偏导数的几何意义

在学习检查器中查看要点和时刻，或切换阅读标签查看完整笔记。

章节

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

0:00在曲面 $z=f(x,y)$ 上选取点 $(a,b,f(a,b))$。要研究它沿坐标方向的变化，不必一次移动两个自变量，可以先固定其中一个。

0:06固定 $y=b$，用平行于xz平面的竖直平面截取曲面，得到一元曲线 $z=f(x,b)$。在 $x=a$ 处的切线斜率就是 $f_x(a,b)$，即只改变x时的瞬时变化率。

0:15再固定 $x=a$，截平面平行于yz平面。得到曲线 $z=f(a,y)$，在 $y=b$ 处的切线斜率为 $f_y(a,b)$。两种斜率描述不同坐标方向，不必相等。

0:26偏导数是固定其余变量后的一元导数。看到两个坐标方向的切线，并不自动得到对所有方向都成立的切平面近似；函数可微还需要更强的统一误差控制。

知识卡片