求模逆元

1. 公式
   观察依据

   定义行中使用整数符号 a，即“若整数 a 与 b 是模 m 的乘法逆元，则 ab ≡ 1 (mod m)。”

2. 公式
   观察依据

   定理行中使用相同的符号 a，即“整数 a 模 m 存在逆元当且仅当 (a,m)=1。”

a

正在讨论其模 m 乘法逆元的整数；在示例中它被实例化为 5 或 6。

整数。

1. 公式
   观察依据

   定义行中使用 b，即“若整数 a 与 b 是模 m 的乘法逆元，则 ab ≡ 1 (mod m)。”

b

当 ab ≡ 1 (mod m) 时，作为 a 模 m 的乘法逆元的整数。

整数。

1. 公式
   观察依据

   定义行包含“模 m”和“(mod m)”。

2. 公式
   观察依据

   定理行包含“模 m 的逆元”和“(a,m)=1”。

m

同余关系及逆元存在性条件所对应的模数。

用作模数的整数；视频未明确说明对 m 的额外限制。

1. 公式
   观察依据

   定理行显示“(a,m)=1”。

2. 声音
   观察依据

   说话人将其读作“a 与 m 的最大公约数等于1。”

(a,m)

a 与 m 的最大公约数。

该定义针对定理中出现的整数对 a 和 m。

1. 公式
   观察依据

   该定义使用“ab ≡ 1 (mod m)”。

2. 公式
   观察依据

   例题演算中使用了形如“1 ≡ 8 ≡ 15 (mod 7)”以及“1 ≡ 12 ≡ 23 ≡ 34 ≡ 45 (mod 11)”的链式同余式。

≡

关于所给模数的同余关系。

用于带指定模数（写在括号内）的整数之间。

1. 公式
   观察依据

   第一个例题写作“$5^{-1}$ ≡ 3 (mod 7)”。

2. 公式
   观察依据

   第二个例题写作“$5^{-1}$ ≡ 9 (mod 11)”。

3. 公式
   观察依据

   第三个例题写作“$6^{-1}$ ≡ 3 (mod 17)”。

$x^{-1}$

x 关于给定模数的乘法逆元的记号。

例题中用于整数 x，即5和6。

1. 公式
   观察依据

   模数19出现在问题标题中，也出现在同余式中，例如18 ≡ -1 (mod 19) 和17 ≡ -2 (mod 19)。

19

本片段主要例题中全程使用的模数。

正整数模数。

1. 公式
   观察依据

   手写符号“≡”被反复使用，以表述关于模19的同余关系。

≡

同余关系；a ≡ b (mod m) 表示 a 与 b 对模 m 取余所得余数相同。

整数集上的二元关系。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写有形如$18^{-1}$、(-2)^{-1} 和$17^{-1}$ 的记号。

$a^{-1}$

a 关于所给模数的乘法逆元。

当 gcd(a,m) = 1 时定义；此处相关剩余类在模19下可逆。

1. 公式
   观察依据

   数字18是要求其关于模19的逆元的那个剩余。

18

模 19的剩余类；也记作－1 模 19。

模19剩余类的一个整数代表元。

1. 公式
   观察依据

   第二个例子要求计算17关于模19的逆元。

17

模 19的剩余类；也记作－2 模 19。

模19剩余类的一个整数代表元。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出18 ≡ -1 (mod 19)。

-1

等价于 18 的负剩余模 19。

模19的剩余类。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“定义：若整数 a 与 b 满足 ab ≡ 1 (mod m)，则称 a 与 b 是模 m 的乘法逆元。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们正在寻找乘法逆元，也就是两个数相乘后对 m 取模的结果为一。”

视频将一对整数 a 和 b 定义为模 m 的乘法逆元，当且仅当它们的乘积模 m 同余于 1 modulo m. The speaker paraphrases this as “two numbers that multiply together to get you one mod m.”

1. a 和 b 是整数。

2. 该同余关系是模 m 的。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“定理：整数 a 模 m 可逆当且仅当 (a,m)=1。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“a 模 m 可逆当且仅当 a 与 m 的最大公约数等于 1。”

3. 声音
   观察依据

   主讲人补充道：“若 a 与 m 的最大公约数大于 1，则 a 模 m 不存在逆元。”

该片段给出了模逆元存在的充要条件：整数 a 模 m 可逆，当且仅当 gcd(a,m)=1。主讲人还用自然语言陈述了其逆否命题：若 gcd(a,m)>1，则模 m 的逆元不存在。

1. a 是一个整数。

2. m 是模数。

3. (a,m) 表示 a 与 m 的最大公约数。

1. 模 m 的乘法逆元的定义

1. 声音
   观察依据

   在第一个例子中，说话者说：“我们照过去的做法进行。模 7，1 同余于 8。这个数不是 5 的倍数。因此我们再次加上 7，得到 15。”

2. 声音
   观察依据

   在第二个例子中，说话者说：“始终从 1 开始，并加上模数。”

3. 公式
   观察依据

   板书中的同余链为：“1 ≡ 8 ≡ 15 (mod 7)”，“1 ≡ 12 ≡ 23 ≡ 34 ≡ 45 (mod 11)”，以及“1 ≡ 18 (mod 17)”。

所展示的例题采用试探法：从 1 开始，反复加上模数 m，直到得到一个能被目标整数 a 整除的数。一旦找到这样的同余代表元，就将其分解为 a 乘以另一个整数；该另一个整数即为 a 模 m 的逆元。

1. 用于求整数 a 模 m 的逆元。

2. 我们在所有模 m 同余于 1 的整数中，寻找 a 的倍数。

1. 模 m 的乘法逆元的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人反复说“求18关于模19的逆元”，之后又说“求17关于模19的逆元”。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出诸如$18^{-1}$ ≡ 18和$17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19) 这样的结论。

对于模 m 的一个剩余 a，它的逆元 $a^{-1}$ 是满足 ab ≡ 1 (mod m) 的剩余 b。视频片段在寻找与 18 或 17 相乘后模 1 同余于 19 时，直接使用了这一概念。

1. 当a与m互质时，该逆元存在。

2. 本片段中模数为$m = 19$。

1. ≡
2. $a^{-1}$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说可从1 ≡ 20出发，持续加上19，直到得到18的一个倍数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出1 ≡ 20 ≡ 39 ≡ 58 ≡ 77 ≡ ... ≡ 324，然后将324分解为$18\cdot 18$。

求模 m 下逆元的一种方法是：列出所有模 m 同余于 1 的数（通过反复加 m 得到），直到其中某个数能被 a 整除为止。在示例中，该序列为 20，39，58，77，……，324 由模 1 同余于 19，且$324 = 18\cdot 18$ 给出逆元。

1. 只要a在模m意义下存在逆元，此方法就适用。

2. 若需检验的项数过多，则可能较慢。

1. 模乘法逆元
2. ≡

1. 声音
   观察依据

   主讲人通过注意到18与负1模19同余，引入了一个‘小小的捷径’；随后又指出17与负2模19同余。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：18 ≡ -1 (mod 19)，以及17 ≡ -2 (mod 19)。

不必仅使用正的代表元，可将a替换为模m下等价且绝对值更小的剩余。这通常使逆元更容易识别。此处将18替换为-1，将17替换为-2，从而将问题转化为求更简单剩余的逆元。

1. 该替换必须对同一模数m保持同余。

2. 所得剩余在模m下仍须可逆。

1. 模乘法逆元
2. ≡

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：负1的逆元是什么？并回答：负1乘以负1得到正1。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示18 ≡ -1 (mod 19)，并得出结论：$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

因为(-1)(-1)=1，所以对任意模数m，剩余-1恒为其自身的乘法逆元。又因18 ≡ -1 (mod 19)，故立即可得$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

1. 该结论对任意模数m均成立。

1. 模乘法逆元
2. 利用负剩余简化求逆问题

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们将把19加到负10上，因为他们希望得到正数。

2. 公式
   观察依据

   黑板将 (-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19) 转换为 $17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

在以负数形式求得逆元后，可加上模数一次或多次，从而得到标准的正剩余类代表。此处 -10 + $19 = 9$，因此 17 模 19 的逆元记为 9。

1. 当负剩余类答案在代数上可接受，但更倾向使用正剩余类代表时采用。

1. ≡
2. 利用负剩余简化求逆问题

1. 公式
   观察依据

   印刷标题：“求 18 模 19 的逆元。”

2. 公式
   观察依据

   板书内容包括 $18 \equiv -1 \pmod{19}$ 和 $18^{-1} \equiv 1 \pmod{19}$。

3. 公式
   观察依据

   板书内容包括 $17 \equiv -2 \pmod{19}$、(-2)^{-1} $\equiv -10 \pmod{19}$，以及 $17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$。

本片段展示了两个模19下的模逆元计算过程。对于18，主讲人将18重写为−1模19，并得出其模逆元为1模19。对于17，主讲人将17重写为−2模19，并利用(−2)^{-1} 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。{19），然后记录 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。{19）。音频补充说明，对 17 也可通过继续列出更长的同余式直至得到 $17 \times 9 = 153$。

1. 模数为 19。

2. 所展示的方法假设相关逆元在模 19 下已存在。

1. 本课中模逆元的含义。

1. 公式
   观察依据

   黑板在示例中反复使用记号 $a^{-1} \equiv b \pmod m$，例如 $18^{-1} \equiv 1 \pmod{19}$ 和 $17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将两个例子均表述为“求逆元”问题，且均针对给定的模数。

本视频中，“a 模 m 的逆元”指一个模 m 的剩余类 x，它作为 a 在模 m 下的乘法逆元。例题中采用记号 $a^{-1} \equiv x \pmod m$。该片段未用文字单独陈述定义方程，但通过记号与例题清晰表明本主题是模算术中的乘法求逆。

1. 适用于整数 a 和正模数 m。

2. 存在性并非自动成立；后续例子展示了当 gcd(a,m) ≠ 1 时失败的情形。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 (5,10)=5 而非 1，然后写‘无逆元’。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“5 和 10 的最大公约数是 5，不等于 1。因此答案是：不存在逆元。”

3. 声音
   观察依据

   若这两个数的最大公约数大于 1，则不存在逆元。

第二个例子教授了一个快速的存在性检验方法，即在尝试计算逆元之前先进行判断。对于 5 mod 10，主讲人计算 (5,10)=5，指出该结果不等于 1，并得出结论：5 在模 10 意义下没有逆元。口头表述的规则被推广至任意一对最大公约数大于 1 的数。

1. 用于判断模逆元是否存在。

2. 本片段中，该规则表述为：当 gcd > 1 时，意味着不存在逆元。

1. 本课中模逆元的含义。

1. 公式
   观察依据

   定理陈述显示在屏幕上：“整数 a 模 m 存在逆元当且仅当 (a,m)＝1。”

2. 声音
   观察依据

   说话者朗读该定理并解释：当 gcd(a,m)＞1 时，逆元不存在。

对于整数 a 和 m，a 在模 m 意义下存在乘法逆元，当且仅当 (a, m) = 1。

1. a 是一个整数。

2. m 是模数。

针对命题中出现的整数 a 和 m。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“若 a 与 m 的最大公约数大于 1，则模 m 下不存在逆元。”

若 a 与 m 的最大公约数大于 1，则 a 在模 m 意义下没有逆元。

1. a 和 m 均为整数。

2. （a，m）大于1。

对于满足最大公约数条件的整数 a 和 m。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $18^{-1}$ ≡ 18 展示后 $324 = 18\cdot 18$，再次使用后 18 ≡ -1 (mod 19)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘所以 18 的逆元是 18’，随后又说：‘18 是它自身的逆元。’

18的负1次方同余于18模19。

1. 在模 19 下运算。

2. 利用 18 ≡ -1 (mod 19) 这一事实，或等价地利用 $18\cdot 18 = 324$ ≡ 1 (mod 19)。

关于模数 19 的具体数值陈述。

1. 公式
   观察依据

   黑板先写出 17 ≡ -2 (mod 19)，再写出 (-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19)，最后写出 $17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人得出结论：17 与 9 模 19。

$17^{-1}$ ≡ 9 (模 19)。

1. 在模19下进行运算。

2. 利用17 ≡ -2 (mod 19)以及$20 = (-2)(-10)$，可得(-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19)。

3. 将 -10 转换为模 9 下的正剩余类代表元 19。

关于模19的具体数值陈述。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：什么数乘以负1得到正1？并回答：负1。

2. 公式
   观察依据

   推理过程通过18 ≡ -1 (mod 19)展开，并得出结论$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

(-1)^{-1} ≡ -1 (mod m)，因为(-1)(-1) = 1。

1. 该一般性结论对任意模数m均成立。

2. 在视频片段中，该方法应用于 $m = 19$ 的情形。

该一般性命题在示例中应用于模数 19。

1. 声音
   观察依据

   “所以如果这两个数的最大公约数大于 1，那么就不存在逆元。”

2. 公式
   观察依据

   黑板文字：(5,10)=5 而非 1，随后写‘无逆元’。

1. 该片段仅陈述了‘gcd > 1 蕴含无逆元’这一方向，并未明确说明其逆命题‘gcd = 1 蕴含逆元存在’。

对于所考虑的这些数，若 a 与 m 的最大公约数大于 1，则 a 在模 m 意义下没有模逆元。

1. a 和 m 是整数，模数为 m。

2. （a，m）大于1。

口述内容泛指‘那两个值’，但该片段仅在具体例子 $a=5$、$m=10$ 中证明或演示了该命题。

1. 公式
   观察依据

   板书文字包含 $17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，最终会得到 17 乘以 9，其结果为 153。

17 的负1次方同余于9模19。

1. 在模 19 下运算。

2. 利用板书上给出的中间结论：$17 \equiv -2 \pmod{19}$ 和 (-2)^{-1} $\equiv -10 \pmod{19}$。

具体的数值断言。

1. 公式
   观察依据

   板书文字包含 $18 \equiv -1 \pmod{19}$ 和 $18^{-1} \equiv 1 \pmod{19}$。

18的负1次方同余于1模19。

1. 在模 19 下运算。

2. 利用 $18 \equiv -1 \pmod{19}$。

具体的数值断言。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示链式同余式 “1 ≡ 8 ≡ 15 (mod 7)”，其下方将 15 分解为 5 和 3。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“模 7 下，1 与 8 同余。这并非 5 的倍数。因此我们再次加上 7，得到 15。15 是 5 乘以 3 模 7。”

3. 公式
   观察依据

   最终的书面结论是“$5^{-1}$ ≡ 3 (mod 7)”。

1. 公式

   $$1 \equiv 8 \pmod{7}$$
   解释

   从1出发，加上一次模数7，得到另一个与1关于模7同余的代表元。

   步骤依据

   加上模数不会改变关于模7的同余关系。

   视频直接表达
2. 公式

   $$8 \not\equiv 0 \pmod{5}$$
   解释

   检查8是否为5的倍数；它不是，因此继续搜索。

   步骤依据

   该方法要求找到一个与1关于模7同余、且能被5整除的代表元。

   依据视频推导
3. 公式

   $$1 \equiv 8 \equiv 15 \pmod{7}$$
   解释

   再次加上7，得到15，它仍与1关于模7同余。

   步骤依据

   反复加上模数，结果始终处于同一同余类中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$15 = 5 \cdot 3$$
   解释

   将15分解为5乘以3。

   步骤依据

   普通的整数因式分解。

   视频直接表达
5. 公式

   $$5^{-1} \equiv 3 \pmod{7}$$
   解释

   由于$5\cdot 3$ ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)，故5关于模7的逆元是3。

   步骤依据

   根据模m下乘法逆元的定义。

   视频直接表达

5 模 7 的逆元是 3，记作 $5^{-1}$ ≡ 3 (mod 7)。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 “1 ≡ 12 ≡ 23 ≡ 34 ≡ 45 (mod 11)”，其中 45 被分解为 5 和 9。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“所以希望你答出 1 与 12 对模 11 同余。始终从 1 开始，再添上模数。同余于 23，依次加上 11、34，最终得到 45。而这就是 5 乘以 9 对模 11 同余。”

3. 公式
   观察依据

   最终写出的结论是 “$5^{-1}$ ≡ 9 (mod 11)”。

1. 公式

   $$1 \equiv 12 \pmod{11}$$
   解释

   从 1 开始，加上模数 11，得到 12。

   步骤依据

   加上模数不改变对模 11 的同余关系。

   视频直接表达
2. 公式

   $$12 \equiv 23 \equiv 34 \equiv 45 \pmod{11}$$
   解释

   持续加上 11，直到得到一个能被 5 整除的数。

   步骤依据

   所有这些数都与 1 对模 11 同余。

   视频直接表达
3. 公式

   $$45 = 5 \cdot 9$$
   解释

   将 45 分解为 5 乘以 9。

   步骤依据

   普通的整数因式分解。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5^{-1} \equiv 9 \pmod{11}$$
   解释

   因为 $5\cdot 9 = 45$ ≡ 1 (mod 11)，所以 5 模 11 的逆元是 9。

   步骤依据

   根据模 m 乘法逆元的定义。

   视频直接表达

5 模 11 的逆元是 9，记作 $5^{-1}$ ≡ 9 (mod 11)。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 “1 ≡ 18 (mod 17)”，其中 18 被分解为 6 和 3。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“所以你得到 1 与 18 同余，因为我们这次加上了 17，而它等于 6 乘以 3，模 17。”

3. 公式
   观察依据

   最终写出的结论是 “$6^{-1}$ ≡ 3 (mod 17)”。

1. 公式

   $$1 \equiv 18 \pmod{17}$$
   解释

   从 1 出发，加上模数 17，得到 18。

   步骤依据

   加上模数不改变模 17 的同余关系。

   视频直接表达
2. 公式

   $$18 = 6 \cdot 3$$
   解释

   将 18 分解为 6 乘以 3。

   步骤依据

   普通的整数因式分解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$6^{-1} \equiv 3 \pmod{17}$$
   解释

   由于 $6\cdot 3 = 18$ ≡ 1 (mod 17)，因此 6 模 17 的逆元是 3。

   步骤依据

   根据模 m 乘法逆元的定义。

   视频直接表达

6 模 17 的逆元是 3，记作 $6^{-1}$ ≡ 3 (mod 17)。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出了 1 ≡ 20 ≡ 39 ≡ 58 ≡ 77 ≡ ... ≡ 324，并将 324 分解为 $18\cdot 18$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者叙述添加 19 重复执行，直至达到 324，即为 18 倍的 18。

1. 介于 77 和 324 之间的中间省略项并未全部明确写出；仅用省略号表示。

1. 公式

   $$1 \equiv 20 \equiv 39 \equiv 58 \equiv 77 \equiv \cdots \equiv 324 \pmod{19}$$
   解释

   从 1 开始，并持续加上模数 19，以生成与 1 关于模 19 同余的数。

   步骤依据

   若 x ≡ 1 (mod 19)，则 $x + 19$ ≡ 1 (mod 19)。

   视频直接表达
2. 公式

   $$324 = 18 \cdot 18$$
   解释

   找出所列数字中第一个是 18 的倍数的数。

   步骤依据

   黑板上展示了直接因式分解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$18^{-1} \equiv 18 \pmod{19}$$
   解释

   由于 $18\cdot 18$ ≡ 1 (mod 19)，故 18 模 19 的逆元为 18。

   步骤依据

   模乘法逆元的定义。

   视频直接表达

暴力搜索证明了$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出18 ≡ -1 (mod 19)，然后写出$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：与其加上19，不如减去19；且-1的逆元是-1。

1. 公式

   $$18 \equiv -1 \pmod{19}$$
   解释

   将18替换为同余的负剩余-1。

   步骤依据

   减去模数保持同余关系：$18-19=-1$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-1)(-1)=1$$
   解释

   注意到-1自乘得到1。

   步骤依据

   基础的整数乘法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$18^{-1} \equiv 18 \pmod{19}$$
   解释

   因此18在模19意义下的逆元就是它自身。

   步骤依据

   因为18 ≡ -1，且(-1)^{-1} ≡ -1。

   视频直接表达

使用负剩余-1可更快地证明18在模19意义下是自身的逆元。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出17 ≡ -2 (mod 19)，指出$20 = (-2)(-10)$，写出(-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19)，最后写出$17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出17与负的2模19同余，回顾了20等于负的2乘以负的10，然后将19加到负的10上，得到一个正数。

1. 公式

   $$17 \equiv -2 \pmod{19}$$
   解释

   将17重写为负剩余 -2。

   步骤依据

   将19加到-2上得到17，因此它们模19同余。

   视频直接表达
2. 公式

   $$20 = (-2)(-10)$$
   解释

   使用前面一行的同余式1 ≡ 20 (mod 19)，并将20分解为(-2)(-10)。

   步骤依据

   黑板上展示的直接算术恒等式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(-2)^{-1} \equiv -10 \pmod{19}$$
   解释

   由于(-2)(-10) = 20 ≡ 1 (mod 19)，故-10是-2模19的逆元。

   步骤依据

   模逆元的定义，连同同余式20 ≡ 1 (mod 19)。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-10 + 19 = 9$$
   解释

   将负代表元-10转换为正剩余9。

   步骤依据

   加上模数不改变同余类。

   视频直接表达
5. 公式

   $$17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$$
   解释

   因此，17模19的逆元是9。

   步骤依据

   代入17 ≡ -2以及已转换的逆元。

   视频直接表达

快捷方法得出 $17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $18 \equiv -1 \pmod{19}$，其正下方紧接着是 $18^{-1} \equiv 1 \pmod{19}$。

1. 公式

   $$18 \equiv -1 \pmod{19}$$
   解释

   将 18 改写为其模 19 的负剩余。

   步骤依据

   板书上展示了模 19 的同余化简。

   视频直接表达
2. 公式

   $$18^{-1} \equiv 1 \pmod{19}$$
   解释

   得出结论：18 模 19 的逆元是 1。

   步骤依据

   视频将此作为前述同余式的直接推论；其根本事实是：-1 模 19 是它自身的逆元。

   视频直接表达

18的负1次方同余于1模19。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：17同余于负2模19，负2的负1次方同余于负10模19，以及17的负1次方同余于9模19。

2. 声音
   观察依据

   讲话者提到以17乘以9等于153为终点的较长路径。

1. 该片段未在画面上展示中间验证式153同余于1模19；音频中仅陈述了17乘以9等于153。

1. 公式

   $$17 \equiv -2 \pmod{19}$$
   解释

   将 17 替换为更小的负剩余 -2 对模 19。

   步骤依据

   黑板上展示的关于模19的同余约简。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-2)^{-1} \equiv -10 \pmod{19}$$
   解释

   使用负2关于模19的逆元。

   步骤依据

   作为已知的中间步骤直接写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$$
   解释

   将 -10 转换为正剩余 9 对模 19，并记录 17 的逆元。

   步骤依据

   由于负10同余于9模19，黑板将逆元重写为正形式。

   视频直接表达

17的负1次方同余于9模19。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 1 ≡ 11 ≡ 21 ≡ 31 ≡，然后（5,10）=5，不是 1，且无逆元。

2. 声音
   观察依据

   说话人说，将 10 加到 1 上得到 11、21、31，而永远得不到 5 的倍数。

3. 声音
   观察依据

   说话人指出问题在于 gcd(5,10)=5，而非 1。

1. 黑板上所写的同余式在最后一个 ≡ 符号后视觉上不完整；音频中补全了后续内容：11, 21, 31, …

1. 公式

   $$1 \equiv 11 \equiv 21 \equiv 31 \equiv \cdots \pmod{10}$$
   解释

   开始列出与 1 对模 10 通过重复相加 10。

   步骤依据

   黑板上显示 1 ≡ 11 ≡ 21 ≡ 31 ≡，音频解释了每次加 10 的规律。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{No term in }1,11,21,31,\ldots\text{ is a multiple of }5$$
   解释

   观察到该数列永远不会达到 5 的倍数。

   步骤依据

   音频中明确陈述：“你永远得不到 5 的倍数。”

   视频直接表达
3. 公式

   $$(5,10)=5 \ne 1$$
   解释

   计算 5 和 10 的最大公约数。

   步骤依据

   写在黑板上并同时口头读出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{No inverse}$$
   解释

   得出结论：5 在模 10 意义下没有逆元。

   步骤依据

   主讲人指出一般规则：若最大公约数大于1，则不存在逆元。

   视频直接表达

5模10不存在逆元，因为（5，10）＝$5\ne 1$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕提示：“求 5 模 7 的逆元。”

2. 公式
   观察依据

   演算过程显示：“1 ≡ 8 ≡ 15 (mod 7)”，其中 15 被拆分为 5 和 3。

3. 公式
   观察依据

   结论书写为：“$5^{-1}$ ≡ 3 (mod 7)”。

求 5 模 7 的逆元。

1. 目标整数：5。

2. 模数：7。

求一个整数 b，使得 5b ≡ 1 (mod 7)。

1. 公式

   $$1 \equiv 8 \pmod{7}$$
   解释

   加上 7 到 1 中，以在模 1 的同余类内进行搜索7。

   步骤依据

   加上模数后，同余关系保持不变。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1 \equiv 8 \equiv 15 \pmod{7}$$
   解释

   再次加上 7，得到 15。

   步骤依据

   15 仍与 1 关于模 7 同余。

   视频直接表达
3. 公式

   $$15 = 5 \cdot 3$$
   解释

   识别出 15 是 5 的倍数。

   步骤依据

   整数因式分解。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5^{-1} \equiv 3 \pmod{7}$$
   解释

   得出结论：3 是 5 关于模 7 的逆元。

   步骤依据

   因为 $5\cdot 3$ ≡ 1 (mod 7)。

   视频直接表达

5 的负1次方同余于3模7

$5\cdot 3 = 15$ 且 15 ≡ 1 (mod 7)。

1. 公式
   观察依据

   屏幕提示：“求 5 关于模 11 的逆元。”

2. 公式
   观察依据

   演算过程显示：“1 ≡ 12 ≡ 23 ≡ 34 ≡ 45 (mod 11)”，其中 45 被拆分为 5 和 9。

3. 公式
   观察依据

   结论书写为：“$5^{-1}$ ≡ 9 (mod 11)”。

求 5 关于模 11 的逆元。

1. 目标整数：5。

2. 模数：11。

求一个整数 b，使得 5b ≡ 1 (mod 11)。

1. 公式

   $$1 \equiv 12 \pmod{11}$$
   解释

   从 1 开始，加上 11。

   步骤依据

   加上模数不改变对模 11 的同余性。

   视频直接表达
2. 公式

   $$12 \equiv 23 \equiv 34 \equiv 45 \pmod{11}$$
   解释

   持续加上 11，直到得到 5 的倍数。

   步骤依据

   所列所有数字均与1模11同余。

   视频直接表达
3. 公式

   $$45 = 5 \cdot 9$$
   解释

   将 45 分解为 5 乘以 9。

   步骤依据

   整数分解。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5^{-1} \equiv 9 \pmod{11}$$
   解释

   得出结论：9 是 5 模 11 的逆元。

   步骤依据

   因为 $5\cdot 9$ ≡ 1 (mod 11)。

   视频直接表达

5 的负1次方同余于9模11

$5\cdot 9 = 45$，且45 ≡ 1 (mod 11)。

1. 公式
   观察依据

   屏幕提示：“求6模17的逆元。”

2. 公式
   观察依据

   演算过程显示：“1 ≡ 18 (mod 17)”，其中18被拆分为6和3。

3. 公式
   观察依据

   结论书写为：“$6^{-1}$ ≡ 3 (mod 17)”。

求6模17的逆元。

1. 目标整数：6。

2. 模数：17。

求一个整数 b，使得6b ≡ 1 (mod 17)。

1. 公式

   $$1 \equiv 18 \pmod{17}$$
   解释

   将17加到1上得到18。

   步骤依据

   加上模数不改变模17的同余关系。

   视频直接表达
2. 公式

   $$18 = 6 \cdot 3$$
   解释

   将18分解为6乘以3。

   步骤依据

   整数分解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$6^{-1} \equiv 3 \pmod{17}$$
   解释

   得出结论：3 是 6 模 17 的逆元。

   步骤依据

   因为 $6\cdot 3$ ≡ 1 (mod 17)。

   视频直接表达

6 的负1次方同余于3模17

$6\cdot 3 = 18$ 且 18 ≡ 1 (mod 17)。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上显示的文字提示为：‘求 18 模 19 的逆元。’

2. 公式
   观察依据

   黑板上先列出 1 ≡ 20 ≡ 39 ≡ 58 ≡ 77 ≡ … ≡ 324，再写出 18 ≡ -1 (mod 19)。

求 18 模 19 的逆元。

1. 模数 $m = 19$。

2. 余数 $a = 18$。

求 b，使得 18b ≡ 1 (mod 19)。

1. 公式

   $$1 \equiv 20 \equiv 39 \equiv 58 \equiv 77 \equiv \cdots \equiv 324 \pmod{19}$$
   解释

   通过重复加1 生成与 19 模 19 同余的数。

   步骤依据

   加模数时，同余关系保持不变。

   视频直接表达
2. 公式

   $$324 = 18 \cdot 18$$
   解释

   注意，324 可被 18 整除，商为 18。

   步骤依据

   黑板上展示了因式分解过程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$18^{-1} \equiv 18 \pmod{19}$$
   解释

   得出结论：18 在模 19 意义下是自身的逆元。

   步骤依据

   因为 $18\cdot 18$ ≡ 1 (mod 19)。

   视频直接表达
4. 公式

   $$18 \equiv -1 \pmod{19},\quad (-1)^2=1$$
   解释

   更快的途径是将 18 改写为 -1，并利用 -1 是自逆元这一性质。

   步骤依据

   负剩余类在模 19 下同余，且 (-1)(-1) = 1。

   视频直接表达

18的负1次方同余于18模19。

验证：$18\cdot 18 = 324$，且 324 ≡ 1 (mod 19)；等价地，18 ≡ -1，且 (-1)^2 ≡ 1。

1. 字幕依据
   观察依据

   手写题目为：‘求 17 模 19 的逆元。’

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：17 ≡ -2 (mod 19)，(-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19)，以及 $17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

求 17 模 19 的逆元。

1. 模数 $m = 19$。

2. 剩余 $a = 17$。

3. 在视频片段的前面部分，已得出 1 ≡ 20 (mod 19)。

求 b，使得 17b ≡ 1 (mod 19)。

1. 公式

   $$17 \equiv -2 \pmod{19}$$
   解释

   将17替换为更简单的负剩余-2。

   步骤依据

   将 19 与 -2 相加，得到 17。

   视频直接表达
2. 公式

   $$20 = (-2)(-10)$$
   解释

   分解前述数字 20，它与1 模 19。

   步骤依据

   直接的算术恒等式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(-2)^{-1} \equiv -10 \pmod{19}$$
   解释

   因此，-10 是 -2 模 19 的逆元。

   步骤依据

   因为 (-2)(-10) = 20 ≡ 1 (mod 19)。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-10 + 19 = 9$$
   解释

   将负的逆元转换为正的代表元。

   步骤依据

   加上模数不改变同余关系。

   视频直接表达
5. 公式

   $$17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$$
   解释

   因此，17 模 19 的逆元是 9。

   步骤依据

   代回 17 ≡ -2。

   视频直接表达

17的负1次方同余于9（模19）。

验证：17乘以9等于153，且153等于8乘以19加1，因此17乘以9同余于1（模19）。

1. 公式
   观察依据

   印刷提示：“求18模19的逆元。”

2. 公式
   观察依据

   手写演算包含：18≡－1 (mod 19)，18^{－1}≡1 (mod 19)，求17模19的逆元，17≡－2 (mod 19)，(－2)^{－1}≡－10 (mod 19)，17^{－1}≡9 (mod 19)。

3. 声音
   观察依据

   主讲人称，用长方法计算最终会得到$17\times 9$＝153。

1. 黑板上可见的上方同余链在此片段中仅部分可辨；根据所提供帧画面，无法可靠转录出324之前的确切完整序列。

计算18和17模19的模逆元。

1. 模数 m＝19。

2. 要求其逆元的数为：18和17。

3. 展示的中间同余式有：18≡－1 (mod 19)，17≡－2 (mod 19)，(－2)^{－1}≡－10 (mod 19)。

将每个逆元表示为模19的剩余。

1. 公式

   $$18 \equiv -1 \pmod{19}$$
   解释

   将18对模19约简为一个更简单的同余代表元。

   步骤依据

   在黑板上展示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$18^{-1} \equiv 1 \pmod{19}$$
   解释

   记录18的逆元。

   步骤依据

   直接作为下一行写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$17 \equiv -2 \pmod{19}$$
   解释

   将17对模19约简为一个更简单的同余代表元。

   步骤依据

   在黑板上“求17模19的逆元”标题下列出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(-2)^{-1} \equiv -10 \pmod{19}$$
   解释

   使用-2模19的逆元。

   步骤依据

   在黑板上展示。

   视频直接表达
5. 公式

   $$17^{-1} \equiv 9 \pmod{19}$$
   解释

   将 -10 重写为 9 模 19，从而得到 17 的逆元的正剩余。

   步骤依据

   在黑板上展示；该转换使用关系式 -10 ≡ 9 (mod 19)。

   视频直接表达

$18^{-1}$ ≡ 1 (mod 19)，且$17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

音频说明：计算17的较长路径得到$17 \times 9 = 153$，这与先计算乘积再对模19约简的验证方式一致。

1. 公式
   观察依据

   印刷题干：“求5模10的逆元。”

2. 公式
   观察依据

   手写演算包含1 ≡ 11 ≡ 21 ≡ 31 ≡，(5,10)=$5 \ne 1$，且无逆元。

3. 声音
   观察依据

   说话人指出：反复加10永远得不到5的倍数；接着说明 gcd(5,10)=5，不等于1，因此不存在逆元。

1. 书面同余式链条以一个孤立的 ≡ 符号结尾，未写出后续数字；音频补充了本应延续的模式。

判断5模10是否存在乘法逆元；若存在，则求出该逆元。

1. 模数 $m = 10$。

2. 要求其逆元的数：5。

判断$5^{-1}$ (mod 10) 是否存在，并据此得出结论。

1. 公式

   $$1 \equiv 11 \equiv 21 \equiv 31 \equiv \cdots \pmod{10}$$
   解释

   尝试直接搜索：列出与 1 同余的数（模 10）。

   步骤依据

   黑板上写出该链条的开头部分，音频解释依次将10加到1、再加到11、21、31上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{never get a multiple of }5$$
   解释

   注意这些候选数中没有一个能被 5 整除，因此没有任何乘积 5x 可以等于 1 模 10 通过此路径。

   步骤依据

   音频中明确说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(5,10)=5$$
   解释

   计算5与10的最大公约数。

   步骤依据

   写在黑板上并口头读出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5 \ne 1$$
   解释

   将该最大公约数与1进行比较。

   步骤依据

   黑板上写的是 NOT 1 旁边（5，10)=5。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{No inverse}$$
   解释

   得出结论：5在模10意义下没有逆元。

   步骤依据

   写在黑板上，并依据口头陈述的最大公约数规则加以说明。

   视频直接表达

没有逆元。

该例子通过显式计算最大公约数（5,10)=$5\ne 1$，以及依次尝试1、11、21、31……的失败搜索来验证。

1. 图示
   观察依据

   一张白色幻灯片，标题为“模逆元”，其上以黑色文字显示一行定义和一行定理。

2. 动画
   观察依据

   紫色下划线依次标注在定义与定理中的关键词语和符号下方。

1. 标题：“模逆元”。

2. 定义句。

3. 定理句。

4. 紫色下划线笔画。

1. 下划线出现在“模 m 的乘法逆元”下方，位置大约在10s 处。

2. 下划线出现在“ab ≡ 1 (mod m)”下方，位置大约在12s–14s 处。

3. 下划线出现在定理中“a”下方，位置大约在25s 处。

4. 下划线出现在“模 m”下方，位置大约在26s–27s 处。

5. 下划线出现在“(a,m)=1”下方，位置大约在28s–29s 处。

1. 幻灯片正文本身保持不变，仅添加注释标记。

视觉强调与口头讲解同步，突出逆元的定义以及定理中的最大公约数条件。

1. 图示
   观察依据

   新幻灯片提示语：“求5模7的逆元。”

2. 动画
   观察依据

   紫色手写体逐步构建同余链与因式分解树。

1. 提示文字。

2. 手写同余链：“1 ≡ 8 ≡ 15 (mod 7)”。

3. 从15分解出两个因数分支：5和3。

4. 最终记法为“$5^{-1}$ ≡ 3 (mod 7)”。

1. 首先写出“1 ≡ 8”。

2. 然后在末尾追加“≡ 15”。

3. 接着将15在下方分解为5和3。

4. 最后在下方写出逆元陈述。

1. 模数在整个例题中始终保持为7。

动画展示了搜索过程：遍历与 1 模 7 直到找到一个倍数为止5 然后读出其逆元。

1. 图示
   观察依据

   新幻灯片提示：“求5模11的逆元。”

2. 动画
   观察依据

   紫色手写体延伸出更长的同余链，随后对末项数字进行因式分解。

1. 提示文字。

2. 手写链式表达式：“1 ≡ 12 ≡ 23 ≡ 34 ≡ 45 (mod 11)”。

3. 从45分解出两个分支：5和9。

4. 最终记法为：“$5^{-1}$ ≡ 9 (mod 11)”。

1. 该链式表达式逐项增长，依次为$12\to 23\to 34\to 45$。

2. 当达到45后，将其分解为5和9。

3. 随后在下方写出其逆命题。

1. 在整个例题中，模数始终为11。

这一可视化序列展示了相同的“加模搜索法”，但在得到5的倍数前进行了更多次迭代。

1. 图示
   观察依据

   新幻灯片提示语：“求6关于模17的逆元。”

2. 动画
   观察依据

   紫色手写内容显示“1 ≡ 18 (mod 17)”，并把18分解为6和3。

1. 提示文字。

2. 手写同余式“1 ≡ 18 (mod 17)”。

3. 从18出发分出两个因数分支：6和3。

4. 最终记法为“$6^{-1}$ ≡ 3 (mod 17)”。

1. 18被写作紧接在1之后的下一个代表元。

2. 18被分解为6和3。

3. 逆命题写在下方。

1. 模数在整个例题中始终保持为17。

最简短的例子表明，有时仅需加上一次模数，即可得到目标整数的倍数。

1. 动画
   观察依据

   屏幕从之前关于6模17的问题切换为一条新输入的提示：‘求18模19的逆元。’

1. 之前关于6模17的手写解答

2. 关于18模19的新输入提示

1. 旧演算内容消失。

2. 新问题陈述出现在顶部。

1. 界面保持为数字白板，使用紫色手写体。

这标志着本片段主体例题的开始。

1. 动画
   观察依据

   紫色手写依次向链式表达式添加项 1 ≡ 20 ≡ 39 ≡ 58 ≡ 77 ≡ … ≡ 324，然后在下方写出因数对 18 和 18 beneath 324。

1. 以1为起点的同余链

2. 数字324

3. 因数标签18和18

1. 每一项新项通过加上19得到。

2. 该链在324处终止。

3. 324被直观地分解为$18\cdot 18$。

1. 所有展示出的项均与1模19同余。

可视化过程展示了在18关于1的同余类中寻找19的倍数。

1. 动画
   观察依据

   在先前演算的下方，主讲人写下18 ≡ -1 (mod 19)，然后将逆元结论改写为$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

1. 表达式18 ≡ -1 (mod 19)

2. 表达式$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)

1. 正剩余18被替换为负剩余-1。

2. 逆命题通过简写方式重新表述。

1. 模数保持为19。

2. 由18所代表的剩余类不发生变化。

这种直观的重写强调：选择一个方便的代表元可以简化求逆运算。

1. 动画
   观察依据

   画一条横线分隔符，然后写出新提示‘求17模19的逆元’，接着写下17 ≡ -2 (mod 19)，(-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19)，以及$17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

1. 分隔线

2. 提示：‘求17模19的逆元’

3. 涉及-2、-10和9的同余式

1. 黑板内容从第一个例子切换到第二个例子。

2. 解题过程先借助负剩余进行，再转换回正数答案。

1. 模数在整个过程中保持为19。

版式布局将同一捷径思想的两次应用分隔开来。

1. 动画
   观察依据

   显示画面从已完成的模19运算黑板切换至一个新页面，标题为“求5模10的逆元。”

1. 完成的手写演算，内容为18和17对模19的运算。

2. 新打印标题：“求 5 模 10 的逆元。”

1. 上一块板书内容消失。

2. 一张崭新的白板页面出现，初始时仅显示新的题目陈述。

1. 本课内容持续聚焦于求模逆元。

2. 记号风格保持不变，采用数字白板上手写的紫色数学符号。

这一视觉过渡标志着教学重点从成功求出逆元转向一个反例，用以说明逆元不存在的情形。

1. 动画
   观察依据

   主讲人写下 (5,10)=5，接着添加 NOT 1，再在下方写出“无逆元”。

1. 表达式 (5,10)=5

2. 标注 NOT 1

3. 结论：无逆元

1. 首先写出最大公约数的值。

2. 然后与1进行比较。

3. 最后，在下方写出不存在的结论。

1. 在整个这一序列中，模数保持为10，数字保持为5。

视觉顺序编码了推理过程：先计算最大公约数，观察其不等于1，从而得出模逆元不存在的结论。

1. 声音
   观察依据

   讲话者明确指出：“若a与m的最大公约数大于1，则a在模m意义下不存在逆元。”

有人可能认为，无论整数a与m是否有公共因子，a总在模m意义下存在某个逆元。

视频指出：若gcd(a,m)＞1，则a在模m意义下没有逆元。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，暴力法总是可行的，但有时你会花费大量时间去寻找逆元。

人们或许会认为，反复加上模数直到出现倍数，是最佳的通用策略。

该片段明确对比了这种可靠但缓慢的方法与一种利用负剩余类的更快捷径。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，我们习惯于加上19，但也可以减去19；之后又将19加回到-10上，因为他们希望得到正数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上使用了18 ≡ -1 (mod 19)，17 ≡ -2 (mod 19)，以及(-2)^{-1} ≡ -10 (mod 19)。

学生可能认为模运算必须始终停留在正代表元范围内。

视频表明，负剩余类是有效的，且常常更简便，尽管最终可转换回正代表元。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将之前成功的例子与“如果让我求5模10的逆元会怎样？”进行对比，随后指出该逆元并不存在。

2. 公式
   观察依据

   黑板上在“(5,10)=5 NOT 1”之后写下“No inverse”。

人们可能预期，同样的搜索方法总能找出逆元，就像在模19的例子中那样。

视频表明，对于5模10的情形，该方法失效：在所有与1模10同余的数中搜索，永远无法得到5的倍数；而最大公约数检验解释了为何逆元不存在。

1. 声音
   观察依据

   一开始，主讲人说，用繁琐的方法最终也能得到$17 \times 9 = 153$，“只是需要多花一点时间。”

2. 声音
   观察依据

   后来主讲人说，人们可能“耗尽余生不断加10”，却仍永远得不到5的倍数。

学习者可能认为模逆元必须通过扩展一长串同余式才能找到。

本片段展示了更快的结构性方法：将数字改写为模数下的更小剩余类，并通过检查 gcd(a,m) 立即判断模逆元是否存在。

1. 公式
   观察依据

   该定理直接引用了前一条定义中给出的“模 m 可逆”的概念。

存在性定理所讨论的，正是模 m 乘法逆元定义中引入的概念。

1. 声音
   观察依据

   陈述完定理后，主讲人转向具体例子，并着手寻找实际的逆元。

2. 公式
   观察依据

   每个例子都找到了一个符合该定理存在性条件的具体逆元。

这些演算示例通过在整数与模数互质的情形下寻找逆元，应用了存在性判据。

1. 公式
   观察依据

   全部三个例子均采用相同模式：写出 1 ≡ $1+m$ ≡ $1+2m$ ≡ …，直至出现目标整数的倍数。

第一个例子是“加模搜索法”的直接应用。

1. 公式
   观察依据

   第二个例子在模数为 11 的情形下重复使用相同的搜索模式。

第二个例子应用相同方法，但搜索链更长。

1. 公式
   观察依据

   第三个例子再次从 1 出发，加上一次模数，即得到目标整数的倍数。

第三个例子在最简单的情形下应用相同方法，仅需将模数加一次。

1. 公式
   观察依据

   寻找一个与1同余且能被18整除的数，直接体现了逆元的定义。

暴力法是直接应用定义 ab ≡ 1 (mod m)。

1. 声音
   观察依据

   在指出这种慢速方法后，讲解者引入了‘一点点小技巧’。

该技巧被呈现为一种比穷举搜索更快的替代方法。

1. 公式
   观察依据

   该技巧通过将 18 改写为 -1，再利用 (-1)^$2 = 1$ 来实现。

-1 是自逆元这一事实，是通过用负代表元替换剩余类所启用的一种特殊情况。

1. 公式
   观察依据

   得到(−2)^{−1} ≡ −10后，黑板转换为9 通过相加 19。

一旦找到负剩余类的逆元，最后一步就是将其表示为正剩余类。

1. 声音
   观察依据

   第二个例子首先尝试穷举搜索，随后中止并利用最大公约数解释为何失败。

2. 公式
   观察依据

   板书从尝试构建的同余链转向 (5,10)=5 NOT 1 和 无逆元。

1. 这种顺序是从讲解流程中推断得出的，而非作为明确定理陈述。

本课对比了可以计算出模逆元的情形与模逆元根本不存在的情形。

1. 声音
   观察依据

   在完成具体计算 (5,10)=5 后，主讲人进行推广："若这两个数的最大公约数大于1，则不存在模逆元。"

以 5 模 10 的具体例子来引出并阐释这一普遍的不存在性规则。

1. 公式
   观察依据

   定义行出现在标题幻灯片上。

1. 模 m 的乘法逆元的定义

1. 公式
   观察依据

   定理陈述了最大公约数条件。

1. 模逆元存在的判据

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当 gcd(a,m) > 1 时，不存在逆元。

1. 模逆元存在的判据
2. 错误地假设当gcd(a,m)＞1时逆元仍存在。

1. 公式
   观察依据

   所有示例均展示了相同的、手写的搜索过程。

1. 通过不断加模数来搜索模逆元的方法
2. 例题：求 5 模 7 的逆元
3. 例题：求 5 关于模 11 的逆元
4. 例题：求6模17的逆元

1. 公式
   观察依据

   第一个完整演算示例在屏幕上完整呈现。

1. 例题：求 5 模 7 的逆元

1. 公式
   观察依据

   第二个完整演算示例在屏幕上完整呈现。

1. 例题：求 5 关于模 11 的逆元

1. 公式
   观察依据

   第三个完整演算示例在屏幕上完整呈现。

1. 例题：求6模17的逆元

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 18 ≡ -1 (mod 19)，并得出结论：$18^{-1}$ ≡ 18 (mod 19)。

1. 模乘法逆元
2. 利用负剩余简化求逆问题
3. 剩余-1是它自身的逆元

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，我们可以减去 19，也可以加上它。

2. 公式
   观察依据

   这些例子将 18 改写为 -1，并将 17 改写为 -2。

1. 利用负剩余简化求逆问题
2. 将负的逆元转换回正的剩余类代表

1. 公式
   观察依据

   黑板上推导出 $17^{-1}$ ≡ 9 (mod 19)。

1. 利用负剩余简化求逆问题
2. 将负的逆元转换回正的剩余类代表

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，长方法总是可行的，但可能耗时较长，随后引入了一种快捷方法。

1. 通过不断加模数进行的暴力搜索
2. 利用负剩余简化求逆问题

1. 声音
   观察依据

   主讲人先提问 5 模 10 的逆元会发生什么情况，再解释最大公约数造成的障碍。

2. 公式
   观察依据

   板书文字：(5,10)=5 NOT 1，无逆元。

1. 求5模10的逆元
2. 模逆元不存在的判据
3. 如果 gcd(a,m) > 1，则 a 在模 m 意义下没有逆元