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中国剩余定理，2分钟方法

Errichto Algorithms · YouTube · 8:48

YouTube · Errichto Algorithms原视频

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视频中的要点

01阅读同余方程组
02一个同余式对应一个等差数列
03通过逐项扫描求两个同余式的交集

来自学习笔记

x \equiv 3 \pmod{4},\quad x \equiv 5 \pmod{6},\quad x \equiv 2 \pmod{5}

阅读同余方程组

选中时刻

针对模7的余数技巧

建议预备知识

基础模运算及同余符号的含义
等差数列
整数的最小公倍数
基础模同余式 x ≡ r (mod m)
最小公倍数的定义
最大公因数的定义
互质整数的概念
模运算的基本定义
最小公倍数（LCM）的概念
互质整数的定义
模运算基础
最大公约数（GCD）
最小公倍数（LCM）
全等的定义

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本 150秒白板课使用迭代搜索法求解同余方程组：x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 5 (mod 6), x ≡ 2 (mod 5)。首先列出模 3 余 4 的数，然后从中选出第一个也满足模 5 模 6，即 11。前两个同余式的解族由 LCM(4、6) = 12 推进，得到 11、23、35、47、…，且首个与 2 模 5 同余的项为 47。视频接着指出，所有解均为47 加上 LCM(4、6、5) 的倍数，即 60，并最终将相同模式推广到四同余方程组，使用 $x_0$ 和 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )。此 150——第二段白板讲解围绕最小公倍数，介绍一种实用的中国剩余定理解题流程。它首先指出：一旦若干同余式被解出，则所有相容解构成一个等差数列，其公差为已合并模数的最小公倍数。接着，主讲人区分互质情形（此时LCM(a,b)=ab）与非互质情形，使用5 和 12 对比 4 和 6，说明为何用乘积替代最小公倍数会跳过诸如 47 的有效解。演示了两种计算LCM(4,6)的方法：一是列出倍数直至找到 12；二是使用公式 LCM=ab/GCD。在最后的例题演算中，求解同余方程组 x≡1 (mod 4), x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡3 (mod 7) 被重新排序，使余数相等的同余式排在前面。由 x≡1 (mod 4) 和 x≡1 (mod 5)，得到解的序列 1，21，41，…，因为 LCM(4，5) =20。视频片段在选中21作为首个满足x≡0 (mod 3)的项后结束；7模运算步骤在此片段中未完成。本视频演示一种构造性方法，依据中国剩余定理原理求解四个线性同余式组成的方程组。主讲人迭代地合并条件：首先将模4与模5合并，得到步长20；再引入模3，将步长更新为60。为避免计算过大数值而处理最终模7，采用“余数技巧”，在模7意义下生成余数序列，直至找到目标值。由此确定等差数列中的正确项，得出解381。最后，通解周期计算为LCM(60,7)=420。本视频片段展示了利用中国剩余定理求解线性同余方程组的构造法。它强调了当以与模数互质的步长进行迭代时，余数呈现周期性；由此证明：若解存在，则必在 m 步之内出现，否则即无解。片段最后分析了该迭代方法的算法时间复杂度，其与各模数之和呈线性关系。

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章节

0:00问题陈述与记号说明 0:09满足第一个同余式 0:22与第二个同余式取交集 0:39利用 LCM(4,6)=12 生成联合解 1:04搜索满足第三个同余式的解，并找到 47 1:31以步长 60 表示的完整解族 2:02推广至更多同余式 2:30中国剩余定理的逐步求解序列 2:57当模数互质时的最小公倍数 3:06为何乘积并不总是最小公倍数 3:35直接计算LCM(4,6)3:51利用最大公约数计算最小公倍数的公式 4:06对规模较大的同余方程组进行重排 4:26合并模4与模5的同余式 4:46选取第一个能被3整除的解 5:00合并前两个同余式（模4与模5）5:15加入第三个同余式（模3）并更新步长 5:40针对模7的余数技巧 6:42计算具体解 7:05通解与周期性 7:30余数序列分析 8:00有界搜索与无解情形 8:16算法复杂度分析

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频开头在黑板上展示了一个由三个同余式构成的具体方程组：x ≡ 3 (mod 4)，x ≡ 5 (mod 6)，x ≡ 2 (mod 5)。蓝色箭头将3标注为余数，将4标注为模数，从而在求解开始前就向观众说明了每一行的读法。

第一步是逐个处理每个条件。为满足 x ≡ 3 (mod 4)，主讲人写出等差数列：3，7，11，……，并指出每次加上4都不会改变对4取模所得的余数。这是该方法的基本构建单元：一个同余式给出一个无限候选数集。

接下来，主讲人将该解族与第二个同余式 x ≡ 5 (mod 6）。候选数按顺序测试：3 不满足，7 除以 1 的余数为 6，且 11 除以 5 的余数为 11。因此，

视频随后强调：11并非唯一解。一旦前两个同余式均被满足，整个联合解集即可通过加上一个能被已使用模数整除的数而得到。由于 LCM(4,6)=12，新的等差数列变为：11，23，35，……，公差为12。这是该方法的核心迭代规则。

在将前两个条件合并为一个数列后，主讲人在此数列中搜索首个满足最后一个同余式 x ≡ 2 (mod 5) 的项。检验过程明确列出：11 ≡ 1 (mod 5)，23 ≡ 3 (mod 5)，35 ≡ 0 (mod 5)，然后 47 ≡ 2 (mod 5)。因此，47被宣布为该三同余方程组的最小解。

最后的数值步骤是描述全部解，而不仅是最小解。主讲人计算得 LCM(4,6,5)=60，并解释道：这等价于取前一步的公差12与新模数5，再计算它们的最小公倍数。因此，完整呈现的解集为：47，107，167，227，……，即 $x = 47 + 60k$ 。

最后一部分将该过程抽象化。黑板上用四行一般形式 x ≡ $r_i$ (mod $m_i$ ) 替代具体数字，并写出数列： $x_0$ ， $x_0$ +LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )， $x_0+2$ ·LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )，……。主讲人解释道：在解出前三个同余式后，需扫描此数列，找出首个满足第四个同余式的项，记为 a；并指出后续步骤将以同样方式继续。视频在此处结束，未完成 a 之后的下一个完整公式。

该片段从一个含四个同余式的通用中国剩余定理系统开始。关键视觉要点在于：系统部分求解后，剩余候选解并非任意——它们构成一个等差数列。黑板上写出 $x_0$ ， $x_0$ +LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )， $x_0+2$ ·LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )，……，随后指出：引入第四个模数后，又会得到一个新的起始值a和一个新的公差，该公差仍由某个最小公倍数给出。

随后，讨论聚焦于模数互质时的规则。屏幕上显示的公式是：若 a 与 b 互质，则 LCM(a,b) = $a\cdot b$ ；示例 LCM(5,12) = 60 展示了该捷径的实际应用。这一点对孙子定理（CRT）至关重要，因为相容解之间的步长恰好等于已合并模数的最小公倍数。

紧接着，说话者警示：当模数有公共因数时，乘积法则失效。反例采用4与6这一组数：它们的乘积为24，但最小公倍数仅为12。黑板随后通过以24为公差写出序列11、35、59、……并指出47被跳过，来说明该错误做法的后果。这正是本片段所要纠正的核心误解。

为计算非互质数的正确最小公倍数，视频首先采用具体的枚举法：列出 4 的倍数 4, 8, 12, …，其中第一个能被 6 整除的是 12，因此 LCM(4,6) = 12。这是最小公倍数定义的一种直接数值实现。

接着写出替代的一般公式：LCM = $a\cdot b$ / GCD。将其应用于 4 和 6，得到 gcd(4,6) = 2，从而 LCM(4,6) = $24/2 = 12$ 。这将特殊的互质乘积法则与联系 LCM 和 GCD 的更广泛算术恒等式关联起来。

一个更大的例题出现：x ≡ 1 (mod 4)，x ≡ 0 (mod 3)，x ≡ 1 (mod 5)，x ≡ 3 (mod 7)。第一个方法技巧是重排同余式。由于该方程组是联立的，置换顺序不改变解集。主讲人将 x ≡ 1 (mod 5) 向上移动，使两个余数均为 1 的同余式相邻。

将 x ≡ 1 (mod 4) 与 x ≡ 1 (mod 5) 并置后，公共解立即可得： $x = 1$ 同时满足两者。合并后的解集即为 1 加上 LCM(4,5) 的整数倍。由于 4 与 5 互质，该最小公倍数即为 20，因此解的序列变为 1, 21, 41, … 。这便是孙子定理（CRT）步骤在实际中的体现。

下一步任务是满足 x ≡ 0 (mod 3)。需在序列 1, 21, 41, … 中扫描首个能被 3 整除的项。项 1 不满足，但 21 满足，因此 21 成为前三个同余式的首个公共解。该片段在此处结束，尚未处理模 7 的同余式，也未写出包含模数 3 后更新的最小公倍数。

我们从一组同余式出发。屏幕上显示 $x \equiv 1 \pmod 4$ 与 $x \equiv 1 \pmod 5$ 。合并二者可知，任何同时满足这两个同余式的数，其差必为 $\text{lcm}(4,5)=20$ 的倍数。由于1满足条件，候选数序列为 $1, 21, 41, \dots$ ，屏幕上记为 $1, 21, \dots (+20)$ 。

接下来，我们引入条件 $x \equiv 0 \pmod 3$ 。我们检验上一步得到的候选解。1不能被3整除，但21可以。因此，21成为我们的新起点。步长更新为 $\text{lcm}(20,3)$ 。由于20与3互质，新的步长为 $20 \times 3 = 60$ 。候选序列变为 $21, 81, 141, \dots$ ，如 $21, 81, \dots (+60)$ 所示。

最后，我们必须满足条件 $x \equiv 3 \pmod 7$ 。逐一检验像81、141这样的大数十分繁琐。取而代之，我们采用余数技巧：考察该序列对7取模的结果。起始值21给出余数 $21 \equiv 0 \pmod 7$ ；步长60给出余数增量 $60 \equiv 4 \pmod 7$ 。因此，后续每一项的余数都比前一项增加4（对7取模）。

我们生成余数序列：从0开始；加上4得到4；加上4得到 $8 \equiv 1$ ；加上4得到5；加上4得到 $9 \equiv 2$ ；加上4得到6；加上4得到 $10 \equiv 3$ 。我们已达到目标余数3。在屏幕上，该序列写作 $0, 4, 1, 5, 2, 6, 3$ ，其中 $(+4)$ 被特别标出。

从起始点（0）开始计数，经过6次对4的加法运算后到达3。这对应于我们的等差数列6的第 $21 + 60k$ 项。计算该值： $21 + 6 \times 60 = 21 + 360 = 381$ 。这就是我们的一个特解。

为描述全部解，我们求出整个系统的周期，即 $\text{lcm}(60, 7)$ 。由于60与7互质，该周期为 $60 \times 7 = 420$ 。因此，通解为 $x \equiv 381 \pmod{420}$ 。下一个解将是 $381 + 420 = 801$ 。讲解者提醒我们：最小公倍数的乘积法则仅在两数互质时成立。

除基本解外，请观察在模 7 下测试数值时生成的余数序列。从 21 开始，余数依次为 0、4、1、5、2、6、3。

因为步长（60）与模数（7）互质，这些余数构成一个完整循环，覆盖从0到6的所有剩余类。该序列无限重复。

这种周期性意味着搜索范围有严格上界：你最多只需检查 $m$ 个值。若在此前尚未出现目标余数，则该同余式无解。

从编程角度看，这决定了算法的效率。时间复杂度由各模数之和决定，记为 $O(m_2 + m_3 + m_4)$ ，因为每一阶段最多需要 $m_i$ 次迭代。

知识卡片

阅读同余方程组

开场黑板展示了关于同一未知数 x 的三个模运算条件。‘余数’与‘模数’的标签明确了 x ≡ 3 (mod 4) 中各数的角色，因此本题即求一个整数 x，使其分别对4、6、5取模所得余数依次为3、5、2。

x \equiv 3 \pmod{4},\quad x \equiv 5 \pmod{6},\quad x \equiv 2 \pmod{5}

一个同余式对应一个等差数列

为满足单个同余式，可从一个合法代表元出发，持续加上模数。在本例中，所有形如 $3 + 4k$ 的数均满足第一个条件，因此黑板上写作：3，7，11，……（+4）。

3,\ 7,\ 11,\ldots \quad (+4)

通过逐项扫描求两个同余式的交集

不立即代数求解，而是将当前解的进度与下一个同余式进行检验。此处3和7在模6下不成立，而11成立，因此11成为前两个条件的第一个联立解。

为何步长变为LCM(4,6)=12

当满足前两个同余式后，任何进一步的增量都必须同时被两个模数整除，才能保持两个余数不变。满足该要求的最小正增量即为它们的最小公倍数，因此联立解族以12为步长递进：11、23、35……

\mathrm{LCM}(4,6)=12

寻找最小的完整解

被确定为首个同时满足前两个同余式的数。11、23 和 35 均不满足除以 2 模 5，但 47 满足，因此 47 是满足全部三个条件的最小解。

47 \equiv 2 \pmod{5}

所有解的步长均为LCM(4,6,5)=60

一旦47满足整个同余方程组，则通过加上三个模数的最小公倍数，即可得到全部解族。视频中计算出该最小公倍数为60，并列出47、107、167、227……作为依次出现的解。

x = 47 + 60k

适用于更多同余式的通用迭代模式

结尾板书对方法作了抽象概括：若 $x_0$ 是前三个同余式的解，则所有此类解构成形如 $x_0 + k$ ·LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )的序列。下一步任务是找出该序列中首个满足第四个同余式的项，视频中记作a。

x_0,\ x_0+\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+2\,\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ldots

孙子定理（CRT）候选解构成一个以最小公倍数为间隔的等差序列

在求解部分同余式后，其余所有相容解均可通过对当前已合并模数的最小公倍数添加整数倍而获得。视频将其表示为 $x_0$ , $x_0$ + LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), $x_0 + 2$ ·LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), …，随后在加入另一个模数后再次重复这一思想。

x_0,\ x_0+\operatorname{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+2\operatorname{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ldots

若两个模数互质，则它们的最小公倍数等于其乘积

对于互质的正整数 a 和 b，其最小公倍数等于 ab。该捷径在孙子定理（CRT）流程中用于快速确定步长，例如 LCM(5,12) = 60，以及后续的 LCM(4,5) = 20。

\operatorname{LCM}(a,b)=ab \quad \text{if } \gcd(a,b)=1

模数不互质时：乘积不等于最小公倍数

当 a 和 b 有大于1的公因数时，它们的乘积通常过大，无法成为最小公倍数。例子4和6清楚地说明了这一点： $4\cdot 6=24$ ，但 LCM(4,6)=12。在 CRT 步骤中使用24会跳过像47这样的有效解。

4\cdot 6=24,\quad \operatorname{LCM}(4,6)=12

计算 LCM(4,6) 的两种方法

视频演示了直接搜索法和基于公式的两种方法。列出4的倍数得到4、8、12……，其中第一个能被6整除的倍数是12。等价地，利用 GCD 公式可得 LCM(4,6)= $4\cdot 6$ /gcd(4,6)= $24/2=12$ 。

\operatorname{LCM}(a,b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)}

允许重新排列同余式顺序

一组联立同余式可以按任意顺序书写，而不改变其解集。讲解者利用这一点，将 x ≡ 1 (mod 5) 移至 x ≡ 1 (mod 4) 旁边，使相等余数的模式一目了然。

余数相等可立即给出一个特解

若两个同余式的余数相同，均为 r，则 $x = r$ 同时满足二者。完整的合并解集即为 r 加上两个模数的最小公倍数的整数倍。在该例中，x ≡ 1 (mod 4) 和 x ≡ 1 (mod 5) 立即导出数列1、21、41……，因为 LCM(4,5)=20。

x\equiv r\pmod m,\ x\equiv r\pmod n \Rightarrow x=r+k\operatorname{LCM}(m,n)

在数列中扫描下一个模数的解

一旦已知部分 CRT 解集，下一个同余式便通过测试该数列中的各项来处理。从1、21、41……中，第一个能被3整除的项是21，因此21成为模4、5和3三个同余式的首个公共解。视频片段在完成模7步骤前结束。

迭代中国剩余定理法

一种逐个合并线性同余方程组的求解策略。在每一步中，始终维护一个候选解构成的等差数列。当加入新的同余式 $x \equiv r \pmod m$ 时，将步长更新为 $\text{lcm}(\text{current step}, m)$ ，并找出当前等差数列中首个满足该新条件的项。

互质数的最小公倍数

若两个整数 $a$ 与 $b$ 除1外没有其他公因数（即 $\gcd(a,b)=1$ ），则它们的最小公倍数就是其乘积： $\text{lcm}(a,b) = a \cdot b$ 。这简化了中国剩余定理法中步长的计算。

\text{lcm}(a,b) = ab \iff \gcd(a,b)=1

余数序列技巧

为在等差数列 $a, a+d, a+2d, \dots$ 中找到满足 $x \equiv r \pmod m$ 的项，而又不需计算过大数值，可分析其对 $m$ 取模的余数序列。从 $a \bmod m$ 出发，反复加上 $d \bmod m$ （对 $m$ 取模），直至得到 $r$ 。所用加法次数即表明原等差数列中哪一项是解。

r_{next} \equiv (r_{curr} + (d \bmod m)) \bmod m

通解的周期性

一旦找到一个特解 $x_0$ 用于求解模数为 $m_1, \dots, m_k$ 的同余方程组，所有解为 $x_0 + n \cdot L$ ，其中 $L = \text{lcm}(m_1, \dots, m_k)$ 且 $n$ 为整数。在视频示例中， $L = \text{lcm}(3,4,5,7) = 420$ 。

x \equiv x_0 \pmod{\text{lcm}(m_1, \dots, m_k)}

中国剩余定理余数循环性质

求解时 $x \equiv a \pmod m$ 通过迭代 $x = x_0 + k \cdot S$ 其中 $\gcd(S, m) = 1$ ，余数序列 $(x_0 + kS) \pmod m$ 恰好遍历所有 $m$ 可能的剩余类一次，然后开始重复。这保证了若解存在，则必在 $m$ 步之内找到。

中国剩余定理中的有界搜索

由于余数具有循环性，对特定模数 $m$ 检查超过 $m$ 个值是冗余的。若目标余数在前 $m$ 次迭代中未出现，则该方程组无解（或计算有误），可提前终止。

迭代式中国剩余定理的复杂度

所描述的中国剩余定理构造性方法，其时间复杂度正比于顺序检查中涉及的各模数之和。对于模数为 $m_1, m_2, \dots, m_k$ 的方程组，其复杂度约为 $O(\sum_{i=2}^k m_i)$ 。

O\left(\sum_{i=2}^k m_i\right)

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 31

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
未知数在所展示的同余式及推广后的方程组中均记为 x。
声音
观察依据
说话人说：“我们正在寻找最小的 x 值。”

符号

含义

同余方程组的一个整数解；在例题中，它表示满足所有所列模条件的那个待求的数。

适用范围

整数；本片段中，通过序列法寻找的是最小的非负或正代表元。

$m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $m_4$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
示例中出现记号 (mod 4)、(mod 6)、(mod 5)，推广形式中则出现 (mod $m_1$ )、(mod $m_2$ )、(mod $m_3$ )、(mod $m_4$ )。
声音
观察依据
说话人将 mod 后的数称为模，并说：“你可以加上一个能被迄今所有模整除的数。”

符号

$m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $m_4$

含义

各同余式的模；在具体例题中，它们是 4、6 和 5。

$r_1$ , $r_2$ , $r_3$ , $r_4$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
推广后的方程组显示为 x ≡ $r_1$ (mod $m_1$ )、x ≡ $r_2$ (mod $m_2$ )、x ≡ $r_3$ (mod $m_3$ )、x ≡ $r_4$ (mod $m_4$ )。
声音
观察依据
在例题中，数字 3、5 和 2 被视为需匹配的余数。

符号

$r_1$ , $r_2$ , $r_3$ , $r_4$

含义

每个同余式所指定的余数。

LCM

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“它们的最小公倍数（LCM）是 12”，随后又说：“取 4、6、5 的最小公倍数。”
公式
观察依据
屏幕上先后显示 (+12) 和 (+60)，而在一般公式中为 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )。

符号

LCM

含义

模数的最小公倍数已纳入考虑；用作当前解序列的步长。

$x_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
通解序列以 $x_0$ 为起始项。
声音
观察依据
说话人说：“假设你已求出前三个同余式的解，即 $x_0$ 。”

符号

$x_0$

含义

在通式设定下，前三个同余式的一个特解。

a

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在通解序列被引入后，手写的字母 a 出现在底部。
声音
观察依据
说话人说：“我们求出它之后，假设它是 a。”

待核验内容

该片段在下一个解族的完整表达式写完之前就结束了。

符号

含义

序列 $x_0 + k$ ·LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ) 中第一个也满足第四个同余式的值。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
变量 x 出现在同余式中，例如 x ≡ $r_1$ (mod $m_1$ )，之后又出现在具体方程组 x ≡ 1 (mod 4) 中。

符号

含义

在同余方程组中待求解的未知整数。

适用范围

整数

$r_i$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $r_3$ 、 $r_4$ 在一般中国剩余定理（CRT）系统中作为余数出现。

符号

$r_i$

含义

在一般同余式 x ≡ $r_i$ (mod $m_i$ ) 中，与模 $m_i$ 对应的余数。

适用范围

整数

$m_i$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 $m_1$ 、 $m_2$ 、 $m_3$ 、 $m_4$ 在一般中国剩余定理（CRT）系统中作为模数出现。

符号

$m_i$

含义

同余式 x ≡ $r_i$ (mod $m_i$ ) 中的模数。

适用范围

正整数

LCM

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
最小公倍数（LCM）用于解的序列中，且当 a 与 b 互质时，公式 LCM(a,b) = $a*b$ 成立。
声音
观察依据
主讲人说出‘最小公倍数’一词，并用 LCM 描述解之间的步长。

符号

LCM

含义

给定整数的最小公倍数；用作相容解的周期或步长。

适用范围

正整数

a, b

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展示了当 a 与 b 互质时，最小公倍数公式 LCM(a,b)= $a*b$ ，并随后写出一般公式 LCM = $a\cdot b$ / GCD。

符号

a, b

含义

正在计算其最小公倍数的两个正整数。

适用范围

正整数

GCD

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
分母 GCD 出现在公式 LCM = $a\cdot b$ / GCD 中。
声音
观察依据
说话人说：‘a 与 b 的最大公约数’。

符号

GCD

含义

两个整数的最大公约数。

适用范围

正整数

知识点 · 16

示例中的同余记号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 x ≡ 3 (mod 4)，x ≡ 5 (mod 6)，x ≡ 2 (mod 5)。
声音
观察依据
说话人将任务介绍为求解一个同余方程组，并命名了这三个条件。
图示
观察依据
箭头将 3 标注为余数，将 4 标注为模数。

定义

解释

每行表示 x 除以某个指定模数后，余数为某个指定值。本片段中，该记号是具体使用的，而非抽象定义的。

公式

x \equiv 3 \pmod{4},\quad x \equiv 5 \pmod{6},\quad x \equiv 2 \pmod{5}

适用条件

该例题将 x 视为整数。
标签“余数”和“模数”指明了记号中各数字所扮演的角色。

生成单个同余式的所有解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“为满足第一个条件，我们可以取3或7、11、15等。你可以持续加上4，这显然不会改变对4取模的余数。”
公式
观察依据
屏幕上写出3、7、11……（+4）。

方法

解释

一旦已知同余式 x ≡ r (mod m) 的一个解，反复加上模数 m 就可得到更多解，因为对 m 取模所得的余数保持不变。

公式

x = r + km,\quad k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}

适用条件

应用于单个同余式。
所示序列从当前显示的最小代表元开始，并以模数为公差递增。

先修条目

示例中的同余记号

用合并后模数的最小公倍数更新解族

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“但这并非唯一解。你可以加上一个能被迄今所有模数整除的数，即4和6。它们的最小公倍数（LCM）是12；若将12加到某个数上，则它对6和4取模的余数均不改变，因为12可被6和4整除。”
公式
观察依据
黑板上的内容由11变为11、23、35……（+12）。

方法

解释

当两个同余式同时被满足后，所有同时满足这两个同余式的解构成一个等差数列，其公差即为已使用的两个模数的最小公倍数。

公式

x = x_{12} + k\,\mathrm{LCM}(4,6)=x_{12}+12k

适用条件

$x_{12}$ 是同时满足前两个同余式的其中一个解。
新的步长必须能被所有已纳入的模数整除。

先修条目

生成单个同余式的所有解

所演示的三同余方程组的最小解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者依次验算 11 mod 5、23 mod 5、35 mod 5，然后说：“在 35 的基础上加上 12 得到 47，而 47 对 5 取模确实等于 2。因此，它就是我们这个三同余方程组的最小解。”
公式
观察依据
数列 11、23、35、47、……（每次加 12）被展示出来，其中 47 被高亮标出作为答案。

方法

解释

该方法在当前的等差数列中搜索首个满足剩余同余式的项。此处首个满足条件的项是 47。

公式

47 \equiv 3 \pmod{4},\quad 47 \equiv 5 \pmod{6},\quad 47 \equiv 2 \pmod{5}

适用条件

搜索范围是前两个同余式的全部同时解所构成的数列。
结果即为此次正向扫描所找到的最小值。

先修条目

用合并后模数的最小公倍数更新解族

所演示方程组的通解族

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者说：“同样，这并非唯一解。我们可以将它增加多少？增加量应为 4、6、5 这些模数的最小公倍数。最简便的计算方式是：取此前已得的最小公倍数与新加入的模数，仅对这两个数求最小公倍数。本例中结果为 60，即能同时被 12 和 5 整除的最小值。最小解是 47，但之后还有 107、167、227 等等。”
公式
观察依据
黑板上显示 47（每次加 60），随后列出解：47、107、167、……

公式

解释

一旦找到最小解，所有解均可通过在该最小解上加上所有模数的最小公倍数的整数倍而得到。

公式

x = 47 + 60k,\quad k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}

适用条件

屏幕上显示的列表中，k 取非负整数。
60 = 最小公倍数(4,6,5) = 最小公倍数(12,5).

先修条目

所演示的三同余方程组的最小解
用合并后模数的最小公倍数更新解族

适用于多于三个同余式的迭代模式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上展示了一个包含四个同余式的方程组，以及序列 $x_0$ , $x_0$ +LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), $x_0+2$ *LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), $x_0+3$ *LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), …
声音
观察依据
说话人说：“若同余式个数更多，此方法依然适用。假设你已求出前三个同余式的解 $x_0$ ，并已计算出前三个模数的最小公倍数……那么这就是前三个同余式的所有解构成的序列；在此序列中，我们需要找出首个满足第四个同余式的值。”

待核验内容

视频片段在说话人讲完‘找到 a 之后该如何继续’这句最终话之前就结束了。

方法

解释

相同的‘搜索—更新’模式可推广：先解前若干个同余式，将其所有解列为一个等差数列，其公差等于已解模数的最小公倍数；再扫描该数列，找出首个满足下一个同余式的项。

公式

x_0,\ x_0+\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+2\,\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+3\,\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ldots

适用条件

$x_0$ 被假定为满足前三个同余式。
下一个目标是该序列中首个同时满足 x ≡ $r_4$ (mod $m_4$ ) 的项。

先修条目

用合并后模数的最小公倍数更新解族

逐次中国剩余定理解序列

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示： $x_0$ 、 $x_0$ +LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )、 $x_0+2$ *LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )、 $x_0+3$ *LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )、……，然后是 a，（+ LCM）
声音
观察依据
主讲人解释道：无需从头重新计算，而可直接利用已知的最小公倍数，再将其与模数4求最小公倍数。

方法

解释

在逐次求解同余方程组时，一旦为某一部分同余式找到了一个特解，则所有其他相容解构成一个等差数列，其公差即为已合并模数的最小公倍数；加入一个新的同余式，意味着需在此等差数列中搜索解，并将公差更新为包含新模数的最小公倍数。

公式

x_0,\ x_0+\operatorname{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+2\operatorname{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+3\operatorname{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ldots

适用条件

针对前面的同余式，已求得一个特解 $x_0$ 。
所列出的模数是已经合并过的模数。
下一个候选解通过加上它们的最小公倍数的整数倍而得到。

先修条目

互质整数的最小公倍数
利用 GCD 的通用 LCM 公式

互质整数的最小公倍数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写明：若 a 与 b 互质，则 LCM(a, b) = $a*b$ 。
声音
观察依据
主讲人指出：若模数两两互质，则它们的最小公倍数就是其乘积。

公式

解释

如果两个整数没有大于1的公共因数，那么它们的最小公倍数等于它们的普通乘积。这一事实在CRT方法中被反复使用，将同余式组合转化为简单的步长。

公式

\operatorname{LCM}(a,b)=ab \quad \text{if } a \text{ 且 } b \text{ are coprime}

适用条件

a 和 b 是正整数。
a 和 b 互质，即 gcd(a,b)＝1。

利用 GCD 的通用 LCM 公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出：LCM ＝ $a\cdot b$ ／ GCD。
声音
观察依据
说话者建议可改用公式：LCM 等于 a 与 b 的乘积除以它们的最大公约数。

公式

解释

对于任意正整数，最小公倍数可通过乘积除以最大公约数来计算。当互质捷径不适用时，这是备用方法。

公式

\operatorname{LCM}(a,b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)}

适用条件

a 和 b 是正整数。
无需假设互质。

先修条目

互质整数的最小公倍数

为方便起见而重排同余式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者表示他可以重新排列同余式，使计算更简便。
图示
观察依据
所展示的同余方程组调整了顺序，使得 x ≡ 1 (mod 5) 被移到 x ≡ 1 (mod 4) 旁边。

方法

解释

在同余方程组中，各方程可以重新排列，而不会改变解集。视频利用这一点，将余数相等的同余式并排书写，从而使第一个合并解变得显而易见。

适用条件

该方程组是一组关于同一未知数 x 的联立同余式。
重排不会改变解集。

中国剩余定理中的等余数速算技巧

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者表示，当他看到余数相等时，最好把它们放在最上面，因为他能立刻看出它们的解。
公式
观察依据
由 x ≡ 1 (mod 4) 和 x ≡ 1 (mod 5)，板书写出 $1 (+20)$ 。

方法

解释

若两个同余式具有相同的余数，则该余数本身即为这两个同余式的共同解；这两个同余式的全部解集，就是该余数加上它们模数的最小公倍数的整数倍。

公式

x\equiv r\pmod m,\ x\equiv r\pmod n \Rightarrow x=r+k\operatorname{LCM}(m,n)

适用条件

这两个同余式共享相同的余数 r。
模数 m 和 n 是正整数。

先修条目

互质整数的最小公倍数
逐次中国剩余定理解序列

通过迭代组合最小公倍数实现的构造性中国剩余定理解法。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人描述了一种利用最小公倍数和余数序列逐步合并同余式的分步过程。
图示
观察依据
视觉布局展示解集的逐级筛选：前两个同余式得出（+20），加入第三个后变为（+60），加入第四个后变为（+420）。

方法

解释

求解模数两两互质的线性同余方程组时，可逐次合并条件。首先找出满足前若干个同余式的数列，该数列由这些模数的最小公倍数决定其周期。接着，为加入一个新的同余式，考察当前数列对新模数取余所得的余数序列；在该余数循环中找到与目标余数相匹配的位置，对应数列中的项即为解。新的步长变为原步长与新模数的最小公倍数。

公式

适用条件

各模数两两互质（或至少所用的最小公倍数逻辑仍适用）。
该方程组有解（若模数两两互质，则解必存在）。

先修条目

互质整数的最小公倍数
模搜索中的余数序列技巧

定理与条件 · 13

加上模数可保持余数不变

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“你可以持续加上4，这显然不会改变对模4的余数。”
公式
观察依据
序列 3, 7, 11, … (+4) 被写在同余式 x ≡ 3 (mod 4) 的下方。

命题

若一个数满足模 m 的同余关系，则给它加上 m 后得到的另一个数，其模 m 的余数仍相同。

前提

起始数满足给定的同余关系。
所加的量恰好是模数 m。

量词

对于本例题，对任一已列出的解反复加上 4，可使模 4 的余数始终保持为 3。

加上当前所有模数的最小公倍数可保持所有当前余数不变

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：“你可以将它增加一个能被截至目前所有模数整除的数，即 4 和 6。它们的最小公倍数（LCM）是 12；若你向某个数加上 12，则模 6 和模 4 的余数均不改变，因为 12 可被 6 和 4 整除。”
公式
观察依据
黑板将解族更新为 11、23、35、……（+12）。

命题

若一个数满足若干个同余关系，则给它加上这些模数的最小公倍数后，所得新数仍满足全部相同的同余关系。

前提

起始数满足所有模数均包含于该最小公倍数中的那些同余关系。
所加的量可被其中每一个模数整除。

量词

在该例中，将12 = LCM(4,6) 加到11上，可同时保持模4余数与模6余数不变。

迭代法可推广至三个以上同余式的情形。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“即使同余式数量更多，该方法仍然适用。”
公式
观察依据
展示了一个包含四个同余式的方程组，以及基于 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ) 的序列。

待核验内容

该片段并未证明推广后方法的存在性或唯一性条件，仅说明相同步骤可继续进行。

命题

当同余式数量超过三个时，仍可使用此前求解三个同余式所用的逐次搜索法：将前一组同余式的解视为一个新的等差数列，并在其中扫描以满足下一个同余条件。

前提

前一组同余式的解 $x_0$ 已被求出。
步长为该前一组模数的最小公倍数。

量词

此表述针对在前三个同余式之后新增第四个同余式的情形。

最小公倍数的乘积法则要求两数互质

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书明确指出：仅当 a 与 b 互质时，才有 LCM(a,b)= $a*b$ 。
声音
观察依据
说话者对比了 5 和 12 与 4 和 6，指出若二者存在某个公共因数，则乘积法则不成立。

命题

对于正整数 a 和 b，当 a 与 b 互质时，有 LCM(a,b) = ab；若它们有大于1的公因数，则乘积通常过大。

前提

a 和 b 是正整数。

量词

对所有正整数 a 和 b，若 gcd(a,b) = 1，则 LCM(a,b) = ab。

4 和 6 表明：若不满足互质条件，乘积法则即失效。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书写出 4, $6 \to 12$ ，而语音提到它们的乘积是 24。
声音
观察依据
说话人指出，对于 4 和 6，其乘积为 24，但仍存在更小的公倍数 12。

命题

整数 4 和 6 不互质，尽管 $4\cdot 6 = 24$ ，它们的最小公倍数却是 12。

前提

考虑具体的整数 4 和 6。

量词

一个存在性反例，说明在不满足互质条件时，不可直接用乘积代替最小公倍数。

使用模数的乘积而非最小公倍数，会遗漏有效的中国剩余定理候选解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人指出，若用乘积代替最小公倍数，将遗漏某些取值，甚至可能遗漏解。
公式
观察依据
板书展示了错误的序列 11, 35, 59, …，语音说明 47 被遗漏了。

待核验内容

此前推导出 11 和 47 的确切同余式在此片段中未完整复述，但数字 11、35、59、… 以及 47 均被明确讨论。

命题

若以非互质模数的乘积而非其最小公倍数为步长来遍历候选解，则所得的等差数列可能跳过有效解；在该例中，从11出发、以24为步长得到11、35、59……，却遗漏了47。

前提

此前的一个解是11。
错误使用的步长是24，而正确的步长应为最小公倍数12。

量词

存在一种情形：采用乘积作为步长会遗漏一个有效解。

列出倍数可求得两个整数的最小公倍数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，计算两个不互质数值的最小公倍数最简便的方法是：写出其中一个数值的倍数，再找出其中首个能被另一个数值整除的倍数。
公式
观察依据
黑板上列出了4、8、12……，并标出12是首个能被6整除的倍数。

命题

为计算LCM(a,b)，可列出其中一个整数的倍数，并选取其中首个能被另一整数整除者。对于4和6，其倍数4、8、12……表明12是最小公倍数。

前提

a 和 b 是正整数。

量词

对示例数对4和6，该方法得出结果12。

对同余方程组进行重排，保持其解集不变。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人表示，他可以重新排列同余式，使全部计算变得更简便。
图示
观察依据
该方程组在视觉上被重新排序，但并未声称解集发生变化。

命题

联立同余式书写的先后顺序不影响它们的公共解。

前提

所有同余式都要求对同一个未知数 x 同时成立。

量词

对任意有限个联立同余式构成的方程组，调换各方程的顺序不改变其解集。

余数相等可立即给出一个特解。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者表示，当他看到余数相等时，立刻就能看出它们的解。
公式
观察依据
由 x ≡ 1 (mod 4) 和 x ≡ 1 (mod 5)，板书写出 $1 (+20)$ 。

命题

若 x ≡ r (mod m) 且 x ≡ r (mod n)，则 $x = r$ 同时满足这两个同余式，且合并后的解集为 r 加上 LCM(m,n) 的整数倍。

前提

这两个同余式的余数相同，均为 r。

量词

对任意整数 r 及正整数 m、n，同余式 x ≡ r (mod m) 与 x ≡ r (mod n) 的公共解恰好是 $r + k$ ·LCM(m,n)。

两两互质模数下的解的存在性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
整段视频演示了求解过程，暗示该特定方程组存在解。
图示
观察依据
找到了一个有效解381，并通过对约束条件的直观验证确认其正确性。

待核验内容

一般性定理（中国剩余定理）的完整陈述并未明确引出，但所用方法依赖于该定理的真实性——前提是给定的模数3、4、5、7两两互质。

定理

命题

对于同余方程组 $x \equiv 1 \pmod 4$ 、 $x \equiv 1 \pmod 5$ 、 $x \equiv 0 \pmod 3$ 、 $x \equiv 3 \pmod 7$ ，由于模数3、4、5、7两两互质，因此解存在。

前提

模数3、4、5、7两两互质。

量词

存在一个整数 x 同时满足全部四个同余式。

中国剩余定理中解的周期性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者说：‘如果你想找出所有解，新的最小公倍数是……’，并计算出420。
图示
观察依据
符号‘(+420)’被附加在解381之后。

命题

如果 $x_0$ 是该方程组的一个解，那么 $x_0 + k \cdot \text{lcm}(3,4,5,7)$ 也是该方程组的解，其中 $k$ 为任意整数。此时，周期为420。

前提

$x_0$ 是一个特解。
模数分别为3、4、5、7。

量词

对所有整数k成立。

中国剩余定理解的有界搜索

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
实际上，若尝试超过七步仍未找到解，则要么计算出错，要么该同余方程组无解。

命题

如果方程 $x \equiv r \pmod m$ 在某个等差数列中的解未出现在前 $m$ 项中，则该等差数列中不存在满足该同余式的解（假设公差与模数互质）。

前提

该等差数列的公差与模数 $m$ 互质。
搜索过程依次检查该等差数列的连续各项。

量词

对所有模数 m 及所有与 m 互质的公差。

推导与证明 · 12

对屏幕上所展示的三同余式方程组进行分步求解。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人叙述完整求解过程：从 3、7、11…… 开始；对模 6 进行检验；得到 11；以 12 为步长扩展；再对模 5 检验；得到 47；然后以 60 为步长扩展。
公式
观察依据
黑板依次显示：3、7、11……（+4）；11、23、35……（+12）；47（+60）；解为：47、107、167……

严格证明

步骤

公式
$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots$
解释
从满足第一个同余式 x ≡ 3 (mod 4) 的数开始。
步骤依据
加上模数4可保持对模4的余数不变。
视频直接表达
公式
$3 \not\equiv 5 \pmod{6},\quad 7 \equiv 1 \pmod{6},\quad 11 \equiv 5 \pmod{6}$
解释
用第二个同余式 x ≡ 5 (mod 6) 检验该数列。
步骤依据
直接代入第二个条件进行验证。
视频直接表达
公式
$11,\ 23,\ 35,\ 47,\ldots$
解释
一旦11满足前两个同余式，就通过加上12生成所有同时满足的解。
步骤依据
12 = LCM(4,6)，而加上当前各模数的一个公倍数可同时保持两个余数不变。
视频直接表达
公式
$11 \equiv 1 \pmod{5},\quad 23 \equiv 3 \pmod{5},\quad 35 \equiv 0 \pmod{5},\quad 47 \equiv 2 \pmod{5}$
解释
在新数列中搜索首个满足 x ≡ 2 (mod 5) 的项。
步骤依据
逐一检验每个候选解是否满足第三个同余式。
视频直接表达
公式
$x = 47 + 60k$
解释
在找到满足全部三个同余式的最小解47后，描述其全部解的通式。
步骤依据
60 = LCM(4,6,5) = LCM(12,5)，因此加上60可同时保持三个余数不变。
视频直接表达

结论

该方程组所展示的最小解为47，所显示的解族为47, 107, 167, 227, … 。

推广至第四个同余式

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人讲解四同余方程组的下一阶段，但句子在结束前被截断。
公式
观察依据
黑板上显示： $x_0$ , $x_0$ +LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), $x_0+2$ *LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), $x_0+3$ *LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), … ，随后手写了一个字母 a。

待核验内容

求出 a 后的最终更新规则在此片段中未完整口述或写出。

直观解释

步骤

公式
$x \equiv r_1 \pmod{m_1},\ x \equiv r_2 \pmod{m_2},\ x \equiv r_3 \pmod{m_3},\ x \equiv r_4 \pmod{m_4}$
解释
考虑一个包含四个同余式的更大系统。
步骤依据
说话者明确指出，若同余式数量更多，该方法依然适用。
视频直接表达
公式
$x_0,\ x_0+\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ x_0+2\,\mathrm{LCM}(m_1,m_2,m_3),\ldots$
解释
将前三个同余式的所有解列成一个等差数列。
步骤依据
依据例题中所用的相同最小公倍数保持原理。
视频直接表达
公式
$a$
解释
在该等差数列中选出首个同时满足第四个同余式的项。
步骤依据
说话人说：“在此序列中，我们需要找出满足第四个同余式的第一个数值。假设我们找到的这个数是 a。”
视频直接表达

结论

该片段确立了针对第四个同余式的下一搜索阶段，但在写出以 a 为起点的完整最终解族之前就结束了。

通过列举倍数法计算 LCM(4,6)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者解释道：先写出某一数值的倍数，再从中找出第一个能被另一数值整除的数。
公式
观察依据
黑板上显示了4、8、12……并标出了12。

数值验证

步骤

公式
$4,\ 8,\ 12,\ldots$
解释
列出4的正整数倍数。
步骤依据
这是视频中所述的求公倍数的方法。
视频直接表达
公式
$12\text{ is divisible by }6$
解释
检查所列倍数中哪些也是6的倍数。
步骤依据
列表中第一个公倍数即为最小公倍数。
视频直接表达
公式
$\operatorname{LCM}(4,6)=12$
解释
得出结论：最小公倍数是12。
步骤依据
依据最小公倍数的定义，即最小的正公倍数。
视频直接表达

结论

4与6的最小公倍数是12。

利用最大公因数公式计算 LCM(4,6)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 LCM = $a\cdot b$ / GCD。
声音
观察依据
说话人指出4与6的公因数是2，因此最小公倍数是24除以2。

数值验证

步骤

公式
$\operatorname{LCM}(a,b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)}$
解释
从黑板上显示的一般公式出发。
步骤依据
这是视频中介绍的另一种方法。
视频直接表达
公式
$\gcd(4,6)=2$
解释
找出4与6的最大公约数。
步骤依据
由主讲人直接陈述。
视频直接表达
公式
$\operatorname{LCM}(4,6)=\frac{4\cdot 6}{2}=\frac{24}{2}=12$
解释
代入并化简。
步骤依据
对所展示公式的算术求值。
视频直接表达

结论

使用最大公约数公式同样可得 LCM(4,6)=12。

求解较大例子中前两个同余式。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
重排后的方程组以 x ≡ 1 (mod 4) 和 x ≡ 1 (mod 5) 开始。
声音
观察依据
主讲人指出， $x=1$ 满足前两个同余式，之后可每次加上4与5的最小公倍数，即20。
公式
观察依据
黑板上写的是 $1 (+20)$ ，然后是1、21……

数值验证

步骤

公式
$x\equiv 1\pmod 4,\quad x\equiv 1\pmod 5$
解释
在重排后，选取余数相等的两个同余式。
步骤依据
这些是重排后的方程组中显示的前两行。
视频直接表达
公式
$x=1$
解释
观察可知，1同时满足这两个同余式。
步骤依据
因为 1 除以 1 和 4 都余 5。
视频直接表达
公式
$\operatorname{LCM}(4,5)=4\cdot 5=20$
解释
计算合并解集的步长。
步骤依据
4与5互质，因此最小公倍数的乘积法则适用。
视频直接表达
公式
$1,\ 21,\ 41,\ldots$
解释
写出前两个同余式的全部解所构成的等差数列。
步骤依据
将20的逐次倍数加到特解1上。
视频直接表达

结论

同余式 x≡1 (mod 4) 与 x≡1 (mod 5) 的公共解为 1、21、41、……，即 $1+20k$ 。

选取满足第三个同余式的首个候选值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，需在该数列中找出首个能被3整除的值；1不满足，21满足。
公式
观察依据
黑板在序列 21 下划线标注 1、21、……，并在直线 x ≡ 下方写出 21 below the line x ≡ 0 (mod 3）。

待核验内容

视频片段在纳入模数3后、尚未写出下一个最小公倍数更新时结束。

数值验证

步骤

公式
$1,\ 21,\ 41,\ldots$
解释
从前两个同余式的解的进度序列开始。
步骤依据
该进度序列是在此步骤之前立即推导出的。
视频直接表达
公式
$1\not\equiv 0\pmod 3$
解释
用第一个候选解检验 x≡0 (mod 3)。
步骤依据
1不能被3整除，因此不满足第三个同余式。
视频直接表达
公式
$21\equiv 0\pmod 3$
解释
检验下一个候选解。
步骤依据
21能被3整除，因此满足第三个同余式。
视频直接表达
公式
$x=21$
解释
选取21作为前三个同余式的第一个公共解。
步骤依据
它位于先前的进度序列中，并满足新的模数条件。
视频直接表达

结论

在所展示的片段中，21被确定为首个同时满足 x≡1 (mod 4)、x≡1 (mod 5) 和 x≡0 (mod 3) 的解。

合并前两个同余式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
显示‘x ≡ 1 (mod 4)’、‘x ≡ 1 (mod 5)’，进而得到‘1、21、……（+20）’。

直观解释

步骤

公式
$x \equiv 1 \pmod 4, \quad x \equiv 1 \pmod 5$
解释
从最初的两个条件开始。
步骤依据
题目所给条件。
视频直接表达
公式
$\text{lcm}(4,5) = 20$
解释
计算同时满足这两个条件的数的步长。
步骤依据
互质模数的最小公倍数等于它们的乘积。
依据视频推导
公式
$1, 21, 41, \dots$
解释
从最小正解1开始生成该数列。
步骤依据
公差为20的等差数列的定义。
视频直接表达

结论

经过两步后，候选解为 $1 + 20k$ ，其中 $k \ge 0$ 为整数。

添加第三个同余条件

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
添加同余式‘x ≡ 0 (mod 3)’，并将序列更新为‘21, 81, ... (+60)’。
声音
观察依据
主讲人指出，由于20与3互质，它们的最小公倍数是60。

直观解释

步骤

公式
$\text{lcm}(20,3) = 60$
解释
将步长更新为包含模3的条件。
步骤依据
20与3互质，因此最小公倍数等于它们的乘积。
视频直接表达
公式
$21 \equiv 0 \pmod 3$
解释
检验前一个序列中的哪一项满足新的条件。
步骤依据
直接计算：21能被3整除。
视频直接表达
公式
$21, 81, 141, \dots$
解释
新序列从21开始，步长为60。
步骤依据
等差数列的定义。
视频直接表达

结论

经过三步后，候选解为 $21 + 60k$ ，其中 $k \ge 0$ 为整数。

利用模7的余数找出正确项

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在序列下方写出“0 4 1 5 2 6 3（+4)' under the sequence 21， 81……
声音
观察依据
主讲人解释‘21模7余0’和‘60模7余4’，然后反复加上4。

直观解释

步骤

公式
$21 \equiv 0 \pmod 7$
解释
确定该序列模7的起始余数。
步骤依据
直接计算。
视频直接表达
公式
$60 \equiv 4 \pmod 7$
解释
确定余数模7的增量。
步骤依据
直接计算（ $60 = 7 \times 8 + 4$ ）。
视频直接表达
公式
$0 \xrightarrow{+4} 4 \xrightarrow{+4} 1 \xrightarrow{+4} 5 \xrightarrow{+4} 2 \xrightarrow{+4} 6 \xrightarrow{+4} 3$
解释
反复将4模7相加，直至达到目标余数3。
步骤依据
应用余数序列技巧。
视频直接表达
公式
$k=6$
解释
统计到达余数3所经历的步数。
步骤依据
需要 6 次对 4 的加法，才能从 0 到达 3（模 7）。
依据视频推导

结论

该序列的第 6 项 $21 + 60k$ （计数起始位置为 $k=0$ ）是解。

计算最终的特解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
写出‘21＋ $6\times 60$ ＝381’。
声音
观察依据
说话人说：“这是21加6乘以60……381。这就是解。”

数值验证

步骤

公式
$x = 21 + 6 \cdot 60$
解释
将 $k=6$ 代入第2步推导出的数列公式。
步骤依据
推导步骤 der-step3-remainder-search 的结果。
视频直接表达
公式
$x = 21 + 360$
解释
进行乘法运算。
步骤依据
算术运算。
视频直接表达
公式
$x = 381$
解释
进行加法运算。
步骤依据
算术运算。
视频直接表达

结论

381是该方程组的一个解。

确定通解的周期

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
写出‘(+420)’和‘801’。
声音
观察依据
讲解者计算最小公倍数 LCM(60,7) = 420，然后将其加到381上。

直观解释

步骤

公式
$\text{lcm}(60,7) = 420$
解释
计算整个系统的新的周期。
步骤依据
60和7互质，因此最小公倍数为它们的乘积。
视频直接表达
公式
$x \equiv 381 \pmod{420}$
解释
写出所有解的一般形式。
步骤依据
线性同余方程组的性质。
依据视频推导
公式
$381 + 420 = 801$
解释
求下一个正整数解。
步骤依据
算术运算。
视频直接表达

结论

所有解均具有形如 $381 + 420n$ 的形式，其中 $n$ 为整数。

生成模7的余数序列

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“三之后的下一个元素是三加四……七对七取模得零。然后是四、一，依此类推。”
图示
观察依据
序列0、4、1、5、2、6、3写在‘21、81，…（+60）’这一行的下方。

数值验证

步骤

公式
$21 \equiv 0 \pmod 7$
解释
从当前解21开始。
步骤依据
直接计算。
视频直接表达
公式
$(21 + 60) \equiv 4 \pmod 7$
解释
加上步长60。 $60 = 7 \times 8 + 4$ ，因此余数增加4。
步骤依据
模加法性质。
依据视频推导
公式
$0, 4, 1, 5, 2, 6, 3$
解释
持续对4进行模7加法，以生成该序列。
步骤依据
迭代式模运算。
视频直接表达
公式
$381 \equiv 3 \pmod 7$
解释
目标余数3出现在第6个位置（以0为起始索引）。
步骤依据
满足目标条件。
视频直接表达

结论

余数序列遍历模 7 下的所有剩余类，因为 gcd(60, 7) = 1。

例题详解 · 6

解同余方程组：x ≡ 3 (mod 4)，x ≡ 5 (mod 6)，x ≡ 2 (mod 5)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
整个例题从初始同余方程组到最终解集均完整显示在屏幕上。
声音
观察依据
说话者实时口算求解，并宣布 47 为最小解。

题目

求满足所列三个同余式的最小值 x。

已知条件

x 同余于3模4
x 同余于5模6
x 同余于2模5

目标

先求最小解，再描述全部解的集合。

步骤

公式
$3,\ 7,\ 11,\ldots$
解释
从与 3 模 4 同余的数开始。
步骤依据
这些数通过反复加上模数 4 得到。
视频直接表达
公式
$11$
解释
选择 11 作为该列表中第一个与 5 模 6 同余的数。
步骤依据
说话者依次用 3、7、11 验证第二个同余式。
视频直接表达
公式
$11,\ 23,\ 35,\ 47,\ldots$
解释
通过对满足前两个同余式的数不断加上 12，生成所有满足前两个同余式的数。
步骤依据
12 = LCM(4,6)，因此加上 12 能同时保持两个余数不变。
视频直接表达
公式
$47$
解释
选取 47 作为该序列中第一个与 2 模 5。
步骤依据
主讲人将11、23、35，然后是47，代入第三个同余式进行检验。
视频直接表达
公式
$47,\ 107,\ 167,\ 227,\ldots$
解释
通过反复加上60，写出解的完整族。
步骤依据
60 = 最小公倍数（4，6，5） = 最小公倍数（12，5）。
视频直接表达

结果

图中展示的最小解是47，所显示的解族为47、107、167、227，……。

检验

主讲人通过直接的模运算验证：47对5取模的结果是2，而此前步骤已分别验证了模4和模6的条件。

互质数的最小公倍数示例：5和12

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 LCM(5,12)=60。
声音
观察依据
说话人说：例如对于5和12，其最小公倍数就是60。

题目

计算5和12的最小公倍数。

已知条件

这两个整数是5和12。
5和12互质。

目标

求它们的最小公倍数。

步骤

公式
$\gcd(5,12)=1$
解释
认识到5和12没有大于1的公共因数。
步骤依据
例题中通过互质条件隐含地给出了这一点。
视频直接表达
公式
$\operatorname{LCM}(5,12)=5\cdot 12=60$
解释
对互质整数使用乘积法则。
步骤依据
若两个数互质，则它们的最小公倍数等于它们的乘积。
视频直接表达

结果

对应的式子为：60

检验

60能被5和12同时整除，且不存在更小的正公倍数，因为这两个数互质。

非互质模数的最小公倍数示例，以及误用乘积所导致的后果

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出4, $6 \to 12$ ，随后展示11（+24）以及11、35、59……
声音
观察依据
说话者指出：对于4和6，它们的乘积是24，但仍存在一个更小的公倍数12；若用乘积代替最小公倍数，就会遗漏47。

待核验内容

生成解11的完整原始同余方程组在此片段中未予复述，但数值示例11、35、59……以及被遗漏的值47均已明确给出。

题目

比较LCM(4,6)与乘积 $4\cdot 6$ ，并说明若以24而非12为步长，会出现何种错误。

已知条件

这两个整数是4和6。
它们的乘积是24。
一个先前求得的解是11。
正确的步长应为LCM(4,6)=12。

目标

说明若以乘积作为步长，可能导致有效解被遗漏。

步骤

公式
$4\cdot 6=24$
解释
计算两个模数的乘积。
步骤依据
直接进行算术运算。
视频直接表达
公式
$\operatorname{LCM}(4,6)=12$
解释
确定真正的最小公倍数。
步骤依据
在黑板上展示并口头讲解。
视频直接表达
公式
$11,\ 35,\ 59,\ldots$
解释
通过重复加上24，生成错误的数列。
步骤依据
这是黑板上所写的、采用错误方法得到的数列。
视频直接表达
公式
$47\text{ is missed}$
解释
注意，47是之前同余式的一个有效解，但它并未出现在这个错误的数列中。
步骤依据
由说话者陈述。
视频直接表达

结果

正确的最小公倍数是12；若以24为步长，则得到11、35、59……，却遗漏了47。

检验

若改为加上12而非24，则会包含中间值如23和35，并最终得到47；因此必须采用更小的最小公倍数作为步长，以避免跳过解。

一个含模数4、5和3的部分中国剩余定理示例。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示：x ≡ 1 (mod 4)，x ≡ 0 (mod 3)，x ≡ 1 (mod 5)，x ≡ 3 (mod 7)，随后重新排序，将 x ≡ 1 (mod 5) 调至第二位。
声音
观察依据
主讲人解前两个同余式，得到 1，21，41，……然后选取 21 作为第一个能被 3 整除的值。

待核验内容

该片段在处理模7的第四个同余式之前就结束了，因此本段内未得出完整的中国剩余定理（CRT）解。

题目

从重排后的方程组开始求解：x ≡ 1 (mod 4)，x ≡ 1 (mod 5)，x ≡ 0 (mod 3)。

已知条件

x 同余于1模4
x 同余于1模5
x 同余于0模3
将方程组重新排序，使两个余数均为1的同余式相邻。

目标

在引入第三个同余式后，找出首个公共解。

步骤

公式
$x\equiv 1\pmod 4,\quad x\equiv 1\pmod 5$
解释
从两个余数相等的同余式开始。
步骤依据
允许重新排序，这样第一步可立即进行。
视频直接表达
公式
$x=1$
解释
取1作为前两个同余式的某个特解。
步骤依据
1 除以所得余数为 1 对模 4 和模 5。
视频直接表达
公式
$\operatorname{LCM}(4,5)=20$
解释
计算合并后的步长。
步骤依据
4与5互质，因此它们的最小公倍数等于其乘积。
视频直接表达
公式
$1,\ 21,\ 41,\ldots$
解释
列出前两个同余式解构成的等差数列。
步骤依据
所有解均为1加上20的整数倍。
视频直接表达
公式
$21\equiv 0\pmod 3$
解释
在该数列中寻找第一个能被3整除的项。
步骤依据
1不能被3整除，但21可以。
视频直接表达
公式
$x=21$
解释
选取21作为满足前三个同余式的首个解。
步骤依据
它属于先前的数列，且满足模3条件。
视频直接表达

结果

21是所展示的关于 x≡1 (mod 4)、x≡1 (mod 5) 和 x≡0 (mod 3) 的首个公共解。

检验

21≡1 (mod 4)，21≡1 (mod 5)，且21≡0 (mod 3)，因此它满足本片段中处理的三个同余式。

求解四个线性同余方程组成的方程组

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
整段视频专门用于求解这一特定方程组。

题目

求一个整数 $x$ ，使得： $x \equiv 1 \pmod 4$ $x \equiv 1 \pmod 5$ $x \equiv 0 \pmod 3$ $x \equiv 3 \pmod 7$

已知条件

四个线性同余方程，模数分别为4、5、3、7。
模数两两互质。

目标

求最小的正整数解，并描述所有解的集合。

步骤

公式
$\text{Combine mod 4 \text{且} mod 5} \rightarrow \text{step } 20, \text{ start } 1$
解释
识别数列 $1, 21, 41, \dots$
步骤依据
4与5的最小公倍数为20，且1同时满足这两个条件。
视频直接表达
公式
$\text{Add mod 3} \rightarrow \text{step } 60, \text{ start } 21$
解释
识别数列 $21, 81, 141, \dots$
步骤依据
20与3的最小公倍数为60，且21是第一个能被3整除的项。
视频直接表达
公式
$\text{Search mod 7 remainders: } 0, 4, 1, 5, 2, 6, 3$
解释
发现第6步（下标为6）得到余数3。
步骤依据
$21 \equiv 0$ ， $60 \equiv 4$ 。对4在模7意义下加六次，得到3。
视频直接表达
公式
$x = 21 + 6 \cdot 60 = 381$
解释
计算该特解。
步骤依据
将下标6代入数列通项公式。
视频直接表达
公式
$\text{General period } \text{lcm}(60,7) = 420$
解释
确定所有解之间的间隔。
步骤依据
当前步长与新模数的最小公倍数。
视频直接表达

结果

最小正整数解：381。通解： $x \equiv 381 \pmod{420}$ 。

检验

验证381： $381 = 4 \times 95 + 1$ （正确）， $381 = 5 \times 76 + 1$ （正确）， $381 = 3 \times 127 + 0$ （正确）， $381 = 7 \times 54 + 3$ （正确）。

求解同余方程组：x ≡ 1 (mod 4)，x ≡ 1 (mod 5)，x ≡ 0 (mod 3)，x ≡ 3 (mod 7)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
完整的板书过程，展示逐步构造。

题目

找出满足这四个同余式的整数 x。

已知条件

x 同余于1模4
x 同余于1模5
x 同余于0模3
x 同余于3（模7）

目标

求最小的正整数 x。

步骤

公式
$x \in \{1, 21, \dots\} \pmod{20}$
解释
合并模 4 和模 5。由于两种情况下均有 x ≡ 1，故 x ≡ 1 (mod 20)。
步骤依据
4 与 5 的最小公倍数是 20。
视频直接表达
公式
$x \in \{21, 81, \dots\} \pmod{60}$
解释
依次用 1、21……检验模 3 的余数。21 能被 3 整除。新的步长为 LCM(20,3) = 60。
步骤依据
20 与 3 的最小公倍数是 60。
视频直接表达
公式
$21 + 6 \cdot 60 = 381$
解释
依次用 21、81……检验模 7 的余数，所得余数依次为 0、4、1、5、2、6、3。目标值 3 位于索引 6 处。
步骤依据
以模7为界的迭代搜索。
视频直接表达

结果

对应的式子为：381

检验

对应的式子为：381 % $4 = 1$ ；381 % $5 = 1$ ；381 % $3 = 0$ ；381 % $7 = 3$ 。

图示与动画 · 11

对同余式各部分的初始标注

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
蓝色箭头指向第一个同余式中的3和4，并标注为余数与模数。

图中对象

三个同余式
蓝色箭头
‘余数’与‘模数’这两个词

变化过程

这些标注用于区分哪个数是余数，哪个数是模数。

不变量

在此次标注过程中，同余式本身不发生变化。

数学含义

视觉标注引入了理解该系统所需的术语。

解序列的动画构造过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
黑板逐步写出3、7、11……（+4），然后是11、23、35……（+12），接着是47（+60），最后给出解：47、107、167……
图示
观察依据
彩色箭头和圆点标出当前所用的全等关系。

图中对象

等差数列
彩色箭头
带下划线的候选值

变化过程

第一个序列由模4条件构建而成。
第二个序列在满足模6条件后构建。
第三阶段突出显示 47 在满足模 5 条件之后。
最后一行列出完整的解族。

不变量

每个展示的序列都是一个等差数列。
步长仅在纳入一组新的同余式时才会改变。

数学含义

视觉上的等差数列编码了类似中国剩余定理（CRT）的迭代搜索过程：先限定于一个同余式，再通过扫描当前等差数列，与下一个同余式取交集。

推广至四个同余式的符号化形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕切换为四行符号系统，并显示一个含 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ) 的长序列公式。
动画
观察依据
白色圆圈和下划线突出显示 $m_1$ 、 $m_2$ 、 $m_3$ 以及序列各项。

待核验内容

手写的 a 出现在末尾附近，但 a 之后的延续部分未在屏幕上完成。

图中对象

方程组 x ≡ $r_i$ (mod $m_i$ )
序列 $x_0 + k$ ·LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )
手写的 a

变化过程

具体数值被替换为符号化的模数与余数。
此前使用的步长 12 被推广为 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )。
引入新符号 a 表示满足第四个同余式的首项。

不变量

该结构仍为一组同余方程的同步解所构成的等差数列。
该方法仍在这一等差数列中搜索下一个同余条件的解。

数学含义

板书将已演示的例题抽象为一种可复用于更大同余方程组的通用模式。

中国剩余定理的一般设定与逐步更新

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左上方显示了一个一般性的四同余式组，一条蓝色箭头向下指向一个涉及 $x_0$ 和 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ) 的解序列。
动画
观察依据
黄色高亮在模数 $m_1$ 、 $m_2$ 、 $m_3$ 和 $m_4$ 之间依次移动，同时下方写出 a (+ LCM)。

图中对象

四同余式组：x ≡ $r_i$ (mod $m_i$ )
蓝色箭头
序列： $x_0$ , $x_0$ +LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ), …
手写行：a（+ LCM）
模数部分用黄色高亮显示

变化过程

黄色强调从成组的模数逐步转移到单个模数
下方的手写表达式补全为 a（+ LCM）

不变量

上方的方程组仍是一个关于 x 的联立同余问题
下方的数列代表通过加上一个公共周期所生成的候选解

数学含义

视觉布局将此前已解的子系统与引入新模数后的解序列进展关联起来

最小公倍数运算法则及反例展示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板清空，进入新板块，标题为：若 a 与 b 互质，则 LCM(a, b) = $a \times b$
动画
观察依据
示例依次添加：LCM(5,12)=60，接着是 4, $6 \to 12$ ，再接着是错误的递推式 $11 (+24)$ 以及 11, 35, 59, …，最后给出公式 LCM = $a\cdot b$ / GCD

图中对象

当 a 与 b 互质时，LCM(a,b) = $a \times b$
示例：LCM(5,12)=60
例题：4， $6 \to 12$
错误的等差数列：11，35，59，……
最小公倍数公式：LCM = $a\cdot b$ / GCD

变化过程

板书内容从互质数的乘积法则过渡到一个非互质数的反例。
先写出一个错误的等差数列，再将其与正确的最小公倍数概念进行对比。
通用的最大公约数公式被添加在右下角。

不变量

所有展示的内容均围绕最小公倍数的计算展开。
这些例子用于说明乘积法则在何种条件下成立、在何种条件下不成立。

数学含义

该视觉序列旨在说明：模数互质时可采用乘积捷径；模数不互质时，则需使用真正的最小公倍数或最大公约数公式。

标出错误的等差数列

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
红色对角线划掉错误的等差数列：11，35，59，……

图中对象

数列：11，35，59，……
红色划除标记

变化过程

错误的序列通过视觉方式被判定为无效。

不变量

数字本身仍清晰可见，位于红色标记之下。

数学含义

红色叉号表示：以24为步长而非以最小公倍数12为步长，不是一种可接受的方法。

对较大的中国剩余定理例题进行重排与部分求解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
出现一个新的四行同余方程组，随后第三行 x ≡ 1 (mod 5) 被上移至 x ≡ 1 (mod 4) 旁边。
动画
观察依据
写出解的表达式 $1 (+20)$ ，展开为 1、21、……，然后将 21 加下划线，并抄写在模3同余式下方。

待核验内容

视频片段在处理模7同余式之前结束。

图中对象

原始方程组：x ≡ 1 (mod 4)，x ≡ 0 (mod 3)，x ≡ 1 (mod 5)，x ≡ 3 (mod 7)
重排后的方程组，其中 x ≡ 1 (mod 5) 被上移
第1行 (+20)
序列：1、21、……
下划线标注21
将21抄写在 x ≡ 0 (mod 3) 下方

变化过程

同余式的顺序被调整，以便将余数相等的式子归为一组。
特解1以步长20向外延展。
候选值21被选为第一个能被3整除的数值。

不变量

未知数始终为 x。
前两个同余式继续共同定义相同的解序列： $1+20k$ 。

数学含义

动画演示了中国剩余定理的实际工作流程：先按需要重排同余式顺序，再合并容易处理的同余式，最后在所得的等差数列中逐项扫描，检验其是否与下一个模数兼容。

解的逐步构建过程在屏幕上呈现

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
文字行依次呈现：先显示初始同余式，再显示带箭头指示推导过程的衍生数列，接着是余数计算行，最后是解方程。

图中对象

同余方程
等差数列
余数数列
最终计算

变化过程

文字行自上而下逐行添加。
箭头连接相关概念（例如，从同余式指向对应数列）。
颜色区分不同阶段（蓝色表示第一步，黄色/橙色表示第二步，白色表示余数搜索阶段）。

不变量

原始题目陈述始终显示在屏幕顶部。
逻辑流程严格按顺序进行。

数学含义

视觉布局与迭代算法相呼应：逐步简化问题，同时追踪当前候选集合及其性质。

聚焦于目标余数的发现

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
余数序列中的数字“3”在余数序列“0 4 1 5 2 6 3”中被高亮/圈出或强调。

待核验内容

具体的强调方式（加圈还是下划线）在观感上可能略有差异，但强调意图十分明确。

图中对象

余数序列中的各位数字

变化过程

注意力转向序列末尾的数字“3”。

不变量

序列本身并不改变，仅关注点发生变化。

数学含义

标志着余数技巧中搜索循环的成功终止。

余数循环的可视化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
从余数序列中最后一个‘0’处画出一条绿色的弯曲箭头，指向初始的‘0’。

图中对象

余数序列：0、4、1、5、2、6、3、0
绿色箭头

变化过程

箭头连接序列的末尾与开头。

不变量

序列本身的数值不变，仅标注发生变化。

数学含义

说明余数具有周期性重复的性质，从而解释为何只需检查 $m$ 个值后即可终止搜索。

展示算法复杂度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
黑板右侧显示文字‘ $O(m_2 + m_3 + m_4)$ ’。

图中对象

大O记号公式

变化过程

公式出现在讲述者从程序员视角进行讲解时。

数学含义

概括了所展示方法的计算开销。

易错点 · 6

误将首个找到的数值当作唯一解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在确认11后，讲解者立即说道：“不过，它并非唯一解。”
声音
观察依据
在确认47后，讲解者再次说道：“同样，它也不是唯一解。”

误区

一旦某个数（如11或47）满足当前所有同余条件，它便可能被误认为是唯一解。

说明

视频明确指出，这些仅是截至目前找到的最小解；所有后续解均可通过对该最小解加上相应的最小公倍数（LCM）得到。

误以为任意增量均能保持先前的同余关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，可增加一个“能被迄今所有模数整除的数”，并计算出 LCM(4,6)=12。

误区

人们可能认为：在找到一组同步解之后，任取一个更大的数，仍会满足相同的同余方程组。

说明

唯有能被所有已纳入的模数整除的增量，才能保持当前全部余数不变；在本例中，最初满足此条件的最小正增量为12，随后变为60。

误将乘积当作最小公倍数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，若模数间存在公因数，则该方法不适用；并提醒道，若用乘积代替最小公倍数，将遗漏部分数值，甚至可能遗漏解本身。
公式
观察依据
黑板上对比了4, $6 \to 12$ 这一正确进展，与错误进展11,35,59,…

误区

有人可能认为，对任意两个模数，相容解之间的步长就是它们的乘积。

说明

只有当模数互质时，乘积才等于最小公倍数。对于非互质的模数（如4和6），正确的步骤是12，而非24；使用24会跳过有效解，例如47。

误以为同余式的书写顺序具有实际影响

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人明确表示，他可以重新排列同余式以简化计算。

误区

学习者可能假设同余式必须按最初呈现的顺序依次处理。

说明

联立同余式可自由重排。视频利用这一点将余数相等的同余式放在一起，从而简化第一步。

关于最小公倍数计算的常见误解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者提醒：“请务必记住，若两数不互质，则最小公倍数并非简单地等于其乘积。”

误区

误认为 LCM(a,b) 恒等于 $a*b$ 。

说明

仅当 a 与 b 互质时，LCM(a,b) = $a*b$ 才成立；若二者有公共因数，则最小公倍数小于其乘积。

误解：对中国剩余定理（CRT）进行无限搜索

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“你不会永远找下去。实际上，如果你尝试进行超过七步……要么你出错了，要么根本不存在解……”

误区

有人可能认为，如果不能快速找到解，就必须无限地继续搜索，或者解可能存在于模数范围之外很远的位置。

说明

由于模 $m$ 的余数具有循环性，若一个有效的余数在 $m$ 步之内尚未出现，则它永远不会出现。搜索空间被模数严格限定。

概念关系 · 11

生成单个同余式的所有解 → 用合并后模数的最小公倍数更新解族

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人首先加上4以保持在同一同余类中，然后在合并两个同余式后再加上12。
公式
观察依据
黑板上的表达式从（+4）变为（+12）。

推广

解释

单一同余规则‘加上模数’被推广为多个同余式的规则：‘加上已满足的所有模数的最小公倍数’。

用合并后模数的最小公倍数更新解族 → 所演示方程组的通解族

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人先求出47，然后指出解可增加 LCM(4,6,5)=60。
公式
观察依据
黑板上显示47（+60），以及数列47、107、167、……

应用

解释

最小公倍数更新规则再次被应用，这次作用于全部三个模数，从而得到完整的解族。

所演示的三同余方程组的最小解 → 适用于多于三个同余式的迭代模式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“即使同余式数量更多，该方法仍然适用。”
公式
观察依据
具体数值被替换为 $r_i$ 、 $m_i$ 、 $x_0$ 以及 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ )。

推广

解释

已演示的三同余式求解过程被抽象为一种适用于更大方程组的符号化迭代模式。

互质整数的最小公倍数 → 逐次中国剩余定理解序列

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人在合并模数4和5时使用了互质乘积法则，得到步骤20。
公式
观察依据
在例题中，LCM(4,5)=20的成立依据是两数互质。

应用

解释

中国剩余定理的增量法依赖于计算已合并模数的最小公倍数；当这些模数互质时，乘积法则可直接给出该最小公倍数。

利用 GCD 的通用 LCM 公式 → 互质整数的最小公倍数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板在讨论非互质数对4和6后，立即引入公式：LCM = $a\cdot b$ / GCD。

推广

解释

最大公约数公式适用于任意正整数，因此可将互质乘积法则推广至非互质情形。

为方便起见而重排同余式 → 中国剩余定理中的等余数速算技巧

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，重排有助于将余数相等的同余式集中呈现，便于观察。
图示
观察依据
该方程组被重排，使得两个余数均为1的同余式彼此相邻。

先修

解释

重新排列方程组，使得等余数捷径在例题中在视觉上和计算上都一目了然。

逐次中国剩余定理解序列 → 一个含模数4、5和3的部分中国剩余定理示例。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该例题先写出1（+20），然后依次写出1、21……，并在这一序列中寻找能被3整除的项。

应用

解释

部分中国剩余定理例题是增量式解序列法的直接应用。

通过迭代组合最小公倍数实现的构造性中国剩余定理解法。 → 互质整数的最小公倍数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人反复使用最小公倍数（LCM）来确定中国剩余定理（CRT）方法中的步长。

应用

解释

构造性中国剩余定理方法依赖于计算模数的最小公倍数（LCM），以找出部分解集的周期性。

求解四个线性同余方程组成的方程组 → 通过迭代组合最小公倍数实现的构造性中国剩余定理解法。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
示例问题通过所述方法得以解决。

应用

解释

主要示例为中国剩余定理抽象解法提供了具体演示。

中国剩余定理搜索中余数的周期性 → 中国剩余定理解的有界搜索

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者将循环性这一观察结果直接与最多7步的限制联系起来。

证明依赖

解释

余数序列（ki-余数循环）的周期性，正是搜索被模数所限定（无解判定条件）这一结论的数学依据。

中国剩余定理方程组的构造性解法 → 迭代中国剩余定理法的时间复杂度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“如果你是一名程序员……对你而言重要的是你需要4步……所以这就是其复杂度……”

应用

解释

所演示的具体迭代方法（ki-crt-system）直接导出了所述的时间复杂度（复杂度上界声明）。

问题定位 · 17

该视频如何求解 x ≡ 3 (mod 4)、x ≡ 5 (mod 6)、x ≡ 2 (mod 5) 的最小解？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人要求找出最小的 x 值，并随后指出47即为最小解。
公式
观察依据
最终高亮显示的答案是47。

涉及知识点

示例中的同余记号
生成单个同余式的所有解
用合并后模数的最小公倍数更新解族
所演示的三同余方程组的最小解

在满足前两个同余式后，为何步长由 4 变为 12？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释说，12 是 4 和 6 的最小公倍数，且加上它可同时保持两个余数不变。
公式
观察依据
该数列变为 11、23、35、……（每次加 12）。

涉及知识点

用合并后模数的最小公倍数更新解族

为什么原方程组的所有解均可通过加上 60 到 47？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，下一步的增量是 4、6、5 的最小公倍数，并将其计算为 60。
公式
观察依据
黑板上显示 47（每次加 60），解为：47、107、167、……

涉及知识点

所演示方程组的通解族

同样的方法如何从三个同余式推广到四个同余式的系统？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，该方法在涉及更多同余式时依然适用，并引入了 $x_0$ 和 a。
公式
观察依据
屏幕上展示了以 LCM( $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ ) 为公差的广义数列。

待核验内容

视频片段在 a 完全写完后的最终延续之前结束。

涉及知识点

适用于多于三个同余式的迭代模式

当模数不互质时，为何中国剩余定理必须使用模数的最小公倍数，而非它们的乘积？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，使用乘积代替最小公倍数会遗漏解，并以47为例加以说明。

涉及知识点

逐次中国剩余定理解序列
互质整数的最小公倍数
利用 GCD 的通用 LCM 公式
误将乘积当作最小公倍数

两个数的最小公倍数恰好等于它们的乘积，是在什么情况下？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写明：若a与b互质，则LCM(a,b) = $a \times b$ 。

涉及知识点

互质整数的最小公倍数
最小公倍数的乘积法则要求两数互质

对于非互质的整数a与b，计算LCM(a,b)的公式是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出：LCM = $a\cdot b$ / GCD。

涉及知识点

利用 GCD 的通用 LCM 公式
利用最大公因数公式计算 LCM(4,6)

中国剩余定理方程组中的同余式，能否按与题目所写不同的顺序求解？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者表示，他可以重新排列同余式，使计算更简便。

涉及知识点

为方便起见而重排同余式
对同余方程组进行重排，保持其解集不变。

当两个同余式具有相同的余数时，适用什么速算方法？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者称，余数相等使他能立刻看出这些同余式的解。

涉及知识点

中国剩余定理中的等余数速算技巧
余数相等可立即给出一个特解。

为什么 21 被选为合并模 4 与模 5 后的下一个解？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人依次用1和21检验能否被3整除。

涉及知识点

一个含模数4、5和3的部分中国剩余定理示例。
选取满足第三个同余式的首个候选值

为何以24为步长而非12会导致遗漏数值47？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，错误的递推序列遗漏了47。

待核验内容

此前导出11和47的同余式在此片段中未被完整复述。

涉及知识点

非互质模数的最小公倍数示例，以及误用乘积所导致的后果
误将乘积当作最小公倍数

我该如何一步一步地合并多个模同余式？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
视频讲解了逐个合并同余式的过程。

涉及知识点

通过迭代组合最小公倍数实现的构造性中国剩余定理解法。
合并前两个同余式
添加第三个同余条件

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 问题的开场陈述，以及余数与模数的视觉标注。

已覆盖 · 构造第一个数列，并选取 11 作为满足第二个同余式的首个匹配值。

已覆盖 · 解释合并后的解族以 LCM(4,6)=12 为公差递进。

已覆盖 · 遍历扫描 11、23、35、47 以满足第三个同余式，并确定最小解为 47。

已覆盖 · 计算 LCM(4,6,5)=60，并列出全部解族。

已覆盖 · 符号化推广至四个同余式；视频在引入找到一个解之后的下一步时结束。

已覆盖 · 展示了中国剩余定理的一般系统及逐步求解序列，并加以讲解。

已覆盖 · 介绍了互质情形下的最小公倍数规则，以及非互质情形的反例4、6。

已覆盖 · 利用错误的递推序列11、35、59……来说明解的遗漏。

已覆盖 · 通过列举倍数的方式计算 LCM(4,6)。

已覆盖 · 写出并应用一般公式 LCM = ab / GCD，其中 a 和 b 分别为4与6。

已覆盖 · 将较大的同余方程组重新排序，以便将余数相同的方程归为一组。

已覆盖 · 前两个同余式合并为等差数列：1，21，41，……

已覆盖 · 在该数列中寻找第一个能被3整除的值，视频片段结束前得到结果21。

已覆盖 · 初始设定及合并前两个同余式（模4、模5）。

已覆盖 · 加入第三个同余式（模3）并更新序列/步长。

已覆盖 · 应用余数技巧满足第四个同余式（模7）。

已覆盖 · 计算具体数值解381。

已覆盖 · 确定通解周期，并警示最小公倍数非互质的情形。

已覆盖 · 引入拓展主题，指向余数序列。

已覆盖 · 余数循环的详细讲解与可视化演示。

已覆盖 · 循环带来的逻辑推论：搜索范围有界，且可检测无解情形。

已覆盖 · 面向程序员的算法复杂度讨论及结语。

探索视频中的知识

打开视频知识图谱 →

中国剩余定理讲解定位 5:00
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「迭代中国剩余定理法」出现在 5:00——一种逐个合并线性同余方程组的求解策略。在每一步中，始终维护一个候选解构成的等差数列。当加入新的同余式 $x \equiv r \pmod m$ 时，将步长更新为 $\text{lcm}(\text{current step}, m)$ ，并找出当前等差数列中首个满足该新条件的项。
算法复杂度应用定位 8:16
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「迭代式中国剩余定理的复杂度」出现在 8:16——所描述的中国剩余定理构造性方法，其时间复杂度正比于顺序检查中涉及的各模数之和。对于模数为 $m_1, m_2, \dots, m_k$ 的方程组，其复杂度约为 $O(\sum_{i=2}^k m_i)$ 。

这个视频解答的问题

理解原因

理解原因

认识概念

判断用途

认识概念

认识概念

掌握方法

掌握方法

中国剩余定理，2分钟方法

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

阅读同余方程组

一个同余式对应一个等差数列

通过逐项扫描求两个同余式的交集

为何步长变为LCM(4,6)=12

寻找最小的完整解

所有解的步长均为LCM(4,6,5)=60

适用于更多同余式的通用迭代模式

孙子定理（CRT）候选解构成一个以最小公倍数为间隔的等差序列

若两个模数互质，则它们的最小公倍数等于其乘积

模数不互质时：乘积不等于最小公倍数

计算 LCM(4,6) 的两种方法

允许重新排列同余式顺序

余数相等可立即给出一个特解

在数列中扫描下一个模数的解

迭代中国剩余定理法

互质数的最小公倍数

余数序列技巧

通解的周期性

中国剩余定理余数循环性质

中国剩余定理中的有界搜索

迭代式中国剩余定理的复杂度

详细学习笔记

x

m1m_1m1​,m2m_2m2​,m3m_3m3​,m4m_4m4​

r1r_1r1​,r2r_2r2​,r3r_3r3​,r4r_4r4​

LCM

x0x_0x0​

a

x

rir_iri​

mim_imi​

LCM

a, b

GCD

示例中的同余记号

生成单个同余式的所有解

用合并后模数的最小公倍数更新解族

所演示的三同余方程组的最小解

所演示方程组的通解族

适用于多于三个同余式的迭代模式

逐次中国剩余定理解序列

互质整数的最小公倍数

利用 GCD 的通用 LCM 公式

为方便起见而重排同余式

中国剩余定理中的等余数速算技巧

通过迭代组合最小公倍数实现的构造性中国剩余定理解法。

加上模数可保持余数不变

加上当前所有模数的最小公倍数可保持所有当前余数不变

迭代法可推广至三个以上同余式的情形。

最小公倍数的乘积法则要求两数互质

4 和 6 表明：若不满足互质条件，乘积法则即失效。

使用模数的乘积而非最小公倍数，会遗漏有效的中国剩余定理候选解

列出倍数可求得两个整数的最小公倍数

对同余方程组进行重排，保持其解集不变。

余数相等可立即给出一个特解。

两两互质模数下的解的存在性

中国剩余定理中解的周期性

中国剩余定理解的有界搜索

对屏幕上所展示的三同余式方程组进行分步求解。

推广至第四个同余式

通过列举倍数法计算 LCM(4,6)

利用最大公因数公式计算 LCM(4,6)

求解较大例子中前两个同余式。

选取满足第三个同余式的首个候选值

合并前两个同余式

添加第三个同余条件

利用模7的余数找出正确项

计算最终的特解

确定通解的周期

生成模7的余数序列

解同余方程组：x ≡ 3 (mod 4)，x ≡ 5 (mod 6)，x ≡ 2 (mod 5)

互质数的最小公倍数示例：5和12

非互质模数的最小公倍数示例，以及误用乘积所导致的后果

一个含模数4、5和3的部分中国剩余定理示例。

求解四个线性同余方程组成的方程组

$m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , $m_4$

$r_1$ , $r_2$ , $r_3$ , $r_4$

$x_0$

$r_i$

$m_i$