雅可比矩阵

1. 公式
   观察依据

   f 作用于向量 x、y 上，结果为向量：第一个分量是 x 加上 y 的正弦值，第二个分量是 y 加上 x 的正弦值

f

从 $R^2$ 到 $R^2$ 的向量值函数，表示一个非线性变换。

R 的 2 次方

1. 公式
   观察依据

   f 作用于向量 x、y 上，结果为向量：第一个分量是 x 加上 y 的正弦值，第二个分量是 y 加上 x 的正弦值

x

向量 [x; y] 的第一个输入坐标。

实数集

1. 公式
   观察依据

   f 作用于向量 [x; y] 的结果是向量 [x 加上 y 的正弦值; y 加上 x 的正弦值]

y

向量 [x; y] 的第二个输入坐标。

实数集

1. 公式
   观察依据

   画面上写着：(-2, 1)

(-2, 1)

用于分析局部线性行为的定义域中的特定点。

R 的 2 次方

1. 公式
   观察依据

   对 x 求偏导

∂x

输入空间中沿 x 方向的一个微小步长。

实数集

1. 公式
   观察依据

   $f_1(x, y) = x + \sin (y)$

$f_1(x, y)$

f 的第一个标量值分量函数。

R 的 2 次方

1. 公式
   观察依据

   $f_2(x, y) = y + \sin (x)$

$f_2(x, y)$

f 的第二个标量值分量函数。

R 的 2 次方

1. 公式
   观察依据

   右上角的黄色公式显示，$f_1(x,y)$ 位于列向量第一行。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将 f_ 称为输出的 x 分量，讨论 ∂$f_1$ 时1/∂x.

$f_1(x,y)$

该变换的第一个分量函数，等于 x 加上 y 的正弦值。

关于变量 x 和 y 的实值函数。

1. 公式
   观察依据

   右上角的黄色公式显示，$f_2(x,y)$ 位于列向量第二行。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将 f_ 称为输出的 y 分量，讨论 ∂$f_2$ 时2/∂x.

$f_2(x,y)$

该变换的第二个分量函数，等于 y 加上 x 的正弦值。

关于变量 x 和 y 的实值函数。

1. 公式
   观察依据

   该公式以 (x,y) 作为 $f_1$ 和 $f_2$ 的输入。

2. 图示
   观察依据

   左侧图像为带网格线和标有轴名的坐标平面。

(x,y)

域平面中正在被变换的输入坐标。

左侧图像展示的是二维输入空间。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，在输入空间中取一个极小的 dx 步长，对应于输出空间中的运动。

2. 动画
   观察依据

   在00:00:01附近的插图中出现一根绿色箭头，表示沿 x 方向输入步长所导致的结果。

dx

输入空间中沿正 x 方向的微小步长。

用于局部线性化的无穷小输入位移。

1. 公式
   观察依据

   绿色手写项 ∂$f_1$/∂x 被填入大型方括号矩阵的左上角位置。

2. 声音
   观察依据

   说话者将其认定为：由一个极小 dx 步长所引起的运动的 x 分量，并按该初始变化的大小进行了缩放。

$\frac{\partial f_1}{\partial x}$

第一个输出分量对 x 的偏导数；即变换后的 x 基向量方向的水平分量。

雅可比矩阵第一行、第一列的元素。

1. 公式
   观察依据

   f 作用于向量 [x; y] 的结果是向量 [x 加上 y 的正弦值; y 加上 x 的正弦值]

2. 声音
   观察依据

   上一个视频中，我们研究了这个特定函数：将空间中的每个点 (x, y) 映射到点 (x 加正弦 y，y 加正弦 x)。

视频定义了一个特定的非线性向量值函数 f，它将一个2D 输入向量 [x; y] 映射为输出向量 [$x + \sin (y)$; $y + \sin (x)$]。

1. 输入是一个2D 向量 [x; y]

2. 输出是一个2D 向量

1. 声音
   观察依据

   尽管整个函数看起来相当复杂，但在那个特定点附近，它却呈现出线性函数的形态——即局部线性。

2. 动画
   观察依据

   网格线在全局范围内变形为曲线，但在放大后的正方形区域内，它们看起来是直线。

当在某个特定点附近的足够小邻域内观察时，一个非线性变换可能呈现出线性特征。这一性质称为局部线性。

1. 围绕定义域中某个特定点来考察

2. 需要对一个邻域进行放大

1. 向量值函数的定义

1. 声音
   观察依据

   哪个矩阵将告诉你这个函数所逼近的线性函数？它将是一个二乘二矩阵。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上画出了空的$2\times 2$矩阵括号。

1. 本片段中，该矩阵的具体元素尚未填入。

雅可比矩阵是一个$2\times 2$矩阵，用于表示向量值函数在某一点附近的局部线性近似。

1. 适用于具有2维输入和输出的向量值函数

1. 非线性变换的局部线性

1. 声音
   观察依据

   我不再将整个函数写成具有向量值输出的形式，而是将其表示为两个独立的标量值函数。

2. 公式
   观察依据

   $f_1(x, y) = x + \sin (y)$, $f_2(x, y) = y + \sin (x)$

为了更方便地分析该变换，将向量值函数 f 分解为两个标量值分量函数 $f_1$ 和 $f_2$。

1. 原始函数是向量值函数

1. 向量值函数的定义

1. 公式
   观察依据

   可见的黄色公式定义了 [$f_1(x,y)$; $f_2(x,y)$] = [$x+\sin (y)$; $y+\sin (x)$]。

2. 图示
   观察依据

   左侧展示了一个扭曲的网格及一个高亮的局部区域，用以可视化平面上的变换。

该片段研究了将 (x,y) 映射为 ($x+\sin(y)$,\ $y+\sin(x)$) 的特定映射。主讲人将其解释为对平面的变换，并利用该变换在微小输入步长上的局部效应来构建雅可比矩阵。

1. 该映射接收两个实数输入变量 x 和 y。

2. 输出是一个二维向量，其分量为 $f_1$ 和 $f_2$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：输入空间中一个微小的 dx 步长，在输出空间中引发一个 2D 运动，其 x 分量是 $f_1$ 的一个微小偏变化，y 分量是 $f_2$ 的一个微小偏变化。

2. 公式
   观察依据

   偏导数 ∂$f_1$/∂x 和 ∂$f_2$/∂x 被填入矩阵的第一列。

对于这一变换，仅沿x方向移动所产生的局部效应由两个数值记录：第一个输出分量的变化量和第二个输出分量的变化量。将这些微小的输出变化量除以初始输入扰动的大小，便可将其重新标度为有限的变化率；这种变化率在不断放大观察时仍具有明确意义。

1. 输入扰动沿x方向施加。

2. 导数描述了输出分量经输入步长大小缩放后的对应结果。

1. 从 $R^2$ 到 $R^2$ 的一个非线性变换示例。

1. 公式
   观察依据

   大型绿色方括号矩阵在片段结束时，其左上角位置为∂$f_1$/∂x，左下角位置为∂$f_2$/∂x。

2. 声音
   观察依据

   讲解者明确将这些矩阵元与沿x方向迈出微小一步所引发的结果关联起来。

雅可比矩阵的第一列记录了无穷小的x方向输入步长在输出平面上的映射位置：其上方分量为输出的水平分量，下方分量为输出的竖直分量。

1. 适用于从$R^2$到$R^2$的映射。

2. 该列对应于变换后的x基方向。

1. 从 $R^2$ 到 $R^2$ 的一个非线性变换示例。
2. 偏导数作为对无穷小输入步长响应的分量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，在用矩阵表示线性变换时，第一列表示第一个基向量的去向，第二列表示第二个基向量的去向。

2. 图示
   观察依据

   矩阵的右列保持空白，待讲解者随后用向上步进向量来填充。

1. 第二列的各个矩阵元在片段结束前并未写出。

雅可比矩阵按列组装：每一列都是局部线性近似下某一个输入基方向的像。在本片段中，x-基方向给出第一列，而y-基方向即将给出第二列。

1. 用于表示线性变换的矩阵。

2. 每一列对应定义域中一个基向量的像。

1. 雅可比矩阵的第一列，对应x方向的基向量。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 [$f_1(x,y)$; $f_2(x,y)$] = [$x + \sin (y)$; $y + \sin (x)$]。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将输出分量称为 $f_1$ 和 $f_2$。

本片段使用一个具体的双变量、双输出函数。其第一个分量为 $f_1(x,y)=x+\sin (y)$，第二个分量为 $f_2(x,y)=y+\sin (x)$。该示例提供了后续矩阵的行：第1行为 $f_1$ 所贡献，第2行为 $f_2$ 所贡献。

1. 该函数有两个输入变量 x 和 y。

2. 输出有两个分量 $f_1$ 和 $f_2$。

3. 讨论聚焦于点 (-2,1) 附近的函数行为。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上构建了一个 $2\times 2$ 的方括号数组，其元素依次为 ∂$f_1$/∂x、∂$f_1$/∂y、∂$f_2$/∂x、∂$f_2$/∂y。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将每个元素解释为：当沿某一坐标方向施加一个微小输入步长时，所引起的输出变化。

3. 公式
   观察依据

   数组下方标注了“雅可比矩阵”。

在此双输出、双输入的示例中，雅可比矩阵的组织方式为：每一行对应一个输出分量，每一列对应一个输入方向。顶行记录 $f_1$ 关于 x 和 y 的变化；底行记录 $f_2$ 关于 x 和 y 的变化。

1. 本片段适用于具有两个输出和两个输入的函数。

2. 每个矩阵元素都是某个输出分量对某个输入变量的偏导数。

3. 该矩阵应在指定点处计算，此处为(-2,1)。

1. 用于引出雅可比矩阵的向量值函数示例

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，在该点处计算各偏导数后，得到一个具体的2x2矩阵，它代表函数在充分放大后所呈现的线性变换。

2. 图示
   观察依据

   左侧展示了一个网格以及围绕该点的一个高亮小区域，直观地对应了‘放大以观察局部行为’这一思想。

该片段将雅可比矩阵不仅呈现为一张符号表格，更强调它是用来近似非线性函数在选定邻域附近行为的线性映射的矩阵。在(-2,1)处计算出偏导数后，所得的具体数值型2x2矩阵，刻画了在足够小邻域内所观察到的局部拉伸、剪切及类旋转行为。

1. 这种解释是局部的，依赖于某个特定的基点。

2. 该函数必须在该点处具备所需的偏导数。

3. 该矩阵表示一种线性近似，并非完整的非线性映射。

1. $2\times 2$ 雅可比矩阵的结构

1. 声音
   观察依据

   说话者反复将矩阵元素描述为：当沿某一输入方向迈出微小一步时，某一输出分量所产生的变化量，再除以该步长的大小。

2. 公式
   观察依据

   图中显示的矩阵元素为∂$f_1$/∂x、∂$f_1$/∂y、∂$f_2$/∂x、∂$f_2$/∂y。

每个矩阵元素回答一个独立的问题：若输入在某一坐标方向上发生微小变化，某一特定输出分量相对于该输入变化量的单位改变量是多少？在屏幕上显示的矩阵中，第一行记录 $f_1$ 的响应，第二行记录 $f_2$ 的响应；左列记录 x 方向的扰动，右列记录 y 方向的扰动。

1. 扰动每次仅沿一个坐标轴进行。

2. 该比值按偏导数所用的无穷小（或局部）意义来理解。

3. 本片段中，输入是 x 和 y，输出是 $f_1$ 和 $f_2$。

1. 用于引出雅可比矩阵的向量值函数示例

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，将微小的输出变化除以初始微小变化的大小，可将其放大为一个正常尺寸的向量，该向量在持续不断放大时不会收缩。

对于一个微小的输入位移，相应的微小输出位移除以输入位移的大小，得到一个有限量；该量在进一步放大时仍保持意义。

1. 对一个微小输入步长存在可微的局部响应。

2. 将输出变化与初始输入变化的大小进行比较。

对于本片段中所考虑的无穷小x步长，所得缩放后的分量定义了稳定的偏导数量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，第一列说明第一个基向量映射到何处，第二列说明第二个基向量映射到何处。

当线性变换由一个矩阵表示时，该矩阵的各列即为定义域基向量在该变换下的像。

1. 线性变换是相对于所选定的基来用矩阵表示的。

这是雅可比矩阵解释中所采用的标准基向量解释方式。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，以上全部内容均针对我们起始的点 (-2,1)，且在该点处计算每个偏导数，所得数值构成一个具体的 $2\times 2$ 矩阵。

2. 公式
   观察依据

   点 (-2,1) 写在函数定义旁。

1. 音频中有一处不一致的重述为‘二负一’，但屏幕上显示的坐标及先前的语音均支持 (-2,1)。

屏幕上展示的偏导数矩阵，只有在每个元素均于选定输入点 (-2,1) 处完成计算后，才表示一个局部线性变换。

1. 已选定一个具体的基点，即此处的 (-2,1)。

2. 相关偏导数在该点存在。

3. 该函数是在局部而非全局范围内被近似。

对于该示例函数及所选的点（-2,1），每个偏导数分量都在该点处求值，从而得到一个具体的$2\times 2$矩阵。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘这里这个由所有不同偏导数组成的矩阵有一个非常特别的名称……雅可比矩阵……更完整地说，可称其为雅可比矩阵。’

2. 公式
   观察依据

   ‘雅可比矩阵’这几个字写在该矩阵下方。

其分量为输出分量关于输入变量的偏导数的矩阵，称为雅可比矩阵，或更完整地称为雅可比矩阵。

1. 该函数具有多个输出分量和多个输入变量。

2. 这些分量按输出分量和输入方向排列，如图所示。

在此二乘二示例中，所展示的偏导数阵列被命名为雅可比矩阵。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，它远不止是记录所有偏导数的一种方式，并强调如此组织它具有特定原因。

1. 这句话在主讲人尚未完成解释时被截断。

雅可比矩阵被呈现为不仅是一组偏导数的简单罗列；其排列方式旨在编码该函数在局部的线性行为。

1. 偏导数被组织成视频片段中所示的矩阵形式。

2. 背景是在选定一点附近的局部分析。

对于当前讨论的例子，主讲人给出了这种特定组织方式的一个非平凡理由，但完整的论证并未在视频片段中完成。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，雅可比矩阵本质上所要表达的，正是在某个特定点附近放大时，一个变换所呈现的样貌。

2. 公式
   观察依据

   陈述此观点的同时，屏幕上显示出偏导数构成的矩阵。

雅可比矩阵表示在某个特定点附近放大时，一个变换所呈现的样貌。

1. 当前正在考察一个变换。

2. 在其定义域或显示平面上选取一个特定点，用于局部分析。

针对本片段中讨论的变换及该点。

1. 声音
   观察依据

   想象一个朝右的微小步长……一个微小的 ∂x ……经过变换后，在输出空间中会变成某个微小步长……它不再纯粹沿 x 方向，而既有向右的分量，也有了向下的分量。

2. 动画
   观察依据

   在放大图中，一条绿色箭头代表 ∂x，斜指向右下方。

1. 公式

   $$\partial x$$
   解释

   从输入空间中沿正 x 方向的一个微小步长开始。

   步骤依据

   偏导数方向的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Transformed } \partial x$$
   解释

   将非线性变换 f 应用于这个微小步长。

   步骤依据

   函数 f 的作用。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Diagonal vector in output space}$$
   解释

   观察输出空间中得到的向量，它同时具有水平分量和垂直分量。

   步骤依据

   变换后步长的直观表示。

   视频直接表达

雅可比矩阵的第一列将表示该变换后微小步长 ∂x 的 x 和 y 分量。

1. 声音
   观察依据

   讲述者从一个极小的 dx 步长出发，将输出运动的 x 分量识别为 ∂$f_1$/∂x，y 分量识别为 ∂$f_2$/∂x，然后将二者依次写入第一列。

2. 公式
   观察依据

   矩阵元素 ∂$f_1$/∂x 和 ∂$f_2$/∂x 依次出现在左列中。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在输入空间中取一个极小的步长 dx。

   步骤依据

   这是讲述者所命名的初始扰动。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   观察输出空间中由此产生的 2D 运动。

   步骤依据

   该变换将输入的微小扰动映射为某个输出位移。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial f_1}{\partial x}$$
   解释

   将该输出运动的水平分量识别为 $f_1$ 关于单位 x 步长的偏变化量。

   步骤依据

   讲述者明确称其为 dx 所引起的运动的 x 分量。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\partial f_2}{\partial x}$$
   解释

   将同一输出运动的竖直分量识别为 $f_2$ 关于 x 方向单位步长的偏变化量。

   步骤依据

   主讲人明确称此为初始向右步长所引起的 y 分量。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} \end{bmatrix}$$
   解释

   将这两个经缩放后的分量填入矩阵的第一列。

   步骤依据

   该可视化矩阵自上而下恰好按此顺序填满这些条目。

   视频直接表达

雅可比矩阵的第一列即为关于 x 的偏导数向量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入一个微小的 y 方向步长，询问该步长经变换后变为怎样的向量，并指向一个具有向上与向右分量的向量，随后表示将把它的分量写为第二列。

2. 动画
   观察依据

   在时间码 00:01:40 附近的插图中出现一条红色向上箭头，随后在时间码 00:01:41 附近出现一条蓝色对角箭头。

1. 本片段中未完成第二列的实际符号表达式。

1. 公式

   $$$$
   解释

   转而考虑输入空间中一个微小的向上步长，即 y 方向的步长。

   步骤依据

   主讲人明确将此与先前的 x 方向步长加以对比。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   观察该向上输入步长在应用变换后所变成的形态。

   步骤依据

   这是说话者口头提出的这个问题。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   得到的输出向量仍具有向上的分量，但也具有向右的分量。

   步骤依据

   说话者在指向插图时，正是用这些术语来描述变换后的向量。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   将这两个分量写为矩阵的第二列。

   步骤依据

   说话者直接陈述了这一点，且右侧一列始终为此目的而预留。

   视频直接表达

第二列将记录由无穷小的 y 方向输入步长所产生的输出分量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人逐项构造该矩阵：先讨论输出变化的x分量，再讨论y分量，而这两种变化均由沿y方向的微小步长所引起。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上的矩阵逐步填入∂$f_1$/∂x、$f_1/y$、∂$f_2$/∂x、∂$f_2$/∂y。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + \sin(y) \\ y + \sin(x) \end{bmatrix}$$
   解释

   从一个具体的向量值函数出发，该函数的两个输出分量将被分别求导。

   步骤依据

   该函数即视频片段中写在黑板顶部的函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\partial f_1}{\partial x}$$
   解释

   第一项记录了当输入沿x方向移动一个微小量时，第一个输出分量$f_1$的变化情况。

   步骤依据

   主讲人明确将左上角矩阵元与沿x方向的微小步长所引起的输出变化的x分量联系起来。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\partial f_1}{\partial y}$$
   解释

   第一行中的第二项记录了当输入沿y方向移动一个微小量时，$f_1$的变化情况。

   步骤依据

   主讲人将此描述为：$f_1$在某个沿y方向的微小步长下所产生的变化量，除以该步长的大小。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\partial f_2}{\partial x}$$
   解释

   第二行的第一个条目记录了输出的第二个分量 $f_2$ 在输入沿 x 方向发生微小变化时的变化情况。

   步骤依据

   讲述者转向输出的 y 分量，并将其归因于输入空间中初始的微小步长。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{\partial f_2}{\partial y}$$
   解释

   最后一个条目记录了 $f_2$ 在输入沿 y 方向发生微小变化时的变化情况。

   步骤依据

   讲述者指出，这是由 dy 或那个微小的偏 y 所引起的 $f_2$ 的变化。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   将这四个条目组合起来，便得到屏幕上显示的雅可比矩阵。

   步骤依据

   这正是写在函数定义下方的、已填写完整的带括号数组。

   视频直接表达

视频片段中构建的矩阵是该示例函数的雅可比矩阵，其行按输出分量索引，列按输入方向索引。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，这一构造依赖于起始点 (-2,1)，并在该点处计算每个偏导数，从而得到一组具体数值，构成一个表示局部线性变换的 $2\times 2$ 矩阵。

1. 本片段中未计算这四个偏导数的任何具体数值。

1. 公式

   $$(-2,1)$$
   解释

   固定用于考察局部行为的基点。

   步骤依据

   讲述者指出，前面所讨论的一切均针对他们出发的那个点 (-2,1)。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\left.\frac{\partial f_1}{\partial x}\right|_{(-2,1)},\ \left.\frac{\partial f_1}{\partial y}\right|_{(-2,1)},\ \left.\frac{\partial f_2}{\partial x}\right|_{(-2,1)},\ \left.\frac{\partial f_2}{\partial y}\right|_{(-2,1)}$$
   解释

   在选定的点处计算每个符号形式的偏导数，使其变为一个数值。

   步骤依据

   主讲人指出，每个偏导数都应在该点处计算，以得到某个具体数值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x}\right|_{(-2,1)} & \left.\frac{\partial f_1}{\partial y}\right|_{(-2,1)} \\ \left.\frac{\partial f_2}{\partial x}\right|_{(-2,1)} & \left.\frac{\partial f_2}{\partial y}\right|_{(-2,1)} \end{bmatrix}$$
   解释

   将这些已计算出的数值按原先相同的2x2布局排列。

   步骤依据

   主讲人称，这将生成一个非常具体的2x2矩阵。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{local linear transformation}$$
   解释

   将所得的数值矩阵理解为：函数在基点附近充分放大后所呈现的线性映射。

   步骤依据

   主讲人明确指出，该矩阵表示的是函数在放大之后所呈现出的线性变换。

   视频直接表达

在点(-2,1)处计算雅可比矩阵各项，可将符号形式的导数数组转化为一个具体的矩阵，用以描述该非线性映射在局部的线性近似。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将局部线性性与雅可比矩阵联系起来，并指出：理解这一表示形式后，其余内容便自然明晰。

2. 图示
   观察依据

   在变换后的网格上，标出以(-2,1)为中心的一个高亮正方形区域。

3. 公式
   观察依据

   在图旁展示了$2\times 2$雅可比矩阵，其元素为各偏导数。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从左侧一个由扭曲网格表示的非线性变换出发。

   步骤依据

   直接从图中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   选取一个特定点（此处标记为(-2,1)），并聚焦于其周围的一个小正方形邻域。

   步骤依据

   直接从高亮区域及点的标注中观察得出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   将该局部图像与分量函数的一阶偏导数组成的矩阵相对应。

   步骤依据

   从标有“雅可比矩阵”的显示公式及主讲人的讲解中得出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   将所得矩阵解释为该变换在所选点附近行为的线性描述。

   步骤依据

   音频中将其表述为局部线性的含义。

   视频直接表达

雅可比矩阵被呈现为该变换在高亮显示点附近的局部线性表示。

1. 声音
   观察依据

   我们聚焦于一个特定点……负二、一……并在其周围额外添加了几条网格线……这个正方形展示了该邻域的放大版本。

2. 公式
   观察依据

   画面上写着：(-2, 1)

3. 图示
   观察依据

   左侧显示带有高亮标记点 (-2, 1) 的全局网格；右侧显示放大的正方形网格。

分析函数 f 在点 (-2, 1) 附近的局部行为。

1. 函数 f([x; y]) = [$x + \sin (y)$; $y + \sin (x)$]

2. 关注点：(-2, 1)

理解该变换如何影响围绕点(-2, 1)的小邻域内的点。

1. 公式

   $$\text{Identify point } (-2, 1)$$
   解释

   在全局坐标网格上定位该特定点。

   步骤依据

   题目设定中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Zoom in on neighborhood}$$
   解释

   显示围绕该点的网格线的放大视图。

   步骤依据

   用于分析局部行为的视觉辅助工具。

   视频直接表达

放大视图使得我们能够细致观察网格线在局部区域的形变方式。

视觉上确认放大后的黄色方格与全局网格上点(-2, 1)的位置相匹配。

1. 公式
   观察依据

   所显示的映射是 [$f_1(x,y)$; $f_2(x,y)$] = [$x+\sin (y)$; $y+\sin (x)$]。

2. 声音
   观察依据

   说话者借助这一具体例子（而非仅用一般抽象函数）来构建雅可比矩阵的概念。

1. 该片段通过视觉与语言解释了构造过程，但在结束前并未展示此特定映射的最终完成版数值/符号形式的雅可比矩阵。

已知变换 $f_1(x,y)=x+\sin(y)$ 与 $f_2(x,y)=y+\sin(x)$，通过考察 x 和 y 方向上的微小输入步长来理解雅可比矩阵。

1. f 下标 1 于 x、y 等于 x 加上 sin y

2. $f_2(x,y)=y+\sin(x)$

3. 平面在变换前和变换后均被展示，并附有一个局部放大区域。

4. 点(-2,1)显示在公式附近。

解释雅可比矩阵的各列如何源于基向量方向上的局部微小变化效应。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+\sin(y) \\ y+\sin(x) \end{bmatrix}$$
   解释

   从正在可视化的显式非线性映射出发。

   步骤依据

   该公式在整个片段中始终显示在屏幕上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} \end{bmatrix}$$
   解释

   利用一个极小的 x 方向步长来确定第一列。

   步骤依据

   讲解者根据 dx 引起的输出移动推导出这些元素，并将它们填入左侧一列。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   利用一个极小的 y 方向步长来确定第二列。

   步骤依据

   讲解者引入了 y 方向向上微小步长的情形，并指出其分量将占据第二列；本片段中未在屏幕上完成完整的符号书写。

   依据视频推导

雅可比矩阵按列构建：第一列来自 x 方向的无穷小步长，第二列来自 y 方向的无穷小步长。

屏幕上可见的矩阵结构，以及讲解者关于基向量像的口述规则，共同印证了这种按列构建的方式。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了具体函数[$f_1(x,y)$; $f_2(x,y)$] = [$x + \sin (y)$; $y + \sin (x)$]及其对应的2x2阶偏导数矩阵。

2. 声音
   观察依据

   主讲人使用这一确切函数来解释每个矩阵元素的含义，并将所得矩阵命名为雅可比矩阵。

1. 该片段未在点(-2,1)处计算偏导数的数值结果。

2. 该片段未给出最终化简后的符号形式矩阵元素，例如1、$\cos (y)$、$\cos (x)$、1。

已知向量值函数 [$f_1(x,y)$; $f_2(x,y)$] = [$x + \sin (y)$; $y + \sin (x)$]，请将局部偏导数信息整理为视频片段中讨论的矩阵。

1. $f_1(x,y)=x+\sin(y)$

2. $f_2(x,y)=y+\sin(x)$

3. 讨论围绕输入点 (-2, 1) 展开。

识别由两个输出分量对两个输入变量求偏导所构成的矩阵，并理解其局部含义。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + \sin(y) \\ y + \sin(x) \end{bmatrix}$$
   解释

   写出该示例函数的两个输出分量。

   步骤依据

   这些公式直接显示在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}$$
   解释

   将四个偏导数排布成一个 $2\times 2$ 矩阵，其中行对应 $f_1$ 和 $f_2$，列对应 x 和 y。

   步骤依据

   这就是视频片段中逐项构建并标记为雅可比矩阵的矩阵。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Evaluate at } (-2,1)$$
   解释

   为得到具体的局部线性映射，需将基点代入每个偏导数中。

   步骤依据

   主讲人指出，该构造依赖于起始点 (-2, 1)，并在该点处求值得到一个具体的 $2\times 2$ 矩阵。

   视频直接表达

该示例导出雅可比矩阵 $\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}$，用于在点 (-2, 1) 处求值。

验证需要计算四个偏导数，并将(-2,1)代入，但这些数值计算并未在本片段中执行。

1. 动画
   观察依据

   全局网格线发生弯曲和扭曲，而放大后的黄色方格内部的网格线则基本保持平直。

1. 全局坐标网格

2. 放大后的方格网格

3. 弯曲的网格线

1. 直线网格线整体变换为弯曲的线条。

2. 放大正方形内部的网格线看起来是直的。

1. 点(-2, 1)保持为放大视图的中心。

说明尽管整体变换高度非线性，但当限制在足够小的邻域内时，其表现近似线性。

1. 动画
   观察依据

   一条标有∂x的绿色箭头从放大正方形的中心出发，斜向右下方延伸。

1. 绿色箭头

2. 放大的正方形网格

1. 引入一个新向量（绿色箭头），用于表示x方向上变换后的微小步长。

1. 该箭头的起点为放大正方形的中心。

直观表示雅可比矩阵的第一列，展示纯x方向的步长经变换后如何变为x与y方向步长的组合。

1. 图示
   观察依据

   左半部分显示一个扭曲的网格，其中嵌入了一个高亮显示的正方形区域，并标有坐标标签；该嵌入区域内包含一个小型向量可视化图。

2. 动画
   观察依据

   视频片段早期，嵌入区域内出现一个绿色箭头；随后又出现一个红色向上箭头和一个蓝色对角箭头。

1. 从采样帧中无法完全辨识嵌入区域中心的确切坐标。

1. 扭曲的2D网格

2. 高亮显示的正方形嵌入区域

3. 绿色箭头

4. 红色向上箭头

5. 蓝色对角箭头

6. 大型绿色带方括号的矩阵占位符

1. 视频片段首先聚焦于x方向输入步长所产生的结果，该结果在嵌入区域内以绿色箭头表示。

2. 随后关注点转向y方向输入步长，该步长由红色向上箭头表示，接着是一个蓝色对角输出箭头。

3. 矩阵占位符在第一列中逐步填充，而第二列保持空白。

1. 变换公式始终显示在右上角。

2. 定义域/输出可视化与矩阵构建的整体布局保持不变。

3. 点标签（-2,1）始终显示在公式附近。

这些可视化内容将无穷小的输入方向与其变换后的输出方向关联起来，并将这些输出方向编码为雅可比矩阵的各列。

1. 动画
   观察依据

   左上角矩阵元素 ∂$f_1$/∂x 首先写出，然后添加左下角元素 ∂$f_2$/∂x。

2. 公式
   观察依据

   大约在 00:01:00 时刻，左侧一列已填满，而右侧一列仍为空白。

1. 大型绿色括号矩阵

2. 元素 ∂$f_1$/∂x

3. 元素 ∂$f_2$/∂x

1. 该矩阵最初是一个空的带括号模板。

2. 左上角的元素填入 ∂$f_1$/∂x。

3. 左下角的元素填入 ∂$f_2$/∂x。

4. 右列在整个片段结束前始终保持空白。

1. 该矩阵始终维持为一个 2 行 2 列的模板。

2. 上方的变换公式保持不变。

动画明确指出：在考虑 y-基方向之前，x-基方向已完整贡献了第一列。

1. 图示
   观察依据

   屏幕左半部分显示一个坐标网格，其网格线为曲线，并有一个包含红色箭头的高亮正方形区域。

2. 声音
   观察依据

   讲解者谈到放大过程，以及该函数在局部所呈现的线性变换。

1. 高亮区域内实际的动画运动并未在采样帧中得到完整描述。

1. 笛卡尔风格的输入网格

2. 弯曲的变换后网格线

3. 高亮正方形区域

4. 高亮区域内的红色箭头

5. 右上角的函数公式

6. 公式下方的$2\times 2$矩阵

1. 黑板逐步从左到右、从上到下填入矩阵的各个元素。

2. 矩阵下方添加了‘雅可比矩阵’标签。

3. 视觉重点始终放在局部框选区域与代数矩阵之间的关系上。

1. 示例函数在整个片段中持续显示在右上方。

2. 基点（-2,1）始终写在函数旁。

3. 矩阵布局保持为$2\times 2$，行对应 $f_1$、$f_2$，列对应 x、y。

该图示将输入-输出几何中的局部邻域与由偏导数组成的代数对象联系起来。高亮框表示非线性映射被线性变换近似的区域，而矩阵则记录该近似的系数。

1. 图示
   观察依据

   从点（-2,1）向矩阵的四个元素画出白色箭头。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，每个偏导数都应在该点处求值，以得到一个数值。

1. 所有四个箭头绘制的精确顺序是根据采样帧估算得出的。

1. 点标签（-2,1）

2. 四个矩阵元素 ∂$f_1$/∂x、$f_1/y$、∂$f_2$/∂x、∂$f_2$/∂y

3. 白色连接箭头

1. 从点标签向每个矩阵元素添加箭头。

2. 这种视觉连接强化了如下认知：这些符号化矩阵元均需在同一个基点处求值。

1. 添加箭头的过程中，矩阵本身的结构并不改变。

2. 上方的函数定义保持不变。

这些箭头编码了从符号化雅可比矩阵到数值化局部线性映射的逻辑步骤：每个矩阵元都在同一输入点（-2,1）处求值。

1. 图示
   观察依据

   画面分为左右两部分：左侧为变换后的坐标网格，右侧为手写的雅可比矩阵。

2. 动画
   观察依据

   白色箭头将点(-2,1)连接至矩阵的四个元素。

1. 扭曲的坐标网格

2. 高亮显示的正方形区域

3. 标有(-2,1)的绿色点

4. $2\times 2$雅可比矩阵

5. 四条白色箭头

6. 标签“雅可比矩阵”

1. 整体布局在整个片段中保持固定。

2. 箭头持续表示高亮显示的点与每个矩阵元素之间的对应关系。

1. 矩阵元素始终以 ∂f₁/∂x、∂f₁/∂y、f₂/∂x、∂f₂/∂y 的形式显示。

2. 点 (-2,1) 始终处于高亮状态。

3. 正方形邻域在变换后的网格上始终保持轮廓线。

该视觉呈现围绕变换平面上的一个点及其共同构成其雅可比矩阵的四个偏导数来组织本课内容。

1. 图示
   观察依据

   在扭曲的网格上、标记点 (-2,1) 周围绘制了一个黄色正方形。

2. 声音
   观察依据

   讲解者描述了在特定点附近放大观察的过程。

1. 正方形的确切数值尺寸未予说明。

1. 黄色正方形

2. 扭曲的网格线

3. 点（-2，1）

1. 正方形框选了变换后网格中一个微小区域，用于局部观察。

1. 在整个片段中，正方形始终以同一个高亮的点为中心。

2. 周围网格整体上仍保持扭曲状态。

该正方形在视觉上充当一个小邻域的替代物，从而支持这样一个论断：雅可比矩阵描述的是局部行为，而非整体形状。

1. 声音
   观察依据

   尽管整个函数……看起来相当复杂，但在那个点附近，它看起来像一个线性函数。

因为一个函数在全局上是非线性的，所以它在任何地方都无法用线性函数来近似。

非线性函数具有局部线性性；在任意一点的足够小邻域内，它们看起来就像线性变换。

1. 声音
   观察依据

   讲解者强调，原始的偏变化只是一个微小扰动；而用初始微小变化的大小去除它，所得结果在进一步放大时不会缩小。

人们可能误以为由 dx 引起的微小输出位移本身就是所求的导数。

导数是通过对微小输出变化按初始输入变化的大小进行缩放后得到的；由此产生的有限变化率在放大过程中保持稳定。

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确指出，输出步进的竖直分量仍是由初始向右的步进所引起的。

由于输入步长沿 x 方向，人们可能预期只有 $f_1$ 会发生变化。

对于这一变换，沿 x 方向的输入步长既可能引起水平方向的输出变化，也可能引起竖直方向的输出变化，从而同时产生 ∂$f_1$/∂x 和 ∂$f_2$/∂x。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，变换后的向上步长向量仍保留部分向上分量，但也新增了一个向右分量。

人们可能预期一个纯粹向上的输入扰动在变换后仍保持完全竖直。

y 步长对应的局部输出向量同时具有竖直分量和水平分量，因此雅可比矩阵的第二列通常包含两个非零元素。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，雅可比矩阵远不止是记录所有偏导数的一种方式；之所以特别采用这种组织形式，自有其深层原因。

1. 完整的正面解释在说完之前被截断。

有人可能认为雅可比矩阵不过是存储偏导数的一个便捷表格。

该片段明确指出，矩阵的排布方式至关重要，因为所得矩阵实际刻画了函数在所选点附近的局部线性变换。

1. 声音
   观察依据

   主讲人强调，所有这些内容都严格依赖于我们出发的那个特定点（-2,1）。

有人可能误以为该矩阵描述的是函数在所有位置上的行为，而非仅在某个特定输入点附近的行为。

在此片段中，该矩阵与基点(-2,1)相关联；其作为局部线性变换的含义，源于在该点处计算各偏导数。

1. 声音
   观察依据

   讲解者强调，雅可比矩阵表示的是：当你在某个特定点附近不断放大时，该变换所呈现的样子。

2. 图示
   观察依据

   左侧图像展示了一个整体弯曲的网格，但单独标出了其中一个小正方形区域。

人们可能误以为所显示的雅可比矩阵在处处都刻画了整个非线性变换。

该片段着重强调局部线性：雅可比矩阵关联的是某一点附近的变换行为，此处即点（-2，1），而非网格的整体扭曲。

1. 声音
   观察依据

   哪一个矩阵将告诉你这个函数在该点附近所呈现的线性函数。

雅可比矩阵是用于描述非线性函数局部线性近似的数学工具。

1. 声音
   观察依据

   我不再把整个函数写成具有向量值输出的形式，而是直接将其表示为两个独立的标量值函数。

向量值函数包含多个标量值分量函数，这些分量函数用于构建雅可比矩阵。

1. 声音
   观察依据

   说话人从显式映射 $f_1$,$f_2$ 过渡到由微小 dx 步长所生成的偏导数。

2. 公式
   观察依据

   映射的公式清晰可见，与此同时引入矩阵元素 ∂$f_1$/∂x 和 ∂$f_2$/∂x。

这个具体的非线性映射，正是偏导数解释所应用的对象。

1. 公式
   观察依据

   关于 x 的两个偏导数被填入矩阵的第一列。

2. 声音
   观察依据

   说话人将它们描述为 dx 所引起的运动的两个分量。

雅可比矩阵的第一列恰好由 x 方向局部响应中提取出的这两个偏导数构成。

1. 声音
   观察依据

   在构造出第一列后，主讲人将这一过程推广为一个通用规则：矩阵的每一列都是基向量在线性变换下的像。

完成的第一列是更普遍规则的一个特例，即矩阵的每一列都记录了一个基向量被映射到的位置。

1. 声音
   观察依据

   主讲人运用‘基向量—列对应’规则，解释为何向上方向的基向量应成为第二列。

雅可比矩阵按列组装的理由，依赖于线性代数中的一个基本事实：矩阵的每一列都是基向量在线性变换下的像。

1. 公式
   观察依据

   函数分量 $f_1$ 和 $f_2$ 出现在矩阵上方，而该矩阵的元素正是它们的偏导数。

2. 声音
   观察依据

   说话者直接根据 $f_1$ 和 $f_2$ 的变化来构建该矩阵。

这个具体的向量值函数提供了输出分量，这些分量的偏导数构成了雅可比矩阵的各行。

1. 声音
   观察依据

   每个矩阵元素都被解释为：当输入仅在某一坐标方向上发生微小变化时，所引起的输出变化。

2. 公式
   观察依据

   最终完成的矩阵以固定的行列排布方式呈现这些元素。

每个偏导数元素的一般含义，体现在黑板上所展示的具体 2x2 布局之中。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，在该点处对矩阵进行求值，所得结果即为函数在充分放大后所呈现的线性变换。

一旦符号形式的矩阵在某一点处完成求值，它便作为局部线性近似的矩阵被应用。

1. 公式
   观察依据

   ‘雅可比矩阵’这一标签被直接写在由偏导数组成的 2x2 数组下方。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将该矩阵称为雅可比矩阵，或更完整地称为雅可比矩阵。

本片段中，所展示的$2\times 2$阶偏导数数组与术语‘雅可比矩阵’指代同一对象。

1. 声音
   观察依据

   讲解者先引入局部线性的概念，并立即解释雅可比矩阵正是代表这种放大后变换的数学对象。

2. 公式
   观察依据

   在给出这一解释的同时，屏幕上显示出雅可比矩阵。