为什么将排列数除以 r! 能得到无序 r 项组的数量？

首先，从 4 个盒子中选出 2 个空盒子，有 $C_4^2$ 种方法。然后，将 4 个不同的球分配到剩余的 2 个非空盒子中，且这两个盒子都不能为空。

适用条件：球是不同的。；盒子是不同的。；必须恰好有两个盒子为空，这意味着另外两个必须非空。

直接枚举 1、2、3 或 4 个空盒子的情况很繁琐。相反，使用对立事件：没有盒子为空。

适用条件：球是不同的。；盒子是不同的。；每个球必须放入一个盒子。；在总样本空间中允许有空盒子。

从 n 个不同物品中进行无重复有序 r 项选择的数量由公式 $n!/(n-r)!$ 给出。这代表了从 n 开始的降序序列的前 r 项的乘积。

适用条件：物品是不同的。；选择不重复。；选择的顺序很重要。；$r$ 是小于或等于 $n$ 的非负整数。

4 个不同的球中的每一个都有 4 个独立的盒子选择。根据乘法原理，分布的总数是 $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4$。

适用条件：球是不同的。；盒子是不同的。；每个球必须放入恰好一个盒子。；允许有空盒子。

乘法原理通过将每个独立阶段可用的选择数相乘来确定总搭配数。如果有多个物品类别（如裤子、衬衫和鞋子），并且从每个类别中恰好选择一个物品，那么不同组合的总数就是每个类别选项数的乘积。

适用条件：每个类别中的选择与其他类别无关。；从每个类别中恰好选择一个物品。；类别内的物品是不同的。