恰当微分方程 - 示例 1

1. 公式
   观察依据

   教师写出 $M = -3x^2 - y$。

2. 声音
   观察依据

   他说：“因此，此处的 M 就是这个表达式，即 M 等于负 3x 的平方减去 y。”

M

微分方程中 dx 的系数。

关于 x 和 y 的函数。

1. 公式
   观察依据

   教师写出 $N = 3y^2 - x$。

2. 声音
   观察依据

   他说：“然后我们的表达式 N 是 dy 项，即 N 等于 3y 的平方减去 x。”

N

微分方程中 dy 的系数。

关于 x 和 y 的函数。

1. 公式
   观察依据

   教师写出 ∂M/∂$y = -1$。

2. 声音
   观察依据

   他解释对 M 关于 y 求偏导数。

$\frac{\partial M}{\partial y}$

M 关于 y 的偏导数。

一个实数或函数。

1. 公式
   观察依据

   教师写出 ∂N/∂$x = -1$。

2. 声音
   观察依据

   他解释对 N 关于 x 求偏导数。

$\frac{\partial N}{\partial x}$

N 关于 x 的偏导数。

一个实数或函数。

1. 公式
   观察依据

   教师在 $\int M dx$ 的积分结果末尾写上 + $c_1(y)$。

2. 声音
   观察依据

   他说：“我们可能含有一些实际上仅关于 y 的常数项。”

$c_1(y)$

对 x 积分时，作为积分‘常数’而出现的关于 y 的任意函数。

一个关于 y 的函数。

1. 公式
   观察依据

   教师在 $\int N dy$ 的积分结果末尾写上 + $c_2(x)$。

2. 声音
   观察依据

   他说：“还可能包含一些涉及 x 的常数型项。”

$c_2(x)$

对 y 积分时，作为积分‘常数’而出现的关于 x 的任意函数。

一个关于 x 的函数。

1. 公式
   观察依据

   M 等于负3乘以 x 的2次方减去 y

M

微分方程中 dx 的系数；视作关于 x 和 y 的函数。

关于 x 和 y 的函数

1. 公式
   观察依据

   N 等于3乘以 y 的2次方减去 x

N

微分方程中 dy 的系数；视作关于 x 和 y 的函数。

关于 x 和 y 的函数

1. 公式
   观察依据

   ∂$M/y = -1$

∂$M/y$

M 关于 y 的偏导数。

实数

1. 公式
   观察依据

   ∂$N/x = -1$

∂$N/x$

N 关于 x 的偏导数。

实数

1. 公式
   观察依据

   $\int M dx = -x^3$ - xy + $c_1(y)$

$\int M dx$

M 关于 x 的原函数，包含一个关于 y 的任意函数。

包含 x、y 和 $c_1(y)$ 的表达式

1. 公式
   观察依据

   $c_1(y)$

$c_1(y)$

关于 y 的任意函数，由对 x 积分产生。

关于 y 的函数

1. 声音
   观察依据

   教师指出：“我们首先要检验方程是否精确。检验方法是确保 M 对 y 的偏导数等于 N 对 x 的偏导数。”

2. 公式
   观察依据

   他写出并计算 ∂M/∂$y = -1$ 和 ∂N/∂$x = -1$，得出二者相等。

形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的微分方程是精确的，当且仅当 M 对 y 的偏导数等于 N 对 x 的偏导数。

1. 方程必须写成 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的形式。

2. M 和 N 必须具有一阶连续偏导数。

1. M
2. N
3. $\frac{\partial M}{\partial y}$
4. $\frac{\partial N}{\partial x}$

1. 声音
   观察依据

   教师说：“因此我们可以按步骤求解，即寻找势函数。我们需要对 M 关于 x 进行积分。”

2. 公式
   观察依据

   他写出并计算 $\int M dx = -x^3$ - xy + $c_1(y)$。

为求势函数 $F(x,y)$，第一步是对函数 $M(x,y)$ 关于 x 积分。积分所得‘常数’是关于 y 的任意函数，记作 $c_1(y)$。

1. 该微分方程已被验证为精确。

1. 精确性的条件
2. M
3. $c_1(y)$

1. 声音
   观察依据

   教师说：“现在对 N 关于 y 积分，此时将 x 视为常数。”

2. 公式
   观察依据

   他写出并计算 $\int N dy = y^3$ - xy + $c_2(x)$。

第二步是对函数 $N(x,y)$ 关于 y 进行积分。积分的‘常数’是关于 x 的任意函数，记为 $c_2(x)$。该结果必须与第1步所得结果一致。

1. 该微分方程已被验证为恰当方程。

1. 精确性的条件
2. N
3. $c_2(x)$

1. 公式
   观察依据

   (-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$

2. 公式
   观察依据

   $M = -3x^2 - y$, $N = 3y^2 - x$

该例题从微分方程 (-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$ 出发，其中 M 被认定为 dx 的系数，N 被认定为 dy 的系数。

1. M 是 dx 的系数

2. N 是 dy 的系数

1. 公式
   观察依据

   ∂M/∂$y = -1$

2. 公式
   观察依据

   ∂N/∂$x = -1$

3. 公式
   观察依据

   精确的

视频通过比较混合偏导数 ∂M/∂y 和 ∂N/∂x 来检验精确性。二者均被展示为等于 -1，黑板上将该方程标记为“精确的”。

1. M 和 N 具有足够可微性，使得所展示的偏导数存在

2. 混合偏导数相等被用来论证方程的精确性

1. 恰当微分方程示例的形式

1. 公式
   观察依据

   $\int M dx = -x^3$ - xy + $c_1(y)$

为恢复势函数的一部分，视频将 $M = -3x^2 - y$ 对 x 积分，视 y 为常数，并添加一个关于 y 的任意函数 $c_1(y)$。

1. 积分是关于 x 进行的

2. 积分常数可能依赖于 y

1. 恰当微分方程示例的形式

1. 公式
   观察依据

   $\int N dy = y^3$ - xy + $c_2(x)$

视频中还对 $N = 3y^2 - x$ 关于 y 进行积分，将 x 视为常数，并添加一个任意函数 $c_2(x)$。

1. 积分是关于 y 进行的

2. 积分常数可能依赖于 x

1. 恰当微分方程示例的形式

1. 声音
   观察依据

   然后包含我在此处列出的所有项，包含我在此处列出的所有项。

2. 声音
   观察依据

   我们只需包含该项一次，无需多次重复。

3. 公式
   观察依据

   负 x 的3次方加 y 的3次方减 xy 等于 C

最终解通过取两个原函数中所有非常数项的并集来构造：来自 $\int M dx$ 的 -x^3、来自 $\int N dy$ 的 $y^3$，以及仅包含一次的公共项 -xy。结果写作等于一个常数的隐式方程。

1. 同时出现在两个原函数中的公共项只计一次

2. 任意函数在最终的隐式形式中被吸收进单个常数 C

1. 对 M 关于 x 积分
2. 对 N 关于 y 积分

1. 声音
   观察依据

   由于此处存在多个含 y 的项，我认为我们大概会保留该隐式形式，而不直接解出 y。

2. 公式
   观察依据

   -x 的 3 次方加 y 的 3 次方减 xy 等于 C

由于解中含有多个 y 的幂次和乘积，主讲人选择保留隐式答案，而不显式地解出 y。

1. 该方程含有多个 y 项

2. 未尝试求出 y 的显式解

1. 将两个原函数合并为一个隐式解

1. 公式
   观察依据

   ∂M/∂$y = -1$，∂N/∂$x = -1$，是恰当方程

1. 视频未口头陈述完整定理的假设条件，仅展示了等式并写出“恰当方程”

对于所展示的方程，因 ∂M/∂y = ∂N/∂$x = -1$，故标记为恰当方程

1. M 等于负3乘以 x 的2次方减去 y

2. N 等于3乘以 y 的2次方减去 x

3. 计算并比较 ∂M/∂y 和 ∂N/∂x

针对黑板上所显示的具体 M 和 N

1. 公式
   观察依据

   教师在黑板上计算 ∂M/∂y 和 ∂N/∂x。

2. 声音
   观察依据

   他口头解释每一项的求导过程。

1. 公式

   $$M = -3x^2 - y$$
   解释

   从给定的微分方程中识别出 M。

   步骤依据

   题目中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-3x^2 - y)$$
   解释

   写出 M 关于 y 的偏导数。

   步骤依据

   恰当性条件的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 = -1$$
   解释

   计算该偏导数。其中 -3x^2 关于 y 视为常数，因此其导数为 0；-y 关于 y 的导数为 -1。

   步骤依据

   偏微分的运算法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$N = 3y^2 - x$$
   解释

   从给定的微分方程中识别出 N。

   步骤依据

   题目中已给出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3y^2 - x)$$
   解释

   建立 N 对 x 的偏导数。

   步骤依据

   恰当性条件的定义。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 = -1$$
   解释

   计算该偏导数。其中项 $3y^2$ 关于 x 视为常数，因此其导数为 0；而 -x 关于 x 的导数为 -1。

   步骤依据

   偏微分的运算法则。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = -1$$
   解释

   比较这两个偏导数。

   步骤依据

   将计算所得结果直接对比。

   视频直接表达

由于两个偏导数相等，该微分方程是恰当的。

1. 公式
   观察依据

   教师写出并求解积分 $\int M dx$。

2. 声音
   观察依据

   他逐项解释了关于 x 的积分过程。

1. 公式

   $$\int M dx = \int (-3x^2 - y) dx$$
   解释

   写出 M 关于 x 的积分表达式。

   步骤依据

   求解恰当方程方法的第1步。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int M dx = \int -3x^2 dx - \int y dx$$
   解释

   利用积分的线性性质，将该积分拆分为两部分。

   步骤依据

   积分的线性性质。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\int M dx = -x^3 - xy + c_1(y)$$
   解释

   对每一项分别积分。-3x^2 的积分为 -x^3；-y 关于 x 的积分为 -xy。由于 y 被视为常数，积分常数为关于 y 的任意函数 $c_1(y)$。

   步骤依据

   幂函数积分法则及对单一变量积分的规则。

   视频直接表达

势函数的偏解为 $F(x,y) = -x^3$ - xy + $c_1(y)$。

1. 公式
   观察依据

   教师写出并计算积分 $\int N dy$。

2. 声音
   观察依据

   他逐项解释了关于 y 的积分过程。

1. 公式

   $$\int N dy = \int (3y^2 - x) dy$$
   解释

   写出 N 关于 y 的积分表达式。

   步骤依据

   求解恰当微分方程方法的第2步。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int N dy = \int 3y^2 dy - \int x dy$$
   解释

   利用积分的线性性质，将积分拆分为两部分。

   步骤依据

   积分的线性性质。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\int N dy = y^3 - xy + c_2(x)$$
   解释

   对每一项分别积分。$3y^2$关于y的积分是$y^3$；-x关于y的积分是-xy。由于x被视作常数，积分常数为关于x的任意函数$c_2(x)$。

   步骤依据

   幂函数积分法则及对单一变量积分的规则。

   视频直接表达

势函数的局部解为$F(x,y) = y^3$ - xy + $c_2(x)$。

1. 公式
   观察依据

   (-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$

2. 公式
   观察依据

   ∂M/∂$y = -1$，∂N/∂$x = -1$，是恰当方程

3. 公式
   观察依据

   $\int M dx = -x^3$ - xy + $c_1(y)$

4. 公式
   观察依据

   $\int N dy = y^3$ - xy + $c_2(x)$

5. 公式
   观察依据

   -x 的 3 次方加 y 的 3 次方减 xy 等于 C

1. 公式

   $$M = -3x^2 - y,\quad N = 3y^2 - x$$
   解释

   从给定的微分方程中识别 dx 和 dy 的系数。

   步骤依据

   直接从黑板上读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = -1,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -1$$
   解释

   计算恰当性检验所需的混合偏导数。

   步骤依据

   对屏幕上显示的 M 和 N 进行求导。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$
   解释

   比较这两个偏导数，并得出该方程是恰当方程的结论。

   步骤依据

   两个显示的值均为 -1，黑板上写出“Exact”。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int M\,dx = -x^3 - xy + c_1(y)$$
   解释

   对 x 积分 M，同时将 y 视为常数。

   步骤依据

   对 -3x^2 - y 应用求原函数法则。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\int N\,dy = y^3 - xy + c_2(x)$$
   解释

   对 y 积分 N，同时将 x 视为常数。

   步骤依据

   对 $3y^2 - x$ 应用求原函数法则。

   视频直接表达
6. 公式

   $$-x^3 + y^3 - xy = C$$
   解释

   合并两个原函数中的不同项，并将共有的项 -xy 仅计一次，再将任意函数合并为一个常数。

   步骤依据

   音频讲解：解包含两行的所有项，但共有项只需出现一次。

   视频直接表达

该恰当微分方程的隐式解为 -x^$3 + y^3$ - xy = C。

1. 公式
   观察依据

   整段视频专门用于求解这一个例子。

2. 声音
   观察依据

   讲师从头到尾全程讲解该解题过程。

1. 将结果合并以得到通解$F(x,y)=C$的最后一步，在本片段中未展示。

求解微分方程(-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$。

1. 微分方程(-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$。

通过确定势函数 $F(x,y)$ 来求通解。

1. 公式

   $$M = -3x^2 - y, \quad N = 3y^2 - x$$
   解释

   从方程的标准形式中识别出 M 和 N。

   步骤依据

   M 和 N 的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -1$$
   解释

   计算偏导数以检验是否为恰当微分方程。

   步骤依据

   恰当微分方程的判定条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$
   解释

   由于偏导数相等，可得出该方程是恰当的。

   步骤依据

   恰当方程的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$F(x,y) = \int M dx = \int (-3x^2 - y) dx = -x^3 - xy + c_1(y)$$
   解释

   对 M 关于 x 积分，以求得势函数 $F(x,y)$ 的一部分。

   步骤依据

   求解恰当方程的方法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$F(x,y) = \int N dy = \int (3y^2 - x) dy = y^3 - xy + c_2(x)$$
   解释

   对 N 关于 y 积分，以求得势函数 $F(x,y)$ 的另一部分。

   步骤依据

   求解恰当方程的方法。

   视频直接表达

本片段在最终答案给出前结束。势函数 $F(x,y)$ 的两个表达式已分别求出，但尚未合并。

验证步骤需要对最终的 $F(x,y)$ 求偏导数，以确保 ∂F/∂$x = M$ 且 ∂F/∂$y = N$。该步骤在视频片段中未执行。

1. 公式
   观察依据

   恰当方程的求解——例题 1

2. 公式
   观察依据

   (-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$

3. 公式
   观察依据

   负 x 的3次方加 y 的3次方减 xy 等于 C

求解微分方程 (-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$。

1. 方程：(-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$

2. $M = -3x$的幂次2 减 y

3. N 等于 3y的幂次2 减 x

求该恰当微分方程的隐式解。

1. 公式

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = -1,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -1$$
   解释

   通过比较混合偏导数来检验恰当性。

   步骤依据

   黑板上展示了恰当性检验过程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int M\,dx = -x^3 - xy + c_1(y)$$
   解释

   对 dx 的系数关于 x 进行积分。

   步骤依据

   求解恰当方程的标准步骤。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int N\,dy = y^3 - xy + c_2(x)$$
   解释

   对 dy 的系数关于 y 进行积分。

   步骤依据

   求解恰当方程的标准步骤。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-x^3 + y^3 - xy = C$$
   解释

   从两个原函数中收集所有不重复的项，并将结果写为等于一个常数。

   步骤依据

   音频说明：公共项只计入一次，最终表达式等于某个常数。

   视频直接表达

负 x 的幂次3 加 y 的幂次3 减 xy 等于 C

视频通过展示 ∂M/∂y = ∂N/∂$x = -1$ 来验证方程的恰当性，随后给出最终的隐式解。

1. 动画
   观察依据

   微分方程显示在屏幕上。

1. 微分方程 (-3x^2 - y)$dx + (3y^2 - x)dy = 0$

1. 该方程显示在屏幕上。

1. 方程本身不发生变化。

这确立了待求解的问题。

1. 动画
   观察依据

   教师写出偏导数 ∂M/∂y 和 ∂N/∂x，计算得其值均为 -1，并写下单词 'Exact'。

1. ∂M/∂y 和 ∂N/∂x 的表达式

2. 'Exact' 这个词

1. 偏导数被计算并显示为相等。

2. 结论“恰当”被写出。

1. 原方程保留在屏幕上。

该视觉序列演示了判断微分方程是否恰当的检验过程。

1. 动画
   观察依据

   教师写出并计算积分 $\int M dx$ 和 $\int N dy$。

1. 积分表达式 $\int M dx$ 和 $\int N dy$

2. 积分结果

1. 对 M 关于 x 的积分被计算。

2. 对 N 关于 y 的积分被计算。

1. 原方程与恰当性检验保留在屏幕上。

这展示了通过分别对 M 和 N 积分来构造势函数 $F(x,y)$ 的两个并行过程。

1. 动画
   观察依据

   在第一条积分行中，-x^3 - xy 被绿色方框标出；在第二条积分行中，$y^3$ - xy 被绿色方框标出。

1. 积分表达式 $\int M dx = -x^3$ - xy + $c_1(y)$

2. 积分表达式 $\int N dy = y^3$ - xy + $c_2(x)$

3. 绿色矩形框

1. 方框标出了每个原函数中不含任意函数的部分

2. 公共项 -xy 在两个带框表达式中均清晰可见

1. 任意函数 $c_1(y)$ 和 $c_2(x)$ 均位于方框之外

2. 此前验证恰当性的演算仍保留在上方可见

这种视觉强调指明了两个原函数中哪些项将被合并进最终的隐式解。

1. 动画
   观察依据

   主讲人先写下 -x^3，再写下 + $y^3$，接着写下 - xy，最后在方框表达式下方写下 = C。

2. 动画
   观察依据

   用绿色方框将最终完成的方程框起来。

1. 在积分号下方另起一行

2. 最终方程为 -x^$3 + y^3$ - xy = C

3. 用绿色方框框住最终方程

1. 各项从左到右依次相加

2. 完整的解被框在一个方框内

1. 黑板上方内容保持不变，仅在最后一行书写新内容

动画展示了如何将先前已识别的各项组合成最终的隐式解。

1. 声音
   观察依据

   教师明确指出，积分常数是另一变量的函数：“我们可能含有一些实际上关于 y 的常数项”。

2. 公式
   观察依据

   他写成 $c_1(y)$ 和 $c_2(x)$，而不是一个简单的常数 C。

对多元函数关于某一变量积分时，积分常数只是一个数。

积分常数是其余变量的任意函数：对 x 积分时，“常数”是关于 y 的函数 $c_1(y)$；对 y 积分时，“常数”是关于 x 的函数 $c_2(x)$。

1. 声音
   观察依据

   然后它们都含有 - xy 项。我们只需包含一次，无需重复多次。

在合并 $\int M dx$ 和 $\int N dy$ 的结果时，可能会错误地将公共项 -xy 写两次。

视频明确指出，公共项 -xy 在最终解中仅需包含一次。

1. 声音
   观察依据

   由于此处含有多个含 y 的项，我们很可能保留隐式形式，而不直接解出 y。

有人可能误以为最终答案必须始终显式解出 y。

由于该表达式含有多个含 y 的项，主讲人选择将答案保留为隐式形式，而非直接解出 y。

1. 声音
   观察依据

   在确认方程是恰当方程后，讲师说道：“因此我们可以按步骤来求解它……”

验证方程是否为恰当方程，是在通过积分法寻找势函数之前必须进行的第一步。

1. 声音
   观察依据

   讲师直接从写出 $\int M dx$ 的结果，转入开始计算 $\int N dy$。

求解恰当方程的整体方法包含这两个顺序进行的积分步骤，其结果必须一致，才能构成最终的势函数。

1. 公式
   观察依据

   ∂M/∂$y = -1$, ∂N/∂$x = -1$, 是恰当方程，随后计算 $\int M dx$ 和 $\int N dy$

视频首先验证恰当性，然后才对 M 和 N 分别积分以构造通解。

1. 公式
   观察依据

   M 对 x 的积分等于 负 x 的幂次3 减 xy 加 $c_1(y)$

2. 公式
   观察依据

   N 对 y 的积分等于 y 的幂次3 - xy + $c_2(x)$

3. 声音
   观察依据

   接着包含我在此处列出的所有项，包含我在此处列出的所有项。

第二个原函数提供了 $y^3$ 项，并确认了用于构造最终隐式解的公共项 -xy。

1. 声音
   观察依据

   我认为我们大概会保留这个形式，而不直接解出 y。

2. 公式
   观察依据

   负 x 的3次方加 y 的3次方减 xy 等于 C

合并后的表达式以隐式形式作为最终答案呈现，而非重新整理以显式解出 y。

1. 声音
   观察依据

   讲师讲解了如何检验恰当性。

1. 精确性的条件

1. 声音
   观察依据

   讲师解释了为何对 x 积分时积分常数是关于 y 的函数。

1. 分部积分中的积分常数
2. 求解精确方程的第1步

1. 声音
   观察依据

   教师在确认方程为恰当微分方程后，概述了解题步骤。

1. 求解精确方程的第1步
2. 求解恰当方程的第2步

1. 公式
   观察依据

   ∂M/∂$y = -1$，∂N/∂$x = -1$，是恰当方程。

1. 恰当微分方程示例的形式
2. 该例题的精确性条件

1. 公式
   观察依据

   $\int M dx = -x^3$ - xy + $c_1(y)$

1. 对 M 关于 x 积分

1. 声音
   观察依据

   我们只需包含该项一次，无需重复多次。

1. 将两个原函数合并为一个隐式解
2. 若某一项同时出现在两个原函数中，则不可重复书写

1. 声音
   观察依据

   由于此处存在多个含 y 的项，我认为我们大概会保留这个形式，而不直接解出 y。

1. 将答案保留为隐式形式
2. 当显式解出 y 较为繁琐时，隐式形式是可接受的。