单位圆简介 | 三角学 | 可汗学院

1. 图示
   观察依据

   白板上有一条标有 x 的水平轴。

x

笛卡尔平面中的水平坐标轴

实数

1. 图示
   观察依据

   白板上有一条标有 y 的垂直轴。

y

笛卡尔平面中的垂直坐标轴

实数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“这是一个正角 θ。”

2. 图示
   观察依据

   一条从正 x 轴指向终边的弧形箭头标有 θ。

$\theta$

从正 x 轴上的始边沿逆时针方向测量的正角

角度度量

1. 声音
   观察依据

   说话人指出交点的坐标为 a 逗号 b，并说明它与 x 轴相交处的 x 值为 a。

2. 图示
   观察依据

   单位圆上的点标为 (a,b)。

a

角的终边与单位圆交点的横坐标

实数

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出交点的坐标为 a 逗号 b，并说明该交点的纵坐标为 b。

2. 图示
   观察依据

   单位圆上的点标记为 (a,b)。

b

角的终边与单位圆交点的纵坐标

实数

1. 图示
   观察依据

   原点处正x轴与指向点〔a,b〕的半径之间的夹角标记为θ。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我想让这个θ成为直角三角形的一部分。”

$\theta$

正x轴与指向点〔a,b〕的半径在原点处所形成的角。

本片段中所构造的第一象限直角三角形内的一个锐角。

1. 图示
   观察依据

   圆上的点标记为〔a,b〕，从原点到垂足的水平直角边随后被标记为a。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称底边长度为“长度a”，并指出它是交点的x坐标。

a

终边与单位圆交点的x坐标；同时也是所构造直角三角形中邻边的长度。

本片段中，a在第一象限中显示为一个正的水平长度。

1. 图示
   观察依据

   圆上的点标记为〔a,b〕，垂直直角边随后被标记为b。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称高度等于b，并指出b是交点的y坐标。

b

终边与单位圆交点的y坐标；同时也是所构造直角三角形中对边的长度。

本片段中，b在第一象限中显示为一个正的垂直长度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“这条斜边恰好是单位圆的半径。单位圆的半径为一，因此该斜边长度为一。”

2. 图示
   观察依据

   从原点到点（a，b）的倾斜线段标有长度1。

1

所构造直角三角形的斜边长度，因其为单位圆的半径。

本片段中一个恒定的长度。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 cos θ = ，随后补全表达式为 $\frac{a}{1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人询问该角的余弦值，并运用了 SOH CAH TOA 中的 CAH 部分。

$\cos\theta$

角 θ 的余弦值，此处由直角三角形中邻边比斜边的比值定义。

应用于所构造直角三角形中的锐角 θ。

1. 图示
   观察依据

   角$\theta$以原点为顶点，位于正x轴与该角终边之间。

$\theta$

终边与正x轴所成的角。

实数（角度）。

1. 图示
   观察依据

   点$(a,b)$位于单位圆上；$a$是该点的x坐标，也是直角三角形邻边的长度。

2. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\cos \theta = a$

a

终边与单位圆交点的x坐标；邻边的长度。

实数，$[-1, 1]$。

1. 声音
   观察依据

   “我在此尝试绘制的是一个单位圆。”“我称其为单位圆，意味着它的半径为一。”“因此，从圆心（我将圆心置于原点）到圆上任意一点的这段长度均为一。”

2. 图示
   观察依据

   一个以原点为中心的黄色圆绘制在 x-y 坐标轴上，并添加了一条从原点指向圆最右端点的黄色线段，用以表示半径。

该视频将所绘制的图形定义为以原点为中心的单位圆，其半径等于1，即从圆心到圆上任意一点的距离。

1. 以原点为中心

2. 半径为1

1. x
2. y

1. 声音
   观察依据

   主讲人依次指出四个截距点：(1,0)、(0,1)、(-1,0) 和 (0,-1)，并分别说明各点沿坐标轴距离原点的距离。

2. 图示
   观察依据

   标签 (1,0)、(0,1)、(-1,0) 和 (0,-1) 分别写在圆与坐标轴相交的对应位置上。

由于该圆半径为1且圆心位于原点，因此它与坐标轴的交点可直接读出：分别位于原点右侧、上方、左侧和下方一个单位处。

1. 圆心位于原点

2. 半径为1

1. 单位圆定义

1. 声音
   观察依据

   “我将定义正角的约定。”“角的始边，我们始终取在正x轴上。”“要画一个正角，其终边需按逆时针方向旋转。”“你可以想象，负角则按顺时针方向旋转。”

2. 图示
   观察依据

   圆上方标注文字：“(+) → 逆时针”和“(-) → 顺时针”。

视频确立了标准三角函数约定：角的始边落在正x轴上，正角按逆时针方向旋转，负角按顺时针方向旋转。

1. 始边沿正x轴方向

2. 正向旋转为逆时针方向

3. 负旋转是顺时针方向

1. x

1. 声音
   观察依据

   这是初始边，然后我从该边出发，沿逆时针方向旋转，直到量出该角的大小，此时这条边就是终边。因此这是一个正角 θ。

2. 图示
   观察依据

   一条粉色射线从原点出发，伸入第一象限；一条从正 x 轴指向该射线的弧形箭头被标记为 θ。

正角表示从正 x 轴上的初始边出发，经逆时针旋转到达终边；示例角被标记为 θ。

1. 该角为正角

2. 旋转方向为从正 x 轴出发的逆时针方向

1. 正角与负角的约定
2. $\theta$

1. 声音
   观察依据

   我想探讨的是：该角的终边与单位圆的交点。我们设该交点的坐标为 a 逗号 b。它与单位圆相交处的横坐标为 a，纵坐标为 b。

2. 图示
   观察依据

   终边上与圆的交点被标出，并标记为 (a,b)。

该角的终边与单位圆相交于一点，其坐标记为 (a,b)，其中 a 为横坐标，b 为纵坐标。

1. 该点位于该角的终边上

2. 该点位于单位圆上

1. 单位圆定义
2. 初始边、终边与正角 θ
3. a
4. b

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示目标是理解单位圆如何帮助拓展三角函数的传统定义。

2. 图示
   观察依据

   一个黄色单位圆以原点为中心画出，配有坐标轴，以及关键点（1，0）、（0，1）、（-1，0）、（0，-1），还有圆上一点（a，b）。

3. 动画
   观察依据

   大约从16秒到23秒，一条青绿色垂直线段从点（a，b）下垂至 x 轴，并添加了一个直角标记。

视频片段从一个单位圆和其上一点(a,b)开始。角θ从正x轴出发，延伸至终点为(a,b)的半径。为了将这一图形与熟悉的直角三角形定义下的三角函数联系起来，讲解者从点(a,b)向x轴作垂线，构造出一个直角三角形，其三个顶点分别为原点、(a,0)和(a,b)。

1. 该构造以单位圆上第一象限内的一点(a,b)为例展示。

2. 从点(a,b)向x轴作垂线，构成一个包含角θ的直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者提问：“斜边的长度是多少？”并回答：这是单位圆的一条半径，因此长度为一。

2. 图示
   观察依据

   从原点到点(a,b)的斜边被确认为斜边，并标为1。

在单位圆内部形成的直角三角形中，斜边恰好是从原点指向点(a,b)的半径。由于该圆是单位圆，该半径的长度为1，因此斜边长度为1。

1. 该三角形由原点延伸至单位圆上的一点而构成。

2. 该圆的半径为1。

1. 利用单位圆为角 θ 构造一个直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，蓝色边可视为角的对边，且其高度即为交点的y坐标。

2. 图示
   观察依据

   垂直直角边标为b，一条虚线水平辅助线将点(a,b)连接至y轴上高度为b的位置。

直角三角形的垂直直角边是角θ的对边。它的长度等于点(a,b)的y坐标，因此该对边的长度为b。

1. 圆上的点为(a,b)。

2. 该三角形由从点(a,b)向x轴作垂线而形成。

1. 利用单位圆为角 θ 构造一个直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，底边是交点的x坐标，并说明从原点到该垂足的距离为a。

2. 图示
   观察依据

   从原点到(a,0)的水平直角边标记为a。

直角三角形的水平直角边沿x轴从原点延伸至垂足，其长度等于点(a,b)的x坐标，因此邻边长度为a。

1. 圆上的点为(a,b)。

2. 该三角形由从点(a,b)向x轴作垂线而形成。

1. 利用单位圆为角 θ 构造一个直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们只需用SOH CAH TOA的定义”，并解释其中CAH部分表明余弦等于邻边比斜边。

2. 图示
   观察依据

   黑板上写出SOH CAH TOA，其中CAH被框出。

该片段明确使用了助记口诀 SOH CAH TOA。其中 CAH 部分指出：在直角三角形中，一个角的余弦值等于邻边长度除以斜边长度。

1. 这是在将定义推广至整个单位圆之前所采用的传统直角三角形定义。

2. 该定义适用于所构造直角三角形中的锐角 θ。

1. 所构造三角形的斜边等于单位圆的半径。
2. 邻边长度等于x坐标a

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出余弦等于邻边比斜边，而斜边为1，因此余弦等于a。

2. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\cos \theta = \frac{a}{1} = a$

在单位圆上，角$\theta$的余弦定义为该角终边与圆交点的横坐标（$a$）。这一定义源自SOH CAH TOA中的余弦定义（邻边比斜边），其中斜边（即半径）为1。

1. 该角在单位圆上处于标准位置。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出正弦等于对边比斜边，而斜边为1，因此正弦等于b。

2. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\sin \theta = \frac{b}{1} = b$

在单位圆上，角$\theta$的正弦定义为该角终边与圆交点的纵坐标（$b$）。这一定义源自SOH CAH TOA中的正弦定义（对边比斜边），其中斜边（即半径）为1。

1. 该角在单位圆上处于标准位置。

1. 声音
   观察依据

   主讲人先提问余弦值用 a 和 b 如何表示，接着应用 CAH，并指出邻边长度为 a。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 cos θ = 后接 $\frac{a}{1}$。

1. 该片段在写完 $a/1$后立即结束；在此片段内并未继续化简为 a。

在由单位圆上点 (a,b) 构成的直角三角形中，θ 的余弦值等于邻边长度 a 除以斜边长度 1，因此屏幕上显示的表达式为 $\cos\theta=\frac{a}{1}$。

1. 点 (a,b) 位于单位圆上。

2. 从点 (a,b) 向 x 轴作垂线，构成一个包含角 θ 的直角三角形。

3. 斜边即为单位圆的半径，因此其长度为 1。

4. 邻边即为长度为 a 的水平直角边。

针对本片段中所示的特定角 θ 和点 (a,b)。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，点$(a,b)$可被视作$(\cos \theta, \sin \theta)$。

2. 公式
   观察依据

   （a，b）等于（余弦 θ，正弦 θ）

对于任意标准位置下的角$\theta$，其终边与单位圆交点的坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$。

1. 该角处于标准位置。

2. 该圆为单位圆（半径为1）。

对所有角$\theta$均成立。

1. 声音
   观察依据

   对于每个坐标轴交点，讲解者通过说明该点在水平方向和垂直方向上距离原点的距离来解释其坐标。

2. 图示
   观察依据

   四个标出的点恰好位于圆与坐标轴的交点处。

1. 公式

   $$r = 1$$
   解释

   从单位圆的给定性质出发：其上任意一点到原点的距离均为1。

   步骤依据

   音频中将其作为“单位圆”的定义给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(1,0)$$
   解释

   在正x轴上，该点位于原点右侧1个单位、垂直方向上为0个单位，因此其坐标为（1，0）。

   步骤依据

   直接读取该点相对于原点的水平位移和垂直位移。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(0,1)$$
   解释

   在正y轴上，该点位于原点上方1个单位、水平方向上为0个单位，因此其坐标为（0，1）。

   步骤依据

   直接读取该点相对于原点的水平位移和垂直位移。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(-1,0)$$
   解释

   在负x轴上，该点位于原点左侧1个单位、垂直方向上为0个单位，因此其坐标为（-1，0）。

   步骤依据

   直接读取该点相对于原点的水平位移和垂直位移。

   视频直接表达
5. 公式

   $$(0,-1)$$
   解释

   在负y轴上，该点位于原点下方1个单位、水平方向距离原点0个单位，因此其坐标为(0,-1)。

   步骤依据

   直接从原点读取水平与垂直方向的位移量。

   视频直接表达

以原点为圆心的单位圆与坐标轴相交于(1,0)、(0,1)、(-1,0)和(0,-1)四点。

1. 声音
   观察依据

   主讲人先确定斜边、对边和邻边，再运用‘正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边’（SOH CAH TOA）计算余弦值。

2. 公式
   观察依据

   最终写出的结果是 $\cos θ = \frac{a}{1}$。

1. 公式

   $$\text{Construct a right triangle from } (0,0), (a,0), (a,b)$$
   解释

   从单位圆上的点 (a,b) 向 x 轴作垂线，使 θ 成为一个直角三角形的内角。

   步骤依据

   视频中明确展示了该构造过程并加以说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{斜边}=1$$
   解释

   从原点到点 (a,b) 的斜边是单位圆的一条半径，而单位圆的半径为1。

   步骤依据

   主讲人直接陈述，并在图中标出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{opposite}=b$$
   解释

   垂直直角边的长度等于点 (a,b) 的 y 坐标。

   步骤依据

   主讲人直接陈述，并在图中标注。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{adjacent}=a$$
   解释

   水平直角边的长度等于点 (a,b) 的 x 坐标。

   步骤依据

   主讲人直接陈述，并在图中标注。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{斜边}}$$
   解释

   使用直角三角形中余弦的定义——SOH CAH TOA 中的 CAH 部分。

   步骤依据

   音频中明确提及，并在黑板上写出。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\cos\theta=\frac{a}{1}$$
   解释

   将邻边 = a、斜边 = 1代入 CAH 公式。

   步骤依据

   直接代入前几步的结果。

   视频直接表达

该片段推导出所展示的恒等式 $\cos\theta=\frac{a}{1}$，该恒等式适用于单位圆内所构造的直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   利用SOH CAH TOA及斜边长度为1这一事实，逐步推导。

2. 公式
   观察依据

   $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{1} = a$; $\quad \sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{1} = b$

1. 公式

   $$\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{斜边}}$$
   解释

   从SOH CAH TOA中的CAH部分开始。

   步骤依据

   直角三角形中余弦的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\cos \theta = \frac{a}{1}$$
   解释

   代入邻边长度$a$与斜边长度1（即单位圆半径）。

   步骤依据

   在图中直观识别各边。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\cos \theta = a$$
   解释

   化简该分式。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{斜边}}$$
   解释

   从SOH CAH TOA中的SOH部分开始。

   步骤依据

   直角三角形中正弦的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\sin \theta = \frac{b}{1}$$
   解释

   代入对边长度$b$与斜边长度1。

   步骤依据

   在图中直观识别各边。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\sin \theta = b$$
   解释

   化简该分数。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

在单位圆上，$\cos \theta$等于横坐标$a$，而$\sin \theta$等于纵坐标$b$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者从 SOH CAH TOA 定义过渡到单位圆定义。

2. 公式
   观察依据

   SOH CAH TOA 公式与新的单位圆定义之间的直观对比。

1. 公式

   $$\cos \theta = \frac{a}{1} = a$$
   解释

   根据 SOH CAH TOA，余弦等于邻边比斜边；在单位圆中，斜边恒为 1，因此余弦等于邻边长度 a。

   步骤依据

   SOH CAH TOA 定义与单位圆半径性质的结合

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sin \theta = \frac{b}{1} = b$$
   解释

   根据 SOH CAH TOA，正弦等于对边比斜边；在单位圆中，斜边恒为 1，因此正弦等于对边长度 b。

   步骤依据

   SOH CAH TOA 定义与单位圆半径性质的结合

   视频直接表达
3. 公式

   $$\cos \theta = x$$
   解释

   由于邻边长度 a 对应交点的 x 坐标，因此余弦被定义为 x 坐标。

   步骤依据

   直角三角形的直角边与坐标之间的几何对应关系

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sin \theta = y$$
   解释

   由于对边长度 b 对应交点的 y 坐标，正弦被定义为该 y 坐标。

   步骤依据

   三角形直角边与坐标之间的几何对应关系

   视频直接表达
5. 公式

   $$\tan \theta = \frac{y}{x}$$
   解释

   正切被定义为正弦除以余弦，在单位圆背景下即为 y 除以 x。

   步骤依据

   正切作为正弦与余弦之比的定义

   视频直接表达

三角函数可从直角三角形的边长比推广为基于单位圆坐标的定义。

1. 声音
   观察依据

   主讲人画出一个正角，将其命名为θ，然后讨论其终边与单位圆的交点(a,b)。

2. 图示
   观察依据

   从原点向第一象限画一条射线，添加一段逆时针方向的弧并标注为θ，再将交点标注为(a,b)。

在单位圆上作出一个标准位置的正角，并标出其终边与圆的交点的坐标。

1. 以原点为圆心的单位圆

2. 始边沿正x轴方向

3. 正角按逆时针方向旋转

构造一个具体的正角θ实例，并将交点命名为(a,b)。

1. 公式

   $$\text{initial side on } +x\text{-axis}$$
   解释

   从始边置于正x轴上开始。

   步骤依据

   这是视频中针对该构型下角度所规定的惯例。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{rotate counterclockwise}$$
   解释

   从始边沿逆时针方向旋转，形成一个正角。

   步骤依据

   视频明确以此方式定义正角。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\theta$$
   解释

   将所得角度标记为 θ。

   步骤依据

   主讲人将所画示例称为正角 theta。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(a,b)$$
   解释

   标出终边与单位圆的交点，并称其坐标为 (a,b)。

   步骤依据

   主讲人在音频中直接引入这一记号，并在图上写出。

   视频直接表达

正角 θ 从正 x 轴出发逆时针画出，其终边与单位圆相交于点 (a,b)。

该作图符合前述惯例：始边位于正 x 轴上，正角对应逆时针旋转，且圆上交点已标注。

1. 图示
   观察依据

   全程使用一个单位圆，其上有一点 (a,b)，对应角为 θ，并构造了相应的直角三角形。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐步分析各边长度，然后据此计算余弦值。

1. 未给点 (a,b) 赋予具体数值坐标；该示例保持符号化。

已知单位圆上一点 (a,b)，以及从正 x 轴到终点为 (a,b) 的半径所成的角 θ，构造对应的直角三角形，并用 a 和 b 表示 cos θ。

1. 以原点为圆心的单位圆。

2. 圆上一点 (a,b)。

3. 原点处正x轴与指向点(a,b)的半径之间的夹角θ。

4. 从点(a,b)向x轴作垂线。

写出cos θ对应的直角三角形表达式。

1. 公式

   $$\text{Form triangle with vertices }(0,0),(a,0),(a,b)$$
   解释

   从点(a,b)向x轴作高，使θ成为某个直角三角形的一个内角。

   步骤依据

   视频中明确给出的构造过程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{斜边}=1$$
   解释

   单位圆的半径即为该直角三角形的斜边。

   步骤依据

   视频中已说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{adjacent}=a$$
   解释

   水平直角边即为点(a,b)的x坐标。

   步骤依据

   视频中已说明。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{斜边}}$$
   解释

   应用SOH CAH TOA口诀中的CAH规则。

   步骤依据

   视频中已说明。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\cos\theta=\frac{a}{1}$$
   解释

   将已识别出的各边长度代入余弦比值中。

   步骤依据

   直接代入法。

   视频直接表达

余弦θ等于a除以1

该结果由图中标注的边长及明确给出的余弦定义（邻边比斜边）得出。

1. 图示
   观察依据

   屏幕上显示一个黄色圆，圆心位于原点，背景为黑色；x 轴与 y 轴在圆心处相交；一条黄色半径线段从原点画至圆的右侧。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出该图形是单位圆，其半径为一。

1. 黄色圆

2. x 轴

3. y 轴

4. 原点

5. 黄色半径线段

1. 在圆已显示之后，再从圆心向圆添加半径线段。

1. 该圆始终以原点为圆心。

2. 坐标轴作为参考系保持固定。

画面强调：单位圆的定义特征是圆心到圆上任意一点的距离为1。

1. 图示
   观察依据

   四个坐标点标签 (1,0)、(0,1)、(-1,0) 和 (0,-1) 依次出现在圆与两坐标轴的四个交点处。

2. 声音
   观察依据

   讲解者依次提问每个坐标的值，并逐一给出答案。

1. 圆

2. 坐标轴

3. 四个标有标签的点

1. 点的标签按右、上、左、下的顺序依次添加到圆周上。

1. 圆和坐标轴保持不动。

2. 每个标有标签的点始终同时位于圆上和某条坐标轴上。

该过程展示了半径1如何直接对应单位圆上的四个基本坐标点。

1. 图示
   观察依据

   圆的上方写着文字：（+）→ 逆时针方向，（−）→ 顺时针方向。

2. 声音
   观察依据

   讲解正角与负角的约定。

1. 文字标注：（+）→ 逆时针方向

2. 文字标注：（−）→ 顺时针方向

1. 约定文字被添加在现有单位圆图的上方。

1. 底层的圆和坐标轴保持不变。

该注释确立了本视频片段中所有后续角度绘图所采用的规则。

1. 图示
   观察依据

   一条粉红色射线从原点出发，画入第一象限；一条从正x轴指向该射线的弧形箭头被标记为θ；圆上该射线与圆的交点被标记为〔a,b〕。

2. 声音
   观察依据

   讲解者描述了始边、终边、正角θ以及交点坐标〔a,b〕。

1. 始边位于正x轴上

2. 粉红色终边射线

3. 标记为θ的弧形角度箭头

4. 标记为〔a,b〕的点

1. 添加终边射线。

2. 添加标记为θ的逆时针方向角度标记。

3. 交点标记（a，b）被添加。

1. 始边保持在正x轴上。

2. 点（a，b）始终位于终边与单位圆上。

这一可视化方式将抽象的角度与单位圆上的特定点联系起来，为后续建立角度与坐标之间的关联奠定基础。

1. 动画
   观察依据

   从点(a,b)向x轴作一条青色垂直线段，并在垂足处添加一个直角标记。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“让我在这里作一条高线”，并指出这个90度的角。

1. 以原点为圆心的单位圆

2. 圆上一点(a,b)

3. 从原点指向(a,b)的半径

4. 原点处的角θ

5. 从点(a,b)到x轴的青色垂直线段

6. 在点(a,0)处的直角标记

1. 一条新的竖直线段从点(a,b)向下延伸至x轴。

2. 在线段底端添加一个直角标记。

3. 图示由圆与半径的示意图变为嵌入单位圆内的直角三角形。

1. 圆心仍位于坐标原点。

2. 点(a,b)在圆上保持固定。

3. 从原点指向点(a,b)的半径仍为同一条线段。

动画演示如何将单位圆图示转化为直角三角形，以便对角θ应用传统的三角函数比值定义。

1. 动画
   观察依据

   斜边标为1，竖直直角边标为b，水平直角边标为a。

2. 声音
   观察依据

   讲解者依次指出每条边的长度。

1. 从原点到点(a,b)的斜边

2. 竖直直角边

3. 水平直角边

4. 标注为1、b、a

1. 斜向半径标注为1。

2. 垂直直角边标注为b。

3. 水平直角边标注为a。

4. 一条虚线水平引导线从点(a,b)连至y轴，直观地将b与y坐标关联起来。

1. 三角形的形状及顶点位置保持不变。

2. 该点仍为单位圆上的点(a,b)。

标注建立了三角形边长与坐标的精确对应关系：斜边 = 1，对边 = b，邻边 = a。

1. 动画
   观察依据

   黑板上先写出 cos θ =，再写出 SOH CAH TOA，并将其中的 CAH 加框标出，最后写出 $\frac{a}{1}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人先提问余弦值，再解释 CAH 规则，然后代入 a 和1。

1. 表达式 cos θ =

2. 助记口诀：SOH CAH TOA

3. 用方框标出 CAH

4. 分式 $\frac{a}{1}$

1. 已写出提示 cos θ =

2. 已写出 SOH CAH TOA，并通过加方框突出显示 CAH

3. 最终分式 $\frac{a}{1}$ 被写作 cos θ 的值

1. 底层三角形及其标注 a、b、1保持不变

视觉序列展示了从几何标注到余弦的代数直角三角形定义的过渡

1. 动画
   观察依据

   讲解者绘制了若干个高度递增的直角三角形，以展示角度趋近于90度但始终无法达到它。

1. 直角三角形

1. 三角形的高度不断增加

2. 角度趋近于90度

1. 底边保持水平

2. 其中一个角始终保持为90度

说明为何SOH CAH TOA无法处理90度或更大的角度，因为这需要第二个90度的角，而这在欧几里得三角形中是不可能的。

1. 图示
   观察依据

   完整的视觉布局，展示单位圆、坐标轴、直角三角形及全部数学符号。

1. 黄色单位圆

2. 黑色坐标轴

3. 紫色角度弧

4. 青色直角三角形

5. 绿色邻边

6. 品红色对边

7. 白色斜边

1. 文字标注随讲解者逐个定义函数而依次出现

2. 使用同上符号（″）避免重复完整短语

1. 圆始终以原点为中心，半径为1

2. 三角形在x轴上的顶点处保持直角

3. 角θ始终位于原点

该图示直观展示了三角函数如何与单位圆上的坐标相对应，而直角三角形则架起了SOH CAH TOA与坐标定义之间的桥梁。

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确对比了正角沿逆时针方向旋转与负角沿顺时针方向旋转。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上显示书写惯例：（+）→ 逆时针，（−）→ 顺时针。

人们或许会认为，只要没有固定惯例，任何旋转方向都可称为正方向。

本课中，正角定义为从正x轴出发逆时针旋转的角度，而负角则为顺时针旋转的角度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出本练习的目的是理解单位圆如何帮助拓展三角函数的传统定义，并随后说道：“我们实际上正处于拓展它的过程中。”

有人可能认为三角函数仅由直角三角形的边长比来定义

该片段明确将SOH CAH TOA作为当前的传统定义，并借助单位圆这一工具，将该定义从原有的直角三角形情境拓展出去。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出：'SOH CAH TOA 存在一个问题……它在超出$(0, 90^\circ)$的角度下开始失效。'

学生常误以为正弦与余弦的直角三角形定义可适用于任意角度大小。

SOH CAH TOA 严格限于锐角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$），因为它依赖于直角三角形；而单位圆定义则将这些概念拓展至所有实数角度。

1. 声音
   观察依据

   讲解者先背诵SOH CAH TOA，随即提出单位圆这一替代方案。

2. 公式
   观察依据

   SOH CAH TOA公式与单位圆定义分别呈现。

学生可能认为SOH CAH TOA是定义三角函数的唯一方式。

SOH CAH TOA 仅适用于直角三角形中的锐角，而单位圆定义则将三角函数推广至所有实数角度。

1. 声音
   观察依据

   讲解者利用单位圆的半径为1这一性质，确定该圆与坐标轴相交处的坐标。

应用单位圆的定义——即以原点为圆心、半径为1的圆——直接读出四个坐标轴截点的坐标。

1. 声音
   观察依据

   在阐明该惯例后，讲解者立即画出一个正角并将其标记为theta。

2. 图示
   观察依据

   所画出的角度遵循先前写明的逆时针方向规则。

正角度的一般约定在具体示例角〔θ〕中得到体现。

1. 声音
   观察依据

   说话者将注意力从角度本身转向终边与单位圆的交点，并将该点命名为〔(a,b)〕。

2. 图示
   观察依据

   标记〔(a,b)〕被精确放置在终边射线与圆的交点处。

角〔θ〕的终边在单位圆上确定唯一一点，该点的坐标为〔(a,b)〕。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从单位圆出发构建一个直角三角形，再根据其边长计算余弦值。

2. 图示
   观察依据

   单位圆上的点（a,b）提供了余弦公式中所用的边长标记：a、b 和 1。

单位圆的构造给出了一个直角三角形，其边长随后被用于应用直角三角形定义下的余弦。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，CAH部分告诉我们余弦等于邻边比斜边。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将CAH框出，然后写出 $\frac{a}{1}$ 表示 cos θ。

等式 $\cos θ = a/1$ 直接依赖于 SOH CAH TOA 中的 CAH 规则。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将底边识别为交点的横坐标，并将其标记为 a。

2. 图示
   观察依据

   水平直角边在点（a,b）正下方标为 a。

$\cos θ = a/1$ 中的分子 a 来源于将邻边与单位圆上该点的横坐标对应起来。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出斜边是单位圆的一条半径，因此长度为一。

2. 图示
   观察依据

   斜边标为 1。

分母 1 in $\cos θ = a/1$ 源于将斜边识别为单位圆的半径。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：'我们来建立一个新定义……它实际上是对 SOH CAH TOA 的拓展。'

正弦与余弦的单位圆定义推广了 SOH CAH TOA 的定义，使其能适用于锐角范围之外的角度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出，使用单位圆来定义三角函数。

2. 图示
   观察依据

   在圆的几何性质与函数定义之间建立直观联系。

单位圆提供了几何框架，使得余弦可被定义为坐标值，而非三角形边长之比。

1. 声音
   观察依据

   主讲人依据正弦与余弦的定义推导出正切。

2. 公式
   观察依据

   板书方程显示 $\tan θ = \sin θ / \cos θ$。

正切的定义直接依赖于正弦与余弦作为坐标值的先前定义。

1. 声音
   观察依据

   说话者将该图形定义为以原点为中心、半径为一的单位圆。

1. 单位圆定义

1. 声音
   观察依据

   说话者列出了圆与坐标轴相交处的坐标。

1. 单位圆与坐标轴交点的坐标
2. 由半径1推导出四个坐标轴截距点的坐标

1. 声音
   观察依据

   说话者说明了正角与负角的方向约定。

1. 正角与负角的约定

1. 声音
   观察依据

   说话者在绘制〔θ〕时区分了始边与终边。

1. 初始边、终边与正角 θ

1. 声音
   观察依据

   主讲人将(a,b)介绍为终边与单位圆交点的坐标。

1. 终边与单位圆的交点
2. a
3. b

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他想让角 θ 成为一个直角三角形的一部分，并作了一条垂线。

2. 动画
   观察依据

   从点 (a,b) 向 x 轴作一条垂线。

1. 利用单位圆为角 θ 构造一个直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，斜边是单位圆的半径，且该半径长度为一。

1. 所构造三角形的斜边等于单位圆的半径。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称垂直边为对边，并将其等同于 y 坐标 b。

1. 对边长度等于y坐标b

1. 声音
   观察依据

   主讲人将底边认定为 x 坐标，并标记为 a。

1. 邻边长度等于x坐标a

1. 声音
   观察依据

   主讲人应用 SOH CAH TOA 中的 CAH 部分，并代入邻边 = a、斜边 = 1。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\cos θ = a/1$。

1. SOH CAH TOA中的CAH法则
2. 对于所构造的三角形，$\cos θ = a/1$。
3. 从单位圆上的直角三角形推导 cos θ

1. 声音
   观察依据

   解释为何余弦值等于单位圆上点的横坐标。

1. 单位圆上的余弦定义
2. 借助单位圆上的SOH CAH TOA推导正弦与余弦。

1. 声音
   观察依据

   讨论 SOH CAH TOA 在大角度或负角度下失效的问题。

1. SOH CAH TOA 的局限性
2. 常见误解：SOH CAH TOA 适用于所有角度