求立体图形体积

首先，对多项式 $r/2 - r^3$ 关于 $r$ 积分，得到 $r^2/4 - r^4/4$。将该原函数从 $0$ 评估到 $\sqrt{2}/2$。

适用条件：径向限为 $0$ 到 $\sqrt{2}/2$；角度积分贡献因子 $2\pi$

体积 $V$ 设置为在上表面（平面）和下表面（抛物面）之差上的二重积分。公式为 $V = \iint_D (x+y - x^2-y^2) dx dy$。

适用条件：$D$ 是由 $(x-1/2)^2+(y-1/2)^2 \le 1/2$ 定义的圆形区域；在 $D$ 内，平面 $z=x+y$ 位于抛物面 $z=x^2+y^2$ 之上

将 $x=1/2+r\cos\theta$ 和 $y=1/2+r\sin\theta$ 代入被积函数并包含雅可比 $r$ 后，由于对称性，角度部分积分结果为 $2\pi$，剩下径向积分 $\int_0^{\sqrt{2}/2} r(1/2-r^2) dr$。完整的分离形式为 $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}/2} r(1/2-r^2) dr$。

适用条件：已应用平移极坐标；包含雅可比 $r$

标准极坐标假设关于原点 $(0,0)$ 对称。由于投影区域是中心在 $(1/2, 1/2)$ 的圆，使用标准极坐标会导致 $r$ 的界限变得复杂且依赖于角度。

适用条件：积分域是不以原点为中心的圆；圆心为 $(1/2, 1/2)$

通过令两个曲面方程相等以消去 $z$，得到 $x^2+y^2=x+y$。配方后，该方程转化为 $(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2$，这描述了一个圆心在 $(1/2, 1/2)$、半径为 $\sqrt{2}/2$ 的圆。

适用条件：立体上方由平面 $z=x+y$ 界定；立体下方由抛物面 $z=x^2+y^2$ 界定