用古典伴随矩阵求逆矩阵：完整例题

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -3 \\ -3 & 2 & -4 \end{bmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声辨识该符号，并按题目说明矩阵及求逆目标。

A

给定3×3实方阵。三个横行依次为1,3,−2；2,5,−3；−3,2,−4。

3×3 實數矩陣

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 $\det(A)$

2. 声音
   观察依据

   原声辨识该符号，并按题目说明矩阵及求逆目标。

\det(A)

矩陣 A 的行列式；本例中計算結果為 -1

實數

1. 公式
   观察依据

   畫面標題與題目文字顯示 adj A

2. 声音
   观察依据

   原声辨识该符号，并按题目说明矩阵及求逆目标。

adj A

矩陣 A 的古典伴隨矩陣（adjugate matrix），由餘因子矩陣轉置得到

3×3 實數矩陣

1. 公式
   观察依据

   畫面題目文字顯示 A^{-1}

2. 声音
   观察依据

   原声辨识该符号，并按题目说明矩阵及求逆目标。

A^{-1}

A的逆矩阵；当前0–78秒分析段尚未完成，但后续原片给出完整结果。

3×3 實數矩陣

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 |A_{11}|, |A_{21}|, |A_{31}|, |A_{12}|, |A_{22}|, |A_{32}|, |A_{13}|, |A_{23}|, |A_{33}| 等符號

2. 声音
   观察依据

   原声辨识该符号，并按题目说明矩阵及求逆目标。

1. 模型初段误把子矩阵/子式当成余因子；依实际画面纠正，并非原作者错误。

A_{ij}

本片记号：删去第i横行、第j竖列后的2×2子矩阵；|A_ij|是它的行列式，另加位置符号才是余因子。

实2×2子矩阵；i,j属于{1,2,3}。

1. 公式
   观察依据

   例如 $|A_{11}|$ 右側顯示 $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -4 \end{vmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声辨识该符号，并按题目说明矩阵及求逆目标。

A_{ij}

从A删去第i横行和第j竖列得到的2×2子矩阵，计算它的行列式得到二阶子式M_ij。

实2×2矩阵，不是标量；它的行列式才是标量。

1. 公式
   观察依据

   画面给出 $A=\begin{bmatrix}1&3&-2\\2&5&-3\\-3&2&-4\end{bmatrix}$，并在后续计算中反复使用。

A

题目给定的 $3\times 3$ 矩阵。

矩阵元素为实数。

1. 公式
   观察依据

   据已核给定矩阵作本站展开；实际末尾子式及行列式值核验：$\det(A)=1\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&5\\-3&2\end{vmatrix}=-1\neq 0$

1. 本站数学校订：按已核给定矩阵与实际末尾二阶子式，删去第一横行和第二竖列后的左上元素应为二。初段展开该字形目前无法再次直接核读，普通重取受阻；不把模型误读归咎原作者。

\det(A)

矩阵 $A$ 的行列式。

标量值；此处算得 $-1$。

1. 公式
   观察依据

   画面以 $|A_{11}|,|A_{21}|,|A_{31}|,\dots,|A_{33}|$ 表示多个 $2\times 2$ 行列式。

1. 视频未口头定义 $A_{ij}$，但从写法看表示删去第 $i$ 行第 $j$ 列后的子矩阵。

A_{ij}

从A中删去第i横行、第j竖列得到的2×2子矩阵；竖线表示行列式。

$i,j\in\{1,2,3\}$。

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $adj A=\begin{bmatrix}|A_{11}|&-|A_{21}|&|A_{31}|\\-|A_{12}|&|A_{22}|&-|A_{32}|\\|A_{13}|&-|A_{23}|&|A_{33}|\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵和逆矩阵的名称与运算意义。

adj A

A的古典伴随矩阵，是带符号余因子矩阵的转置，不是无符号子式矩阵的直接转置或共轭转置。

与 $A$ 同阶的 $3\times 3$ 矩阵。

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵和逆矩阵的名称与运算意义。

A^{-1}

矩阵 $A$ 的反矩阵。

当 $\det(A)\neq 0$ 时存在。

1. 字幕依据
   观察依据

   標題「5-1 利用古典伴隨矩陣求反矩陣」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明行列式判定与子式计算。

3. 公式
   观察依据

   題目要求「試求 adj A，並利用 adj A 求 A^{-1}」

1. 求逆通式在后续时间段应用；本片不证明一般定理。

先检验行列式非零，再计算删去横行/竖列后的子式行列式，加入余因子符号并转置，最后除以行列式。当前0–78秒是前半段；全片后半段完成伴随矩阵和逆矩阵。

1. A 為方矩陣

2. 欲使用此法求反矩陣，需先確認 $\det(A)\neq 0$

1. 公式
   观察依据

   畫面逐項列出 |A_{11}|, |A_{21}|, |A_{31}|, |A_{12}|, |A_{22}|, |A_{32}|, |A_{13}|, |A_{23}|, |A_{33}| 及其 2×2 行列式

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明行列式判定与子式计算。

1. 这是本站按实际记号作的澄清，原始模型回执保留。

原片的A_ij是删去第i横行、第j竖列后的子矩阵，|A_ij|是其行列式M_ij；余因子C_ij=(-1)^(i+j)M_ij。例如M_21=−8，但C_21=8。符号在后续构造伴随矩阵时显式加入，不能把−8称为带符号余因子。

1. 本例A是3×3实方阵。

2. 删去第i横行和第j竖列；i,j属于{1,2,3}。

1. 利用古典伴隨矩陣求反矩陣的方法

1. 公式
   观察依据

   画面给出 $adj A=\begin{bmatrix}|A_{11}|&-|A_{21}|&|A_{31}|\\-|A_{12}|&|A_{22}|&-|A_{32}|\\|A_{13}|&-|A_{23}|&|A_{33}|\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   原声按子式、伴随矩阵及求逆公式的顺序说明演算。

先令C_ij=(-1)^(i+j)|A_ij|，再取C的转置。因此伴随矩阵的(i,j)项是C_ji=(-1)^(i+j)|A_ji|；仅转置子式而不加符号是不对的。

1. 适用于 $3\times 3$ 矩阵。

2. 需要先算出各个 $2\times 2$ 子式行列式。

1. 九个二阶子式行列式的计算

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   原声按子式、伴随矩阵及求逆公式的顺序说明演算。

视频使用公式 $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj A$ 来求反矩阵。由于前面已算出 $\det(A)=-1$，所以这里把整个伴随矩阵乘以 $-1$，得到最终反矩阵。

1. A为实方阵且det(A)≠0。

2. 本例det(A)=−1。

1. 古典伴随矩阵的构造公式
2. 行列式非零是可逆条件

1. 公式
   观察依据

   画面逐项列出 $|A_{11}|=-14,\ |A_{21}|=-8,\ |A_{31}|=1,\ |A_{12}|=-17,\ |A_{22}|=-10,\ |A_{32}|=1,\ |A_{13}|=19,\ |A_{23}|=11,\ |A_{33}|=-1$。

2. 声音
   观察依据

   原声按子式、伴随矩阵及求逆公式的顺序说明演算。

A_ij表示删去第i横行、第j竖列后的2×2子矩阵，M_ij=det(A_ij)。原画也用|A_ij|表示这个行列式，其值可以为负，竖线不表示绝对值。

1. 本例中 $A$ 为 $3\times 3$ 矩阵。

2. 每个 $|A_{ij}|$ 都是二阶行列式。

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $\det(A)=\cdots=-1\neq 0$。

视频在开头先算出 $\det(A)=-1$，并明确写出 $\neq 0$。这一步为后面使用 $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj A$ 提供了前提。

1. 用于判断能否用伴随矩阵法求反矩阵。

1. 公式
   观察依据

   画面给出$\det(A)=-1\neq 0$，据此判断本例可逆。

2. 声音
   观察依据

   原声根据行列式非零判断本例可逆。

若 $\det(A)\neq 0$，則矩陣 A 的反矩陣存在。本例中因 $\det(A)=-1\neq 0$，故 A^{-1} 存在。

1. A 為方矩陣

2. $\det(A)\neq 0$

對本例中的 3×3 矩陣 A 成立；片中以單一例子陳述此判準

1. 公式
   观察依据

   画面先写 $\det(A)=-1\neq 0$，后面又写 $A^{-1}=\frac{1}{-1}adj A$。

2. 声音
   观察依据

   原声在行列式非零时应用伴随矩阵求逆公式。

1. 视频没有单独陈述一般定理，只是在本例中按此逻辑使用。

若按视频所示计算，$\det(A)=-1\neq 0$，因此可以使用 $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj A$ 求出 $A^{-1}$。

1. $A$ 为给定的 $3\times 3$ 矩阵。

2. 已算出 $\det(A)=-1$。

针对本例矩阵 $A$。

1. 公式
   观察依据

   据已核给定矩阵作本站展开；实际末尾子式及行列式值核验：$\det(A)=1\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&5\\-3&2\end{vmatrix}=-1\neq 0$

2. 声音
   观察依据

   原声按照画面顺序说明行列式与子式计算。

1. 三個 2×2 子行列式的中間算術未在畫面逐項展開，只給出最終合併結果 -1

2. 本站数学校订：按已核给定矩阵与实际末尾二阶子式，删去第一横行和第二竖列后的左上元素应为二。初段展开该字形目前无法再次直接核读，普通重取受阻；不把模型误读归咎原作者。

1. 公式

   $$\det(A)=1\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&5\\-3&2\end{vmatrix}$$
   解释

   沿第一横行展开，元素为1,3,−2；每个子式删去第一横行及对应竖列。

   步骤依据

   采用横行展开的交错符号；原片地区术语不改作作者错误。

   补充解释
2. 公式

   $$=-1$$
   解释

   計算三個 2×2 行列式並合併後得到 $\det(A)=-1$。

   步骤依据

   画面和原声给出最终行列式值−1。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-1\neq 0$$
   解释

   由 $\det(A)=-1$ 得知行列式不等於零。

   步骤依据

   $\det(A)=-1\neq 0$，原声据此说明本例可逆。

   视频直接表达

$\det(A)=-1\neq 0$，因此本例中 A 的反矩陣存在。

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 $|A_{11}|=\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}=-14, |A_{21}|=\begin{vmatrix}3&-2\\2&-4\end{vmatrix}=-8, |A_{31}|=\begin{vmatrix}3&-2\\5&-3\end{vmatrix}=1, |A_{12}|=\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}=-17$

2. 声音
   观察依据

   原声按照画面顺序说明行列式与子式计算。

1. 0–78秒分析段口头说明未完成全部项；全片后续完成。

1. 公式

   $$M_{11}=\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}=-14$$
   解释

   删去第1横行、第1竖列，计算对应二阶行列式。

   步骤依据

   实际板书给出的子式行列式，另加位置符号才得到余因子。

   补充解释
2. 公式

   $$M_{21}=\begin{vmatrix}3&-2\\2&-4\end{vmatrix}=-8$$
   解释

   删去第2横行、第1竖列，计算对应二阶行列式。

   步骤依据

   实际板书给出的子式行列式，另加位置符号才得到余因子。

   补充解释
3. 公式

   $$M_{31}=\begin{vmatrix}3&-2\\5&-3\end{vmatrix}=1$$
   解释

   删去第3横行、第1竖列，计算对应二阶行列式。

   步骤依据

   实际板书给出的子式行列式，另加位置符号才得到余因子。

   补充解释
4. 公式

   $$M_{12}=\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}=-17$$
   解释

   删去第1横行、第2竖列，计算对应二阶行列式。

   步骤依据

   实际板书给出的子式行列式，另加位置符号才得到余因子。

   补充解释

$M_{11}=-14,\quad M_{21}=-8,\quad M_{31}=1,\quad M_{12}=-17$. 这些是子式行列式，尚需加入位置符号并转置；后半段完成其余项和最终答案。

1. 公式
   观察依据

   画面完整展示从 $\det(A)$、各 $|A_{ij}|$、$adj A$ 到 $A^{-1}$ 的全过程。

2. 声音
   观察依据

   讲解者按顺序说明各步并把数值代入伴随矩阵与反矩阵公式。

1. 本站数学校订：按已核给定矩阵与实际末尾二阶子式，删去第一横行和第二竖列后的左上元素应为二。初段展开该字形目前无法再次直接核读，普通重取受阻；不把模型误读归咎原作者。

1. 公式

   $$\det(A)=1\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&5\\-3&2\end{vmatrix}=-1\neq 0$$
   解释

   先沿第一行展开计算 $A$ 的行列式，得到 $-1$，并确认其非零。

   步骤依据

   本站依据已核给定矩阵与实际末尾子式、行列式值，独立校订展开公式；不声称已再次直接核读初段印字。

   补充解释
2. 公式

   $$|A_{11}|=-14,\ |A_{21}|=-8,\ |A_{31}|=1,\ |A_{12}|=-17,\ |A_{22}|=-10,\ |A_{32}|=1,\ |A_{13}|=19,\ |A_{23}|=11,\ |A_{33}|=-1$$
   解释

   逐一计算删去相应行列后的九个二阶子式行列式。

   步骤依据

   画面逐项列出这些二阶行列式及其值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$adj A=\begin{bmatrix}|A_{11}|&-|A_{21}|&|A_{31}|\\-|A_{12}|&|A_{22}|&-|A_{32}|\\|A_{13}|&-|A_{23}|&|A_{33}|\end{bmatrix}$$
   解释

   把上面算出的子式行列式按伴随矩阵公式排列，注意符号交错且位置转置。

   步骤依据

   画面给出的伴随矩阵定义式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$adj A=\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$$
   解释

   将各 $|A_{ij}|$ 的数值代入伴随矩阵公式，得到具体矩阵。

   步骤依据

   画面在代入后直接显示该结果。

   视频直接表达
5. 公式

   $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj A=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$$
   解释

   使用反矩阵公式，把 $\det(A)=-1$ 代入。

   步骤依据

   画面写出 $A^{-1}=\frac{1}{-1}adj A$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$A^{-1}=\begin{bmatrix}14&-8&-1\\-17&10&1\\-19&11&1\end{bmatrix}$$
   解释

   将伴随矩阵每个元素乘以 $-1$，得到最终反矩阵。

   步骤依据

   画面最后显示该结果。

   视频直接表达

本例中 $A^{-1}=\begin{bmatrix}14&-8&-1\\-17&10&1\\-19&11&1\end{bmatrix}$。

1. 公式
   观察依据

   畫面題目框寫出「考慮矩陣 A = ... ，試求 adj A，並利用 adj A 求 A^{-1}」

2. 声音
   观察依据

   原声读出例题目标并依次演算。

1. 当前0–78秒段仅为前半段，全片后续给出完整答案。

2. 本站数学校订：按已核给定矩阵与实际末尾二阶子式，删去第一横行和第二竖列后的左上元素应为二。初段展开该字形目前无法再次直接核读，普通重取受阻；不把模型误读归咎原作者。

考慮矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&3&-2\\2&5&-3\\-3&2&-4\end{bmatrix}$，試求 adj A，並利用 adj A 求 A^{-1}。

1. $A=\begin{bmatrix}1&3&-2\\2&5&-3\\-3&2&-4\end{bmatrix}$

2. 目標是先求古典伴隨矩陣 adj A，再求反矩陣 A^{-1}

計算 adj A，並據此求 A^{-1}。

1. 公式

   $$\det(A)=1\begin{vmatrix}5&-3\\2&-4\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&-3\\-3&-4\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&5\\-3&2\end{vmatrix}=-1\neq 0$$
   解释

   沿第一横行展开行列式，确认可逆。

   步骤依据

   本站依据已核给定矩阵与实际末尾子式、行列式值，独立校订展开公式；不声称已再次直接核读初段印字。

   补充解释
2. 公式

   $$M_{11}=-14,\quad M_{21}=-8,\quad M_{31}=1,\quad M_{12}=-17$$
   解释

   计算前四个已讲解的子式行列式；另加位置符号才是余因子。

   步骤依据

   删去对应横行/竖列后的二阶行列式，按实际板书核验。

   补充解释

$\det(A)=-1\ne0,\quad M_{11}=-14,\ M_{21}=-8,\ M_{31}=1,\ M_{12}=-17$. 仅当前0–78秒段尚未给最终答案；全片后续完整求出伴随矩阵和逆矩阵。

判定可逆并核对二阶子式；这些值不是未经符号处理的余因子。最终答案另以两个方向乘积独立核验。

1. 公式
   观察依据

   画面标题为“例题：【利用 adj A 求 A^{-1}】”，并给出完整求解过程。

2. 声音
   观察依据

   讲解者逐步说明如何由子式行列式构造伴随矩阵，再求反矩阵。

考虑矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&3&-2\\2&5&-3\\-3&2&-4\end{bmatrix}$，试求 $adj A$，并利用 $adj A$ 求 $A^{-1}$。

1. $A=\begin{bmatrix}1&3&-2\\2&5&-3\\-3&2&-4\end{bmatrix}$。

2. 目标是先求 $adj A$，再求 $A^{-1}$。

求出 $adj A$ 与 $A^{-1}$。

1. 公式

   $$\det(A)=-1\neq 0$$
   解释

   先计算行列式，确认可逆。

   步骤依据

   画面给出的第一行展开式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|A_{11}|=-14,\ |A_{21}|=-8,\ |A_{31}|=1,\ |A_{12}|=-17,\ |A_{22}|=-10,\ |A_{32}|=1,\ |A_{13}|=19,\ |A_{23}|=11,\ |A_{33}|=-1$$
   解释

   计算所有二阶子式行列式。

   步骤依据

   画面逐项列出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$adj A=\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$$
   解释

   按伴随矩阵公式代入并整理符号。

   步骤依据

   画面给出的伴随矩阵结果。

   视频直接表达
4. 公式

   $$A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$$
   解释

   套用 $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj A$。

   步骤依据

   画面直接写出该式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$A^{-1}=\begin{bmatrix}14&-8&-1\\-17&10&1\\-19&11&1\end{bmatrix}$$
   解释

   把矩阵整体乘以 $-1$，得到最终答案。

   步骤依据

   画面最后显示的结果。

   视频直接表达

$adj A=\begin{bmatrix}-14&8&1\\17&-10&-1\\19&-11&-1\end{bmatrix}$，$A^{-1}=\begin{bmatrix}14&-8&-1\\-17&10&1\\-19&11&1\end{bmatrix}$。

视频未做代回验证；仅通过公式推导得出结果。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑底白字顯示「5-1 利用古典伴隨矩陣求反矩陣」與「林炳森 錄製」

1. 標題文字

2. 錄製者姓名

1. 從黑底標題頁切換到白板式教學畫面

1. 無數學運算內容

此段僅為課程標題與錄製者資訊，不含數學推導。

1. 图示
   观察依据

   畫面上方為例題與矩陣 A，中段為 det(A) 展開式，下方為多組 |A_{ij}| 的 2×2 行列式與結果

2. 动画
   观察依据

   游標依序指向 A 的元素、det(A) 展開式、以及 A_{11},A_{21},A_{31},A_{12} 等子式行列式

1. 当前0–78秒段未完成伴随矩阵；后续原片完成。

1. 矩阵A

2. det(A)展开式

3. 九个二阶子式行列式及数值

4. 指针

1. 游標先指向題目中的矩陣 A

2. 接著移到 det(A) 展開式

3. 指针移到下方子式行列式计算区，依次停在|A_11|、|A_21|、|A_31|、|A_12|附近。

1. 矩陣 A 的元素全程不變

2. 已寫出的公式與數值在畫面中保持可見

画面顺序先检验行列式，再逐项求子式；后续加入余因子符号并转置。

1. 动画
   观察依据

   鼠标指针依次指向各个二阶行列式、伴随矩阵公式和最后的反矩阵结果。

2. 声音
   观察依据

   讲解者边指边念出对应数值与步骤。

1. 矩阵 $A$

2. 九个二阶子式行列式

3. 伴随矩阵公式

4. 反矩阵结果

1. 先聚焦 $\det(A)$ 与各 $|A_{ij}|$。

2. 再移到 $adj A$ 的符号排列。

3. 最后移到 $A^{-1}$ 的数值结果。

1. 页面始终为同一张手写/板书式例题页。

2. 矩阵 $A$ 本身不变。

视觉上的移动顺序对应计算顺序：先求子式，再组伴随矩阵，最后除以行列式得反矩阵。

1. 公式
   观察依据

   实际画面写|A_21|=−8，后续伴随矩阵相应位置为−|A_21|=8。

2. 声音
   观察依据

   原声逐项说明子矩阵的行列式；记号与带符号余因子的区分由本站补充。

1. 此為分析員補充提醒，非影片明確講出的易錯點

把|A_ij|直接当成余因子，会遗漏(-1)^(i+j)的位置符号。

本片A_ij是子矩阵，M_ij=det(A_ij)=|A_ij|是子式行列式。C_ij=(-1)^(i+j)M_ij才是余因子。例如M_21=−8，但C_21=8。实际原画后续加入负号，不是原作者算错。

1. 公式
   观察依据

   画面中的 $adj A$ 把 $|A_{21}|,|A_{12}|,|A_{32}|,|A_{23}|$ 放在带负号的位置，并且整体呈转置排布。

容易误以为 $adj A$ 的第 $(i,j)$ 位就是 $(-1)^{i+j}|A_{ij}|$ 且不转置。

伴随矩阵是带符号余因子矩阵C的转置，第(i,j)项为C_ji=(-1)^(i+j)|A_ji|。须同时考虑符号与转置。

1. 公式
   观察依据

   画面给出$\det(A)=-1\neq 0$，据此判断本例可逆。

2. 声音
   观察依据

   原声先确认行列式非零，再继续求逆步骤。

求反矩陣的方法先依賴行列式非零這一存在性判準，之後才繼續計算古典伴隨矩陣。

1. 公式
   观察依据

   題目要求先求 adj A，畫面隨後逐項計算 A_{ij}

2. 声音
   观察依据

   原声先确认行列式非零，再继续求逆步骤。

1. 当前分析段尚未完成，不能当成全片缺失。

先计算二阶子式M_ij，再加入位置符号形成C_ij并转置得到伴随矩阵。当前0–78秒段只完成前半部分，后续全片继续完成。

1. 公式
   观察依据

   先列出各 $|A_{ij}|$，随后代入 $adj A$ 的矩阵式。

必须先算出各二阶子式行列式，才能构造古典伴随矩阵。

1. 公式
   观察依据

   画面先给出 $adj A$，再写 $A^{-1}=\frac{1}{-1}adj A$。

2. 声音
   观察依据

   原声说明先构造伴随矩阵，再代入求逆公式。

古典伴随矩阵是求反矩阵公式中的核心组成部分。

1. 公式
   观察依据

   画面先写 $\det(A)=-1\neq 0$，后面用 $\frac{1}{-1}$ 作为反矩阵公式中的系数。

行列式非零是使用 $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj A$ 的前提，而且该行列式值直接进入最终公式。

1. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵求逆的顺序与子式计算。

2. 公式
   观察依据

   題目要求「試求 adj A，並利用 adj A 求 A^{-1}」

1. 利用古典伴隨矩陣求反矩陣的方法
2. 行列式非零則反矩陣存在

1. 公式
   观察依据

   画面给出$\det(A)=-1\neq 0$，据此判断本例可逆。

2. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵求逆的顺序与子式计算。

1. 行列式非零則反矩陣存在
2. 利用古典伴隨矩陣求反矩陣的方法

1. 公式
   观察依据

   畫面以 |A_{ij}| 搭配 2×2 行列式逐項計算

2. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵求逆的顺序与子式计算。

1. 子式行列式与带符号余因子
2. A_{ij}

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 $\det(A)=...=-1\neq 0$

2. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵求逆的顺序与子式计算。

1. 沿第一横行展开行列式
2. 例題：利用 adj A 求 A^{-1}

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 |A_{11}|=-14, |A_{21}|=-8, |A_{31}|=1, |A_{12}|=-17

2. 声音
   观察依据

   原声说明伴随矩阵求逆的顺序与子式计算。

1. 当前前半段口头说明未完成M_12；其值由实际画面核验，后续全片继续。

1. 前半段计算的子式行列式
2. 例題：利用 adj A 求 A^{-1}

1. 公式
   观察依据

   画面给出 $adj A$ 的具体排列公式。

1. 九个二阶子式行列式的计算
2. 古典伴随矩阵的构造公式

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $A^{-1}=\frac{1}{-1}adj A$ 并给出最终矩阵。

1. 古典伴随矩阵的构造公式
2. 用古典伴随矩阵求反矩阵
3. 行列式非零是可逆条件

1. 公式
   观察依据

   画面明确写出 $\det(A)=-1\neq 0$。

1. 行列式非零是可逆条件
2. 用古典伴随矩阵求反矩阵