数列的收敛性演示

该定义要求条件对每一个 $\varepsilon > 0$ 都成立，以确保数列项可以任意接近极限。单个带或有限的绘图样本是不够的；截断值 $N$ 可能依赖于 $\varepsilon$ 并且不必是唯一的。

适用条件：容差 $\varepsilon$ 是任意的且为正。；截断值 $N$ 依赖于 $\varepsilon$。；条件必须对所有 $n > N$ 成立。

epsilon-N 定义使用从 $a - \varepsilon$ 到 $a + \varepsilon$ 的水平容差带和垂直截断值 $N$。对于给定的容差 $\varepsilon$，一个有效的整数截断值 $N$ 确保所有索引 $n > N$ 的项都落在带内。

适用条件：候选极限是 $a$。；容差是 $\varepsilon > 0$。；截断值 $N$ 是整数。

在数列可视化中，候选极限是看似单调和振荡的数列都趋近的水平线。这个水平线在 epsilon-N 定义中作为容差带的中心。

适用条件：可视化显示了两个趋近于同一值的数列。；容差带围绕这个值绘制。

早期的项不决定极限，因为 epsilon-N 定义只限制了某个截断值 $N$ 之后的项的行为。截断值之前的有限个例外不会影响收敛。

适用条件：数列有一个候选极限 $a$。；截断值 $N$ 是根据 $\varepsilon$ 选择的。；定义适用于所有 $n > N$。

收敛不需要单调性，因为正式定义只限制了足够靠后的项的行为。只要超过某个索引的所有项都落在围绕该极限的任意给定容差带内，数列就可以以振幅递减的方式振荡并仍然趋近于极限。

适用条件：数列趋近于候选极限 $a$。；容差带由 $\varepsilon > 0$ 定义。；截断值 $N$ 依赖于 $\varepsilon$。

收敛的 epsilon-N 定义的数学公式是 $\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n>N:\ |a_n-a|<\varepsilon$。这意味着对于每一个正容差，都存在一个自然数截断值，使得该截断值之后的所有数列项都在极限 $a$ 的容差范围内。

适用条件：数列是 $a_n$。；极限是 $a$。；$\varepsilon > 0$ 是容差。；$N \in \mathbb{N}$ 是截断值。

从 $a - \varepsilon$ 到 $a + \varepsilon$ 的容差带等价于绝对值不等式 $|a_n - a| < \varepsilon$。距离极限 $a$ 小于 $\varepsilon$ 意味着项 $a_n$ 严格位于围绕 $a$ 的开带内。

适用条件：极限是 $a$。；容差是 $\varepsilon > 0$。；数列项是 $a_n$。

横轴记录了项的索引 $n$，而纵轴记录了数列项的值。这种设置说明了数列给出的是离散的点，而不是连续的轨迹。

适用条件：可视化对象是一个数列。；坐标轴分别标记为索引和值。