由导数定义推导正弦函数的导数

1. 公式
   观察依据

   画面左侧写出 $f(x) = \sin x$。

$f(x) = \sin x$

待求导的三角函数

实数集

1. 公式
   观察依据

   导数定义公式中出现 $h$，且极限过程为 $h \to 0$。

h

自变量的增量

趋近于 0 的实数

1. 公式
   观察依据

   和差化积公式中使用了变量 $A$ 和 $B$。

A, B

任意角

实数集

1. 公式
   观察依据

   $f(x) = \sin x$

$f(x)$

待求导的函数，此处为正弦函数

实数集

1. 公式
   观察依据

   $h \to 0$

h

自变量的增量

实数集，趋于0

1. 公式
   观察依据

   $\lim_{h \to 0}$

$\lim$

极限符号

微积分

1. 公式
   观察依据

   $\sin A - \sin B$

$\sin$

正弦函数

实数集

1. 公式
   观察依据

   $\cos \frac{A+B}{2}$

$\cos$

余弦函数

实数集

1. 公式
   观察依据

   画面左上角写有 $f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$

$f(x)$

函数 f 在 x 处的值，此处指代正弦函数 $\sin x$ 的导数定义式

实数

1. 公式
   观察依据

   分母位置及极限符号下方写有 h 和 $h \to 0$

h

自变量的增量，趋于 0

非零实数

1. 公式
   观察依据

   正弦函数括号内写有 x 和 $x+h$

x

自变量

实数

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：函数在某一点的导数定义为当自变量增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限。

2. 公式
   观察依据

   画面右侧写出 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。

函数在某一点的导数定义为当自变量增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限。

1. 极限存在

2. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：将两个正弦函数的差转化为正弦和余弦函数的乘积形式。

2. 公式
   观察依据

   画面下方写出 $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$。

将两个正弦函数的差转化为正弦和余弦函数的乘积形式。

1. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

1. 公式
   观察依据

   f'(x) = $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

函数在某一点的导数定义为当自变量增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限。

1. 极限存在

2. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

1. 公式
   观察依据

   $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$

将两个正弦函数的差转化为正弦和余弦函数的乘积。

1. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

1. 公式
   观察依据

   $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

当自变量趋于零时，正弦函数值与自变量之比的极限为1。

1. 角度制下不成立，必须是弧度制

2. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

3. 本站区分变量作用：本条基本极限中的x是局部变化的哑变量，与求导时固定的点不是同一作用。

1. 公式
   观察依据

   画面右上角写有 $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$ 及其代入形式

将两个正弦函数的差转化为正弦与余弦乘积的三角恒等式。

1. A, B 为任意实数

2. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

1. 公式
   观察依据

   画面右侧中部写有 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

当自变量趋于 0 时，正弦值与自变量的比值极限为 1。

1. 角度单位为弧度

2. 本站补充本次求导范围：使用弧度，x为固定实数，非零h趋于0。正弦基本极限与余弦连续性是先修结论，视频未在这里证明。

3. 本站区分变量作用：本条基本极限中的x是局部变化的哑变量，与求导时固定的点不是同一作用。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：将导数定义的极限表达式中的分子转化为乘积形式，为后续计算极限做准备。

2. 公式
   观察依据

   画面左下方写出 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$，随后写出和差化积公式并代入得到 $\sin(x+h) - \sin x$ 的展开式开头。

1. 片段在代入和差化积公式后结束，未展示完整的化简和求极限过程。

1. 公式

   $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$
   解释

   将 $f(x) = \sin x$ 代入导数定义公式中。

   步骤依据

   导数的定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sin(x+h) - \sin x = 2\sin\frac{(x+h)-x}{2}\cos\frac{(x+h)+x}{2}$$
   解释

   对分子使用正弦的和差化积公式进行变形。

   步骤依据

   和差化积公式

   视频直接表达

将导数定义的极限表达式中的分子转化为乘积形式，为后续计算极限做准备。

1. 公式
   观察依据

   逐步推导过程

1. 公式

   $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$
   解释

   代入导数定义

   步骤依据

   导数的定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\frac{x+h-x}{2}\cos\frac{x+h+x}{2}}{h}$$
   解释

   使用和差化积公式展开分子

   步骤依据

   和差化积公式

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}}{h}$$
   解释

   化简括号内的表达式

   步骤依据

   代数化简

   视频直接表达
4. 公式

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{h}{2}\right)$$
   解释

   将分母 h 拆分为 $2 * (h/2)$，并与分子的 2 约分，同时分离出余弦项

   步骤依据

   代数变形

   依据视频推导

当前分析段推导至基本极限的形式，段末尚未给出最终结果$\cos x$；实际全片继续，在下一段完成推导。

1. 公式
   观察依据

   画面左侧展示了从导数定义到最终结果的完整代数变形过程

2. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：正弦函数的导数是余弦函数，即 ($\sin x$)' = $\cos x$。

1. 本站记号核对：后段解析漏识小prime，前段原分辨率清晰导数定义及完整推导确认此式表示导数而非函数值；不声称模型原识别毫无歧义。

1. 公式

   $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$
   解释

   写出正弦函数的导数定义式。

   步骤依据

   导数的极限定义

   补充解释
2. 公式

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin\frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}}{h}$$
   解释

   利用和差化积公式展开分子。

   步骤依据

   三角恒等式 $\sin A - \sin B = 2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \to 0} \cos\frac{2x+h}{2}$$
   解释

   将常数 2 移入分母凑成 $\frac{h}{2}$，并利用极限乘法法则拆分。

   步骤依据

   代数变形与极限运算法则

   视频直接表达
4. 公式

   $$= 1 \cdot \cos x$$
   解释

   第一个极限根据重要极限等于 1；第二个极限由于余弦函数连续，直接代入 $h=0$ 得到 $\cos x$。

   步骤依据

   重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ 及余弦函数的连续性

   视频直接表达
5. 公式

   $$(\sin x)' = \cos x$$
   解释

   得出最终结论。

   步骤依据

   推导结果

   视频直接表达

正弦函数的导数是余弦函数，即 ($\sin x$)' = $\cos x$。

1. 图示
   观察依据

   画面右上方展示了一个函数图像，包含曲线 $y=f(x)$、割线、切线以及相关的坐标和长度标注。

1. 曲线 $y=f(x)$

2. 点 $P(x, f(x))$

3. 点 $Q(z, f(z))$

4. 割线

5. 切线

6. 水平线段 $h = z - x$

7. 垂直线段 $f(z) - f(x)$

1. 无动态变化，为静态展示图。

1. 割线斜率公式 Secant slope is $\frac{f(z) - f(x)}{z - x}$

2. 导数定义公式 Derivative of f at x is f'(x) = $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{z \to x} \frac{f(z) - f(x)}{z - x}$

直观展示了导数作为切线斜率的几何意义，以及割线斜率极限与导数定义的关系。

1. 动画
   观察依据

   手写公式逐步出现在网格纸上

1. 红色笔迹

2. 蓝色笔迹

3. 网格纸

1. 公式从左到右、从上到下逐步写出

1. 背景网格纸不变

展示了正弦函数导数定义的推导过程。

1. 动画
   观察依据

   红色方框依次圈出 $\sin x$ 中的 x、分母 x、$\sin\frac{h}{2}$ 中的 $\frac{h}{2}$ 以及分母 $\frac{h}{2}$

1. 红色方框

2. 数学公式中的变量

1. 红框在不同变量间移动

1. 公式本身的代数结构不变

强调在使用重要极限时，正弦函数内部的变量必须与分母的变量完全一致，且都趋于 0。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：在求极限的过程中，当变量趋于某个值时，分子分母同时趋于0，这属于$0/0$型未定式，需要通过化简（如使用重要极限）来求解。

认为极限式子中出现分母为0就是无意义的。

在求极限的过程中，当变量趋于某个值时，分子分母同时趋于0，这属于$0/0$型未定式，需要通过化简（如使用重要极限）来求解。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：必须保证正弦函数括号内的整体表达式与分母完全相同，且该整体表达式趋于 0。

2. 动画
   观察依据

   使用红框高亮显示分子和分母中的相同变量

认为只要分子是 sin(某式)，分母是另一个式子，就可以直接套用极限为 1 的结论。

必须保证正弦函数括号内的整体表达式与分母完全相同，且该整体表达式趋于 0。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：将导数的一般定义应用于具体函数 $f(x) = \sin x$，构建求导的极限表达式。

将导数的一般定义应用于具体函数 $f(x) = \sin x$，构建求导的极限表达式。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：在和差化积公式中，令 $A = x+h$，$B = x$，用于化简导数极限表达式的分子。

在和差化积公式中，令 $A = x+h$，$B = x$，用于化简导数极限表达式的分子。

1. 公式
   观察依据

   使用导数定义进行推导

导数的定义被应用于推导正弦函数的导数。

1. 公式
   观察依据

   使用和差化积公式

和差化积公式被用于化简导数定义中的分子。

1. 公式
   观察依据

   提到重要极限

重要极限是解决推导过程中出现的$0/0$型极限的关键工具。

1. 公式
   观察依据

   推导的第二步直接使用了右上角给出的和差化积公式

和差化积公式被应用于导数定义的分子变形中。

1. 公式
   观察依据

   推导的第四步计算第一个极限时，直接得出了 1

重要极限用于计算拆分后的第一个因子的极限值。

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：如何利用导数的定义求 sin x 的导数？

1. 导数的定义
2. 利用定义求 sin x 导数的初步推导

1. 公式
   观察依据

   画面写出了 sin A - sin B 的和差化积公式。

1. 正弦的和差化积公式

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：如何用定义法求 $\sin (x)$ 的导数？

1. 导数的定义
2. 和差化积公式
3. 重要极限
4. 正弦函数导数的推导

1. 声音
   观察依据

   讲解内容转述：如何用极限定义证明 sin x 的导数是 cos x？

1. 正弦函数导数的推导

1. 动画
   观察依据

   红框专门圈出了需要匹配的变量

1. 重要极限的变量匹配
2. 重要极限