跳到内容

顺着知识,继续探索

数论

围绕整除与同余、算术函数与方程、素数分布与进阶联系理解概念与联系。先建立知识结构,视频讲解按审核情况逐步补充。

前置知识与跨科联系

  • 域

    域是每个非零元素均有乘法逆元的非零交换环。

    视频讲解待补充

整除与同余

  • 素因数分解

    大于一的整数可分解为素数乘积,除顺序外分解唯一。

    视频讲解待补充
  • 最大公约数

    对不同时为零的整数 a 与 b,最大公约数是同时整除二者的唯一正整数,并且每个其他公因数都整除它。改变 a、b 的符号不改变这个正值。

    11 条审核资源
  • 欧几里得算法

    欧几里得算法通过反复带余除法计算最大公约数。把 (a,b) 替换为 (b,r) 不改变公因数,而非负余数严格递减,因此过程必然终止。

    9 条审核资源
  • 模运算

    同余把对正整数模具有相同余数的整数联系起来。

    视频讲解待补充
  • 模逆元

    整数对模n存在逆元,当且仅当它与n互素。

    视频讲解待补充
  • 中国剩余定理

    两两互素的模数可把同余条件合并为对其乘积唯一的同余类。

    视频讲解待补充

算术函数与方程

  • 欧拉函数

    欧拉函数统计对给定正整数模互素的正剩余类数。

    视频讲解待补充
  • 费马小定理与欧拉定理

    互素剩余类满足由素数模或欧拉函数控制的幂同余关系。

    视频讲解待补充
  • 丢番图方程

    丢番图方程要求整数或有理数解,而非任意实数解。

    视频讲解待补充
  • 二次剩余

    能对指定模写成平方同余类的数称二次剩余。

    视频讲解待补充

素数分布与进阶联系

  • 素数定理

    不超过x的素数数量与x除以自然对数x渐近等价。

    视频讲解待补充
  • 黎曼泽塔函数

    正整数上的狄利克雷级数在收敛半平面定义泽塔函数,并可解析延拓。

    视频讲解待补充
  • 代数数

    代数数是非零有理系数多项式的根。

    视频讲解待补充
  • 有限域

    有限域元素数为素数幂;每个素数幂阶的有限域存在且在同构意义下唯一。

    视频讲解待补充

课程范围参考