用黎曼和极限定义二重积分 | 曲面下的体积

1. 声音
   观察依据

   主讲人称该矩形的宽度为 Δx，并随后说明他将其记作 Δxₖ，以表示其定义域划分中的第 k 个这样的小矩形。

2. 公式
   观察依据

   屏幕下方红色矩形旁的标签是$\Delta x_k$。

$\Delta x_k$

定义域划分中第$k$个子矩形的宽度。

与定义域中某个子矩形相关联的正长度；未给出确切数值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称该矩形的高度变化为 Δy，并随后说明他将其记作 Δyₖ，以表示其定义域划分中的第 k 个这样的小矩形。

2. 公式
   观察依据

   屏幕旁红色矩形旁的标签是$\Delta y_k$。

$\Delta y_k$

高度变化，或定义域划分中第 $y$个子矩形在 $k$方向上的边长。

与定义域中某个子矩形相关联的正长度；未给出确切数值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“因此，我来选取一对数，即一对 xₖ、yₖ”，并解释该数对只是矩形内部任意一点。

2. 公式
   观察依据

   红色矩形内部的一个黄色点标记为$(x_k, y_k)$。

$(x_k, y_k)$

定义域划分中第$k$个子矩形内所选取的一个样本点，用于确定位于该子矩形上方对应长方体的高度。

平面上位于所选子矩形内部的一点；主讲人指出允许选择不同的点。

1. 图示
   观察依据

   在00:00:00-00:00:16时刻，2D图像将红色矩形内部的一个黄色点标记为$(x_k,y_k)$。

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:43-00:01:52时刻，第2步显示为“在每个矩形中选择一个点$(x_k,y_k)$”。

3. 声音
   观察依据

   主讲人表示他将在每个小矩形内部选择一个$x_k,y_k$。

($x_k$,$y_k$)

在划分的第k个子矩形内选取的样本点。

矩形区域[a,b] × [c,d]中的一个点。

1. 图示
   观察依据

   在00:00:00-00:00:16时刻，红色矩形的水平边被标记为$Δx_k$。

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:02-00:01:42时刻，公式$ΔA_k = Δx_k Δy_k$出现。

3. 声音
   观察依据

   主讲人将$x_k$的变化称为底面积的一个因子。

$Δx_k$

第k个子矩形在x方向上的宽度。

与第k个划分单元相关联的正长度。

1. 图示
   观察依据

   在00:00:00-00:00:16时刻，红色矩形的竖直边被标记为$Δy_k$。

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:02-00:01:42时刻，公式$ΔA_k = Δx_k Δy_k$出现。

3. 声音
   观察依据

   讲师将 $y_k$ 的变化量称为底面积的另一个因子。

$Δy_k$

第 k 个子矩形在 y 方向上的高度。

与第 k 个划分单元相关联的正长度。

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:02-00:01:42处，文本显示 $ΔA_k = Δx_k Δy_k$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，每个矩形的面积由 $x_k$ 的变化量与 $y_k$ 的变化量的乘积给出。

$ΔA_k$

划分中第 k 个小矩形的面积。

$ΔA_k = Δx_k Δy_k$。

1. 图示
   观察依据

   在00:00:31-00:01:01处，曲面上的垂直高度标记为 $f(x_k,y_k)$。

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:53-00:02:33处，求和项中包含 $f(x_k,y_k)$。

3. 声音
   观察依据

   讲师指出，对该点取函数 f 得到长方体的高度。

1. 本片段未给出 f 的显式表达式；仅展示了其作为矩形区域上方曲面高度的作用。

f

其图像构成矩形区域上方的上表面的函数。

在样本点 ($x_k$, $y_k$) 处取值，得到高度。

1. 图示
   观察依据

   在00:00:31-00:01:01处，标签 $f(x_k, y_k)$ 表示代表长方体的垂直高度。

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:53-00:02:33和00:02:34-00:03:00处，公式中使用 $f(x_k, y_k)$。

3. 声音
   观察依据

   讲师指出，高度由函数在 $x_k$, $y_k$ 处的函数值给出。

$f(x_k,y_k)$

第 k 个子矩形上方的代表矩形长方体的高度。

在所选样本点处对实值函数进行求值。

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:53-00:02:33处，求和指标 k 从1运行到 n。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，该区域被划分为 n 个互不相同的小矩形。

n

用于有限黎曼和的划分中子矩形的个数。

正整数。

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:02:34-00:03:00处，极限写作 ||P|| → 0。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，P 仅是本人为该划分所起的名称——即把这一大区域划分成若干个小矩形。

1. ‖P‖ 的精确定义在本片段中并未完整给出；讲师刚开始解释，但句子被截断了。

P

将矩形区域划分成若干小矩形的划分名称。

[a,b] × [c,d] 的一个划分。

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:02:34-00:03:00处，公式显示为 lim_{‖P‖→0}。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，体积由当 P 的长度趋近于零时的极限来定义。

1. 本片段未完成对 ‖P‖ 的显式定义；在解释被截断前，仅提到了‘P 的长度’这一说法。

||P||

划分 P 的范数或大小度量，口头描述为 P 的长度趋近于零。

与该划分相关联的一个非负量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将本主题介绍为求曲面下方的面积，并将其与单变量情形下求曲线下的面积问题进行类比。

2. 图示
   观察依据

   屏幕显示两个面板，标题分别为“单变量微积分”和“多变量微积分”，左侧为一条2D曲线，右侧为一个3D曲面。

视频将核心任务定义为：在多变量微积分中计算曲面下方的量，这一任务类比于一元微积分中计算曲线下的面积。视觉对比清晰表明：单变量对象是一条定义在区间上的曲线，而多变量对象则是一个定义在平面区域上的曲面。

1. 背景设定为多变量微积分。

2. 目标对象是曲面，而非单变量曲线。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，曲线下的面积思想是：将该区域划分为若干个不同的矩形，分别计算每个矩形的面积，再将它们相加，从而得到近似值。

2. 动画
   观察依据

   大约在00:30处，左侧图像中蓝色曲线下的区域被红色矩形填满。

所呈现的方法是：将曲线下的区域细分为矩形，利用每个矩形易于计算的面积，再将这些面积相加，以近似曲线下的总面积。这是一维情形下的原型方法，视频随后将其推广至曲面情形。

1. 曲线下的区域可被细分为矩形。

2. 每个矩形的面积均可计算。

3. 矩形面积之和被视作一种近似。

1. 多变量微积分中曲面下方体积的问题

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，多元微积分中的情形与之完全相同，区别仅在于：此处相加的不是小矩形，而是小长方体。

2. 动画
   观察依据

   在约00:30处，右侧面板显示一个3维曲面被许多红色矩形长方体所覆盖。

多元情形的类比是：用竖立于定义域子矩形之上的三维长方体取代平面上的矩形；将这些长方体的体积相加，即可近似曲面下方的体积。

1. 定义域被细分为若干个小矩形。

2. 每个子矩形支撑一个长方体，其高度取自函数在某个采样点处的函数值。

3. 总近似值即为所有长方体体积之和。

1. 单变量微积分中的黎曼和近似

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，在两种情形中，他都可以通过不断增加细分的数量来获得越来越精确的近似；而将定义域划分为越来越多、越来越小的矩形，便能得到越来越精确的近似。

2. 动画
   观察依据

   从约01:03到01:06，左侧的矩形与右侧的长方体均明显变得更细密、更密集。

视频指出，在单变量与多元两种情形下，增加细分数量并缩小各部分尺寸，均可得到更优的近似；这种视觉上的细化过程，支持了黎曼和背后直观的极限思想。

1. 子区间的数量增加。

2. 每个子矩形的尺寸减小。

1. 单变量微积分中的黎曼和近似
2. 曲面下方体积的长方体求和近似

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示他将聚焦于定义域，并在定义域中指定某个矩形，其宽度为 delta x、高度变化为 delta y；接着他称它们为 delta x k 和 delta y k，用以表示定义域分割中第 k 个这样的小矩形。

2. 公式
   观察依据

   标记$\Delta x_k$和$\Delta y_k$出现在孤立的红色矩形周围。

为使该构造形式化，视频在定义域中孤立出一个子矩形，并将其边长记为$\Delta x_k$和$\Delta y_k$；下标$k$表明在定义域的一个划分中使用了多个这样的子矩形。

1. 定义域已被细分为多个矩形。

2. $k$用于索引所选的某一个子矩形。

1. 曲面下方体积的长方体求和近似

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他需要确定小矩形上方长方体的高度，为此需将某个特定点代入函数；他选取一对点$(x_k, y_k)$，该点仅为矩形内部任意一点，并指出不同的人可作出不同的选择。

2. 公式
   观察依据

   红色矩形内部的一个黄色点被标记为$(x_k, y_k)$。

由于子矩形是一个区域而非单个输入，视频解释道：必须在该子矩形内部选定一个特定点$(x_k,y_k)$，并将其代入函数，从而得到子矩形上方长方体的高度；该点的选择并非唯一。

1. 存在一个定义在该定义域上的函数。

2. 已选取一个子矩形。

3. 在该子矩形内部选定一点作为样本点。

1. 第$k$个子矩形尺寸的记号

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，在极限情况下，矩形内部点 ($x_k$, $y_k$) 的具体选取位置实际上并不重要。

2. 图示
   观察依据

   在00:00:00-00:00:16处，一个标有 ($x_k$, $y_k$) 的黄色点显示在红色矩形内，该矩形的边长标记为 $Δx_k$ 和 $Δy_k$。

对于正在介绍的构造，在有限求和阶段，每个子矩形内样本点 ($x_k$, $y_k$) 的确切位置是任意的；但讲师指出，在极限情况下，这一选择不再影响结果。

1. 当分割无限加细时，该性质在极限过程中成立。

2. 每个 ($x_k$, $y_k$) 均在对应的子矩形内部选取。

1. 将矩形区域划分为若干个小矩形
2. 一个代表性小盒的体积

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:02-00:01:42处，第一步为：将区域 [a,b] × [c,d] 分割成若干小矩形 $ΔA_k = Δx_k Δy_k$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，该区域必须是矩形，并将把它分割成许多微小的矩形。

第一步是将矩形区域 [a,b] × [c,d] 划分为若干更小的矩形。每个小矩形的边长分别为 $Δx_k$ 和 $Δy_k$，其面积记为 $ΔA_k$。

1. 该区域必须是矩形。

2. 该区域被划分为有限多个小矩形，各小矩形以索引 k 标记。

1. 字幕依据
   观察依据

   在 00:01:43-00:01:52 处，第二步为：在每个小矩形中选取一点 ($x_k$,$y_k$)。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，他将在每个小矩形中选取某个特定的点。

在对区域完成划分后，下一步是在每个小矩形内部选取一点 ($x_k$,$y_k$)。该点决定了黎曼和中对应长方体的高度。

1. 每个小矩形中均选取一个点。

2. 该点位于其所对应的小矩形内部。

1. 将矩形区域划分为若干个小矩形

1. 图示
   观察依据

   在 00:00:17-00:01:01 处，展示了一个 3D 曲面，其上从一个底面矩形竖直向上延伸出一个长方体，高度标记为 $f(x_k,y_k)$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，该长方体的体积等于底面积乘以高，即底面的 $Δx_k$ 与 $Δy_k$ 的乘积，再乘以高度 $f(x_k,y_k)$。

定义域中的每个子矩形都支撑着一个长方体小盒，其高度为所选样本点处的函数值；该小盒的体积等于底面积乘以高度。

1. 在第 k 个子矩形中选取一个样本点 ($x_k$, $y_k$)。

2. 底面是第 k 个子矩形，其面积为 $Δx_k Δy_k$。

1. 将矩形区域划分为若干个小矩形
2. 在每个小矩形中选取一个样本点

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:53-00:02:33处，第三步写为：体积 ≈ $\sum _{k=1}^n f(x_k,y_k) Δx_k Δy_k$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出这并非精确答案，但如果他将该区域划分为若干个小矩形，那么就要对所有这些小长方体的体积求和，即从一加到 n。

将所有代表性小盒的体积相加，得到一个有限和，它近似于曲面下方、矩形区域之上的总体积。

1. 划分中共有 n 个子矩形。

2. 每一项均使用在第 k 个子矩形中所选的样本点 ($x_k$, $y_k$)。

1. 一个代表性小盒的体积

1. 字幕依据
   观察依据

   在00:02:34-00:03:00处，第四步写为：体积 = lim_{||P||→0} $\sum _{k=1}^n f(x_k,y_k) Δx_k Δy_k$。

2. 声音
   观察依据

   讲师表示，他将通过讨论当划分 P 的模长趋近于零时的某个特定极限，来定义该区域下方的体积。

1. 视频片段在讲师完成 ||P|| 定义之前就结束了。

曲面下方的精确体积并非由某一个有限和给出，而是由黎曼和在划分范数趋于零时的极限所定义。

1. 对划分 P 进行加细，使得 ||P|| → 0。

2. 对划分上的有限黎曼和取极限。

1. 体积的有限黎曼和近似
2. 将矩形区域划分为若干个小矩形

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这个多元微积分问题与大一微积分中曾解答过的单变量问题完全类似，即求曲线下方的面积。

求曲面下方数量这一多元问题，被表述为与求曲线下方面积这一单变量问题完全类似。

1. 在曲线情形下，我们使用单变量微积分。

2. 在曲面情形下，我们使用多元微积分。

针对视频中所展示的示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出：当长方体凸出于曲面之上时，所加体积过多；当长方体位于曲面之下时，所加体积过少；但随着长方体数量增多、尺寸变小，这些误差将越来越小、越来越小、越来越小。

2. 动画
   观察依据

   从约01:21起，一个高亮显示的长方体被展示出来，其一部分凸出于弯曲曲面之上，另一部分则位于曲面之下。

对于立于子矩形上方的长方体，其部分可能位于曲面之上，部分可能位于曲面之下，从而产生局部高估与低估；视频指出，增加细分数量并缩小长方体尺寸，可使这些误差变小。

1. 曲面在子矩形上是弯曲的。

2. 使用长方体来近似曲面下方的体积。

3. 通过细化细分，使长方体变得更小。

针对视频中高亮显示的长方体以及所展示的细化长方体族。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出：“在矩形内部具体选取哪一点 ($x_k$, $y_k$) 实际上并不影响最终结果”，这是在极限意义下成立的。

1. 本片段未给出证明；该陈述仅作为概念铺垫的一部分呈现。

当划分不断加细、子矩形趋于无穷小时，每个子矩形内点 ($x_k$, $y_k$) 的确切位置不会影响极限体积。

1. 该构造正趋近于越来越精细的划分之极限。

2. 每个 ($x_k$, $y_k$) 均在其对应的子矩形内部选取。

对每个子矩形而言，任意容许的样本点选取方式都会导致相同的极限结果。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“本视频中，该区域必须是矩形区域，即仅涉及x方向和y方向的变化。”

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:02-00:01:42处，屏幕上显示的定义域为[a,b] × [c,d]。

1. 此项限制是为当前推导而设定，并非在此处证明。

在本次讲解中，被划分的区域要求是形如[a,b] × [c,d]的矩形区域。

1. 本片段中的讨论即为此处所呈现的内容。

2. 该区域被描述为一个x区间与一个y区间的笛卡尔积。

针对本构造中所考虑的区域。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，该长方体的体积等于底面积乘以高，即$Δx_k Δy_k$ 乘以 $f(x_k,y_k)$。

2. 图示
   观察依据

   在00:00:31-00:01:01处，代表性长方体的高被标注为底面矩形上方的 $f(x_k,y_k)$。

第k个子矩形上方长方体的体积，等于其底面积 $Δx_k Δy_k$ 与其高 $f(x_k,y_k)$ 的乘积。

1. 已选取一个边长为 $Δx_k$ 和 $Δy_k$ 的子矩形。

2. 在该子矩形内选定了一个样本点 ($x_k$, $y_k$)。

对每个单独的子矩形 k。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“这并非精确答案，但若我要做近似……”随后引入求和式。

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:01:53-00:02:33处，公式使用 ≈ 而非 =。

求和式 $\sum _{k=1}^n f(x_k,y_k) Δx_k Δy_k$ 给出曲面下方体积的一个近似值，而非精确值。

1. 该划分仅包含有限个子矩形。

2. 求和式在取任何极限之前即已构造完成。

对任意固定的有限划分。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“我将通过讨论某个特定极限来定义该区域下方的体积。”

2. 字幕依据
   观察依据

   在00:02:34-00:03:00处，公式由 ≈ 变为 =，并添加 lim_{||P||→0}。

1. 该片段并未证明极限的存在性；它仅通过该极限过程来定义体积。

曲面下方、矩形区域上方的体积被定义为当‖P‖→0时黎曼和的极限。

1. 考虑一个划分P的序列或加细序列。

2. 黎曼和由各子矩形内的样本点构造而成。

在划分范数趋近于零的极限过程中。

1. 声音
   观察依据

   讲话者指出，当划分P的模长趋近于零时，最大的矩形面积趋近于零，其余所有矩形面积也均趋近于零，而矩形个数则趋近于无穷大。

2. 公式
   观察依据

   该口头解释对应于所显示的极限$\lim_{\|P\|\to 0}$。

1. 该陈述以非正式方式给出，而非作为带有前提条件的形式化定理。

当\|P\|$\to 0$时，最大子矩形面积趋于0，因此所有子矩形面积均趋于0，而子矩形个数趋于无穷大。

1. 一个矩形区域被划分为若干子矩形。

2. \|P\|表示该划分中最大矩形的尺寸。

对于一列网格模长趋近于0的划分加细序列。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他本可以选择右上角或任意一个角，但在此近似计算中，他选择了左下角。

对于有限的黎曼和近似，每个子矩形中的样本点可按不同方式选取；左下角仅是一种有效的约定。

1. 对区域的子矩形划分已经固定。

2. 此时是在构造一个近似和，而非证明某种唯一的选择。

针对示例划分中的每个子矩形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：因此，这是对这一特定曲面下方体积的一个近似。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的行以“体积 ≈”开头。

1. 口述短语为“该特定曲面下的面积”，而屏幕上显示的量标注为“体积”；在当前语境中，其数学含义是体积的近似值。

仅使用四项样本就得到曲面下方体积的近似值，而非精确值。

1. 该曲面仅在有限个点处被采样。

2. 每一项贡献仅使用每个子矩形上的一个代表性高度。

对于屏幕上显示的4项和，结果是近似的。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 = [$1 + 5 + 5 + 9$] $2^2 = 80$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称：将这些点代入函数，得到$1 + 5 + 5 + 9$，再乘以2的平方，结果为80。

对于函数 $f(x,y) =9-x^2-y^2$ 在区间 [-2,2] × [-2,2] 上，取左下角采样点时，所显示的四项黎曼和等于 80。

1. 使用四个采样点：(-2,-2)、(0,-2)、(-2,0)、(0,0)。

2. 每个子矩形的面积为$2^2$。

针对这个具体例子和该划分。

1. 声音
   观察依据

   讲述者从将曲线下的区域分割为矩形，过渡到多元微积分中累加若干小长方体，再过渡到细化细分，最后讨论单个长方体相对于曲面的局部误差。

2. 动画
   观察依据

   画面依次呈现：光滑图像 → 铺满矩形与长方体 → 更精细的铺排 → 放大后曲面下方的单个长方体。

1. 本片段中，视频未写出求和公式或极限记号。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从单变量情形下曲线下的面积问题出发。

   步骤依据

   讲述者明确将多元情形的讨论类比为一年级微积分中曲线下的面积问题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将曲线下的区域划分为多个矩形，并累加它们的面积，以近似总面积。

   步骤依据

   这一点在音频中直接陈述，并通过红色矩形填充蓝色曲线下的区域来图示说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   将同样的策略迁移到曲面上：用竖立在定义域子矩形上的长方体替代矩形。

   步骤依据

   说话者指出，多变量情形与单变量情形完全相同，区别仅在于他所累加的不再是小矩形，而是小长方体。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   通过使用更多、更小的子区域来细化划分，从而提升近似精度。

   步骤依据

   说话者指出，子区域的数量越多，近似效果就越好；动画则展示了铺砌网格变得越来越精细。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   观察其中一个长方体，理解为何该近似不精确：该长方体在某些位置可能凸出于曲面之上，在另一些位置又可能凹陷于曲面之下。

   步骤依据

   说话者明确描述了这种局部不匹配现象，动画则突出显示曲面下方的一个长方体。

   视频直接表达
6. 公式

   $$$$
   解释

   得出结论：随着长方体尺寸变小，这些局部误差也随之缩小。

   步骤依据

   说话者指出，随着长方体数量增加、尺寸减小，误差会越来越小。

   视频直接表达

该片段通过黎曼和直观推导二重积分：用长方体体积之和近似曲面下的体积，并预期当划分不断细化时，近似效果将不断提升。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“我们来看看如何更正式地定义它”，随后在定义域中单独标出一个矩形，将其两边分别命名为$\Delta x_k$和$\Delta y_k$，并在其内部选取一点$(x_k,y_k)$以确定长方体的高度。

2. 公式
   观察依据

   标签$\Delta x_k$、$\Delta y_k$和$(x_k,y_k)$按顺序依次出现在被单独标出的矩形上。

1. 视频片段在完整求和表达式写完之前就停止了。

1. 公式

   $$$$
   解释

   关注定义域，而非曲面本身。

   步骤依据

   主讲人表示他将只聚焦于定义域，并在定义域中指定某个矩形。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Delta x_k$$
   解释

   为所选子矩形的宽度命名。

   步骤依据

   主讲人将该矩形的宽度定义为 Δx，并用$k$对其编号。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Delta y_k$$
   解释

   为所选子矩形在$y$方向上的高度变化命名。

   步骤依据

   主讲人将该矩形的高度变化定义为 Δy，并用$k$对其编号。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(x_k, y_k)$$
   解释

   在子矩形内部选取一个特定的样本点。

   步骤依据

   主讲人表示，他需要确定该矩形上方长方体的高度，因此必须将某个特定点代入函数。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   利用该样本点确定子矩形上方长方体的高度。

   步骤依据

   主讲人指出，数对$(x_k,y_k)$是矩形内任意一点，且可有不同选择。

   视频直接表达

多元函数近似中的一个项，由边长为$\Delta x_k$和$\Delta y_k$的子矩形以及决定长方体高度的选取样本点$(x_k,y_k)$构成。

1. 声音
   观察依据

   讲者从描述单个长方体，过渡到对所有长方体求和，再过渡到取极限。

2. 字幕依据
   观察依据

   步骤3和4依次出现：先是体积≈$\sum$…，然后是体积=lim_{‖P‖→0}$\sum$…。

1. 该推导侧重概念性与定义性，而非收敛性的严格证明。

1. 公式

   $$\Delta A_k = \Delta x_k \Delta y_k$$
   解释

   从一个矩形区域开始，并将其划分成若干小的子矩形；第k个子矩形的面积等于其两边长的乘积。

   步骤依据

   显示在屏幕操作步骤1中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$V_k = f(x_k,y_k)\,\Delta x_k\,\Delta y_k$$
   解释

   在每个子矩形上，选取一个样本点（$x_k$, $y_k$），并构建一个高度为该点处函数值的长方体；其体积等于底面积乘以高度。

   步骤依据

   用语言陈述，并通过标有高度 $f(x_k, y_k)$ 的3D 长方体图示说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Volume} \approx \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y_k)\,\Delta x_k\,\Delta y_k$$
   解释

   将所有 n 个代表性长方体的体积相加，得到总体积的一个有限黎曼和近似。

   步骤依据

   在步骤3中展示，并解释为对所有小长方体体积求和。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Volume} = \lim_{\|P\|\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y_k)\,\Delta x_k\,\Delta y_k$$
   解释

   用精确的定义取代有限近似：取分割无限加细时这些和的极限。

   步骤依据

   在步骤4中展示，并用语言引入，称为黎曼积分的真正奥妙。

   视频直接表达

曲面下的体积由代表性长方体体积构成，先对分割求和，再严格定义为当 ||P|| → 0 时这些和的极限。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当分割趋向无穷多且每个子矩形尺寸趋于无穷小时，矩形内部所选样本点 $x_k$、$y_k$ 的具体位置将不再影响结果。

1. 这是视频片段中的一种直观说法，并非本片段内已证明的定理。

1. 公式

   $$(x_k,y_k)\in\text{k-th subrectangle}$$
   解释

   每个子矩形内部都存在多种可能的样本点选择。

   步骤依据

   在2D 示意图中，由红色矩形内部的黄色点示意。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{as mesh}\to 0,\quad \text{choice of }(x_k,y_k)\text{ does not affect the limit}$$
   解释

   当分割无限加细时，主讲人指出，特定的内点选取方式不再影响最终的极限体积。

   步骤依据

   视频片段开头的直接口头陈述。

   视频直接表达

在此 introductory 讲解中，极限体积被表述为与具体的内采样点选取无关。

1. 公式
   观察依据

   黑板上首先显示体积 ≈ $\sum _{k=1}^{4} f(x_k,y_k)Δx_kΔy_k$，接着显示体积 ≈ $\sum _{k=1}^{4} f(x_k,y_k)2^2$，最后等于 [$f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)$]$2^2$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说共有四个小方盒，每条边的变化量为2，然后他在所选的四个点处计算函数值。

1. 最终的数值结果在本片段中并未算出。

1. 公式

   $$\text{Volume} \approx \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)\Delta x_k\Delta y_k$$
   解释

   从一般的黎曼和体积近似出发，并特化为四个子矩形的情形。

   步骤依据

   将 $n=4$直接代入所展示的定义中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Delta x_k=2,\quad \Delta y_k=2$$
   解释

   本例中，每个小正方形在两个坐标方向上的边长均为2。

   步骤依据

   说话人用语言陈述：在区间 [-2,2]×[-2,2] 上的四个相等区域。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Volume} \approx \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)2^2$$
   解释

   将每个面积因子替换为公共值$2^2$。

   步骤依据

   使用代数代换：$\Delta x_k\Delta y_k=2\cdot 2$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Volume} \approx [f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)]2^2$$
   解释

   利用所选的左下角采样点，写出四项。

   步骤依据

   依据前述规则，($x_k$,$y_k$) 是第 k 个正方形的左下角点。

   视频直接表达

该例将体积近似化简为一个公共因子$2^2$乘以函数 f 在四个左下角处的函数值之和；视频片段在数值计算前结束。

1. 声音
   观察依据

   说话人将 \|P\|$\to 0$ 解释为：最大矩形的面积趋于零，从而迫使所有矩形收缩，且矩形数量趋于无穷。

2. 公式
   观察依据

   这一解释与步骤4中显示的极限相关联。

1. 这是一种直观解释，而非严格证明。

1. 公式

   $$\|P\|\to 0$$
   解释

   从划分范数的显示极限条件出发。

   步骤依据

   如黑板上步骤4所示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{largest rectangle area} \to 0$$
   解释

   将范数解释为最大子矩形的尺寸。

   步骤依据

   主讲人给出的明确口头解释。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{all rectangle areas} \to 0$$
   解释

   若最大的子矩形收缩至零，则所有更小的子矩形也必然收缩至零。

   步骤依据

   同一划分中各矩形尺寸之间的大小关系。

   依据视频推导
4. 公式

   $$n\to\infty$$
   解释

   为在每一块尺寸不断缩小的同时仍覆盖固定区域，所需块数必趋于无穷。

   步骤依据

   主讲人口头描述划分越来越细的过程。

   视频直接表达

极限 \|P\|$\to 0$ 直观上对应于不断加细划分，直至所有子矩形面积趋近于零且其数量趋于无穷。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片内容从 $\sum _{k=1}^4 f(x_k,y_k) 2^2$ 逐步演变为 [$f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)$]$2^2$，再变为 [$1+5+5+9$]$2^2=80$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人口头列出四个点，然后依次说出代入后的数值 1、5、5、9 以及最终结果 80。

1. 公式

   $$\text{Volume} \approx \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)\,\Delta x_k\,\Delta y_k$$
   解释

   从幻灯片上显示的一般有限二重黎曼和出发。

   步骤依据

   所展示的近似定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)\,2^2$$
   解释

   由于矩形被划分为四个相等的正方形，每个子矩形的边长分别为 2 和 2。

   步骤依据

   幻灯片文字为“使用四个相等区域”，并给出简化的因子 $2^2$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= [f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)]\,2^2$$
   解释

   利用四个子区域各自左下角的取样点展开该求和式。

   步骤依据

   幻灯片明确列出了这四个点；音频中也重复了它们。

   视频直接表达
4. 公式

   $$= [1+5+5+9]\,2^2$$
   解释

   将这四个点代入函数 $f(x,y)=9-x^2-y^2$，从而得到屏幕上显示的函数值（高度）。

   步骤依据

   音频说“把这些点代入函数”；所得数值在屏幕上同步显示。

   视频直接表达
5. 公式

   $$= 80$$
   解释

   将四个高度相加，再乘以公共面积4。

   步骤依据

   由显示的行得出的算术式：[$1+5+5+9$]$2^2=80$。

   视频直接表达

图中显示的四项左下黎曼和近似该体积为80。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示：例：曲面 $9 - x^2 - y^2$ 在区间 [-2,2] × [-2,2] 上方所围体积，并使用四个相等区域。

2. 图示
   观察依据

   一幅3D图像展示曲面及四个红色长方体；一幅2D图像标出 $A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$，并标记各区域左下角取样点。

3. 公式
   观察依据

   黑板后续显示：体积 $\approx \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)\Delta x_k\Delta y_k = \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)2^2 = [f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)]2^2$。

1. 该片段在函数值尚未计算完毕、最终数值答案尚未给出时即结束。

用四个相等的子区域及左下角采样点，近似函数 $f(x,y)=9-x^2-y^2$ 在正方形 [-2,2]×[-2,2] 上方的体积。

1. $f(x, y) = 9 - x^2 - y^2$

2. 底面区域为[-2,2]×[-2,2]

3. 划分为四个相等区域$A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$

4. 取($x_k$,$y_k$)为第k个正方形的左下角点

列出该体积的四项黎曼和近似式。

1. 公式

   $$[-2,2]\times[-2,2] \text{ is split into four equal squares } A_1,A_2,A_3,A_4$$
   解释

   定义域被划分为四个全等的小正方形。

   步骤依据

   幻灯片上的明确指示：使用四个相等区域。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(x_1,y_1)=(-2,-2),\ (x_2,y_2)=(0,-2),\ (x_3,y_3)=(-2,0),\ (x_4,y_4)=(0,0)$$
   解释

   采样点为四个子正方形的左下角顶点。

   步骤依据

   幻灯片上已陈述，并由 2D 图中的黄色圆点加以强调。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Volume} \approx \sum_{k=1}^{4} f(x_k,y_k)\Delta x_k\Delta y_k$$
   解释

   将一般的黎曼和体积公式应用于这一四矩形划分。

   步骤依据

   直接使用本片段前面介绍的定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\Delta x_k=2,\ \Delta y_k=2 \Rightarrow \Delta x_k\Delta y_k=2^2$$
   解释

   每个子正方形的边长为2，因此每个面积因子为4。

   步骤依据

   口述讲解并配合屏幕显示化简为$2^2$的过程。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Volume} \approx [f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)]2^2$$
   解释

   将所选的四个样本点代入求和式。

   步骤依据

   对四项求和式进行代数展开。

   视频直接表达

本片段将该近似表达式设为[$f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)$]$2^2$，但在所提供的时间内未得出最终数值结果。

片段中未展示任何数值验证；该设定可通过对照所显示的划分、样本点选取规则以及公共面积因子$2^2$来检验。

1. 公式
   观察依据

   标题行：例：曲面 $9 - x^2 - y^2$ 在矩形 [-2,2] × [-2,2] 上方所围成的体积。

2. 图示
   观察依据

   右上角的3维图像展示了曲面及四个红色长方体；右下角的图像展示了区域划分及黄色采样点。

3. 声音
   观察依据

   讲解者计算了四个采样值，并得出该结果是一个近似值。

使用四个相等的子区域及左下角采样点，近似曲面 $z = 9 - x^2 - y^2$ 在矩形 [-2,2] × [-2,2] 上方所围成的体积。

1. $f(x, y) = 9 - x^2 - y^2$

2. 定义域：[-2,2] × [-2,2]

3. 四个相等的子区域

4. 采样规则：($x_k$, $y_k$) 是每个正方形的左下角点