ = sa/s = $0/s = 0$ ⇒ $a = 0 \in S^{-1}R$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将此称为非整环情形下的微妙之处。

展示当某个 $s \in S$ 消去 $a \in R$ 时，在 $S^{-1}R$ 中会发生什么。

1. s 属于 S。

2. a 属于 R。

3. sa = 0。

确定 a 在局部化环中的像。

1. 公式

   $$\frac{a}{1} = \frac{sa}{s}$$
   解释

   将 $a/1$ 改写为以 s 为分母的形式。

   步骤依据

   局部化中使用的等价分数运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{sa}{s} = \frac{0}{s}$$
   解释

   使用假设 sa = 0。

   步骤依据

   代入。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{0}{s} = 0$$
   解释

   在局部化中识别出右侧为零。

   步骤依据

   零分数的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a = 0 \text{ in } S^{-1}R$$
   解释

   得出结论：a 在新环中映射为零。

   步骤依据

   一连串等式。

   视频直接表达

a 变为 0 在 $S^{-1}R$ 中。

直接对应黑板上的结论“=> $a = 0$ 在 $S^{-1}R$ 中”。

1. 公式
   观察依据

   记作 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$

求整数环 $\mathbb{Z}$ 的局部化。

1. 基环是 $\mathbb{Z}$

2. S 是所有非零元素（正则元素）构成的集合

识别所得的环。

1. 公式

   $$\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$$
   解释

   将 $\mathbb{Z}$ 在其非零元素处局部化，得到其分式域 $\mathbb{Q}$。

   步骤依据

   全分式环／分式域的定义。

   视频直接表达