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泰勒级数｜The Organic Chemistry Tutor

The Organic Chemistry Tutor · YouTube · 29:21

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正弦的奇次幂

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由导数值构造泰勒与麦克劳林级数，再通过求导和代换得到新级数。

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ln x 在 $x=1$ 附近的导数值给出 ( $x-1$ )−( $x-1$ )²/2+( $x-1$ )³/3−⋯。在 | $x-1$ |<1 内等于原函数，端点需要单独检查。

在零点，正弦的偶次幂系数为零，奇次幂交替出现： $x-x$ ³/3!+x⁵/5!−⋯。该级数对所有实数 x 都收敛到正弦函数。

逐项求导得到余弦级数，再将 x 换成 x²，就得到 cos(x²) 的 $1-x$ ⁴/2!+x⁸/4!−⋯。这些运算在幂级数的收敛范围内有依据。

ln x 在 $x=1$ 附近的导数值给出 ( $x-1$ )−( $x-1$ )²/2+( $x-1$ )³/3−⋯。在 | $x-1$ |<1 内等于原函数，端点需要单独检查。

在零点，正弦的偶次幂系数为零，奇次幂交替出现： $x-x$ ³/3!+x⁵/5!−⋯。该级数对所有实数 x 都收敛到正弦函数。

逐项求导得到余弦级数，再将 x 换成 x²，就得到 cos(x²) 的 $1-x$ ⁴/2!+x⁸/4!−⋯。这些运算在幂级数的收敛范围内有依据。

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ln x 在 $x=1$ 附近的导数值给出 ( $x-1$ )−( $x-1$ )²/2+( $x-1$ )³/3−⋯。在 | $x-1$ |<1 内等于原函数，端点需要单独检查。在零点，正弦的偶次幂系数为零，奇次幂交替出现： $x-x$ ³/3!+x⁵/5!−⋯。该级数对所有实数 x 都收敛到正弦函数。逐项求导得到余弦级数，再将 x 换成 x²，就得到 cos(x²) 的 $1-x$ ⁴/2!+x⁸/4!−⋯。这些运算在幂级数的收敛范围内有依据。