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链式法则｜Mario's Math Tutoring

Mario's Math Tutoring · YouTube · 3:55

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视频中的要点

01链式法则概念
02 $y=(3x-2)^3$ 的 u 替换设置
03示例 a 中的内层导数

选中时刻

重写为 $y=u^3$ 并对外层函数求导

建议预备知识

基本求导规则
幂法则
复合函数的知识
余弦的导数
基本导数符号 y'
对 $u(x)^n$ 求导的幂法则
对函数分数求导的商法则
识别复合函数
商函数例题要求 x 不为零。

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这个 180 秒的白板片段教授链式法则，首先口头陈述为外层函数的导数乘以内层函数的导数，然后完整处理示例 a) $y=(3x-2)^3$ ，使用 $u=3x-2$ , du/dx=3, $y=u^3$ , dy/du= $3u^2$ , 以及 $dy/dx=dy$ /du·du/dx 达到 $9(3x-2)^2$ 。讲师随后展示了针对幂复合函数的更快快捷方式，并将相同的链式法则模式应用于示例 b) $y=\cos (2x)$ ，得到 -2sin(2x)。示例 c) 和 d) 在板上可见，但在本片段中未求解。这段 55 秒的白板片段处理了链式法则课程中的一个微积分示例： $y = ((2x - 5)/(3x^2))^4$ 。讲师首先对外层四次方应用幂法则，产生 $4((2x - 5)/(3x^2))^3$ ，然后强调内部仍然必须求导。因为内部是一个商，他调用商法则并使用助记口诀“low d high minus high d low over the square of what's below”，得出第二个因子 [ $3x^2(2) - (2x - 5)(6x)$ ]/( $3x^2$ )^2。最终显示的导数是这两个因子的乘积，保持未简化形式。

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章节

0:00口头介绍链式法则 0:18示例 a)：设定

u=3x-2

0:45重写为

y=u^3

并对外层函数求导 1:12使用

dy/dx = dy

/du · du/dx 组合导数 1:47幂复合函数的快捷方法 2:35示例 b)：对

\cos (2x)

求导 3:00对外层函数应用幂法则 3:15记得对内层求导 3:23对 (2x - 5)/(

3x^2

) 使用商法则 3:50保持导数未简化

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

片段开始于一块白板，标题为 HOW TO USE CHAIN RULE FOR DERIVATIVES，列出了四个示例。讲师用文字陈述核心思想：链式法则通过对外层函数求导并乘以内层函数的导数来处理函数的复合。

他开始示例 a)， $y=(3x-2)^3$ ，通过识别内层表达式。他在板上写下 $u=3x-2$ ，将复合函数变成一个外层幂函数和一个内层线性函数。

接下来他对内层部分求导，写下 du/dx=3。在讲话中，他指出 -2 的导数是 0，3x 的导数是 3，根据幂法则。

然后他将原函数重写为 $y=u^3$ ，并对关于 u 的外层函数求导，产生 dy/du= $3u^2$ 。口头解释与书面规则相符：把指数拿下来，指数减一。

关键公式出现在板上，为 $dy/dx = dy$ /du · du/dx。代入两个计算出的部分得到 $3u^2 \cdot 3 = 9u^2$ ，然后用 3x-2 替换 u 得到最终导数 $9(3x-2)^2$ 。

完成完整的替换方法后，讲师评论说这是一个漫长的过程，并为量取幂的情况引入了快捷方式。他写下 y'= $3(3x-2)^2 \cdot 3 = 9(3x-2)^2$ ，更直接地显示了相同的结果。

他转到示例 b)， $y=\cos (2x)$ 。使用已知的余弦导数，他将外层导数写为 -sin(2x)，然后乘以内层的导数 2，给出 y'=-sin(2x)·2 并简化为 y'=-2sin(2x)。

在片段结束时，他指向剩余的示例并说他将再看几个，但在本段中没有进一步展开解决方案。

片段开始于一块白板，标题为“HOW TO USE CHAIN RULE FOR DERIVATIVES”，示例 c) 写为 $y = ((2x - 5)/(3x^2))^4$ 。讲师开始将整个分数视为外层幂函数的内部。

他对那一外层应用幂法则：将指数 4 拿到前面，并将幂从 4 减至 3，同时暂时保持底数不变。这给出了第一个因子 $4((2x - 5)/(3x^2))^3$ 。

然后他强调这还不是完整的导数。因为原始函数是复合的，链式法则需要第二个因子：内部函数 (2x - 5)/( $3x^2$ ) 的导数。

看着那个内部表达式，他将其识别为一个商。因此，内层导数必须用商法则计算，而不是用单个基本法则。

为了回忆商法则，他使用助记口诀“low d high minus high d low over the square of what's below”。在这个问题中，high = 2x - 5 且 low = $3x^2$ 。

他将内层导数的分子写为 ( $3x^2$ )(2) - (2x - 5)(6x)：首先是 low 乘以 d high，因为 2x - 5 的导数是 2，然后减去 high 乘以 d low，因为 $3x^2$ 的导数是 6x。

该内层导数的分母是原始分母的平方，即 ( $3x^2$ )^2。将这些部分组合起来，第二个因子是 [ $3x^2(2) - (2x - 5)(6x)$ ]/( $3x^2$ )^2。

最终显示的答案是乘积 y' = $4((2x - 5)/(3x^2))^3 \cdot [3x^2(2) - (2x - 5)(6x)]/(3x^2)^2$ 。他指出代数简化可以继续，但有意在此处以未简化形式停止。

知识卡片

链式法则概念

视频将链式法则定义为对函数复合体求导的规则：取外层函数的导数并乘以内层函数的导数。

$y=(3x-2)^3$ 的 u 替换设置

为了正式应用链式法则，讲师将内层表达式设为等于 u，写下 $u=3x-2$ ，因此原函数变为 $y=u^3$ 。

示例 a 中的内层导数

对内层线性表达式求导得到 du/dx=3，因为 3x 的导数是 3，-2 的导数是 0。

示例 a 中的外层导数

对关于 u 的外层幂函数求导，根据幂法则得到 dy/du= $3u^2$ 。

莱布尼茨记法下的链式法则公式

板上使用 $dy/dx = dy$ /du · du/dx 组合两部分，然后代入得到 $3u^2 \cdot 3 = 9u^2$ ，最后回代 $u=3x-2$ 。

量取幂的快捷方式

与其写出所有替换步骤，讲师展示了一个更快的模式：把指数拿下来，减一，保持内部不变，并乘以内层的导数。

带余弦的链式法则

对于 $y=\cos (2x)$ ，外层余弦的导数是 -sin(2x)，内层 2x 的导数是 2，所以最终导数是 -2sin(2x)。

复合函数的链式法则结构

当一个函数具有应用于内层函数的外层操作时，先对外层部分求导同时保持内层表达式完整，然后乘以内层表达式的导数。在本片段中，外层操作是四次方，内层操作是商 (2x - 5)/( $3x^2$ )。

用于外层的幂法则步骤

对于取常数次幂的量，将指数作为系数拿下来并从指数中减去 1。在此应用中，((2x - 5)/( $3x^2$ ))^4 在附加内层导数之前贡献因子 $4((2x - 5)/(3x^2))^3$ 。

商法则助记符和公式

讲师将商法则记忆为“low d high minus high d low over the square of what's below”。翻译成符号，如果 high 是分子且 low 是分母，导数是 (low·high' - high·low')/low^2。这用于对内部商求导。

计算示例：((2x - 5)/( $3x^2$ ))^4 的导数

从 $y = ((2x - 5)/(3x^2))^4$ 开始，外层幂法则给出 $4((2x - 5)/(3x^2))^3$ 。内层商导数是 [ $3x^2(2) - (2x - 5)(6x)$ ]/( $3x^2$ )^2。将这些因子相乘得到白板上显示的最终未简化导数。

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已审核材料识别内外层函数并将导数相乘，得到 $9(3x-2)$ ² 和 − $2\sin (2x)$ ，随后在外层四次方中对内层商函数应用商法则。