如何从 $f(z) = 4z - z^3$ 的图像中找到自治常微分方程 $dz/dt = 4z - z^3$ 的平衡点？

长期行为由相线决定。任何严格高于不稳定平衡点 $z = 0$ 的初始条件都将趋近于稳定平衡点 $z = 2$。

适用条件：微分方程是 $dz/dt = 4z - z^3$。；初始条件不恰好在不稳定平衡点 $z = 0$ 处。

分岔图是一种图表，显示了动力系统的平衡值如何随参数变化而变化。它是通过在垂直轴上绘制平衡值 (z) 并在水平轴上绘制参数 (C) 来构建的。

适用条件：系统由以 C 为参数的 ODE 族描述。；平衡点是在一系列 C 值下确定的。

平衡点对应于右侧函数 $f(z) = 4z - z^3 + C$ 的根。随着 C 的增加，$f(z)$ 的图像垂直向上平移。

适用条件：微分方程是 $dz/dt = 4z - z^3 + C$。；$C = 4$，大于临界值 C* ≈ 3.079。

对于 $C = 4$，系统只有一个稳定平衡点。由于没有其他平衡点充当分界线，所有初始条件，无论其起始值如何，都将随着时间推移收敛到这个单一的正平衡点。

适用条件：微分方程是 $dz/dt = 4z - z^3 + 4$。；$C = 4$ 大于分岔阈值 C* ≈ 3.079。

将 C 从 0 增加到 1 会将右侧函数的图像垂直向上平移一个单位。这种平移导致三个平衡点移动：两个稳定平衡点向右移动，不稳定平衡点向左移动。

适用条件：微分方程是 $dz/dt = 4z - z^3 + C$。；C 从 0 改为 1。