直角坐标计算二重积分

先对 y 积分对应于在固定 x 的情况下沿 y 方向累加值。从几何上看，这等同于计算在该固定 x 处平行于 yz 平面切割的切片的面积。

适用条件：积分顺序是 dy dx（y 为内层，x 为外层）。；切片垂直于 x 轴（平行于 yz 平面）。

内层积分代表在固定 x 值处平行于 yz 平面切割立体所得到的垂直截面的面积。具体来说，对于选定的点 x₀，切片沿 y 方向从下边界曲线 φ₁(x₀) 延伸至上边界曲线 φ₂(x₀)，且立体在任意点 (x₀, y) 处的高度由 $z=f$(x₀,y) 给出。

适用条件：切片在区间 [a,b] 内的固定 $x = x$₀ 处取得。；y 方向的边界由曲线 $y=φ$₁(x) 和 $y=φ$₂(x) 定义。

改变积分顺序需要使用另一个变量作为外层界限来重新描述相同的平面区域 D。如果原始顺序是 dy dx（y 为内层，x 为外层），则区域描述为 x 从常数 a 到 b，y 在 x 的函数之间变化。

适用条件：两种情况下的区域 D 是相同的。；函数 $f(x,y)$ 在 D 上是可积的。

当函数 $f(x,y)$ 在区域 D 上非负（$f \ge 0$）时，体积解释严格成立，代表 xy 平面上方立体的物理体积。然而，在适当的可积条件下，累次积分恒等式也适用于带符号的函数（即 f 可以为负）。

适用条件：对于体积解释：在 D 上 $f(x,y) \ge 0$。；对于带符号函数：f 是可积的（例如，在紧致区域上连续）。；区域 D 由连续曲线 $x=a$, $x=b$, $y=φ$₁(x), $y=φ$₂(x) 界定。

底面区域 D 是 xy 平面上的一个闭合平面域。它由两条垂直线 $x=a$ 和 $x=b$，以及两条曲线 $y=φ$₁(x) 和 $y=φ$₂(x) 界定。

适用条件：区域是闭合且有界的。；x 的范围是从 a 到 b。；y 由函数 φ₁(x) 和 φ₂(x) 界定，且 φ₁(x) ≤ φ₂(x)。

函数 φ₁(x) 和 φ₂(x) 定义了对于任意给定 x，积分区域 D 在 y 方向的下边界和上边界。在累次积分 $\int _a^b$ ($\int$_{φ₁(x)}^{φ₂(x)} $f(x,y) dy$) dx 中，它们作为内层积分的变量限。

适用条件：φ₁(x) 代表下边界曲线 $y = φ$₁(x)。；φ₂(x) 代表上边界曲线 $y = φ$₂(x)。；对于 [a,b] 中的所有 x，φ₁(x) ≤ φ₂(x)。

立体区域构建在 xy 平面上方，其顶面由 $z=f(x,y)$ 定义，底面由区域 D 定义。计算二重积分 $\iint _D f(x,y) dx dy$ 对应于计算该立体的体积（如果 $f \ge 0$）或净有符号体积（如果 f 变号）。

适用条件：立体位于 xy 平面上方。；顶面：$z = f(x,y)$。；底面：xy 平面上的区域 D。；体积解释假设 $f \ge 0$；否则，它是有符号的累积。

二重积分通过平行于 yz 平面切割立体来计算为累次积分。首先，对于固定的 x，内层积分通过对函数 $f(x,y)$ 关于 y 从下边界曲线 φ₁(x) 到上边界曲线 φ₂(x) 进行积分来计算截面的面积。

适用条件：底面区域 D 由垂直线 $x=a$, $x=b$ 和曲线 $y=φ$₁(x), $y=φ$₂(x) 界定，且 φ₁(x) ≤ φ₂(x)。；积分顺序是先对 y 积分，再对 x 积分。