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级数｜Math Mastery with Amitesh

Math Mastery with Amitesh · YouTube · 7:51

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利用比较判别法与收敛的必要条件，证明非负级数的一个发散结论。

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假设 aₙ≥0，且 aₙ 所成的级数发散。视频证明，项为 aₙ/( $1+a$ ₙ) 的级数也发散，非负性是前提之一。

若最终 aₙ≤1，则 $1+a$ ₙ≤2，从而 aₙ/( $1+a$ ₙ)≥aₙ/2。与原来的发散级数比较，就得到发散。

若变换后的级数收敛，其项必须趋于零。令 bₙ=aₙ/( $1+a$ ₙ)，则 aₙ=bₙ/( $1-b$ ₙ)，所以 aₙ 也趋于零，最终可使用前面的比较，得到矛盾。

假设 aₙ≥0，且 aₙ 所成的级数发散。视频证明，项为 aₙ/( $1+a$ ₙ) 的级数也发散，非负性是前提之一。

若最终 aₙ≤1，则 $1+a$ ₙ≤2，从而 aₙ/( $1+a$ ₙ)≥aₙ/2。与原来的发散级数比较，就得到发散。

若变换后的级数收敛，其项必须趋于零。令 bₙ=aₙ/( $1+a$ ₙ)，则 aₙ=bₙ/( $1-b$ ₙ)，所以 aₙ 也趋于零，最终可使用前面的比较，得到矛盾。

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假设 aₙ≥0，且 aₙ 所成的级数发散。视频证明，项为 aₙ/( $1+a$ ₙ) 的级数也发散，非负性是前提之一。若最终 aₙ≤1，则 $1+a$ ₙ≤2，从而 aₙ/( $1+a$ ₙ)≥aₙ/2。与原来的发散级数比较，就得到发散。若变换后的级数收敛，其项必须趋于零。令 bₙ=aₙ/( $1+a$ ₙ)，则 aₙ=bₙ/( $1-b$ ₙ)，所以 aₙ 也趋于零，最终可使用前面的比较，得到矛盾。