(SP 3.0) 随机过程导论

1. 图示
   观察依据

   页面顶部手写标题为“随机过程”。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“大家好，欢迎来到随机过程课程。”

Stochastic Processes

课程主题名称；本视频中视作“随机过程”的同义词。

课程主题名称

1. 图示
   观察依据

   手写标题还包含“随机过程”与“随机过程”之间用斜杠分隔的“随机过程”。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“实际上，‘stochastic’和‘random’这两个术语是同义词，含义完全相同。”

Random Processes

随机过程的另一种名称；本视频中明确指出其与‘随机过程’同义。

课程主题名称

1. 图示
   观察依据

   标题下方的手写行文字为：“时间或空间中信号/函数的概率模型”。

2. 声音
   观察依据

   讲师称其为“时间或空间中信号或函数的概率模型的另一种说法”。

Probability models

此处用于描述以时间或空间为索引的信号或函数的一般数学建模类别。

随机过程／随机过程的概念性标签

1. 图示
   观察依据

   书面定义中包含“信号/函数”这一短语。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“时间域或空间域中的信号或函数。”

signals/functions

被建模的对象；本视频将它们视为随时间或空间变化的量。

建模对象

1. 图示
   观察依据

   书面定义以“在时间域或空间域中”结尾。

2. 声音
   观察依据

   主讲人重复了“在时间域或空间域中”。

time or space

所建模信号或函数的索引域。

索引集描述

1. 图示
   观察依据

   两张印刷图表的纵轴标签均为“幅度”。

Amplitude

所绘制语音录音的纵轴物理量。

信号值轴

1. 图示
   观察依据

   上方图表的横轴标签为“采样序号”，刻度标签为0.4、0.6、0.8、1、1.2、1.4、1.6、1.8，并标有比例标记 ×$10^4$。

2. 声音
   观察依据

   讲师表示，他将录音数据“按采样序号为自变量”进行了绘图。

1. 下方图示中显示了相同的数值刻度，但×$10^4$标记在每一帧中均不够清晰可见。

Sample index

横轴变量用于索引所录语音信号的离散采样点。

离散时间／采样轴

1. 图示
   观察依据

   上方图示标题为“随机过程”，录音编号为1。

Recording no. 1

首个展示的语音波形示例的标签。

示例标识符

1. 图示
   观察依据

   下方图示标题为“随机过程”，录音编号为2。

Recording no. 2

第二个展示的语音波形示例的标签。

示例标识符

1. 图示
   观察依据

   两个波形图的纵轴标签均为“幅度”。

Amplitude

两个音频波形图的纵轴物理量；显示的数值范围约为 -0.3 到 0.3。

在两张图中大致显示为 [-0.3, 0.3]。

1. 图示
   观察依据

   横轴标注为“采样序号”，刻度标签为 0.4、0.6、0.8、1、1.2、1.4、1.6、1.8，并带有标度标记“×$10^4$”。

Sample index

两个录音记录的横轴变量，单位为经 $10^4$ 缩放后的采样序号。

可见范围约为 [0.4, 1.8] × $10^4$。

1. 图示
   观察依据

   第二张图的纵轴标注为“归一化接收功率（分贝）”，刻度值从 0 递减至 -16。

Normalized received power (dB)

通信示例中的纵轴物理量，归一化后以分贝表示。

可见范围约为 [-16, 0] 分贝。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，“随机的”与“随机性”是同义词，含义完全相同。

2. 图示
   观察依据

   标题将“随机过程／随机过程”并排写在同一行上。

在本入门环节中，主讲人明确指出这两个名称是同一学科领域的等价术语。

1. 适用于本视频所使用的课程术语。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称随机过程或随机过程“只是对时间或空间中的信号或函数所建立的概率模型的一种称呼。”

2. 图示
   观察依据

   他在标题下方写下“时间或空间中信号/函数的概率模型”。

视频给出一个非正式定义：随机过程是针对由时间或空间索引的信号或函数所建立的概率模型。该定义在正式理论展开前作为动机呈现。

1. 这是一种非正式的入门定义，而非严格的测度论意义上的形式化定义。

2. 被建模的对象是信号或函数。

3. 所提及的索引域是时间或空间。

1. 术语：随机过程 = 随机过程

1. 图示
   观察依据

   页面列出“示例：”后跟“语音信号”“无线电传输中的接收功率”“加速度计数据”以及“噪声信号”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示本视频将涵盖这四个示例。

在进入数学理论之前，主讲教师介绍了四个可建模为随机过程的实际信号例子：语音信号、无线电传输中的接收功率、加速度计数据以及噪声信号。

1. 这些仅为本片段中激发学习兴趣的示例；除语音信号示例外，其余示例的详细讲解未在120秒时长的片段中呈现。

1. 随机过程/随机过程的非正式定义

1. 声音
   观察依据

   说话人称这两段录音‘在我听来非常相似’，但其中存在一些感知上可能不那么重要的差异。

2. 图示
   观察依据

   两张并排展示的打印波形图标题均为‘随机过程’，分别标注为录音编号1和录音编号2，用于对比。

该片段通过同一句口头短语的多次实现来引入随机过程的概念。两条波形在包络与脉冲结构上视觉上相似，但在逐样本层面并不完全相同。这促使我们将此类信号视为随机过程，而非固定的确定性曲线：我们既要研究其中反复出现的结构，也要研究各次实现之间的变化。

1. 这些示例是离散时间采样得到的音频信号。

2. 这两段录音对应同一句口头短语：‘随机过程’。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，工程师或许希望利用信号中哪些内容具有感知重要性、哪些不重要的信息，来‘压缩声音’。

2. 图示
   观察依据

   手写项目符号显示：‘压缩声音’。

压缩被列为首个工程应用场景。若模型能识别出信号中哪些部分对人耳感知至关重要、哪些部分相关性较低，则可在保留人类听觉所关注特征的前提下，缩减信号的表示规模。

1. 该信号是一段音频录音。

2. 目标是在减小表示规模的同时，保留感知上相关的关键结构。

1. 从多次音频录音出发，引出随机过程建模的动机。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“其次，我们可能希望对信号进行去噪”，以去除各个周期中微小的噪声。

2. 图示
   观察依据

   手写项目符号出现：“对信号进行去噪”。

去噪被介绍为从录音中去除微小的、不想要的波动。主讲人明确指出，这同样需要一个关于信号结构的模型，以便将有用成分与类似噪声的变异区分开来。

1. 观测到的信号既包含结构化内容，也包含微小的、不想要的波动。

2. 需要一个结构模型来分离信号与噪声。

1. 从多次音频录音出发，引出随机过程建模的动机。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“最后，我想在此提及的例子是说话人识别”，随后描述了一种安全系统：要求某人说出“随机过程”，然后判断其是否为授权人员。

2. 图示
   观察依据

   手写项目符号出现：“说话人识别”。

3. 图示
   观察依据

   在主讲人讨论跨录音匹配特征时，笔尖在两个波形图之间来回指点。

说话人识别被表述为：从语音录音中提取特定特征，并将其与授权人员的预期特征进行比对。所强调的关键数学要点是适应变异：同一短语会产生不同的波形，因此判定规则必须能容忍实现层面的逐次差异。

1. 输入是一段语音音频信号。

2. 识别依赖于信号中的特定特征。

3. 系统必须适应同一短语在不同录音之间的变化。

1. 从多次音频录音出发，引出随机过程建模的动机。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们的第二个例子来自电信工程”，并描述了位于塔桅上的发射机和高速公路上行驶的厢式车上的接收机。

2. 图示
   观察依据

   一幅新图表标题为“接收功率（移动平均）vs 行驶距离”。

3. 图示
   观察依据

   手绘草图标注包括塔附近标有“Transm.”，车辆附近标有“Receiver”。

4. 字幕依据
   观察依据

   页脚文字为：“数据来源：Diversity Measurement Campaign, Telia/FAT, 1998”。

1. 音频中提到的具体大学名称，依据现有证据无法完全确认；而可见的页脚则指明了Telia/FAT 1998数据。

第二个启发性示例从语音转向无线通信：一个发射的无线电信号在接收机运动过程中被接收，所记录的量是归一化接收功率随行驶距离的变化关系。所绘制的曲线在整体趋势周围剧烈波动，展示了另一种随机信号。

1. 该场景为移动无线电测量。

2. 横坐标变量为以米为单位的行驶距离。

3. 纵坐标变量为以分贝（dB）为单位的归一化接收功率。

1. 从多次音频录音出发，引出随机过程建模的动机。

1. 图示
   观察依据

   一幅标题为“接收功率（移动平均）随行驶距离的变化”的打印图像，在0—5000米范围内显示一条高度不规则的蓝色曲线。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“这就是我们得到的结果。信号随行驶距离而波动。波动幅度相当大。”

3. 声音
   观察依据

   说话者补充道：“这是以分贝为单位的归一化功率，因此此处功率的最大值与最小值之间大致相差一个因子100。”

视频以高速公路上实测的接收功率为例，具体展示了随位置发生强烈变化的信号。所绘制的量是归一化接收功率（单位：分贝）随行驶距离的变化关系，说话者强调该曲线大幅波动，而非遵循某种简单的确定性趋势。

1. 该示例基于一次沿高速公路开展的测量活动。

2. 纵轴为以分贝为单位的归一化接收功率。

3. 横轴为以米为单位的行驶距离。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“事实上，如果我们再次进行该实验，最可能得到的结果会看起来相似，但并不完全相同。”

2. 声音
   观察依据

   他继续说道：“本次测量所得的具体结果，由测量期间的传播条件决定；而这些条件无法精确复现，因为它们可能取决于道路上的其他车辆、车辆在道路上的确切位置等因素。”

讲座通过接收功率轨迹引出随机建模思想：图中展示的这条确切曲线，只是该测量的一次实现；因为在实验过程中，传播环境无法被完全复现。这引出了一个关键理念：现实世界中的信号宜用概率方法建模，而非视为固定的确定性函数。

1. 假设同一实验在类似但不完全相同的条件下被重新进行。

2. 该环境包含其他车辆、道路位置等变量。

1. 接收功率是波动信号的一个示例。

1. 图示
   观察依据

   第一张图旁出现手写笔记：“设计更优的手机”和“仿真蜂窝系统”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“电信工程师会对这类接收功率模型感兴趣，以便设计更优的手机系统，或仿真手机系统，例如开展性能仿真。”

视频解释了为何要对接收功率进行统计建模：电信工程师可利用此类模型设计更优的蜂窝设备，并对蜂窝系统开展性能评估仿真。此处所用方法并非计算型方法，而是一种概念性建模流程，将实测的随机信号与工程设计及仿真联系起来。

1. 本例中所讨论的信号，是蜂窝通信或移动无线电场景下的接收功率。

2. 目标是系统设计或性能仿真。

1. 接收功率是波动信号的一个示例。
2. 源于不可重复传播条件的随机性

1. 图示
   观察依据

   一张新打印的图像出现，标题为“摇椅：总加速度”，坐标轴分别为“加速度［$m/s^2$］”和“时间［s］”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“对于这个第三个例子，我记录了手中平板电脑所测得的总加速度——当时我正坐在摇椅上。”

讲座引入了另一组真实测量信号：主讲人坐在摇椅上时，由其手持的平板电脑所记录的总加速度。该示例将随机过程的概念从通信数据拓展至随时间变化的物理运动测量。

1. 被测量的量是总加速度。

2. 自变量是时间。

3. 数据来源是一台在摇椅上就座时手持的平板电脑。

1. 声音
   观察依据

   主讲教师说：“实际上，‘stochastic’与‘random’是同义词，二者含义相同。”

在本视频中，“stochastic”与“random”均表示相同含义。

1. 该说法出现在课程主题命名“随机过程”／“随机过程”的语境中。

该术语用法在本讲片段中具有一致性。

1. 声音
   观察依据

   主讲教师称，随机过程“不过是针对时间或空间中信号或函数的概率模型所起的一个名称。”

2. 图示
   观察依据

   页面上书写了完全相同的表述。

随机过程或随机过程是针对时间或空间中信号或函数的概率模型。

1. 这是一种介绍性、非正式的描述，而非严格的定理。

关于本主题内容的一般性描述性陈述。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，第一段和第二段录音“并不完全相同”，尽管他以大致相同的方式说出了同一个词。

2. 图示
   观察依据

   页面上并排显示了两条标注为“录音编号1”和“录音编号2”的打印波形。

尽管播放时听起来相似，但同一句口头短语的两段录音作为样本序号的函数，并不完全相同。

1. 该比较针对所展示的两段“随机过程”短语的录音。

对所展示的两段录音进行存在性比较。

1. 声音
   观察依据

   说话人表示这些录音在他听来相似，但存在差异。

2. 图示
   观察依据

   两条波形图的脉冲包络相似，但在精细结构和尾部行为上有所不同。

同一句口头短语的两段录音在听觉感知上可能相似，但在采样级波形结构上仍存在差异。

1. 这些录音内容均为同一短语：“随机过程”。

2. 这些信号被视为在相同索引范围内采样的波形。

针对所展示的两个实际样本。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，压缩利用了信号中哪些信息相关、哪些不相关的知识。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，去噪需要“某种关于信号结构的模型”。

要压缩或去噪此类录音，就需要一个能区分相关结构与较不相关变异或噪声的模型。

1. 该信号是一段音频录音，既包含有意义的结构，也包含变异。

2. 任务要么是压缩，要么是去噪。

本节讨论的音频处理任务。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，系统必须在信号中寻找特定特征，并且‘你必须针对信号中可能出现的这些变化进行自适应调整’。

2. 图示
   观察依据

   讲解者在讨论‘是否为正确说话人’时，笔尖在两个波形图之间交替移动。

基于语音短语的说话人识别系统，必须容纳同一短语在不同录音中所产生的变化。

1. 识别是基于音频特征完成的。

2. 同一短语的不同发音会产生不同的波形。

针对文中所述的安全系统示例。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，重新进行该实验极有可能得到相似但不完全相同的結果，因为这一实现依赖于不可重复的传播条件。

如果沿高速公路再次进行接收功率实验，所得曲线极有可能看起来相似，但不会与当前显示的实现完全相同。

1. 该实验在相同的大致环境下重复进行。

2. 传播条件无法被精确复现。

3. 环境因素（例如其他车辆及车辆在道路上的确切位置）各不相同。

极有可能；适用于同一实验的重复运行。

1. 声音
   观察依据

   说话者称，数据在起始和结束处因姿势变化而存在噪声，“但其余部分则相当具有周期性”，且呈现振荡特征。

2. 图示
   观察依据

   加速度图的中心部分显示出围绕基准线$10 m/s^2$的重复上下结构。

1. 该主张是定性的，基于目视观察，而非正式的周期性检验。

除因姿势变化导致的起始和结束段噪声较大外，所记录的总加速度整体上表现出较强的周期性和振荡性。

1. 所绘制的数据来自摇椅实验。

2. 初始段和末尾段对应于姿势变化。

关于时间序列中间部分的定性描述。

1. 声音
   观察依据

   它并非严格周期性的：您可以看到此处的尖峰明显比此处更弱，且还存在其他变化；这一段信号看起来与那一段信号不同。

2. 图示
   观察依据

   笔尖圈出绘图信号中特定的峰和谷，以展示变化。

含有电磁干扰的实测信号并非严格周期性的，因为其振幅和波形在不同周期间会发生变化。

1. 该信号是在实验室环境中对电阻两端电压的测量结果。

该信号的尖峰及各部分均存在变化。

1. 声音
   观察依据

   讲师解释道，他录制了“随机过程”这个词组，并将其按样本序号绘制成图，然后对两段录音进行比较。

2. 图示
   观察依据

   展示了两张打印的幅度随样本序号变化的图像，并用笔指向它们。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从一个具体的现实世界信号入手：一段在计算机上录制的口头短语。

   步骤依据

   讲师明确表示，他录下了“随机过程”这几个字。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将录音表示为样本序号的离散函数，绘制振幅随样本序号变化的图像。

   步骤依据

   印制的图像中，纵轴标注为“振幅”，横轴标注为“样本序号”。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察发现，所得波形并不类似于多项式或余弦函数等简单的教科书函数。

   步骤依据

   讲师指出，用多项式或余弦函数来精确表达该波形将非常困难。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   比较同一语音短语的两次独立录音，注意所绘制的信号并不完全相同。

   步骤依据

   讲师指出了录音1与录音2之间的差异，包括时间上的偏移以及局部细微变化。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   由此得出结论：在此场景下，采用确定性的单一公式描述既不简便，也无实际意义，因而有必要转而采用概率模型。

   步骤依据

   讲师表示，即便真能写出这样的公式，其帮助也十分有限；他进一步以多次录音之间的变异性作为引入随机过程的动机。

   视频直接表达

现实世界中重复出现的信号，每次试验虽有差异，但整体形态仍保持定性相似，这促使我们将其建模为随机过程，而非固定的初等函数。

1. 图示
   观察依据

   两张印制图像展现出相似的整体脉冲结构，但在细节特征和表观起始位置上各不相同。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“这个比这个稍晚一点”，并指出“这里那里”存在一些细微差别。

1. 两次录音之间的确切数值偏移量未予说明。

2. 一些细微的视觉差异通过指向方式标出，而非借助明确的公式。

1. 公式

   $$$$
   解释

   将上方图像识别为录音编号1，下方图像识别为录音编号2。

   步骤依据

   图像标题印在每幅图的上方。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   注意，两幅图共享相同的坐标轴，并具有相似的整体包络结构。

   步骤依据

   二者均以幅度为纵轴、采样序号为横轴，且以相同的大致顺序显示若干段语音爆发。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察到下方录音相对于上方录音呈现向后的偏移。

   步骤依据

   讲师一边在两幅图之间指向，一边明确指出其中一段录音略晚于另一段。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   观察两段录音在波形细节上的额外局部差异。

   步骤依据

   讲师指出，这些地方和那些地方存在微小差异。

   视频直接表达

这两段录音在全局形状上相似，但作为采样序号的函数并不完全相同。

1. 声音
   观察依据

   说话人列举了工程师建模此类录音的三个原因：压缩声音、对信号去噪，以及说话人识别。

2. 图示
   观察依据

   页面右侧依次添加了三个手写风格的项目符号。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从两段总体相似但细节不同的同一语句录音出发。

   步骤依据

   直接由两幅波形图的开篇对比以及说话人关于变化的陈述所支持。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   认识到某些变化在感知上可能不那么重要，因此模型可以将关键结构与偶然波动分离开来。

   步骤依据

   说话人在介绍工程师为何希望对这类录音建模时明确指出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   利用这种分离实现压缩：保留重要部分，削减不重要部分。

   步骤依据

   作为首个应用被明确指出，并配有文字要点“压缩声音”。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   利用结构化模型实现去噪：识别并去除微小的非期望波动。

   步骤依据

   作为第二个应用被明确指出，并配有文字要点“对信号去噪”。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   结合特征提取与对变化的容错能力，用于安全系统中的说话人识别。

   步骤依据

   作为第三个应用被明确指出，并配有文字要点“说话人识别”，且说话人进一步口头解释了如何适应变化。

   视频直接表达

两段音频实现之间所呈现的变异性推动了随机建模，因为该变异性是压缩、去噪及说话人识别任务的基础。

1. 声音
   观察依据

   说话人描述了一个安装在桅杆上的发射器，以及一个安装在高速公路上行驶的厢式货车上的接收器。

2. 图示
   观察依据

   图表标题为“接收功率（移动平均）vs 行驶距离”

3. 图示
   观察依据

   坐标轴分别为“归一化接收功率（分贝）”和“行驶距离［米］”

1. 公式

   $$$$
   解释

   在高速公路场景中引入一个固定发射机和一个移动接收机

   步骤依据

   通过口头陈述，并辅以手绘的基站塔与车辆示意图加以强调

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在接收机行驶过程中记录其接收到的信号功率

   步骤依据

   说话人指出，信号功率被记录为行驶距离的函数

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   将归一化接收功率对行驶距离作图

   步骤依据

   直接从所显示图表的坐标轴标签与标题中读取

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   观察接收功率曲线中围绕更宽泛趋势的强烈局部波动

   步骤依据

   在所绘制的轨迹中可见，该轨迹在距离区间内剧烈振荡

   视频直接表达

这一电信实例产生了另一种随机信号，其索引变量为距离，而非语音的时间采样点

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“这是以分贝为单位的归一化功率，因此此处显示的功率最大值与最小值之间大致相差100倍。”

2. 图示
   观察依据

   第一幅图的纵轴范围大致从0 dB下降至约-16 dB，且在较低端可见明显的深谷。

1. 口语中所说的“大致相差100倍”是依据可见极值作出的近似，而非通过形式推导得出的精确比值。

1. 公式

   $$$$
   解释

   纵轴被标识为以分贝为单位的归一化接收功率。

   步骤依据

   由说话人直接陈述，并在图的标签中可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Delta L \approx 20\ \mathrm{dB}$$
   解释

   从接近最大值到最深极小值的可见跨度约为几十分贝；主讲人将此总结为功率发生了显著的倍数变化。

   步骤依据

   依据所绘制的范围以及主讲人对图像的口头解读。

   视频直接表达
3. 公式

   $$10^{\Delta L/10} \approx 100$$
   解释

   利用分贝与功率的关系，约20分贝的变化对应约100的功率比，这与主讲人所说的最大值到最小值的变化幅度约为100倍一致。

   步骤依据

   功率比的分贝标准定义；此步骤明确揭示了口头近似背后所依据的数学基础。

   补充解释

主讲人指出接收功率从最大值到最小值的变化幅度约为100倍，这一说法与图中分贝刻度上的波动解读是一致的。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将起始/结束段的噪声部分与中间相对周期性的部分区分开，并提到可能存在更难建模的额外纹波。

2. 图示
   观察依据

   加速度图显示在起始附近及约30秒处出现大幅瞬态脉冲，其间夹杂着较小的重复振荡。

1. 将加速度分解为周期部分加纹波的做法属于定性描述；屏幕上未写出任何显式公式。

1. 公式

   $$$$
   解释

   识别记录的起始与结束部分为噪声更强的区域，这些区域与姿势变化相关。

   步骤依据

   由主讲人明确指出，并在图中表现为更大的不规则偏离。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将剩余的中间部分视为近似周期性的，因其在图中明显呈现出重复的振荡模式。

   步骤依据

   依据说话人的描述以及图像中央区域呈现的规则波状结构。

   视频直接表达
3. 公式

   $$a(t) \approx a_{\mathrm{periodic}}(t) + a_{\mathrm{ripple}}(t)$$
   解释

   将中间段信号建模为一个周期函数，再加上更难捕捉的较小残余波纹。

   步骤依据

   这表达了说话人口头提出的建议：可用周期函数对部分数据建模，但仍存在额外的波纹。

   依据视频推导

摇椅加速度示例支持混合建模观点：某些部分属于瞬态噪声，某些部分近似周期性，而残余的精细结构可能需要额外的建模项。

1. 声音
   观察依据

   我做了一个非常枯燥的实验……测量这个电阻两端的电压……理论上，我本应能测到由热噪声引起的微弱噪声信号……但实际信号却复杂得多，像这样……我们在此处看到的是一个带有随机起伏的强烈周期性信号……这正是由电磁噪声引起的嗡嗡声。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从理论上预期，仅会测得电阻器产生的微弱热噪声。

   步骤依据

   对无源元件测量的标准物理预期。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   观测实际测得的信号，该信号远为复杂，呈现出带有随机波动的强周期性成分。

   步骤依据

   对绘图数据进行直接目视检查。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   得出结论：主导的周期性成分是由实验室其他设备产生的电磁噪声引起的嗡嗡声信号，而非预期的热噪声。

   步骤依据

   将观测到的信号周期性特征与已知的环境干扰源相匹配。

   视频直接表达

所测信号主要由环境电磁干扰主导，而非预期的内部热噪声。

1. 图示
   观察依据

   一张印刷页面上显示了两张标题为“随机过程”的图像，分别标为录音编号1和录音编号2，坐标轴分别为“幅度”和“采样序号”。

2. 声音
   观察依据

   讲师表示，他录制了“随机过程”这几个词，并将录制结果按采样序号绘制成函数图像。

1. 未给出该信号的数值表达式。

2. 仅展示了全部录音中的一部分，共两段。

利用同一短语的两段语音波形录音，说明为何现实世界中的信号更适合用概率模型而非单一确定的基本公式来刻画。

1. 所录制的短语是“随机过程”。

2. 两段录音以幅度随采样序号变化的图像形式呈现。

3. 讲师说明自己进行了多次录音，但只展示了其中两张图像。

展示对同一语音事件的重复测量结果各不相同，由此引出随机过程建模的必要性。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在计算机上录制该语音短语。

   步骤依据

   由讲师直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   对每段录音，绘制幅度随采样序号变化的图像。

   步骤依据

   从坐标轴标签可见，并在音频中明确说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   比较所得的两个波形。

   步骤依据

   讲师用笔直观对比录音编号1与录音编号2。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   注意：尽管所读单词相同且发音相似，但这两个波形并不完全一致。

   步骤依据

   在音频中明确指出，并由两幅不同的图像加以佐证。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   注意：尽管存在差异，但回放时这两段录音听起来却相当相似。

   步骤依据

   在视频片段末尾附近明确指出。

   视频直接表达

该示例表明，同一真实世界中的语音事件会产生相似但不完全相同的采样序号函数，从而引出对此类信号建立概率模型的必要性。

视频片段内仅作定性验证：两张打印出的图像在时间轴和细微结构上明显不同，而讲师则说明它们回放时听起来相似。

1. 图示
   观察依据

   两张印制的波形图，标题均为“随机过程”，分别标为录音1和录音2。

2. 声音
   观察依据

   说话人提及这两段录音，并随后说出该短语为“随机过程”。

3. 图示
   观察依据

   手写列表：“压缩声音”、“去噪信号”、“说话人识别”。

给定同一句口头短语的两段录音，请解释为何它们促使我们采用随机过程建模，并指出哪些工程任务可利用此类模型。

1. 展示同一短语的两幅波形图。

2. 这两段录音听感相似，但并不完全相同。

3. 横轴为采样点序号，纵轴为幅度。

指出建模需求，并列出视频片段中提到的应用。

1. 公式

   $$$$
   解释

   直观比较两幅波形图，注意其具有共同的包络结构，但细节存在差异。

   步骤依据

   直接来自两幅图及说话人开场评论的观察结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   得出结论：该信号应建模为一个具有重复结构并叠加变化的随机过程。

   步骤依据

   这是本片段中随机过程导论的概念要点。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   将列表压缩作为第一个应用，利用相关性信息来减少信号表示。

   步骤依据

   由说话人明确指出，并写在页面上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   将列表去噪作为第二个应用，需要借助信号结构模型来消除微小的噪声波动。

   步骤依据

   由说话人明确指出，并写在页面上。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   将说话人识别作为第三个应用，其中特征必须在不同语句之间存在变化的情况下仍能完成匹配。

   步骤依据

   由说话人明确指出，并写在页面上。

   视频直接表达

这两段音频录音促使我们采用随机建模，因为它们既相似又具有变异性；所提到的应用包括压缩、去噪和说话人识别。

该答案与三个手写的项目符号以及说话人在同一时间段内的口头列举完全一致。

1. 图示
   观察依据

   图表标题为“接收功率（移动平均）与行进距离关系图”，横轴为“行进距离［m］”，纵轴为“归一化接收功率（dB）”。

2. 声音
   观察依据

   说话人描述了一个安装在桅杆上的发射器，以及一辆在高速公路上行驶的厢式货车上搭载的接收器。

3. 字幕依据
   观察依据

   页脚：“数据来源：多样性测量活动，Telia/FAT，1998”。

1. 音频中提到的确切机构名称，根据现有证据尚无法完全确认。

描述第二个激发思考的示例，并指出图中绘制的物理量。

1. 一台无线电发射机安装在桅杆上。

2. 一台接收机安装在高速公路上行驶的厢式货车顶部。

3. 所显示的图像描绘了接收功率随行驶距离的变化关系。

解释该实验装置，并读出图中展示的变量。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从叙述中识别出物理装置：固定发射机、运动接收机，并据此草绘示意图。

   步骤依据

   该识别结果同时得到音频内容以及手写标注“Transm.”和“Receiver”的支持。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将横轴读作以米为单位的行驶距离。

   步骤依据

   图中可直接看出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   将纵轴读作以分贝（dB）为单位的归一化接收功率。

   步骤依据

   在图中直接可见。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   注意，该曲线随距离变化剧烈波动，这在通信背景下体现了一种随机信号。

   步骤依据

   在所绘制的轨迹中可见，且与说话人提出的第二个例子的表述一致。

   依据视频推导

第二个例子是一次移动无线电测量，其中归一化接收功率（单位：dB）随行进距离（单位：m）绘图，显示沿路径出现大幅波动。

这与图标题、坐标轴标签、页脚信息行以及说话人对发射机和接收机运动的描述相吻合。

1. 图示
   观察依据

   一张印制图表，标题为“接收功率（移动平均）vs 行驶距离”，附有手绘的发射器/接收器示意图，以及笔记“设计更优的手机”和“模拟蜂窝通信系统”。

2. 声音
   观察依据

   说话人描述该信号随行驶距离波动，是以分贝为单位的归一化功率，变化幅度约为100倍，且对电信建模具有实用价值。

解读沿高速公路测得的接收功率曲线，并解释为何它促使我们采用随机建模方法。

1. 该图显示以分贝为单位的归一化接收功率随以米为单位的行驶距离的变化关系。

2. 该曲线在行进路线上剧烈波动。

3. 具体实现结果取决于传播条件，例如周围其他车辆及车辆在道路上的精确位置。

描述所观测到的信号行为，并将其与概率模型在工程中的应用联系起来。

1. 公式

   $$$$
   解释

   通过阅读坐标轴和标题，识别该图表示的是接收功率随距离的变化关系。

   步骤依据

   在打印出的图上可直接看到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   注意该曲线剧烈波动，而非平滑下降。

   步骤依据

   主讲人明确指出信号波动很大，且图中显示出许多尖锐的峰和谷。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Delta L \sim 20\ \mathrm{dB} \Rightarrow \text{power ratio} \sim 100$$
   解释

   将分贝（dB）尺度上的变化转换为主讲人所讨论的大致乘性功率变化。

   步骤依据

   主讲人称“从最大值到最小值大致相差100倍”；分贝关系式为此提供了定量含义。

   依据视频推导
4. 公式

   $$$$
   解释

   解释重复实验很可能得到形状相似但不完全相同的曲线，因为传播环境不可复现。

   步骤依据

   音频中直接陈述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   将该模型与改进手机设计及蜂窝系统仿真等实际应用联系起来。

   步骤依据

   既有口头讲解支持，也有手写在纸上的笔记支持。

   视频直接表达

接收功率曲线是一条剧烈波动、不可复现的实现样本，对其开展统计建模有助于蜂窝系统的设计与仿真。

该解读与图中可见的坐标轴标签、手写的实际应用备注，以及主讲人关于波动性、分贝尺度、不可复现性和电信应用的明确论述均相吻合。

1. 图示
   观察依据

   印有标题“摇椅：总加速度”的图表，坐标轴分别为“加速度［$m/s^2$］”和“时间［s］”。

2. 声音
   观察依据

   说话人称，他记录了一台平板电脑坐在摇椅上时的总加速度，并指出起始与结束阶段存在因姿势变化引起的噪声，其余部分则大致呈周期性，且叠加有细微起伏。

1. 周期成分的确切数值幅度未在口头叙述中给出；仅能从图表刻度上看出。

分析一段来自摇椅的总加速度实测时间序列，并描述其主要结构特征。

1. 数据为总加速度随时间的变化关系。

2. 起始与结束阶段看起来噪声更明显。

3. 中间部分反复振荡。

4. 在主振荡之上还存在额外的微小起伏。

对信号进行表征，并提出可能的建模方式。

1. 公式

   $$$$
   解释

   根据标题与口述内容，识别所测物理量及实验装置。

   步骤依据

   印刷标题与说话人的描述共同表明，这些数据是置于摇椅上的平板电脑所测得的总加速度。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   指出开头和结尾处的噪声区间，并将其归因于姿势变化。

   步骤依据

   讲话者明确将这些区域与他在椅子上改变姿势的时间段联系起来。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察到剩余的中间部分大致呈周期性且具有振荡性。

   步骤依据

   这一点既可见于重复的波形模式，也被讲话者明确指出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a(t) \approx a_{\mathrm{periodic}}(t) + a_{\mathrm{ripple}}(t)$$
   解释

   建议采用一个周期函数加残余涟漪的模型。

   步骤依据

   这呼应了讲话者的陈述：数据的一部分可用周期函数建模，但残余涟漪更难纳入模型。

   依据视频推导

加速度记录融合了瞬态噪声段、近似周期性的振荡以及更小的残余涟漪，暗示一种混合型的“周期加波动”模型。

该结论与图像中可见的曲线结构以及讲话者对时间序列所做的口头分段一致。

1. 声音
   观察依据

   补偿摇椅的运动……如果我想在坐在摇椅上时也能玩游戏，就必须以某种方式补偿这种效应。

2. 图示
   观察依据

   图表标题为‘摇椅：总加速度’，基线约为$10 m/s^2$，并出现两次高频振荡的大幅脉冲。

如何在坐在摇椅上时利用加速度计实现游戏控制？

1. 加速度计提供总加速度数据。

2. 用户坐在摇椅上，引入周期性运动。

将游戏控制输入从摇椅的运动中分离出来。

1. 公式

   $$$$
   解释

   识别由摇椅运动引起的加速度信号。

   步骤依据

   摇椅的运动会产生一种独特且通常呈周期性的加速度模式。

   依据视频推导
2. 公式

   $$$$
   解释

   从总加速度数据中减去或滤除已识别的摇椅运动信号。

   步骤依据

   剩余的加速度即为用户有意进行游戏控制时所产生的加速度。

   依据视频推导

通过建模并补偿摇椅的加速度，该设备便能准确追踪游戏输入。

最终得到的信号应仅反映用户为游戏而有意做出的手部/身体运动。

1. 声音
   观察依据

   使用这支特定示波器探头测量该电阻两端的电压……理论上，我本应能测到一个由热噪声引起的微弱噪声信号……但实际信号却复杂得多……出现了一个很强的周期性信号……这是由电磁噪声引起的嗡嗡声信号。

2. 图示
   观察依据

   两张图表，标题均为‘100千欧电阻两端的电压’，显示强而嘈杂的周期性波形。

在典型实验室中，跨接在100 kΩ电阻上的电压信号看起来是什么样的？

1. 一个100 kΩ电阻。

2. 一台用于测量电压的示波器。

3. 一个配有其他电子仪器的实验室环境。

观察并识别所测电压信号的组成部分。

1. 公式

   $$$$
   解释

   设置示波器以测量跨接在100 kΩ电阻上的电压。

   步骤依据

   电气测量的标准操作流程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   记录该信号，观察到一个强周期性波形叠加着随机起伏，而非仅仅是微弱的热噪声。

   步骤依据

   对绘制出的数据进行直接观察。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   将该周期性成分识别为来自实验室电磁干扰的嗡嗡声信号。

   步骤依据

   其频率与幅度均符合典型的市电嗡嗡声及环境噪声特征。

   依据视频推导

所测信号主要由电磁干扰引起的周期性嗡嗡声主导，掩盖了预期的热噪声。

将实验装置移至屏蔽环境或改变接地方式会改变周期性成分。

1. 图示
   观察依据

   两张印刷图表标题分别为“跨100kΩ电阻的电压——第1次测量”和“第2次测量”。坐标轴分别为电压［V］和时间［s］。蓝色笔迹圆圈标出了两次测量中约在$t=0.08s$处出现的不同噪声尖峰。

2. 声音
   观察依据

   主讲人讨论了对这类信号建模的目的：研究系统稳定性、在含噪声条件下仿真系统，以及提供克服噪声的算法。

分析对一个100千欧电阻所测得的两组电压数据，以理解其噪声特性。

1. 图1：一个100千欧电阻两端的电压——第1次测量

2. 图2：一个100千欧电阻两端的电压——第2次测量

明确对这类信号建模的原因。

1. 公式

   $$$$
   解释

   观察显示电压随时间波动的两张图像。

   步骤依据

   对所提供图像进行目视检查。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   注意，两组测量中被蓝色圆圈标出的具体噪声尖峰各不相同，体现了不可重复性。

   步骤依据

   对比两张图像中被圆圈标出的区域。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   得出结论：对这类信号建模，旨在研究系统对噪声的稳定性、模拟含噪声系统，以及开发克服噪声的算法。

   步骤依据

   配合视觉分析的音频讲解。

   视频直接表达

这些信号具有不可预测性与不可重复性；对其建模有助于研究系统稳定性、开展仿真，以及设计噪声抑制算法。

圆圈标出的噪声尖峰在视觉上的差异，印证了音频中关于不可重复性的说法。

1. 图示
   观察依据

   手写示例列表：语音信号、无线电传输中的接收功率、加速度计数据、噪声信号。括在‘不可预测性或不确定性或不可重复性’之中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将这些列为可建模为随机过程的信号示例，并探讨了现实世界现象与数学模型之间的哲学区别。

给出可建模为随机过程的信号示例。

1. 纸上的手写笔记

列出符合该定义的具体物理信号。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从手写列表中识别出‘语音信号’。

   步骤依据

   直接朗读文本。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   从手写列表中识别出‘无线电传输中的接收功率’。

   步骤依据

   直接朗读文本。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   从手写列表中识别出‘加速度计数据’。

   步骤依据

   直接朗读文本。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   从手写列表中识别出“噪声信号”。

   步骤依据

   直接朗读文本。

   视频直接表达

示例包括：语音信号、无线电传输中的接收功率、加速度计数据以及噪声信号。

纸上的全部四项内容在视频中清晰可见。

1. 图示
   观察依据

   黑板上在“示例：”标题下明确列出了四个示例信号。

2. 图示
   观察依据

   相同的示例被括在“不可预测性或不确定性或不可重复性”之中。

识别黑板上展示的、用于引出随机过程的信号示例。

1. 语音信号

2. 无线电传输中的接收功率

3. 加速度计数据

4. 噪声信号

列出黑板上显示的示例及其共同特征。

1. 公式

   $$$$
   解释

   直接从黑板上读出示例。

   步骤依据

   示例明确列在标题“示例：”之下。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   注意花括号将它们与“不可预测性、不确定性或不可重复性”归为一组。

   步骤依据

   黑板通过视觉方式将全部四个示例与这三个性质关联起来。

   视频直接表达

这些示例包括语音信号、无线电传输中的接收功率、加速度计数据以及噪声信号；它们被归类为不可预测的、不确定的或不可重复的。

答案与黑板上可见的手写列表及花括号标注完全一致。

1. 图示
   观察依据

   一张白纸铺在木桌上，手写标题为“随机过程／随机过程”。

2. 动画
   观察依据

   标题叠加画面短暂出现，显示文字“随机过程导论”及“特罗尔斯·佩德森，奥尔堡大学”。

1. 手写页面标题

2. 叠加显示的标题文字

3. 主讲人的手与笔

1. 叠加标题先出现，随后消失，仅留下手写标题可见。

1. 手写标题持续保留在页面顶部。

本节以明确主题为随机过程（或称随机过程）开场，并提示这是一次导论性介绍。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在标题下方书写新的一行。

2. 图示
   观察依据

   写完后的这一行内容为：“用于描述时间或空间中信号/函数的概率模型”。

1. 笔

2. 手写定义行

1. 标题下方的空白区域填入定义句。

1. 标题保持不变，位于新行上方。

书写这一视觉行为强化了对随机过程的口语化非正式定义。

1. 动画
   观察依据

   主讲人在标题“示例：”下方列出一个清单。

2. 图示
   观察依据

   该清单包含“语音信号”、“无线电传输中的接收功率”、“加速度计数据”和“噪声信号”。

1. 手写清单

2. 笔

1. 在定义下方依次添加四个项目符号风格的示例。

1. 先前的标题和定义仍保留在清单上方并可见。

页面从抽象定义转向具体应用领域。

1. 图示
   观察依据

   页面切换为两张印制图表，标题均为“随机过程”，编号分别为1和2。

2. 动画
   观察依据

   笔尖沿波形移动，并在两个图的对应区域之间横向移动。

1. 两段录音之间的水平偏移量未在屏幕上量化显示。

1. 上方波形图

2. 下方波形图

3. 坐标轴标签“幅度”和“采样序号”

4. 笔形指针

1. 主讲人用笔在两幅图之间移动，以指示时间上的差异及局部波形形状的差异。

1. 两幅图采用相同类型的坐标轴，并表示同一句语音内容。

这种视觉对比支持了如下论断：同一信号的多次实际实现彼此相似，但并不完全相同。

1. 图示
   观察依据

   左侧页面上有两张上下堆叠的波形图，标题均为“随机过程”，分别标注为录音编号1和录音编号2。

2. 动画
   观察依据

   一支笔指向上下两条轨迹中对应的脉冲，随后移向空白的右侧页面。

1. 上方波形图

2. 下方波形图

3. 笔

4. 右侧书写区

1. 笔先指示下方图像，再指示上方图像，然后向右移动书写注释。

2. 依次添加三个项目符号：“压缩声音”、“对信号去噪”、“说话人识别”。

1. 两幅图像使用相同的坐标轴标签：“幅度”和“采样序号”。

2. 两个标题均指向同一短语：“随机过程”。

视觉对比表明，两段录音在整体结构上一致，但在细节上存在差异，这促使我们采用概率方法来描述信号的变化。

1. 图示
   观察依据

   新页面展示图像：“接收功率（移动平均）随行驶距离的变化”。

2. 图示
   观察依据

   右上角有一幅手绘的塔楼，标注为“Transm.”，以及一条道路线上的一辆标有“Receiver”的车辆。

3. 动画
   观察依据

   笔先指向塔楼，再指向车辆，最后沿所绘制的曲线描画。

1. 接收功率图像

2. 塔楼简图

3. 车辆简图

4. 道路线

5. 画笔

1. 页面从音频波形图切换为距离-功率关系图。

2. 画笔通过指向发射器、接收器和曲线，将草图元素与所绘制的数据关联起来。

1. 图表标题与坐标轴标签在此时间段内保持固定。

2. 页脚信息行始终可见于底部。

该草图将物理测量装置映射到图表上：固定的发射器与移动的接收器共同产生一条以行进距离为索引的接收功率轨迹。

1. 图示
   观察依据

   画面中充满一张打印纸，显示标题“接收功率（移动平均）vs 行进距离”，一条锯齿状蓝色曲线、坐标轴标签，以及右上角手绘的发射器/接收器示意图。

2. 动画
   观察依据

   一只手持笔沿曲线及坐标轴区域指点，同时讲话者讨论波动性与分贝尺度。

1. 打印的折线图

2. 标题文字

3. Y轴标签“归一化接收功率〔dB〕"

4. X轴标签“行进距离〔m〕"

5. 手绘发射塔

6. 手绘接收车辆

7. 笔尖

1. 笔尖沿曲线不同部位移动，以标示峰值、谷值及坐标轴范围。

2. 注意力先从整体轨迹转向纵轴的分贝刻度，再转回横轴的距离刻度。

1. 此时间段内，底层印刷的图表始终保持不变。

2. 标题与坐标轴标签持续可见。

视觉焦点支持口述观点：接收功率随行进距离呈不规则变化，且纵轴刻度按分贝意义呈对数关系。

1. 图示
   观察依据

   首张纸右侧逐渐显现两条手写要点：“设计更优的手机”和“仿真蜂窝通信系统”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提到，电信工程师会使用此类模型进行设计与仿真。

1. 每个单词写下的确切时刻并不完全可见；在此时间段内，仅能清晰看到最终完成的笔记。

1. 第一张印刷图表。

2. 手写笔记：“设计更优的手机”。

3. 手写笔记：“仿真蜂窝系统”。

4. 笔。

1. 新文字被添加到纸张的右侧。

2. 当主讲人口述这些应用时，笔尖指向相关笔记。

1. 接收到的功率图像本身并未发生变化。

2. 发射器/接收器示意图保持原位不动。

所添加的笔记以直观方式总结了对随机接收功率信号建模的实际动因。

1. 动画
   观察依据

   第一张纸被移除，并替换为一张新打印的纸，标题为“摇椅：总加速度”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将此作为第三个例子引入，并描述了坐在摇椅上时记录平板加速度的过程。

1. 第一张纸离开画面

2. 第二张打印的图表

3. 标题“摇椅：总加速度”

4. 纵轴标签“加速度［$m/s^2$］”

5. 横轴标签“时间［s］”

1. 整个视觉语境从以距离为索引的通信信号转变为以时间为索引的运动信号。

2. 新图表呈现出不同的波形形状：两端附近出现大幅脉冲，中间则为振荡。

1. 授课形式仍为基于纸质材料的可视化讲解，辅以口头解说。

此次转换将随机过程示例的概念范畴，从无线测量拓展至物理传感器数据。

1. 动画
   观察依据

   一只手依次指向加速度图像上嘈杂的起始段、更平滑的振荡中段，以及约30秒附近的后期突增段。

2. 图示
   观察依据

   视频片段接近尾声时，笔在图像下方写下了一个项目符号和单词“Games”。

3. 声音
   观察依据

   讲话者讨论了姿势变化、周期性、波动现象，以及它们可能与游戏的相关性。

1. 在“Games”之后开始的句子被截断，未能完成，因此无法获知其原本打算列出的全部应用场景。

1. 加速度图像

2. 笔尖

3. 手写的项目符号

4. 单词“Games”

1. 笔尖先描出早期嘈杂段，再描出中间振荡区域，最后描出后期大幅偏移段。

2. 一张新的手写标注“Games”被添加在图像下方。

1. 图像标题与坐标轴保持不变。

2. 加速度曲线的整体形状保持不变，仅指向和书写动作发生变化。

视觉标注强化了口头分解：瞬态噪声、周期性运动和残余涟漪，并开始将此类数据与游戏等应用领域联系起来。

1. 图示
   观察依据

   一张标题为“摇椅：总加速度”的打印图表显示如下。纵轴为“加速度 [$m/s^2$]”（0-12），横轴为“时间 [s]”（0-35）。蓝色线条显示围绕10的相对稳定基线，并在两段明显时段内出现大幅值、高频率振荡（分别位于 $t=3-5$ 和 $t=28-30$附近）。手写文字“Games”随后又添加了“Biometry”。

1. 打印图表

2. 蓝色信号线

3. 手写文字“Games”

4. 手写文字“Biometry”

5. 笔

1. 笔尖指向信号的振荡部分。

2. 在纸上手写“Games”和“Biometry”。

1. 坐标轴标签与刻度保持不变。

2. 底层打印的信号不发生变化。

该图像展示了真实世界的加速度数据，其中既包含稳态分量（重力），也包含动态分量（运动），这类数据需建模后方可应用于游戏或生物测量等领域。

1. 图示
   观察依据

   两张打印图表，标题分别为“100 kΩ电阻两端电压——测量运行1”和“运行2”。纵轴为“电压［V］”（范围：－0.02至0.04），横轴为“时间［s］”（范围：0至0.09）。两张图均显示一个强烈但含噪声的周期性波形。一支物理示波器探头置于图表附近。一支笔圈出特定的波峰与波谷，以凸显其变化。

1. 两张打印图表

2. 蓝色信号线

3. 示波器探头

4. 笔

1. 笔指向波形的不同部位。

2. 笔圈出特定的波峰与波谷，以表明它们并不完全相同。

3. 物理探头被引入画面中。

1. 坐标轴标签与刻度保持不变。

2. 两次运行的整体周期性特征相似。

这些波形图表明，一个简单的理论预期（热噪声）常常被复杂的现实因素（电磁干扰）所掩盖，导致信号虽呈周期性，却因随机变化而并非严格周期。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出该信号看起来很奇怪，不像数学课程中常见的函数，且很难用多项式或余弦函数来表达。

人们或许会期望一个可用的信号模型能直接写成简单的多项式、余弦函数或类似的闭式表达式。

视频指出，对于这一语音示例，这样的公式很难获得；即便能够得到，也未必有用。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出，尽管说的是同一个词且大致方式相同，但第一次和第二次录制的语音并不完全相同。

人们或许会假设，两次说出同一个词应当产生完全相同的信号。

所展示的两次录音在时间轴和波形细节上存在差异，但听感上仍相似。

1. 声音
   观察依据

   说话人表示，这些录音在他听来非常相似，但信号中存在差异。

2. 图示
   观察依据

   尽管两个波形图的标题与包络形态相似，它们的波形并不完全相同。

人们可能认为，若两段录音听起来相似，则其波形应当完全一致。

该片段表明，感知相似性可以与显著的逐样本差异并存，这正是为何随机过程模型具有实用价值。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，去噪需要“某种关于信号结构的模型”。

人们可能误以为去噪仅意味着施加一个通用滤波器，而无需理解信号本身。

说话者明确将去噪与一种结构化模型联系起来，该模型能区分有意义的信号内容与类噪声的波动。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，系统必须寻找特定特征，并针对信号中的变化进行自适应调整。

人们或许会设想：仅凭某句短语的录音波形完全匹配，就能识别出说话人。

该示例强调特征提取，以及对同一短语在不同发音中所呈现变化的自适应能力。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确对比了重复实验时得到“相似但不相同”的结果，与无法精确复现传播条件之间的差异。

人们可能认为所显示的接收功率曲线是每次重复实验都会得到的精确结果。

视频强调，所展示的曲线仅为一次实现；由于传播环境无法被完全精确复现，再次运行实验很可能产生相似但不同的曲线。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，数据在起始和结束阶段因姿势变化而存在噪声，甚至看似周期性的部分也包含建模难度更大的涟漪。

2. 图示
   观察依据

   加速度图明显包含大幅瞬态脉冲以及除中间振荡外的细微不规则性。

由于摇椅图的中部呈现振荡，人们可能推断整个数据集就是简单的周期性信号。

视频区分了含噪声的瞬态段与近似周期性的中部，并进一步指出存在残余涟漪，因此完整信号并非纯粹周期性。

1. 声音
   观察依据

   理论上，我本应能测得电阻中热噪声引起的微弱噪声信号。但实际信号却要复杂得多，像这样……这其实是电磁噪声引起的嗡嗡声。

人们可能认为，测量电阻两端的电压只会得到该元件固有的理论热噪声。

在实际环境中，来自其他设备的电磁干扰等外部因素常产生强得多的信号（例如周期性嗡嗡声），从而主导测量结果。

1. 声音
   观察依据

   它并非严格周期。你看这里这个尖峰在此处明显更小，且还存在其他变化……

2. 图示
   观察依据

   用笔圈出波形图上不同的峰值，以显示其幅度与形状的差异。

一个具有清晰重复模式的信号，可能被误认为是严格周期的。

现实世界中的信号，即使主要由周期性源（如市电嗡嗡声）主导，也包含随机变化与噪声，导致其‘并非严格周期’——因为每个周期的幅度与确切形状都会波动。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘我刻意避免提到我们将考察随机过程在现实世界中的实例。这是因为我不确定随机过程是否真的存在于现实生活中……我认为这个问题最好留给哲学家去回答。’

认为随机过程不仅是实用的数学模型，更是物理世界中真实存在的基本实在。

主讲人澄清：现实中是否存在真正的随机性尚属未知；本课程关注的是如何对信号进行数学建模，而不考虑其本体论地位。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“只要我们的模型对工程目的而言已足够好地刻画了实际情况，大家就都会感到满意和安心。”

有人或许会认为，一个随机模型必须完全复现真实信号才具有实用价值。

视频指出，只要模型对工程目的而言已足够好地刻画了实际情况，它就是可接受的。

1. 声音
   观察依据

   主讲人首先将“随机过程”与“随机”等同起来，随后将本主题定义为用于信号或函数的概率模型。

术语等价关系确立了非正式定义：这两个名称均指代本视频中所讨论的同一类概率模型。

1. 图示
   观察依据

   书面定义之后，同一页上列出了若干示例。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示存在大量示例，随后列举了四个，再转入数学理论讲解。

这些示例通过展示可被建模为随机过程的具体信号类型，来实例化该非正式定义。

1. 图示
   观察依据

   “语音信号”出现在书面示例列表中，下一页则展示了两段语音录音。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出第一个例子是语音信号，随后讨论了所绘制的录音波形图。

语音信号例子是从一般性动机示例列表中展开的第一个具体案例。

1. 声音
   观察依据

   对两段录音的口头解释直接支撑了采用随机建模的动机论证。

2. 图示
   观察依据

   这两幅打印出的波形图在该论证中被用作视觉证据。

直观推导以语音例子作为其具体依据。

1. 声音
   观察依据

   压缩讨论直接源于对录音中相关变化与较不相关变化的观察。

对含噪或易变录音中相关结构建模的思想，被应用于音频压缩。

1. 声音
   观察依据

   去噪要点被作为建模信号结构的第二个理由提出。

信号结构建模被用于将期望内容与微小的非期望波动分离开来。

1. 声音
   观察依据

   说话人识别示例被作为建模可变录音的最终应用呈现。

同一语句多次发音所产生的变异性，促使人们采用基于特征的识别方法，以适应不同实现方式之间的差异。

1. 声音
   观察依据

   说话人明确将电信案例称为“我们的第二个例子”。

2. 图示
   观察依据

   页面内容从两个音频波形图切换为接收功率随距离变化的曲线图。

这两个例子都引出了随机过程的概念，但第一个随机过程以音频采样点序号为索引，第二个则以移动无线电场景中的传播距离为索引。

1. 声音
   观察依据

   关于不可复现传播条件的讨论紧接在接收功率图展示之后展开。

在理解接收功率轨迹是一种实测的波动信号之后，才能明白为何其确切实现被视为随机的。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从不可复现的实现出发，引出电信工程师为何需要对接收功率建模。

2. 图示
   观察依据

   手写笔记在第一张图旁列出了设计与仿真应用。

对接收功率实现的概率化视角，推动了它在蜂窝系统设计与仿真中的应用。

1. 声音
   观察依据

   在引入加速度示例后，主讲人分析了其噪声部分与周期性部分，并提出了建模启示。

摇椅加速度示例进一步指出：该信号混合了瞬态噪声、周期性振荡以及残余纹波。

1. 图示
   观察依据

   该片段展示了两个不同的印刷示例：一个以行进距离为索引，另一个以时间为索引。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将二者均视为可建模的数据，尽管它们处于不同的应用背景中。

1. 这种对比属于分析者层面的综合归纳，而非主讲人明确作出的陈述。

两个示例均展示了适合进行随机建模的真实测量信号，但前者是空间通信测量，后者是时间域运动测量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在这一时段内用语言定义了随机过程（或称随机过程）。

2. 图示
   观察依据

   该定义也同时写在了讲义页面上。

1. 术语：随机过程 = 随机过程
2. 随机过程/随机过程的非正式定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出这两个术语是同义词。

1. 术语：随机过程 = 随机过程

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出语音信号难以用多项式或余弦函数表达，且此类公式实际帮助甚微。

1. 语音信号示例：“随机过程”的多次录音
2. 一种误解：真实信号应当能用简单的初等公式表达

1. 声音
   观察依据

   讲师比较了录音1和录音2，指出它们并不完全相同，但听起来相似。

2. 图示
   观察依据

   两个打印出的波形并排显示。

1. 语音信号示例：“随机过程”的多次录音
2. 重复的语音录音在样本点层面存在差异。
3. 误以为对同一事件的重复测量结果必然完全一致

1. 声音
   观察依据

   讲师表示，在深入数学理论之前，先观察现实世界的例子是个好主意。

2. 图示
   观察依据

   该页面列出了四个例子。

1. 四个激发学习兴趣的随机过程实例

1. 声音
   观察依据

   开场即对同一短语的两段录音进行对比。

2. 图示
   观察依据

   同时展示两个波形图。

1. 从多次音频录音出发，引出随机过程建模的动机。
2. 同一短语的多次录音相似，但并不完全相同。

1. 声音
   观察依据

   说话人解释利用相关性信息对声音进行压缩。

2. 图示
   观察依据

   项目符号：“压缩声音”。

1. 信号压缩作为随机建模的一种应用。
2. 压缩与去噪都需要对信号建立结构化模型。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，去噪需要建立信号结构的模型。

2. 图示
   观察依据

   要点：“对信号进行去噪”。

1. 将去噪作为第二个应用
2. 压缩与去噪都需要对信号建立结构化模型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人描述了一套安防系统，并说明如何适应信号中的变化。

2. 图示
   观察依据

   要点：“说话人识别”，同时笔尖在两个波形图之间移动。

1. 说话人识别——在存在变异情况下的基于特征的模式匹配
2. 说话人识别必须适应信号的变化。

1. 图示
   观察依据

   接收功率随传播距离变化的曲线图标题及坐标轴标签。

2. 声音
   观察依据

   发射器安装在塔架上、接收器安装在厢式货车上的示意图描述。

1. 电信示例：接收功率随行驶距离的变化
2. Normalized received power (dB)
3. Traveled Distance [m]

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，对数分贝尺度图对应于最大值与最小值之间约100倍的变化。

1. 接收功率是波动信号的一个示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道，重新进行该实验会得到相似但不完全相同的结果，因为传播条件无法被精确复现。

1. 源于不可重复传播条件的随机性