三维线性变换

在绕 y 轴旋转 90 度期间，$\hat{i}$ 移动到负 z 轴的 $(0, 0, -1)$，$\hat{j}$ 保持在 y 轴上的 $(0, 1, 0)$ 不动，而 $\hat{k}$ 摆动到正 x 轴的 $(1, 0, 0)$。

适用条件：旋转角度正好为 90 度；旋转轴为 y 轴；假定采用右手坐标系约定来确定符号

将 3x3 矩阵乘以向量 $(x, y, z)$ 会将矩阵的每一列（代表一个变换后的基向量）按相应的输入坐标进行缩放，并将结果相加。这是因为线性变换保持加法和标量乘法。

适用条件：矩阵是表示线性变换的 3x3 矩阵；输入向量具有坐标 $(x, y, z)$；变换是线性的

三维中的矩阵-向量乘法通过将矩阵的列按输入向量的相应坐标进行缩放，然后将结果相加来工作。坐标 $(x, y, z)$ 作为变换后基向量（即列）的标量乘数，利用了保持加法和标量乘法的线性性质。

适用条件：矩阵是 3x3 变换矩阵。；输入向量的坐标为 $(x, y, z)$。；变换是线性的。

两个 3x3 矩阵相乘表示依次应用它们各自的空间变换。最右边的矩阵首先作用于初始空间，然后最左边的矩阵作用于已经变换过的结果。

适用条件：两个矩阵都是 3x3 变换矩阵。；操作是标准矩阵乘法。

要构造 3x3 矩阵，需观察三个标准基向量（$\hat{i}$、$\hat{j}$ 和 $\hat{k}$）在变换后落在哪里。将这些变换后向量的最终坐标记录为列向量。

适用条件：在三维笛卡尔空间中工作。；变换是线性的。

当相乘两个矩阵 $A$ 和 $B$ 形成 $AB$ 时，最右边的矩阵 $B$ 所代表的变换首先作用于初始空间，随后是最左边的矩阵 $A$ 作用于已经变换过的结果。

适用条件：执行矩阵乘法 $AB$；矩阵代表线性空间变换；向量被视为列向量

三维线性变换完全由跟踪标准基向量（$\hat{i}$、$\hat{j}$ 和 $\hat{k}$）落点的位置决定。这三个变换后向量的坐标被记录为列向量，从而形成一个 3x3 矩阵。

适用条件：在三维笛卡尔空间中工作；使用沿 x、y 和 z 轴对齐的标准基向量；变换是线性的（保持网格线平行且间距均匀，并固定原点）

该矩阵为 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。这是通过追踪标准基向量推导出来的：$\hat{i}$ 移动到 $(0, 0, -1)$，$\hat{j}$ 保持在 $(0, 1, 0)$ 不变，$\hat{k}$ 摆动到 $(1, 0, 0)$。

适用条件：绕 y 轴旋转 90 度。；在右手三维坐标系中工作。