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平稳分布是一种概率分布，随着马尔可夫链的演化保持不变。它对 MCMC 很重要，因为当链达到平衡时，在每个区域花费的长期时间比例恰好匹配目标概率，从而使链能够充当完美的采样器。

适用条件：马尔可夫链必须达到平衡。；$\pi$ 是概率向量，$P$ 是转移矩阵。；目标分布是 $\pi$。

平稳分布是一种概率分布，随着马尔可夫链的演化保持不变。它对 MCMC 很重要，因为当链达到平衡时，在每个区域花费的长期时间比例恰好匹配目标概率，从而使链能够充当完美的采样器。

适用条件：马尔可夫链必须达到平衡。；$\pi$ 是概率向量，$P$ 是转移矩阵。；目标分布是 $\pi$。

平稳分布描述了马尔可夫链中访问每个状态的长期频率。它并不意味着系统停止移动；相反，它代表了一种动态平衡，其中状态之间的概率流相互抵消。

适用条件：马尔可夫链已达到其长期行为。；链是遍历的（不可约且非周期），以便存在唯一的平稳分布。

平稳分布描述了马尔可夫链中访问每个状态的长期频率。它并不意味着系统停止移动；相反，它代表了一种动态平衡，其中状态之间的概率流相互抵消。

适用条件：马尔可夫链已达到其长期行为。；链是遍历的（不可约且非周期），以便存在唯一的平稳分布。

单一概率分布（如钟形曲线）描述的是某一瞬间的不确定性，无法捕捉时间动态。市场是连续演变的：收益依次到来，波动率发生变化，极端事件会聚集。

适用条件：被建模的系统随时间变化。；收益、波动率或事件聚集表现出时间结构。

单一概率分布（如钟形曲线）描述的是某一瞬间的不确定性，无法捕捉时间动态。市场是连续演变的：收益依次到来，波动率发生变化，极端事件会聚集。

适用条件：被建模的系统随时间变化。；收益、波动率或事件聚集表现出时间结构。

预热期由 MCMC 算法在收敛到其平稳分布之前生成的初始样本组成。必须丢弃这些样本，因为它们受到任意起始点的影响，不能准确代表目标分布。

适用条件：适用于 MCMC 采样。；需要在将其余样本用于推断之前丢弃初始样本。；链从任意点开始。

预热期由 MCMC 算法在收敛到其平稳分布之前生成的初始样本组成。必须丢弃这些样本，因为它们受到任意起始点的影响，不能准确代表目标分布。

适用条件：适用于 MCMC 采样。；需要在将其余样本用于推断之前丢弃初始样本。；链从任意点开始。

波动率聚集源于马尔可夫链中的简单状态依赖性。它不需要重尾收益分布或复杂的非线性动力学。

适用条件：底层过程遵循具有不同状态的马尔可夫链。；每个状态内的收益服从相同的分布。

波动率聚集源于马尔可夫链中的简单状态依赖性。它不需要重尾收益分布或复杂的非线性动力学。

适用条件：底层过程遵循具有不同状态的马尔可夫链。；每个状态内的收益服从相同的分布。

纯随机采样在高维空间中效率低下，因为空间的体积呈指数增长，使得随机命中高概率区域几乎不可能。MCMC 通过使用马尔可夫链进行依赖采样来解决这个问题，它引导探索并自然地将样本集中在高概率区域。

适用条件：目标分布定义在高维空间上。；随着维度增加，随机采样变得低效。；MCMC 使用一个设计好的马尔可夫链，其平稳分布是目标分布。

纯随机采样在高维空间中效率低下，因为空间的体积呈指数增长，使得随机命中高概率区域几乎不可能。MCMC 通过使用马尔可夫链进行依赖采样来解决这个问题，它引导探索并自然地将样本集中在高概率区域。

适用条件：目标分布定义在高维空间上。；随着维度增加，随机采样变得低效。；MCMC 使用一个设计好的马尔可夫链，其平稳分布是目标分布。

转移概率编码了保持在或切换状态之间的可能性。在两状态波动率示例中，高自环概率（低波动率为 0.8，高波动率为 0.7）意味着系统倾向于保持在其当前状态。

适用条件：市场被建模为两状态马尔可夫链。；自转移概率相对于切换概率较高。

转移概率编码了保持在或切换状态之间的可能性。在两状态波动率示例中，高自环概率（低波动率为 0.8，高波动率为 0.7）意味着系统倾向于保持在其当前状态。

适用条件：市场被建模为两状态马尔可夫链。；自转移概率相对于切换概率较高。

马尔可夫链是一个数学系统，根据某些概率规则从一个状态转移到另一个状态。其定义特征是无记忆属性：转移到任何特定状态的概率仅取决于当前状态和流逝的时间，而不取决于之前的事件序列。

适用条件：未来状态仅取决于当前状态。；状态之间定义了转移概率。；系统是马尔可夫链。

马尔可夫链是一个数学系统，根据某些概率规则从一个状态转移到另一个状态。其定义特征是无记忆属性：转移到任何特定状态的概率仅取决于当前状态和流逝的时间，而不取决于之前的事件序列。

适用条件：未来状态仅取决于当前状态。；状态之间定义了转移概率。；系统是马尔可夫链。

迹图可视化了 MCMC 链在迭代过程中生成的样本值序列。要确定平稳性，请寻找值停止收敛并开始围绕稳定平衡点波动的点，这表明预热期结束。

适用条件：用于诊断 MCMC 收敛。；需要将样本值与迭代次数进行绘制。；图显示了预热期和平稳期。

迹图可视化了 MCMC 链在迭代过程中生成的样本值序列。要确定平稳性，请寻找值停止收敛并开始围绕稳定平衡点波动的点，这表明预热期结束。

适用条件：用于诊断 MCMC 收敛。；需要将样本值与迭代次数进行绘制。；图显示了预热期和平稳期。

详细平衡条件要求对于任意两个状态 $x$ 和 $y$，从 $x$ 到 $y$ 的概率流恰好等于从 $y$ 到 $x$ 的流。这种双向平衡保证了目标分布对于马尔可夫链是平稳的。

适用条件：必须对状态空间中的所有状态对 $x$ 和 $y$ 成立。；$P(x)$ 和 $P(y)$ 是目标分布下的概率。；$T(y|x)$ 和 $T(x|y)$ 是转移概率。

详细平衡条件要求对于任意两个状态 $x$ 和 $y$，从 $x$ 到 $y$ 的概率流恰好等于从 $y$ 到 $x$ 的流。这种双向平衡保证了目标分布对于马尔可夫链是平稳的。

适用条件：必须对状态空间中的所有状态对 $x$ 和 $y$ 成立。；$P(x)$ 和 $P(y)$ 是目标分布下的概率。；$T(y|x)$ 和 $T(x|y)$ 是转移概率。