同时行动博弈中的优势策略、纳什均衡与优势策略均衡

1. 图示
   观察依据

   左侧玩家标签“MARY”带有一个箭头，并标注文字“Player 1”。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，位于表格左侧的玩家处于 Player 1 的位置。

$\text{Player 1}$

同时行动收益表中的行玩家；本例中为玛丽。

玛丽

1. 图示
   观察依据

   顶部玩家标签“HARLEY”带有一个箭头，并标注文字“Player 2”。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，位于表格上方的玩家处于 Player 2 的位置。

$\text{Player 2}$

同时行动收益表中的列玩家；本例中为哈雷。

哈雷

1. 图示
   观察依据

   屏幕上出现文字：“Mary's possible actions = rows”，且两个行标签“UP”和“DOWN”用粉色圆圈标出。

2. 声音
   观察依据

   说话者解释道，行数对应玛丽可能采取的行动数量，即向上或向下。

$\text{Mary's possible actions}$

Player 1 可用的行策略集合。

{上，下}

1. 图示
   观察依据

   屏幕上文字显示“哈莉的可能行动 = 列”，且列标签“UP”和“DOWN”用粉色圆圈标出。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明：列的数量对应哈莉可采取的行动数量，即向上或向下。

$\text{Harley's possible actions}$

玩家2可选用的列策略集合。

{上，下}

1. 图示
   观察依据

   屏幕上文字显示“收益列示为 P1, P2”。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出：每个单元格列出每种结果对应的收益，其中先写玩家1的收益，再写玩家2的收益。

($P_1$, $P_2$)

单元格内的有序收益对：第一项为玩家1的收益，第二项为玩家2的收益。

$\text{每个矩阵单元格}$

1. 图示
   观察依据

   绿色标题“纳什均衡”出现，随后是定义文字：“一种结果，在该结果下，任一玩家在给定对方行动/策略的前提下，均无动机改变自身行为。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者将纳什均衡定义为这样一种结果：在该结果中，没有任何玩家会在对方行为既定的前提下，有动机改变自己的行为。

$\text{Nash Equilibria}$

每名玩家所选择的行动均为对另一名玩家行动的最优反应的结果。

$\text{博弈结果}$

1. 图示
   观察依据

   绿色编号步骤“1. 寻找最佳应对”出现，附带副标题：“对每位玩家，分别考虑其针对对方所有可能行动的最佳应对。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，第一步是寻找最佳应对：即从每位玩家的视角出发，分析其针对对方每一种可能行动所应采取的最佳应对。

$\text{Best Responses}$

在对手行动固定的前提下，该玩家在其所有可选行动中能带来最高收益的那个行动。

按玩家划分，以另一玩家的行动为条件

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵顶部写着名称“HARLEY”。

2. 声音
   观察依据

   说话人将哈雷称为玩家2，并讨论他的收益。

Harley

博弈中的玩家2，其行动对应于收益矩阵的列。

玩家集合

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵左侧写着名称“MARY”。

2. 声音
   观察依据

   说话人将玛丽称为玩家1，并讨论她的收益。

Mary

博弈中的玩家1，其行动对应于收益矩阵的行。

玩家集合

1. 图示
   观察依据

   单词“UP”被用作哈雷的列标题和玛丽的行标签。

UP

双方玩家均可选择的一个行动或策略。

行动空间

1. 图示
   观察依据

   单词“DOWN”被用作哈雷的列标题和玛丽的行标签。

DOWN

双方玩家均可选择的行动或策略。

行动空间

1. 图示
   观察依据

   矩阵中的每个单元格包含一对用逗号分隔的数字，例如：'10, 10'。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，哈莉的收益是单元格中的第二个数字，这意味着玛丽的收益是第一个数字。

(x, y)

一个收益对，其中 x 是玛丽（玩家1）的收益，y 是哈莉（玩家2）的收益。

收益空间

1. 图示
   观察依据

   一个$2\times 2$的收益矩阵被展示出来，左侧为MARY，上方为HARLEY，行标签为UP和DOWN，列标签为UP和DOWN，单元格内容依次为(10,10)、(8,4)、(4,8)、(5,5)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释该设定：两名玩家，行代表玩家1的行动，列代表玩家2的行动，每个单元格中的收益按P1、P2的顺序列出。

视频通过一个标准式收益表引入一个同时博弈：一名玩家对应行，另一名玩家对应列；每一行标签表示行玩家的一个可选行动，每一列标签表示列玩家的一个可选行动，每个单元格则包含对应行动组合下的有序收益对。

1. 涉及两名玩家。

2. 玩家1的行动以行表示，玩家2的行动以列表示。

3. 每个单元格按（玩家1，玩家2）的顺序列出收益。

1. 图示
   观察依据

   绿色文字将纳什均衡定义为这样一种结果：在给定对方行动/策略的前提下，任何一方均无动机改变自身行为。

2. 声音
   观察依据

   主讲人用口头方式陈述了相同的定义，并补充说明并非所有博弈都存在纳什均衡，有些博弈则存在多个纳什均衡。

纳什均衡是博弈的一种结果，在该结果中，没有任何一名参与者能在固定其他参与者行动的前提下，仅通过单方面改变自身行动而获益。本片段中，该概念既以口头方式、也以书面形式给出定义，但尚未识别出所展示矩阵中的任何均衡。

1. 适用于某个特定的博弈结果。

2. 每名参与者的行动均需在另一名参与者行动固定的前提下进行评估。

3. 该定义关注的是单方面偏离的激励。

1. 一个标准式双人同时博弈的设定

1. 图示
   观察依据

   绿色步骤文字显示为“1. 寻找最佳应对”以及“对每名参与者，考虑其针对另一名参与者所有可能行动的最佳应对”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，第一步是寻找最佳应对：即从每名参与者的视角出发，思考其对另一名参与者每一可能行动所应采取的最佳应对。

3. 图示
   观察依据

   粉红色文字“想象你是MARY”出现在片段末尾附近，提示下一步将展开具体演算。

1. 该片段在实际开展最佳应对比较之前即已结束。

为搜寻纳什均衡，视频规定了一种条件最大化方法：先固定一名参与者的行动，再询问另一名参与者采取何种行动可获得最高收益。该过程需对对手的每一可能行动、以及对两名参与者分别重复进行。本片段搭建了该方法的框架，并开始从MARY的视角着手应用，但在实际完成比较前即已中止。

1. 在正确读取收益表之后使用。

2. 一次只评估一名玩家。

3. 分别以另一名玩家的每种可能行动为条件进行分析。

1. 一个标准式双人同时博弈的设定
2. 纳什均衡

1. 图示
   观察依据

   右侧文字为：'1. 寻找最佳应对'以及'对每位玩家，分别考虑其针对对方所有可能行动的最佳应对'。

2. 声音
   观察依据

   说话者通过比较给定对手行动下各可行行动所对应的收益，来解释如何寻找最佳应对。

最佳应对是指：在其他参与者选定特定行动的前提下，能使某位玩家获得最高可能收益的那个行动。

1. 需要知道对手所采取的行动。

2. 需要在所有可选行动之间比较收益。

1. 图示
   观察依据

   文字显示：“上”是玛丽的占优策略，随后又显示：“上”是哈雷的占优策略。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将占优策略定义为：无论对方采取何种策略，该策略始终是最优应对。

占优策略是一种行动，无论对方选择何种策略，它所提供的收益都高于所有其他可选行动。

1. 必须是对对手所有可能行动的最优应对。

1. 最佳应对

1. 声音
   观察依据

   纳什均衡将是一种结果：在对方已采取某种行动的前提下，我方任何一位参与者都没有动机做出改变。

2. 图示
   观察依据

   文本框：‘纳什均衡——一种结果，在该结果下，任一参与者在给定对方行动／策略的前提下，均无动机改变自身行为。’

博弈中的一种结果：在对方所选策略既定的前提下，没有任何参与者有单方面改变自身策略的动机。

1. 适用于同时行动博弈。

2. 需为所有参与者识别其最优反应。

1. 声音
   观察依据

   对每位玩家，考虑其针对其他每位玩家所有可能行动的最优反应。

2. 图示
   观察依据

   在每一列和每一行中最高收益数字下方画下划线。

在另一位玩家选择特定行动的前提下，某位玩家应当采取的最优行动。

1. 针对对手所有可能的行动分别计算得出。

1. 声音
   观察依据

   支配性策略是指无论另一位玩家如何行动，某位玩家都应当采取的行动或策略。

2. 图示
   观察依据

   文本框：‘支配性策略——无论另一位玩家如何行动，某位玩家都应当采取的行动／策略。’

无论对手选择何种策略，该策略都能为某位玩家带来比任何其他策略都更高的收益。

1. 必须是对对手所有可能行动的最优反应。

1. 最优反应

1. 声音
   观察依据

   支配性策略均衡，即同时是参与者支配性策略交点的纳什均衡。

2. 图示
   观察依据

   文本框：‘若所有参与者均采用支配性策略，则该纳什均衡即为支配性策略均衡。’

一种特殊的纳什均衡，其中每位参与者都在采用其占优策略。

1. 所有参与者都必须拥有并采用占优策略。

1. 纳什均衡
2. 支配性策略

1. 图示
   观察依据

   文本框将主导策略定义为：无论其他参与者采取何种行动，该参与者都应当采取的行动；同时也是对对手所有可能行动的最优应对。

主导策略是指无论另一方采取何种行动，该参与者都应当采取的某个行动或策略；它也是对对手所有可能行动的最优应对。

1. 适用于博弈中的任意参与者。

1. 图示
   观察依据

   文本框指出：若所有参与者都采用其占优策略，则该状态为占优策略均衡。

纳什均衡（NE）是指在其他参与者策略不变的前提下，没有任何参与者能通过单方面改变自身策略而获益的状态。当所有参与者都采用其占优策略时，便形成占优策略均衡；该均衡同时也是纳什均衡。

1. 要构成占优策略均衡，必须要求所有参与者均采用其占优策略。

1. 主导策略

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“并非所有博弈都存在纳什均衡，有些博弈则存在多个纳什均衡。”

并非所有博弈都存在纳什均衡，有些博弈则存在多个纳什均衡。

1. 该陈述是在讲座语境中针对博弈整体所作的概括性论述。

对所有博弈而言，存在性均无保证；存在某些博弈具有多个纳什均衡。

1. 声音
   观察依据

   这本质上意味着，我们的纳什均衡将是一个所有参与者彼此互为最优反应的结果。

纳什均衡是指所有参与者彼此互为最优反应的一种结果。

1. 参与者是理性的，且力求使自身收益最大化。

适用于博弈中的所有参与者。

1. 声音
   观察依据

   现在，‘上—上’也恰好构成一个占优策略均衡，因为如前所述，‘上’对玛丽和哈雷而言都是占优策略。

2. 图示
   观察依据

   文本框：‘若所有参与者都采用占优策略，则该纳什均衡即为占优策略均衡’。

若所有参与者都采用占优策略，则由此产生的结果必为纳什均衡。

1. 每位玩家都有一个严格的占优策略。

对所有玩家而言。

1. 声音
   观察依据

   主讲人比较玛丽的收益（当哈雷选择“上”时，10与4的比较；当哈雷选择“下”时，8与5的比较）。

2. 图示
   观察依据

   粉色圆圈标出对应哈雷行动的列，粉色下划线标出玛丽的最优应对。

1. 公式

   $$\text{If Harley plays UP: } 10 > 4 \implies \text{Mary's best response is UP}$$
   解释

   当哈雷选择“上”时，玛丽若选择“上”则获得10，若选择“下”则获得4。由于10大于4，因此“上”是她的最优应对。

   步骤依据

   第一列中收益的比较。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{If Harley plays DOWN: } 8 > 5 \implies \text{Mary's best response is UP}$$
   解释

   当哈雷选择“下”时，玛丽若选择“上”则获得8，若选择“下”则获得5。由于8大于5，因此“上”是她的最优应对。

   步骤依据

   第二列中收益的比较。

   视频直接表达

玛丽的最优反应始终是UP，无论哈雷如何选择。

1. 声音
   观察依据

   主讲人比较哈雷的收益（当玛丽选择UP时：10与4；当玛丽选择DOWN时：8与5）。

2. 图示
   观察依据

   黑色圆点标出对应玛丽行动的行，黑色下划线标出哈雷的最优反应。

1. 公式

   $$\text{If Mary plays UP: } 10 > 4 \implies \text{Harley's best response is UP}$$
   解释

   当玛丽选择UP时，哈雷若选择UP可得10，若选择DOWN可得4。由于10大于4，因此UP是他的最优反应。

   步骤依据

   第一行中收益的比较。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{If Mary plays DOWN: } 8 > 5 \implies \text{Harley's best response is UP}$$
   解释

   当玛丽选择DOWN时，哈雷若选择UP可得8，若选择DOWN可得5。由于8大于5，因此UP是他的最优反应。

   步骤依据

   第二行中收益的比较。

   视频直接表达

哈雷的最优反应始终是UP，无论玛丽如何选择。

1. 声音
   观察依据

   主讲人得出结论：由于UP始终是最优反应，因此对双方玩家而言，UP均为优势策略。

2. 图示
   观察依据

   红色文字明确将‘Up’标注为玛丽和哈雷双方的优势策略。

1. 公式

   $$\forall s_{Harley}, BR_{Mary}(s_{Harley}) = UP \implies UP \text{ is a dominant strategy for Mary}$$
   解释

   由于UP是玛丽对哈雷所有可能行动的最优反应，因此它满足主导策略的定义。

   步骤依据

   主导策略定义在玛丽的最优反应上的应用。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\forall s_{Mary}, BR_{Harley}(s_{Mary}) = UP \implies UP \text{ is a dominant strategy for Harley}$$
   解释

   由于UP是哈雷对玛丽所有可能行动的最优反应，因此它满足主导策略的定义。

   步骤依据

   主导策略定义在哈雷的最优反应上的应用。

   视频直接表达

玛丽和哈雷均拥有主导策略，且该策略均为UP。

1. 声音
   观察依据

   因此，要寻找纳什均衡，我们需要查找那些在一个格子中包含两条下划线的结果。

2. 图示
   观察依据

   逐步标出最佳响应的下划线，最终确定（UP，UP）格子中有两条下划线。

1. 公式

   $$$$
   解释

   通过在每一列中将最大收益值加下划线，来识别玩家1（哈雷）针对玩家2（玛丽）每种行动的最佳响应。

   步骤依据

   最佳响应的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   通过在每一行中将最大收益值加下划线，来识别玩家2（玛丽）针对玩家1（哈雷）每种行动的最佳响应。

   步骤依据

   最佳响应的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   找出包含两个下划线收益值的格子。

   步骤依据

   一个含有两条下划线的格子，表示双方玩家都在针对对方的策略选择自己的最佳响应。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(UP, UP)$$
   解释

   结果（UP，UP）有两条下划线，因此它是一个纳什均衡。

   步骤依据

   命题：纳什均衡即双方的相互最优反应。

   视频直接表达

该博弈的纳什均衡为（UP，UP）。

1. 图示
   观察依据

   收益矩阵显示：玛丽选择‘上’的收益为10和8，均大于她选择‘下’的收益（4和5）；哈雷选择‘上’的收益为10和4，均大于他选择‘下’的收益（8和5）。文字标注进一步确认‘上’对双方均为占优策略，从而得出纳什均衡：（上，上）。

1. 公式

   $$\text{Mary's payoffs: } U(\text{Up}, \text{Up}) = 10, U(\text{Up}, \text{Down}) = 8; U(\text{Down}, \text{Up}) = 4, U(\text{Down}, \text{Down}) = 5$$
   解释

   根据哈雷的选择，比较玛丽选择‘上’与选择‘下’所获得的收益。

   步骤依据

   读取收益矩阵中每个单元格内的第一个数字。

   视频直接表达
2. 公式

   $$10 > 4 \text{ 且 } 8 > 5$$
   解释

   无论哈雷如何选择，玛丽选择‘上’所得收益均严格大于她选择‘下’所得收益。

   步骤依据

   数值比较。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Therefore, Up is a dominant strategy for Mary.}$$
   解释

   由于‘上’总能带来更高收益，因此它是玛丽的占优策略。

   步骤依据

   占优策略的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Harley's payoffs: } U(\text{Up}, \text{Up}) = 10, U(\text{Down}, \text{Up}) = 8; U(\text{Up}, \text{Down}) = 4, U(\text{Down}, \text{Down}) = 5$$
   解释

   根据玛丽的选择，比较哈雷选择“上”与“下”所获得的收益。

   步骤依据

   读取收益矩阵中每个单元格内的第二个数字。

   视频直接表达
5. 公式

   $$10 > 8 \text{ 且 } 4 < 5$$
   解释

   等等，让我仔细重读该矩阵。哈雷的列对应“上”和“下”。若玛丽选择“上”，则哈雷选择“上”得10，选择“下”得8；若玛丽选择“下”，则哈雷选择“上”得4，选择“下”得5。让我重新查看时间戳为00:02的视频画面。啊，字幕写道：‘上’是哈雷的占优策略。我再重读一遍矩阵。第1行：10,10 和 8,4；第2行：4,8 和 5,5。因此，若玛丽选择“上”，哈雷比较10（“上”）与4（“下”），且$10 > 4$；若玛丽选择“下”，哈雷比较8（“上”）与5（“下”），且$8 > 5$。是的，我最初的读取有误。请更正步骤4和5。

   步骤依据

   重新评估视觉证据。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\text{Corrected Harley's payoffs: } U(\text{Up}, \text{Up}) = 10, U(\text{Down}, \text{Up}) = 4; U(\text{Up}, \text{Down}) = 8, U(\text{Down}, \text{Down}) = 5$$
   解释

   根据玛丽的选择，比较哈雷选择“上”与“下”所获得的收益。

   步骤依据

   读取收益矩阵中每个单元格内的第二个数字。

   视频直接表达
7. 公式

   $$10 > 4 \text{ 且 } 8 > 5$$
   解释

   无论玛丽如何选择，哈雷选择“上”所得收益都严格大于其选择“下”所得收益。

   步骤依据

   数值比较。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\text{Therefore, Up is a dominant strategy for Harley.}$$
   解释

   由于“上”总能带来更高收益，因此它是哈雷的占优策略。

   步骤依据

   占优策略的定义。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\text{NE: (Up, Up)}$$
   解释

   由于双方玩家均以“上”为其占优策略，故唯一纳什均衡为（上，上），该均衡同时也是占优策略均衡。

   步骤依据

   占优策略均衡的定义。

   视频直接表达

在给定的收益矩阵中，'向上'是玛丽和哈雷双方的占优策略，由此形成纳什均衡（向上，向上）。

1. 图示
   观察依据

   所展示的$2\times 2$矩阵中，MARY为行玩家，HARLEY为列玩家，行列标签分别为UP和DOWN，单元格依次为(10,10)、(8,4)、(4,8)、(5,5)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐一分析每种结果：双方均选UP时，各自获得10；MARY选UP而HARLEY选DOWN时，MARY获得8、HARLEY获得4；MARY选DOWN而HARLEY选UP时，MARY获得4、HARLEY获得8；双方均选DOWN时，各自获得5。

解读给定的$2\times 2$同时行动博弈表，其中玩家为MARY与HARLEY。

1. 玛丽是玩家1，选择行动作“上”或“下”。

2. 哈雷是玩家2，选择列动作“上”或“下”。

3. 单元格中的收益按（玛丽，哈雷）顺序排列。

4. 矩阵元素为（上，上）＝（10，10），（上，下）＝（8，4），（下，上）＝（4，8），（下，下）＝（5，5）。

解释每种行动组合下各玩家获得的收益。

1. 公式

   $$(UP, UP) \mapsto (10, 10)$$
   解释

   当玛丽选择“上”且哈雷选择“上”时，适用左上角单元格。

   步骤依据

   行标签“上”与列标签“上”共同确定该单元格；收益顺序为（玩家1，玩家2）。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(UP, DOWN) \mapsto (8, 4)$$
   解释

   当玛丽选择“上”且哈雷选择“下”时，适用右上角单元格。

   步骤依据

   行标签“上”与列标签“下”共同确定该单元格；收益顺序为（玩家1，玩家2）。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(DOWN, UP) \mapsto (4, 8)$$
   解释

   当玛丽选择“下”且哈雷选择“上”时，适用左下角单元格。

   步骤依据

   行标签“下”与列标签“上”共同确定该单元格；收益顺序为（玩家1，玩家2）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(DOWN, DOWN) \mapsto (5, 5)$$
   解释

   当玛丽选择“下”且哈雷选择“下”时，适用右下角单元格。

   步骤依据

   行标签“上”和“下”与列标签“上”和“下”共同确定单元格；收益顺序为（玩家1，玩家2）。

   视频直接表达

四种结果分别对应（玛丽，哈雷）的收益（10，10）、（8，4）、（4，8）和（5，5）。

每个标出的收益均符合可见矩阵中对应单元格的约定顺序（玩家1，玩家2）。

1. 图示
   观察依据

   绘制一个$2\times 2$收益矩阵，其中参与者为玛丽与哈雷，行动为UP与DOWN，并标出具体的数值收益。

分析给定的$2\times 2$同时行动博弈，找出各参与者的最优反应及是否存在主导策略。

1. 参与者：玛丽（行玩家）、哈雷（列玩家）。

2. 行动：双方均可选择UP或DOWN。

3. 收益：(UP, UP) = (10, 10)，(UP, DOWN) = (8, 4)，(DOWN, UP) = (4, 8)，(DOWN, DOWN) = (5, 5)。

分别求出每位参与者针对对方每一行动的最优反应，并判断是否存在主导策略。

1. 公式

   $$\text{Compare Mary's payoffs in column UP: } 10 \text{ vs } 4$$
   解释

   当哈雷选择“上”时，识别玛丽的收益。

   步骤依据

   阅读收益矩阵的第一列。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Compare Mary's payoffs in column DOWN: } 8 \text{ vs } 5$$
   解释

   当哈雷选择“下”时，识别玛丽的收益。

   步骤依据

   阅读收益矩阵的第二列。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Compare Harley's payoffs in row UP: } 10 \text{ vs } 4$$
   解释

   当玛丽选择“上”时，识别哈雷的收益。

   步骤依据

   阅读收益矩阵的第一行。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Compare Harley's payoffs in row DOWN: } 8 \text{ vs } 5$$
   解释

   当玛丽选择“下”时，识别哈雷的收益。

   步骤依据

   阅读收益矩阵的第二行。

   视频直接表达

玛丽的最优反应始终是“上”，哈雷的最优反应也始终是“上”。因此，“上”对两位玩家而言都是优势策略。

视觉标注（下划线）标出了每次比较中的最高收益，而明确的文字标签则印证了关于优势策略的结论。

1. 图示
   观察依据

   一个$2\times 2$的收益矩阵，参与者为玛丽与哈雷，策略为UP和DOWN，对应收益分别为（10，10）、（8，4）、（4，8）、（5，5）。

求出该博弈的纳什均衡，并判断它是否为占优策略均衡。

1. 参与者1：哈雷（列策略：UP、DOWN）

2. 参与者2：玛丽（行策略：UP、DOWN）

3. 收益（哈雷，玛丽）：（UP，UP）＝（10，10），（DOWN，UP）＝（8，4），（UP，DOWN）＝（4，8），（DOWN，DOWN）＝（5，5）

找出纳什均衡，并检验是否存在占优策略。

1. 公式

   $$10 > 8, 4 > 5$$
   解释

   对哈雷而言，若玛丽选择UP，则哈雷的最优反应是UP（10＞8）；若玛丽选择DOWN，则哈雷的最优反应仍是UP（4＞5）。

   步骤依据

   比较哈雷各策略的收益。

   依据视频推导
2. 公式

   $$10 > 4, 8 > 5$$
   解释

   对玛丽而言，若哈雷选择UP，则玛丽的最优反应是UP（10＞4）；若哈雷选择DOWN，则玛丽的最优反应仍是UP（8＞5）。

   步骤依据

   比较玛丽采取各行动所获得的收益。

   依据视频推导
3. 公式

   $$(UP, UP)$$
   解释

   两位玩家都在（上，上）格子中对其各自的收益画了下划线，因此（上，上）是纳什均衡。

   步骤依据

   通过最优反应定义纳什均衡。

   视频直接表达
4. 公式UP is dominant for both
   解释

   由于无论对方采取何种行动，上都是双方各自的最优反应，因此上是双方的支配策略。

   步骤依据

   支配策略的定义。

   依据视频推导
5. 公式(UP, UP) is DSE
   解释

   因为双方在纳什均衡处所采取的正是各自的支配策略，所以该均衡同时也是支配策略均衡。

   步骤依据

   支配策略均衡的定义。

   依据视频推导

该纳什均衡为（上，上），它同时也是一种支配策略均衡。

检查收益可知，任一玩家都无法通过单方面偏离“上”来提高自身收益。

1. 图示
   观察依据

   一个$2\times 2$的收益矩阵，参与者为玛丽和哈雷，策略为向上和向下，并具有具体的数值收益。

分析所提供的$2\times 2$收益矩阵，找出玛丽和哈雷的占优策略，并确定纳什均衡。

1. 参与者：玛丽（行）、哈雷（列）

2. 策略：向上、向下

3. 收益：（向上，向上）＝（10，10），（向上，向下）＝（8，4），（向下，向上）＝（4，8），（向下，向下）＝（5，5）

找出占优策略和纳什均衡。

1. 公式

   $$\text{Compare Mary's payoffs: } 10 > 4 \text{ 且 } 8 > 5$$
   解释

   玛丽选择向上的收益始终大于选择向下的收益。

   步骤依据

   直接从矩阵中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Compare Harley's payoffs: } 10 > 4 \text{ 且 } 8 > 5$$
   解释

   哈雷选择向上的收益始终大于选择向下的收益。

   步骤依据

   直接从矩阵中观察得出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{NE: (Up, Up)}$$
   解释

   双方玩家均选择各自的主导策略，从而达成均衡。

   步骤依据

   主导策略均衡的定义。

   视频直接表达

“上”是玛丽和哈雷双方的主导策略，纳什均衡为（上，上）。

结果（上，上）产生的收益为（10，10）。任何一方都无法通过单方面偏离来提高自身收益（玛丽将得到4，哈雷将得到4）。

1. 动画
   观察依据

   在出现注释“玛丽的可能行动 = 行”之后，粉红色轮廓线被绘制在两个行标签“上”和“下”的周围。

1. 行标签“上”

2. 行标签“下”

3. 注释：“玛丽的可能行动 = 行”

1. 行标签通过粉红色轮廓线进行视觉强调。

1. 单元格中的收益数值不发生变化。

2. 此时哈雷的列标签尚未被高亮显示。

动画将矩阵的行维度与玛丽的可选策略关联起来。

1. 动画
   观察依据

   在“哈雷的可能行动 = 列”这一注释出现后，用粉色轮廓线框出了两列标签“上”和“下”。

1. 列标签“上”

2. 列标签“下”

3. 注释：“哈雷的可能行动 = 列”

1. 列标签通过粉色轮廓线得到视觉强调。

1. 矩阵中的收益值保持不变。

2. 此时玛丽的行标签不再作为焦点。

动画将矩阵的列维度与哈雷可选的策略关联起来。

1. 动画
   观察依据

   添加注释“收益按 P1, P2 列出”，并用箭头/标签从玛丽和哈雷分别指向单元格（10,10）、（8,4）、（4,8）和（5,5）中的第一项与第二项。

1. 单元格（10,10）

2. 单元格（8，4）

3. 单元格（4，8）

4. 单元格（5，5）

5. “玛丽”和“哈莉”标签附在收益数值旁

1. 用箭头和手写的玩家姓名标明每个数字分别属于哪位玩家。

1. 数值型收益本身不发生变化。

2. 矩阵布局保持不变。

视觉标注明确指出：每个有序对均按（玩家1的收益，玩家2的收益）来读取。

1. 动画
   观察依据

   先前的黑色批注逐渐淡出，随后出现绿色标题“纳什均衡”，接着是定义，再之后是步骤“1．寻找最佳响应”。

1. 绿色标题“纳什均衡”

2. 绿色定义文字

3. 绿色步骤文字：“1. 寻找最佳应对策略”

4. 粉色文字：“想象你是玛丽”

1. 画面从讲解矩阵结构转向引入均衡术语及求解流程。

1. 底层的$2\times 2$收益矩阵始终保持可见且未作改动。

彩色书写的文字将概念设定与博弈求解方法区分开来。

1. 动画
   观察依据

   用粉色椭圆圈出收益矩阵的各列，以表示哈雷的固定行动；在每列中玛丽的最高收益下方画出粉色下划线。

1. 收益矩阵的列

2. 玛丽的收益

1. 椭圆形出现在各列周围。

2. 下划线出现在特定数字下方。

1. 底层收益矩阵的数值保持不变。

这一视觉序列将玛丽在评估她对哈雷每种可能行动的最佳应对时所涉及的相关收益单独凸显出来。

1. 动画
   观察依据

   屏幕上显示红色文字：“‘向上’是玛丽的主导策略”。

1. 文本注释

1. 新文本出现在屏幕上。

1. 收益矩阵持续可见。

该事件正式记录了从玛丽一贯的最佳应对中得出的结论。

1. 动画
   观察依据

   黑色椭圆框标出收益矩阵的各行，表示玛丽的固定行动；在每行中哈雷的最高收益下方画上黑色下划线。

1. 收益矩阵的行

2. 哈雷的收益

1. 椭圆框出现在各行周围。

2. 下划线出现在特定数字下方。

1. 底层收益矩阵的数值保持不变。

2. 此前为玛丽标注的粉色标记仍可见。

这一视觉序列将哈雷在评估其对玛丽每种可能行动的最佳应对时所需的收益单独凸显出来。

1. 动画
   观察依据

   屏幕上显示红色文字：“向上是哈雷的主导策略”。

1. 文字标注

1. 屏幕上出现新文字。

1. 收益矩阵及先前的标注保持可见。

该事件正式记录了由哈雷一贯的最佳应对所推导出的结论。

1. 动画
   观察依据

   在收益矩阵的每一行和每一列中，依次对最大的数字画下划线。

1. 收益矩阵中的数字

1. 下划线依次出现在每位玩家各选项对应的最大收益下方。

1. 收益矩阵的结构保持不变。

该可视化过程展示了：在给定对方行动的前提下，如何为每位玩家找出其最优反应，这是求解纳什均衡的第一步。

1. 图示
   观察依据

   手写风格的文字框依次出现，分别总结纳什均衡与主导策略的定义。

1. 含定义的文字框

1. 文字框渐入渐出，用以概括关键概念。

1. 核心定义与音频讲解内容保持一致。

这些视觉辅助手段强化了所授博弈论概念的口头定义。

1. 动画
   观察依据

   画面从文字定义幻灯片切换为手绘收益矩阵幻灯片。

1. 文字定义

2. 收益矩阵

1. 视觉内容完全改变

1. 无

标志着从理论定义转向实际例题。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出，并非所有博弈都存在纳什均衡，有些博弈则存在多个纳什均衡。

人们可能误以为每个博弈天然就只有一个纳什均衡。

视频直接说明：并非所有博弈都存在纳什均衡，有些博弈存在多个纳什均衡。

1. 图示
   观察依据

   矩阵旁标注有“收益按P1、P2顺序列出”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说明：玩家1的收益列在前面，随后是玩家2的收益。

读者可能混淆单元格中的两个数字，将它们错误地分配给玩家。

在此表格中，每个单元格按（玩家1，玩家2）顺序排列，因此第一个数字是玛丽的收益，第二个数字是哈雷的收益。

1. 声音
   观察依据

   在解释完表格后，主讲人说道：“现在我们理解了这个博弈，就可以求解该博弈的纳什均衡。”

均衡概念仅在收益表、玩家角色、行动集以及收益顺序均已明确之后才予以应用。

1. 图示
   观察依据

   在绿色标题“纳什均衡”下方，下一行文字为“1. 寻找最佳应对”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人在定义纳什均衡之后，将最佳应对作为第一步加以介绍。

寻找最佳应对的方法被呈现为识别纳什均衡的操作性第一步。

1. 图示
   观察依据

   玛丽-哈雷矩阵是主讲人在讲解行、列及收益顺序时所使用的具体对象。

对玛丽-哈雷表格的逐项解读，实例化了同时行动收益矩阵的一般定义。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，由于无论对手采取何种行动，“上”都是最佳应对，因此它是一种主导策略。

最佳应对这一概念被用于定义和识别主导策略。若某一策略对于对手所有可能的策略而言都是最佳应对，则该策略即为主导策略。

1. 声音
   观察依据

   要寻找纳什均衡，我们需要查找是否存在某个单元格内有两条下划线……即每位参与者都在针对他人策略做出最优反应。

寻找纳什均衡依赖于首先识别所有参与者的最优反应。

1. 声音
   观察依据

   换言之，这些策略或行动是对对手所有可能行动的最优反应。

优势策略是一种特殊的最佳应对，它适用于对手所有可能采取的行动。

1. 图示
   观察依据

   文本框：‘若所有参与者都采用优势策略，则纳什均衡即为优势策略均衡。’

优势策略均衡是纳什均衡的一种特殊情况，此时所有参与者均采用优势策略。

1. 图示
   观察依据

   箭头从“占优策略”框指向“纳什均衡即占优策略均衡……”文字。

占优策略均衡是一种特殊的纳什均衡，其中所有参与者都采用各自的占优策略。

1. 图示
   观察依据

   箭头将MARY标注为“玩家1”，将HARLEY标注为“玩家2”。

1. 一个标准式双人同时博弈的设定

1. 图示
   观察依据

   矩阵旁注明：“收益按P1、P2顺序列出”。

1. 一个标准式双人同时博弈的设定

1. 图示
   观察依据

   绿色文字将纳什均衡定义为这样一种结果：在对方行为给定的前提下，任一参与者均无改变自身行为的动机。

1. 纳什均衡

1. 图示
   观察依据

   黑板上在“纳什均衡”标题下写着“1。寻找最优反应”。

1. 将寻找最佳应对作为通向纳什均衡的第一步

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，有些博弈存在多个纳什均衡。

1. 纳什均衡
2. 纳什均衡的存在性与多重性

1. 图示
   观察依据

   教学文字‘1. 寻找最佳应对’贯穿整个视频。

1. 最佳应对

1. 声音
   观察依据

   说话者依据“对对手所有行动均为最佳应对”来定义主导策略。

1. 占优策略

1. 声音
   观察依据

   因此，要寻找纳什均衡，我们需要查找那些在同一个单元格中存在两条线的所有结果。

1. 纳什均衡
2. 最优反应

1. 声音
   观察依据

   优势策略是指无论对方采取何种行动，某参与者都应采取的行动或策略。

1. 支配性策略

1. 图示
   观察依据

   文本框：‘若所有参与者都采用优势策略，则纳什均衡即为优势策略均衡。’

1. 纳什均衡
2. 占优策略均衡

1. 图示
   观察依据

   视频通过比较收益矩阵的行与列中的收益值，演示了如何找出占优策略。

1. 主导策略
2. $2\times 2$收益矩阵示例

1. 图示
   观察依据

   视频表明，当双方参与者均拥有占优策略时，其策略组合的交点即为纳什均衡。

1. 纳什均衡与占优策略均衡
2. $2\times 2$收益矩阵示例