1. 布朗运动（简介）

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他将把该随机变量记作 X 下标 t，其中大写字母 X 表示随机变量，下标 t 表示它在时刻 t 被索引。

2. 公式
   观察依据

   他在标题下方的白板上写下 $X_t$，并在分布陈述中再次写出。

$X_t$

随机过程在时刻 t 观测到的随机变量。

$t \ge 0$；$X_t$ 是实值的。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出横轴代表时间。

2. 图示
   观察依据

   第一个坐标示意图的横轴标注为 t。

t

随机过程的时间索引，绘制在横轴上。

示例中使用非负的时间值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称 $X_t$ 服从均值为零、方差为 t 的正态分布。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示$X_t \sim N(0,t)$。

$N(0,t)$

正态分布的记号，第一个参数为均值，第二个参数为方差。

所展示的方差参数是 t。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出均值为零，且该变量的平均取值为零。

2. 公式
   观察依据

   $N(0,t)$中的第一个参数是0。

0

$X_t$ 所服从正态分布的均值。

适用于所示 $X_t$ 的边缘分布。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出方差为 t，并解释说：随着 t 增大，方差也以一比一的方式增大。

2. 公式
   观察依据

   $N(0,t)$中的第二个参数是 t。

t

$X_t$ 所服从正态分布的方差参数。

与 $X_t$ 下标中相同的时间索引。

1. 公式
   观察依据

   在白板上写作 $X_t$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称其为“X 在时刻 t 的取值”。

$X_t$

布朗运动过程在时刻 t 的取值。

t 大于等于0

1. 公式
   观察依据

   在白板上写作 $N(0, t)$ 和 $N(0, t-s)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说“正态分布”。

N

正态分布的记号，参数分别表示均值与方差。

实数集

1. 公式
   观察依据

   在白板上作为 $N(0, t)$ 中的参数及坐标轴标签出现。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称其为“时间”。

t

时间变量。

t 大于等于0

1. 公式
   观察依据

   在白板上以参数形式写为 $X_t - X_s$ 和 $N(0, t-s)$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称其为‘时刻 s’。

s

一个较早的时间变量，满足 $s < t$。

0 小于等于 s，s 小于 t

1. 公式
   观察依据

   在白板上以两个表达式之间的双竖线符号表示。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：‘这是我将用来表示独立性的符号。’

$\perp$\!\!$\perp$

表示两个随机变量或事件之间统计独立性的符号。

不适用

1. 公式
   观察依据

   白板上显示表达式中的 $X_t$：$X_t$ ∼ $N(0,t)$、$X_t - X_s$ ∼ $N(0,t-s)$，以及 $X_t - X_s$ ⊥ $X_w - X_v$。

2. 声音
   观察依据

   讲师反复将 X 下标 t 称为该随机过程在时刻 t 的取值。

$X_t$

布朗运动过程在时刻 t 的取值。

t 是一个非负的时间参数；$X_t$ 是实数值。

1. 公式
   观察依据

   白板上显示 $X_t$ ∼ $N(0,t)$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，X 下标 t 服从正态分布，均值为零，方差为时间。

$N(0,t)$

均值为0、方差为 t 的正态分布。

要求 $t \ge 0$，以保证方差非负。

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入了一种新型随机过程——布朗运动，并指出其在物理学、金融学和统计学中均有应用。

2. 图示
   观察依据

   黑板标题为“布朗运动”。

布朗运动被呈现为一种广受欢迎的随机过程，即随时间演化的随机变量。主讲人将本片段定位为入门介绍，并说明后续视频将展示一些有趣的结果。

1. 本片段以非正式方式引入该主题。

2. 提到的应用领域包括物理学、金融学和统计学。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，随机过程是指随时间演化的随机变量，下标 t 表示该变量在时刻 t 被索引，且在不同时刻取值不同。

2. 图示
   观察依据

   画出一个坐标系，横轴标记为 t。

3. 公式
   观察依据

   黑板上写下符号$X_t$。

记号$X_t$表示一个由时间 t 索引的随机变量；示意图中的横轴代表时间，纵轴代表该时刻随机变量的取值。

1. t 是时间索引。

2. $X_t$ 是一个取值依赖于 t 的随机变量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，布朗运动可定义为 $X_T$ 服从均值为零、方差为 t 的正态分布。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示$X_t \sim N(0,t)$。

1. 本片段中视频仅给出边缘分布的表述，未在此处说明独立增量性或连续性条件。

本片段通过所显示的边缘规则$X_t \sim N(0,t)$引入布朗运动：在每个时刻t，随机变量$X_t$服从均值为0、方差为t的正态分布。主讲人强调，这一单个公式简洁地刻画了所讨论的分布行为。

1. t是时间指标。

2. N的第一个参数是均值。

3. N的第二个参数是方差。

4. 方差等于下标$X_t$中出现的同一个t。

1. 随机过程的记号为 $X_t$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，随着t增大，该t一对一地增大；我们向未来展望的时间越长，方差就越高。

2. 公式
   观察依据

   所显示的公式$X_t \sim N(0,t)$将t作为方差参数。

由于公式$N(0,t)$中的方差参数恰好是时间指标t，因此更大的t对应更大的方差。主讲人将此解释为：对未来更远时刻的预测具有更大的不确定性。

1. 采用所显示的约定：N的第二个参数表示方差。

2. 适用于本片段所述的边缘分布。

1. 布朗运动的边缘正态分布定义展示

1. 公式
   观察依据

   白板上写着标题‘布朗运动’。

2. 声音
   观察依据

   说话人讨论布朗运动的性质。

一种随机过程，其取值服从均值为零、方差与时间成正比的正态分布，且具有独立增量。

1. $X_t$ 服从正态分布，记为 $X_t \sim N(0, t)$

2. 当 $s < t$ 时，$X_t - X_s$ 服从正态分布，记为 $X_t - X_s \sim N(0, t-s)$

3. 增量相互独立

1. 公式
   观察依据

   写作 $X_t \sim N(0, t)$ 且 $X_t - X_s \sim N(0, t-s)$

2. 声音
   观察依据

   说话人提到了‘正态分布’

一种连续型概率分布，由其均值和方差完全刻画。在此语境中，它描述了布朗运动过程在给定时刻或某一时段上的分布

1. μ 表示均值

2. $σ^2$ 表示方差

1. 公式
   观察依据

   写作 $X_t - X_s$

2. 声音
   观察依据

   说话人说：‘增量基本上是指……在某个微小时间区间内的变化量’

过程在两个时刻 s 和 t 之间的取值之差，表示该时间区间内的变化量。

1. s 小于 t

1. 布朗运动

1. 公式
   观察依据

   白板显示：$X_t$ ∼ $N(0,t)$。

2. 声音
   观察依据

   讲师回顾指出：$X_t$ 服从正态分布，均值为零，方差等于时间。

视频指出，对于布朗运动，时刻 t 的取值服从均值为0、方差为 t 的正态分布。讲师强调，均值为0意味着最可能的取值是0，而非指每条实现路径在样本路径意义上平均始终停留在0。

1. t 大于等于0

2. 均值为0

3. 方差为 t

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $X_t - X_s \sim N(0,t-s)$，其中 $t > s$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，这是针对 t 大于 s 的情形；否则方差将为负数。

对于两个时刻 s 和 t（满足 $t > s$），增量 $X_t - X_s$ 服从均值为0、方差等于经过时间 t-s 的正态分布。条件 $t > s$ 是必要的，以保证方差为正。

1. t 大于 s

2. 增量的均值为0

3. 增量的方差为 t-s

1. 布朗运动在时刻 t 的边际分布

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $X_t - X_s \perp X_w - X_v$，其中 $t > s$ 且 $w > v$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出该性质适用于互不重叠的区间，并解释说两个互不重叠的区间是相互独立的。

3. 图示
   观察依据

   讲师在上方图中画出两个分离的区间，以说明“互不重叠”。

1. 黑板上在独立性陈述下方还写有 t-s、u-v，但公式中的符号使用的是 v 和 w；从口述内容可明确第二个区间本意应为 v-w，但书写时误用了 u，造成不一致。

视频介绍了布朗运动的独立增量性质：若两个时间区间互不重叠，则对应的增量是相互独立的随机变量。讲师将此与重叠区间作对比——在重叠情况下，观测其中一个增量会提供关于另一个增量的信息。

1. t 大于 s

2. w 大于 v

3. 由 (s,t) 和 (v,w) 所确定的区间互不重叠

1. 布朗增量的分布

1. 声音
   观察依据

   讲师指出方差随时间增长，方差就等于时间，且时间越往后，分布越宽。

2. 图示
   观察依据

   下方示意图显示：在较早时刻附近呈现窄的钟形曲线，而在较晚时刻则呈现更宽的钟形曲线。

讲座从视觉上解读公式 $X_t \sim N(0,t)$：随着时间增加，分布的离散程度增大；在较早时刻，过程更集中在 0 附近；在较晚时刻，较大取值变得更可能，因为已有更多时间发生漂移。

1. 适用于边缘分布律 $X_t \sim N(0,t)$

1. 布朗运动在时刻 t 的边际分布

1. 图示
   观察依据

   白板顶部可见标题“布朗运动”，其下为手绘路径。

2. 公式
   观察依据

   白板上写明$X_t \sim N(0,t)$。

1. 该片段未明确复述初始条件$X_0=0$，但其与$t=0$处显示的公式一致。

对于布朗运动，时刻$t$处的取值服从均值为$0$、方差为$t$的正态分布。这是该过程在固定时刻的边际分布。

1. $t\ge 0$由黑板上展示的时间索引设定隐含给出。

2. 该片段将此作为布朗运动的入门介绍内容之一呈现。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，布朗运动在各个不同领域都有应用：物理学、金融学，显然还有统计学。

布朗运动在物理学、金融学和统计学中均有应用。

1. 正在讨论的术语是布朗运动。

未明确陈述形式化的量词；这只是一个应用领域的非正式列举。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，随着 t 增大，该 t 一一递增；我们展望的未来时间越长，方差就越大。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$X_t \sim N(0,t)$。

对于所展示的定义$X_t \sim N(0,t)$，t 的增大将使$X_t$的方差一一增大。

1. N 的第二个参数表示方差。

2. t 是$X_t$与方差参数中所用的同一时间指标。

在本讲座所考虑的时间范围内，更大的 t 对应更大的方差。

1. 公式
   观察依据

   记作 $X_t \sim N(0, t)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，在时刻 10，方差比时刻 5 更大，但均值仍为零。

对于布朗运动过程 $X_t$，其在任意时刻 t 的取值服从均值为 0、方差为 t 的正态分布。

1. $X_t$ 是一个标准布朗运动过程

对所有 $t \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   记作 $X_t - X_s \sim N(0, t-s)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，该增量服从均值为零、方差为 t-s 的正态分布。

对于布朗运动过程 $X_t$，当 $s < t$ 时，增量 $X_t - X_s$ 服从均值为 0、方差为 t-s 的正态分布。

1. $X_t$ 是一个标准布朗运动过程

2. s 小于 t

对所有 $0 \le s < t$。

1. 公式
   观察依据

   记作 $X_t - X_s$ ⊥⊥ $X_v - X_w$。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出增量 $X_t - X_s$ 与 $X_v - X_w$ 相互独立。

1. 时间点 s、t、v、w 的具体顺序未明确说明，但由独立增量的概念可推出所涉区间互不重叠。

对于布朗运动过程 $X_t$，互不重叠的增量在统计上相互独立。

1. $X_t$ 是一个标准布朗运动过程

对定义互不重叠区间的适当时间点。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“这还要求 t 大于 s，否则方差会为负。”

2. 公式
   观察依据

   白板显示 $X_t - X_s \sim N(0,t-s)$，其中 $t > s$。

为使增量公式 $X_t - X_s \sim N(0,t-s)$ 作为正态分布的方差有意义，必须满足 $t > s$；否则 t-s 将为负数。

1. 增量方差为 t-s

2. 正态分布的方差必须非负

针对所展示的、含时间点 s 和 t 的增量分布律。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出：若时间区间重叠，则其增量相互依赖，因为观测其中一个区间的部分信息，会提供关于另一区间的信息。

2. 图示
   观察依据

   他将不重叠区间与重叠区间作对比，例如 8 到 2 和 11 到 4。

1. 此处仅作为直观解释，而非严格证明。

当两个时间区间重叠时，对应的增量通常是相关的，因为它们共享相同的时间演化过程。

1. 这两个时间区间在时间上重叠

在布朗运动设定下，对于重叠的时间区间。

1. 公式
   观察依据

   白板上显示〔$X_t - X_s$〕⊥〔$X_w - X_v$〕，下方写着‘不重叠’。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，两个不重叠的时间区间将是相互独立的。

对于布朗运动，不重叠时间区间上的增量是相互独立的。

1. t 大于 s

2. w 大于 v

3. 由〔(s,t)〕和〔(v,w)〕所确定的区间不重叠

对于该过程中任意两个不重叠的时间区间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，方差就是从时刻 S 到时刻 T 所经过的时间，即 T 减去 S。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$。

对于$t>s$，增量$X_t-X_s$的方差为$t-s$。

1. 对应的式子为：$t>s$。

2. $X$是黑板上所介绍的布朗运动。

对所有时刻 $s,t$ 满足 $t>s$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，只要增量不重叠，它们就是相互独立的，并解释道：若增量重叠，便会彼此提供信息。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$X_t - X_s \perp X_w - X_v$，并标注“不重叠”。

布朗运动在不重叠时间区间上的增量是相互独立的。

1. 这两个区间各自按时间顺序排列。

2. 这些区间互不重叠。

针对该过程的两段互不重叠的增量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从展示的公式出发，指出均值为零、方差为 t，接着将公式中两次出现的 t 关联起来，从而得出：更远的未来时刻对应更大的方差。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $X_t \sim N(0,t)$。

1. 公式

   $$X_t \sim N(0,t)$$
   解释

   本片段从布朗运动的所示边缘分布开始。

   步骤依据

   直接写在白板上，并由讲师口述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mathbb{E}[X_t]=0$$
   解释

   正态分布的第一个参数是均值，因此期望值为零。

   步骤依据

   对 N(均值, 方差) 的标准解释，加上主讲人明确指出均值为零。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\operatorname{Var}(X_t)=t$$
   解释

   第二个参数是方差，因此方差等于时间指标 t。

   步骤依据

   对 N(均值, 方差) 的标准解释，加上主讲人明确指出方差为 t。

   依据视频推导
4. 公式

   $$t_1<t_2 \Rightarrow \operatorname{Var}(X_{t_1})<\operatorname{Var}(X_{t_2})$$
   解释

   由于方差恰好等于 t，时间越大，方差就越大。

   步骤依据

   恒等函数 t ↦ t 在正时间上的单调性。

   依据视频推导

所展示的定义表明：该过程始终以零为中心，而其离散程度随时间线性增大。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：‘这并不意味着它平均为零，而是指它的均值为零，即最可能取到的值是零。’

1. 这是一种口头上的澄清，而非严格的推导过程。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从展示的定律 $X_t \sim N(0,t)$ 出发。

   步骤依据

   白板公式与口头回顾。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将第一个参数 0 解释为分布意义上的均值，即正态分布的中心。

   步骤依据

   $N(\mu,\sigma^2)$ 的标准含义。

   补充解释
3. 公式

   $$$$
   解释

   需明确指出：这并非断言每条实现路径在样本路径意义上具有零均值；它仅说明该分布最可能取到的值／分布中心为 0。

   步骤依据

   讲师明确的口头澄清。

   视频直接表达

‘均值为零’这一说法指的是 $X_t$ 的正态分布之中心，并非指路径意义上的平均值。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，无论$X_s$起始于正数区域还是负数区域，其增量始终服从正态分布。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$与$t>s$。

3. 图示
   观察依据

   讲解者一边讲解，一边指向时间轴和增量公式。

1. 公式

   $$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$$
   解释

   所展示的增量分布律表明：从时刻$s$到时刻$t$的变化服从均值为$0$、方差为$t-s$的高斯分布。

   步骤依据

   直接从白板上的公式读出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{mean}=0,\quad \text{variance}=t-s$$
   解释

   讲解者指出该正态分布律的两个参数：均值为零，方差等于经过的时间。

   步骤依据

   伴随公式的语音讲解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{sign of }X_s\text{ does not matter}$$
   解释

   路径当前处于正数区域还是负数区域，并不会改变未来增量的分布。

   步骤依据

   讲解者明确对比了起始于正数区域与负数区域的情形。

   视频直接表达

增量分布由时间区间的长度决定，而非路径当前所处的位置。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“如果我说存在这样两个高度重叠的增量，那么显然，知道其中一个增量的信息就会透露另一个增量的部分信息。”

2. 图示
   观察依据

   说话人在时间轴示意图上做手势，对比分离区间与重叠区间。

1. 公式

   $$\text{non-overlapping intervals} \Rightarrow \text{independent increments}$$
   解释

   黑板内容与口头讲解均指出：在非重叠条件下，增量具有独立性。

   步骤依据

   该结论在讲座片段中被直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{mostly overlapped intervals} \Rightarrow \text{information shared}$$
   解释

   若两个增量的时间区间存在公共部分，则观测其中一个增量会揭示该公共部分的信息，从而也揭示另一个增量的部分信息。

   步骤依据

   说话人通过重叠概念口头解释增量之间的依赖关系。

   视频直接表达

独立性与时间区间的互斥性密切相关；一旦出现重叠，便会产生统计依赖性。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示他正在绘制一条布朗运动的样本路径，并将其描述为一种随机地上下起伏的现象。

2. 图示
   观察依据

   画出一个坐标系，横轴为 t，并在其上方勾勒出一条锯齿状且看似连续的曲线。

1. 手绘曲线仅为示意图，而非数值上精确的实现。

展示一条布朗运动样本路径的典型样貌。

1. 横轴表示时间 t。

2. 该过程记为$X_t$。

3. 将布朗运动作为随机过程引入。

提供一条典型轨迹的直观草图。

1. 公式

   $$$$
   解释

   绘制坐标轴，横轴表示时间。

   步骤依据

   主讲人明确指出 x 轴代表时间。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在草图附近标注过程符号$X_t$。

   步骤依据

   主讲人介绍了时间 t 对应的随机变量的记号。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   绘制一条不规则、蜿蜒的曲线，作为某条可能实现路径的示意图。

   步骤依据

   主讲人将该路径描述为一个随机地上下起伏前行的事物。

   视频直接表达

一条在时间轴上方呈现锯齿状、不规则的曲线，用作一条样本路径的视觉示例。

该示意图与主讲人所描述的“随时间随机演化”的路径相符，尽管它是定性的，而非通过计算得出。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将时间 t 等于3与时间 t 等于10进行比较，并指出：在时间3，其取值服从以零为中心的正态分布，且方差不会过大。

2. 图示
   观察依据

   绘制第二幅坐标示意图，横轴上标有刻度3和10。

3. 公式
   观察依据

   先前展示的规则$X_t \sim N(0,t)$仍保留在黑板上。

1. 该片段在主讲人完成 $t=10$处的比较前即结束。

2. 对于 $t=3$的情形，未写出明确的数值密度函数。

利用所展示的定义，比较$X_t$在两个不同时间点的行为。

1. 对应的式子为：$X_t \sim N(0,t)$。

2. 坐标轴上标出了两个时刻：3和10。

解释分布在这两个时刻之间如何变化。

1. 公式

   $$X_3 \sim N(0,3)$$
   解释

   将 $t = 3$ 代入所显示的边际规则中。

   步骤依据

   直接代入$X_t \sim N(0,t)$。

   依据视频推导
2. 公式

   $$X_{10} \sim N(0,10)$$
   解释

   将 $t = 10$ 代入所显示的边际规则中。

   步骤依据

   直接代入$X_t \sim N(0,t)$。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   说话者开始描述 $t = 3$ 的情形：该分布以零为中心，且方差不大。

   步骤依据

   这源于所显示公式中的均值0和方差3。

   视频直接表达

在 $t = 3$ 时，分布比在 $t = 10$ 时更窄，因为此时方差为3而非10；视频片段在完整口头比较结束前就停止了。

该结论可直接由所显示公式及第二幅示意图中标出的时刻得出。

1. 声音
   观察依据

   讲师给出数值示例：$t=5$、$s=3$、$w=10$、$v=7$ 彼此不重叠；8 到 2 与 11 到 4 在 4 到 8 区间上重叠。

2. 图示
   观察依据

   他指向黑板，并画出若干互不相交的区间以说明该概念。

1. 口头表述中的‘8 到 2’和‘11 到 4’属于非正式说法；实际所指的区间是 [2,8] 和 [4,11]。

利用具体数字，在独立增量性质中区分非重叠的时间区间与重叠的时间区间。

1. 第一区间的端点：$t=5$，$s=3$

2. 第二区间的端点：$w=10$，$v=7$

3. 对比示例：区间[2,8]与[4,11]

判断哪些区间对是非重叠的，因而其增量相互独立；哪些是重叠的，因而其增量相互依赖。

1. 公式

   $$[3,5]$$
   解释

   将第一对改写为从$s=3$到$t=5$的时间区间。

   步骤依据

   直接源自讲师口述的示例。

   视频直接表达
2. 公式

   $$[7,10]$$
   解释

   将第二对改写为从$v=7$到$w=10$的时间区间。

   步骤依据

   直接源自讲师口述的示例。

   视频直接表达
3. 公式

   $$[3,5] \cap [7,10] = \varnothing$$
   解释

   这两个区间不共享任何时间点，因此是非重叠的。

   步骤依据

   对这两个区间进行集合交集检验。

   依据视频推导
4. 公式

   $$X_5 - X_3 \perp X_{10} - X_7$$
   解释

   因此，对应的增量由布朗运动的独立增量性质保证相互独立。

   步骤依据

   将前述定理应用于互不重叠的区间。

   视频直接表达
5. 公式

   $$[2,8] \cap [4,11] = [4,8]$$
   解释

   在对比示例中，这两个区间在[4,8]上重叠。

   步骤依据

   根据口述的数值直接计算区间交集。

   依据视频推导
6. 公式

   $$X_8 - X_2 \not\perp X_{11} - X_4$$
   解释

   由于区间重叠，其增量是相关的，而非独立的。

   步骤依据

   讲师的直观解释：共享的时间段导致了相关性。

   视频直接表达

互不重叠的示例：[3,5]与[7,10]给出独立的增量；重叠的示例：[2,8]与[4,11]共享[4,8]，因此它们的增量是相关的。

通过比较区间交集来验证：交集为空表示不重叠，交集非空表示重叠。

1. 图示
   观察依据

   白板最初在顶部显示标题“布朗运动”。

2. 图示
   观察依据

   主讲人画出一条纵轴和一条横轴，置于标题下方。

1. 白板标题为“布朗运动”

2. 纵轴

3. 横轴

1. 一块空白且带有标题的板面变为一个坐标系示意图。

2. 横轴随后被标识为时间。

1. 主题始终是布朗运动。

2. 该示意图置于标题下方。

这一视觉布置引入了一幅图像，其横向方向将表示该随机过程的时间参数。

1. 图示
   观察依据

   一条锯齿状曲线被绘制在第一个坐标系中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，布朗运动可能看起来就像这样，并将其描述为一种随机地磕磕绊绊前行的现象。

1. 确切形状为手绘，未作定量规定。

1. 锯齿状曲线

2. 时间轴

3. 纵轴（取值轴）

1. 一个空白坐标平面增添了一条不规则路径。

2. 随着时间增加，该路径上下起伏。

1. 该曲线始终保持为一条看似连续的轨迹。

2. 横轴仍表示时间。

类似动画的实时绘制方式表明：布朗运动的单个实现是不规则且波动的，而非光滑或确定性的。

1. 图示
   观察依据

   在公式下方绘制了第二个坐标系。

2. 图示
   观察依据

   横轴上标有3和10的刻度标记。

3. 声音
   观察依据

   主讲人将时间 t 等于3与时间 t 等于10进行比较。

1. 该片段在两个时刻的完整分布示意图绘制完成前即结束。

1. 第二个坐标系

2. 刻度标记3

3. 刻度标记10

4. 水平的时间轴

1. 在公式下方新增了一组坐标轴。

2. 标出用于比较的具体时间值3和10。

1. 同一定义$X_t \sim N(0,t)$适用于这两个时刻。

2. 横轴继续表示时间。

第二个图示从单条样本路径转向对两个不同时刻的边缘分布进行比较。

1. 图示
   观察依据

   一幅图，横轴标为“t”，纵轴无标签。两条钟形曲线被画出：一条以 $t=5$ 为中心，另一条更宽，以 $t=10$ 为中心，两条曲线在纵向上均以 0 为中心。

1. 横轴（时间 t）

2. 纵轴

3. $t = 5$ 时的钟形曲线

4. $t = 10$ 时的钟形曲线

1. 说话人绘制了第二条更宽的钟形曲线，位于 $t = 10$ 处，用以说明方差增大。

1. 两条曲线均以纵坐标值 0 为中心，代表均值。

该图像直观地表明：随着时间 t 增大，布朗运动 $X_t$ 的方差增大，而均值保持为零。

1. 图示
   观察依据

   一条锯齿状折线图，表示布朗运动的一条样本路径，并在时刻 s 和 t 处标出对应点。

1. 锯齿状折线

2. 时刻 s 处的点

3. 时刻 t 处的点

1. 主讲人指向时刻 s 和 t 处的取值，以解释增量的概念。

该图像通过过程在两个不同时刻的取值之间的竖直差，直观展示了增量 $X_t - X_s$ 的概念。

1. 图示
   观察依据

   黑板标题为‘布朗运动’；其下方是一条锯齿状路径草图、公式$X_t \sim N(0,t)$、一条标有若干点的时间轴草图、公式$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$（其中$t > s$）、以及公式$X_t - X_s \perp X_w - X_v$（其中$t > s$，$w > v$，且区间互不重叠），附近还写着t-s和u-v。

1. 时间轴上部分手写标签较小，除主要公式外难以完全辨认。

1. 标题‘布朗运动’

2. 锯齿状路径示意图

3. 公式 $X_t \sim N(0,t)$

4. 时间轴示意图

5. 公式 $X_t - X_s \sim N(0,t-s)$

6. 公式 $X_t - X_s \perp X_w - X_v$

7. 手写条件：$t > s$，$w > v$，不重叠，t-s，u-v

1. 讲师在增量公式和独立性公式旁补充了条件 $t > s$ 和 $w > v$。

2. 他在独立性陈述下方写下‘不重叠’和‘t-s，u-v’。

3. 他随后在上方图中额外画出区间标记，以说明不重叠。

1. 本片段始终围绕布朗运动这一核心主题展开。

2. 边缘分布律 $X_t \sim N(0,t)$ 一直保留在黑板上。

黑板将本课内容组织为三个层次：边缘分布、增量分布，以及不相交时间区间上增量的独立性。

1. 图示
   观察依据

   下方示意图显示：在较早时刻附近是一条窄的钟形曲线，随着时间轴向后推移，后期则是一条更宽的钟形曲线。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，方差随时间增长，时间越往后，分布越宽。

1. 所绘曲线的精确水平位置仅为示意性，而非数值标定。

1. 较早时刻附近的窄钟形曲线

2. 较晚时刻的宽钟形曲线

3. 时间轴

1. 随着示意图中时间向后移动，所绘制的正态曲线变得越来越宽。

1. 两条曲线均以0为中心。

2. 该图所传达的定性信息是：方差随时间增加。

该图示表明，$X_t$ 始终以0为中心，但随 t 增大而变得更加离散，这与 $X_t \sim N(0,t)$ 一致。

1. 图示
   观察依据

   讲师在上方路径示意图中画出两个互不重叠的时间区间，用以解释增量的非重叠性。

2. 声音
   观察依据

   他说：‘我可以画出两个不重叠的区间，就在这里画，它们将是相互独立的。’

1. 新画出的区间上端点和下端点的具体标签并非全部清晰可辨。

1. 上方呈锯齿状的布朗路径

2. 两条各自标出的区间

1. 在路径上标出了两个不同的区间，用以表示互不重叠的时间窗口。

1. 所画区间彼此不重叠。

2. 其目的在于直观呈现增量的独立性。

该图示将时间轴划分为互不相交的若干段，以表明对应的增量是相互独立演化的。

1. 图示
   观察依据

   一块白板上显示标题“布朗运动”，一条锯齿状样本路径，一条标有$s$和$t$的水平时间轴，以及三个公式：$X_t \sim N(0,t)$、含$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$的$t>s$、含$X_t - X_s \perp X_w - X_v$的公式，其侧边条件中包含“非重叠”。

2. 动画
   观察依据

   主讲人先指向增量公式，再指向时间轴，接着指向独立性说明行，最后作宽泛手势并作总结。

1. 独立性说明行下方手写的精确侧边条件中包含$u>v$，尽管图中显示的第二个增量使用的是$w$和$v$；这似乎是白板上的一个记号不一致问题。

1. 标题“布朗运动”

2. 锯齿状样本路径

3. 带标记$s$和$t$的水平时间轴

4. 公式$X_t \sim N(0,t)$

5. 公式$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$

6. 公式$X_t - X_s \perp X_w - X_v$

7. 手写条件$t>s$、$u>v$以及“非重叠”

1. 讲师将注意力从边际分布律转向增量分布律，再转向独立性条件。

2. 手势指向将口头讲解与具体公式及时间轴示意图关联起来。

1. 板书内容在整个片段中保持固定不变。

2. 核心主题始终是布朗运动所定义的概率结构。

视觉布局将布朗运动分为三个层次：固定时刻的边缘正态性、区间上的高斯增量，以及不相交区间上增量之间的独立性。

1. 声音
   观察依据

   在画出一条看似随机物体磕磕绊绊行进的路径后，主讲人指出：概率与统计工具能够简洁地定义布朗运动，这非常酷。

有人可能认为布朗运动只是一条不规则、看似随机的曲线，没有任何精确的结构。

主讲人将粗略草图与简洁的概率定义作对比，即写在黑板上的正态分布规则。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出：随着 t 增大，方差也一对一地增大。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$X_t \sim N(0,t)$。

有人可能假设$X_t$的离散程度在所有时刻都保持不变。

在所展示的定义中，方差等于 t，因此分布会随时间推移而变得越来越分散。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确更正自己：‘并非指它在时间平均意义上为零，而是指其均值为零，即最可能取到的值是零。’

误以为“均值为零”意味着每条实际实现的路径在时间上的平均值都为零。

视频阐明，均值为零指的是$X_t$的正态分布的中心，即最可能取到的值是0，而非样本路径的平均值表述。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，若t不大于s，则‘否则方差将为负数’。

使用$X_t - X_s \sim N(0,t-s)$，且不强制要求$t > s$。

视频强调，t必须大于s，才能保证t-s是一个有效的正值方差。

1. 声音
   观察依据

   讲师对比了非重叠区间与重叠区间，并指出重叠区间之间存在依赖关系。

误以为即使时间区间发生重叠，增量之间仍是相互独立的。

仅当增量对应的时间区间互不重叠时，它们才相互独立；重叠区间共享时间演化过程，因而导致依赖性。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，即使增量起始于负值区域或正值区域，$s$与$t$之间的变化仍服从均值为零、方差为$t-s$的正态分布。

人们可能认为，如果$X_s$已经为正或为负，则未来的增量应服从不同的分布。

增量$X_t-X_s$始终为$N(0,t-s)$，无论当前位置$X_s$是正还是负。

1. 声音
   观察依据

   讲解者解释道，如果两个增量大部分重叠，那么知道其中一个便能获得关于另一个的信息。

人们可能在未检验时间区间的情况下，就假设布朗运动的所有增量都相互独立。

仅对不重叠的增量断言其独立性；重叠的增量是相关的，因为它们共享共同的时间段。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将随机过程定义为一个随时间演化的随机变量，随后引入$X_t$作为带索引的随机变量。

通过时间索引记号$X_t$，随机过程的一般概念得以具体化。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从记号$X_t$过渡到指出：布朗运动可由均值为零、方差为 t 的正态分布来定义。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$X_t \sim N(0,t)$，这是在引入记号$X_t$之后。

采用时间索引记号来表述布朗运动的边际分布律。

1. 声音
   观察依据

   主讲人直接从公式中读出推论，并指出相同的 t 既出现在下标中，又作为方差出现。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的公式是$X_t \sim N(0,t)$。

方差随时间增长这一结论，直接依赖于将$N(0,t)$的第二个参数解释为方差。

1. 声音
   观察依据

   主讲人使用正态分布来描述布朗运动的性质。

布朗运动的性质——特别是其边缘分布以及增量的分布——均借助正态分布加以定义。