← 全部问题将参数 C 从 0 改为 1 如何影响 dz/dt=4z−z3+C 的平衡点？
将 C 从 0 增加到 1 会将右侧函数的图像垂直向上平移一个单位。这种平移导致三个平衡点移动：两个稳定平衡点向右移动，不稳定平衡点向左移动。定性结构保持不变（三个平衡点，外侧稳定，中间不稳定），但位置不再关于零对称。
适用条件
- 微分方程是 dz/dt=4z−z3+C。
- C 从 0 改为 1。
理解与推导
- 比较函数 f0(z)=4z−z3 和 f1(z)=4z−z3+1。
- 观察到 f1(z)=f0(z)+1，代表垂直向上平移。
- 注意到平移后的曲线仍在三个点与水平轴相交。
- 推断根（平衡点）相对于 C=0 的情况发生了移动。
- 识别出稳定平衡点（外根）向右移动，不稳定平衡点（中根）向左移动。
- 得出对称性丢失但稳定性模式保留的结论。
例子
视频在 C=0 的绿色曲线上方绘制了 C=1 的蓝色曲线。演讲者指出，“两个稳定平衡点向右移动，不稳定平衡点向左移动”，并补充说，“但现在它们不再对称了。”
容易误解的地方
- 假设添加常数会改变三次函数的形状。
- 认为当 C=1 时平衡点的数量立即改变。
- 将图像的垂直平移与平衡点的水平平移混淆。
相关问题
认识概念↗ 长期行为由相线决定。任何严格高于不稳定平衡点 z=0 的初始条件都将趋近于稳定平衡点 z=2。
适用条件：微分方程是 dz/dt=4z−z3。；初始条件不恰好在不稳定平衡点 z=0 处。
分岔图是一种图表，显示了动力系统的平衡值如何随参数变化而变化。它是通过在垂直轴上绘制平衡值 (z) 并在水平轴上绘制参数 (C) 来构建的。
适用条件：系统由以 C 为参数的 ODE 族描述。；平衡点是在一系列 C 值下确定的。
掌握方法↗ 平衡点是通过将时间导数设为零来寻找的，这意味着寻找右侧函数的根。通过绘制 f(z)=4z−z3，平衡点正好对应于图像与水平 z 轴相交的点。
适用条件：微分方程是自治的，意味着右侧仅依赖于 z。；平衡点被定义为 dz/dt=0 的常数解。
理解原因↗ 平衡点对应于右侧函数 f(z)=4z−z3+C 的根。随着 C 的增加，f(z) 的图像垂直向上平移。
适用条件：微分方程是 dz/dt=4z−z3+C。；C=4，大于临界值 C* ≈ 3.079。
认识概念↗ 对于 C=4，系统只有一个稳定平衡点。由于没有其他平衡点充当分界线，所有初始条件，无论其起始值如何，都将随着时间推移收敛到这个单一的正平衡点。
适用条件：微分方程是 dz/dt=4z−z3+4。；C=4 大于分岔阈值 C* ≈ 3.079。
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