当一个玩家使用混合策略时，期望收益的公式是什么？

要计算玩家 1 混合策略的概率 $p$，你必须确定使玩家 2 在选择其纯策略右（R）和左（L）之间完全无差异的 $p$ 值。这通过将玩家 2 的每个纯策略的期望收益计算为 $p$ 的函数来实现，然后将这两个期望收益设为相等，并求解所得的线性方程以得到 $p$。

适用条件：游戏是具有 2x2 收益矩阵的有限标准形式游戏。；玩家 1 以概率 $p$ 选择 R，以概率 $1-p$ 选择 L。；玩家 2 从玩 R 和 L 获得的期望收益必须使用玩家 1 的混合策略来计算。；$p$ 的解必须位于区间 $[0, 1]$ 内，以表示有效的混合策略。

在这个游戏中，$q = 3/7$ 意味着玩家 2 以 $3/7$ 的概率选择其纯策略右（R），因此以 $4/7$ 的概率选择其纯策略左（L）。在这个特定的混合策略下，玩家 1 在选择 R 和 L 之间完全无差异，无论他们选择什么，都获得 $12/7$ 的期望收益。

适用条件：游戏是显示的 2x2 标准形式游戏。；玩家 2 以概率 $q$ 和 $1-q$ 在 R 和 L 之间混合。；均衡概念是混合策略纳什均衡。

我们将两个期望收益设为相等是为了强制执行无差异原则。在混合策略纳什均衡中，玩家只有在对他们的纯策略完全无差异时才会随机化。

适用条件：游戏处于混合策略纳什均衡中。；玩家在多个纯策略上随机化。；玩家的纯策略的期望收益是根据对手的混合策略计算的。

在求解玩家 2 的混合概率 $q$ 时，玩家 1 的期望收益被设为相等。具体来说，你将玩家 1 选择其纯策略 R 的期望收益与玩家 1 选择其纯策略 L 的期望收益相等化。

适用条件：背景是寻找混合策略纳什均衡。；玩家 2 是其混合概率 $q$ 正在被求解的玩家。；玩家 1 是必须被使无差异的对手。

要找到玩家 2 的混合概率 $q$，你必须选择 $q$ 使得玩家 1 在他们的纯策略右（R）和左（L）之间无差异。这涉及在玩家 2 的混合策略下计算玩家 1 从每个纯行策略获得的期望收益，将这两个期望收益设为相等，并求解所得的线性方程以得到 $q$。

适用条件：玩家 2 以概率 $q$ 和 $1-q$ 在 R 和 L 之间混合。；目标玩家（玩家 1）必须在所混合的纯策略之间无差异。；$q$ 的解应位于 $[0,1]$ 内，以表示有效的混合策略。