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反三角函数

Professor Dave Explains · YouTube · 6:54

YouTube · Professor Dave Explains原视频

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视频中的要点

01六个三角函数
02如何求一个反函数
03推导反正弦函数

来自学习笔记

\sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}},\ \cos \theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}},\ \tan \theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}},\ \csc \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{opp}},\ \sec \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{adj}},\ \cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}

六个三角函数

选中时刻

限制正切函数以使其存在反函数

建议预备知识

基本三角函数比值
函数记号
通过交换变量解方程
倒数与反函数的记号辨析
函数的图像判定法
坐标平面中的函数与图像
正弦函数与余弦函数的基本图像
单位圆上的角度及其坐标
反函数的记法
单位圆上的坐标
正弦、余弦和正切的基本定义
反三角函数的主值区间
判断函数是否为一一映射的水平线检验法
图像关于直线 $y = x$ 的反射
基本三角比：正弦、余弦和正切
特殊角的取值，例如30°、45°和90°
角度的度量单位：度
反三角函数的记号

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阅读完整概览

本节为120秒的导论课，内容从快速回顾六个直角三角形三角函数出发，过渡到求反函数的一般方法，再将该方法应用于推导反三角正弦函数。课程强调 $\sin ^{-1} x$ 并非正弦函数的倒数 $1/\sin x$ ，阐明正弦函数与反三角正弦函数在输入与输出角色上的互换关系，引入 arcsin x 作为等价记号，并最后指出：函数可逆需满足水平线检验法。这是一节时长为120秒的入门式可视化课程，讲解反三角函数的构造方法。课程首先指出一般性规则：一个函数的反函数图像可通过将其原图像关于直线 $y = x$ 作反射得到，且该反射图像必须满足垂直线检验。接着说明正弦函数若不加限制则无法通过水平线检验，因此视频将正弦函数限制在区间 (-π/2, $π/2$ ) 上，对该分支作反射，并定义 $y = \sin$ ⁻¹ x，其标出的定义域为 (-1, 1)，值域为 (-π/2, $π/2$ )。随后通过一个单位圆示例进行演算：sin⁻¹(√ $2/2$ ) = $π/4$ 。后半部分用相同方法处理余弦函数，将其限制在区间 (0, π) 上，并通过象限行为对比该限制选择与正弦函数限制的差异，进而定义 $y = \cos$ ⁻¹ x，其标出的定义域为 (-1, 1)，值域为 (0, π)。视频片段在设置示例 cos⁻¹(-1/2) 后即告结束，尚未给出答案。本120秒片段讲解若干反三角函数求值及主反正切函数的构造。首先读出 cos⁻1（− $1/2$ ) = $2π/3$ 来自单位圆的上半部分。接着说明，为使 $y = \tan x$ 满足水平线检验，必须将其限制在区间 (-π/2, $π/2$ ) 内，而将该分支关于直线 $y = x$ 作反射，便得到 $y = \tan ^{-1} x$ ，其定义域为 (-∞, $\infty$ )，值域为 (-π/2, $π/2$ )。第二个例题通过在单位圆上匹配 $\sin y / \cos y$ 与 √1，计算得 $\tan ^{-3}$ (√3 by matching $\sin y / \cos y$ to √3。视频结尾建议使用弧度制模式的计算器，并给出一个理解性提问：列出三个反三角函数值（以角度制表示）。这段时长为54秒的片段，主要内容是关于以度为单位计算反三角函数的理解检测。从0秒到约22秒，屏幕依次提问 $\sin ^{-1}(-1/2)$ 、 $\cos ^{-1}(0)$ 和 $\tan ^{-1}(-1)$ ，随后揭示答案 -30°、90° 和 -45°。视频未进行推导讲解；数学内容即为主值结果的直接呈现。从23秒起，视频转入主持人结束语，继而切换至带订阅与导航提示的品牌化结束卡片，不再包含任何数学内容。

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章节

0:00反三角函数简介 0:10六个三角函数的复习 0:20借助 sqrt(x) 回顾反函数的求法 0:46由

y = \sin x

推导出

y = \sin ^{-1} x

1:09区分反三角正弦函数与正弦函数的倒数 1:26比较正弦函数与反三角正弦函数的输入与输出 1:45引入 arcsin 记号 1:52可逆性的水平线检验法 2:00通过关于直线

y = x

的反射得到反函数 2:13为何无限制的正弦函数没有反函数 2:18限制正弦函数并定义反正弦函数 2:36

y = \sin

⁻¹ x 的定义域与值域 2:56单位圆示例：sin⁻¹(√

2/2

)3:12限制余弦函数并定义反余弦函数 3:43

y = \cos

⁻¹ x 的定义域与值域 3:55cos⁻¹(-1/2) 的铺垫 4:00在单位圆上计算

\cos ^{-1}(-1/2)

4:12限制正切函数以使其存在反函数 4:26关于直线

y = x

反射得到

\tan ^{-1} x

4:52由正弦除以余弦在单位圆上计算

\tan ^{-1}

(√3)5:24使用计算器计算反三角函数 5:53理解检测 6:00反三角函数理解检测 6:09答案以度为单位揭晓 6:23主讲人结束语 6:34结束画面

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频片段以宣布本讲主题“反三角函数”开场；视觉呈现为讲师主导式导入，数学内容开始前有简短的动画品牌标识。

复习幻灯片列出了六个三角函数作为直角三角形中的比值： $\sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$ 、 $\cos \theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$ 、 $\tan \theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$ 、 $\csc \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{opp}}$ 、 $\sec \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{adj}}$ 和 $\cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}$ 。这确立了后续将讨论其反函数的常规函数。

接着，课程回顾了求反函数的一般步骤，并以 $f(x)=\sqrt{x}$ 为模型示例。屏幕将函数重写为 $y=\sqrt{x}$ ，交换变量得到 $x=\sqrt{y}$ ，再对两边平方得到 $y=x^2$ ，从而得出 $f^{-1}(x)=x^2$ 。一张流程图总结了“反函数必须逆转原函数所有运算”这一核心思想。

同样的方法被应用于三角学。从 $y=\sin x$ 出发，交换变量得 $x=\sin y$ 。由于 $y$ 此时被‘困’在正弦函数内部，视频指出：唯一能将其解出的方式是对等式两边同时应用反正弦函数： $\sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y)$ ，化简后即为 $y=\sin^{-1}x$ 。这是本节的核心推导过程。

在刚推导出该记号后，片段立即警示一种常见混淆。它展示 $\sin^{-1}x \neq \frac{1}{\sin x}$ ，并将其与 $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}=\csc x$ 对比。此处的数学要点在于：上标 $-1$ 表示函数的反演，而非乘法意义上的倒数。

随后通过并排对比，进一步厘清输入与输出的角色。对于 $y=\sin x$ ，输入是一个角度，输出是该角的正弦值；对于 $y=\sin^{-1}x$ ，输入是一个合法的正弦值，输出是对应的角度。箭头与标签明确体现了这种输入输出关系的逆转。

框出的公式随后被重写为 $y=\arcsin x$ ，引入同一反正弦函数的另一种记号。此处未进行新的推导，重点在于强调两种记号的等价性。

最后的画面切换至坐标系图像，其中一条红色曲线与一条移动的绿色水平线共同呈现。屏幕文字指出：一个函数必须通过水平线检验，才具有反函数。片段在此准则刚被提出时结束，尚未展开进一步的口头讲解。

视频开篇呈现反函数的一般图像规则：要获得一个函数的反函数，需将其图像关于直线 $y=x$ 作反射。配图中一条红色曲线被映射到一条虚线紫色对角线的另一侧，直观揭示了反演的几何含义。

视频随即补充说明：反射所得图像要成为函数，必须满足垂直线检验。图中画出一条蓝色垂直线穿过反射后的图像，以演示这一检验过程。

接着，课程转向正弦函数。完整的正弦波形显示在坐标网格上，一条绿色水平线在多处与之相交。由于一个输出值对应多个输入值，讲解者得出结论： $\sin x$ 作为整体没有反函数。

为修复这一问题，视频将正弦函数的定义域限制在区间 $(-\pi/2,\pi/2)$ 上的中心递增分支。屏幕上仅保留该分支，此时一条水平线与其恰好相交一次，因此该受限部分通过了水平线检验。

然后，将该受限分支关于 $y=x$ 进行反射。新得到的曲线被标记为 $y=\sin^{-1}x$ ，从而确立反正弦函数是所选正弦分支的镜像，而非整个周期性正弦图像的镜像。

接下来，视频读出反三角正弦函数（arcsine）所显示的定义域与值域。其水平范围被确定为 $(-1,1)$ ，描述为允许的正弦值；其垂直范围被确定为 $(-\pi/2,\pi/2)$ ，描述为产生这些正弦值所对应的角。

随后是一个借助单位圆的例题。为求 $\sin^{-1}(\sqrt{2}/2)$ ，视频定位满足正弦值为 $\sqrt{2}/2$ 且落在反正弦函数值域内的角。高亮显示的第一象限点位于 $\pi/4$ ，其 $y$ 坐标为 $\sqrt{2}/2$ ，因此答案为 $y=\pi/4$ 。

后半部分以类似方式引入反余弦函数。讲解者指出， $\cos^{-1}x$ 源自 $\cos x$ 在区间 $(0,\pi)$ 上的分支。这被呈现为与正弦情形不同的定义域限制。

选择不同区间的理由通过象限行为加以解释：正弦函数在经过第四、第一象限的过程中，取值从 $-1$ 变化到 $1$ ；而余弦函数在经过第一、第二象限的过程中，取值从 $1$ 变化到 $-1$ 。若干小型单位圆示意图进一步强化了这种对比。

选定该限制后，将 $0$ 到 $\pi$ 之间的递减余弦分支关于 $y=x$ 进行反射。所得图像被标记为 $y=\cos^{-1}x$ ，表明反余弦函数（arccosine）同样采用与反正弦函数相同的反射方法构建。

接着，视频陈述反余弦函数所显示的定义域与值域：定义域为 $(-1,1)$ ，因为这些是余弦函数可能的取值；值域为 $(0,\pi)$ ，因为这些是受限余弦分支所对应的角。

最后，设置第二个单位圆例题：求 $\cos^{-1}(-1/2)$ 。单位圆重新出现，题目写在屏幕上，但视频在此处结束，讲解者尚未完成推理过程，也未给出最终角度。

片段以方程 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 和一个单位圆开场。一个品红色方框圈出上半圆，提示反余弦函数的主值区间。旁白提问：该区间内，其余弦值为 -1/2 的角是多少？画面上的答案是一个被圆圈标出的点 (-1/2, √ $3/2$ )，标注为 $2π/3$ 。由此得出该线段对应 $y = 2π/3$ 。

主题转向反正切函数。首先展示 $y = \tan x$ 的图像，包含重复的分支和垂直渐近线。旁白解释：为定义其反函数，需将角度输入限制在 -π/2 与 $π/2$ 之间的区间，使剩余分支满足水平线检验。动画移除多余分支，仅保留一条居中且单调递增的分支。

接着，画出一条虚线紫色直线 $y = x$ ，旁白指出：反正切函数可通过对此直线反射得到。显示的曲线变为 $y = \tan ^{-1} x$ 。侧边文字总结主函数性质：定义域为 (-∞, $\infty$ )，即正切函数允许的输入值；值域为 (-π/2, $π/2$ )，即能产生这些正切值的角度范围。音频补充说明：当余弦值趋近于零时，正切值分别趋向正无穷与负无穷。

随后，课程讲解例题 $y = \tan ^{-1}$ (√3)。单位圆再次出现，旁白指出这类值心算较难，但仍可求解。屏幕上显示的关键方程为 $\sin y / \cos y$ = √3。被高亮的点为 ( $1/2$ , √ $3/2$ )，位于 $π/3$ 处；算式 (√ $3/2$ )/( $1/2$ ) = √3 验证了正切比值。屏幕最终写出结论： $y = π/3$ 。

在手算例题之后，片段呈现一张计算器操作幻灯片。旁白指出：反三角函数通常可通过计算器直接求值。屏幕上出现两个要点：设置为弧度模式；寻找 $\sin ^{-1}$ 或 arcsin 按钮。语音指导进一步扩展至正弦、余弦或正切值及其对应的反三角函数按键。旁白还提醒：计算器结果常为小数，可能杂乱，不易改写为 π 的分数形式，但该结果依然正确。

最后一屏为理解检测。标题为“理解检测”，要求观众列出三个以度为单位的值： $\sin ^{-1}(-1/2)$ 、 $\cos ^{-1}(0)$ 和 $\tan ^{-1}(-1)$ 。片段结束前未给出答案。

片段以一张静态幻灯片开场，标题为“检验理解程度”，副标题为（请暂停以获取更多思考时间）。下方指示语为：请按顺序列出以下各值（单位为度）：

三个反三角函数表达式垂直居中排列，依次为： $\sin^{-1}(-1/2)$ 、 $\cos^{-1}(0)$ 和 $\tan^{-1}(-1)$ 。此时仅显示题目，尚未出现答案。

红色答案文字逐个出现在每个表达式下方：第一个下方显示 $-30^\circ$ ，第二个下方显示 $90^\circ$ ，第三个下方显示 $-45^\circ$ 。

从数学角度看，该幻灯片要求找出正弦、余弦与正切值分别等于给定输入的主值角（单位为度）。所显示的结果对应于标准特殊角事实： $\sin(-30^\circ)=-1/2$ 、 $\cos(90^\circ)=0$ 和 $\tan(-45^\circ)=-1$ 。

答案揭晓过程未附带任何证明或口头讲解；该环节仅作为对已记忆的、以度为单位的反三角函数值的快速自我检测。

数学幻灯片消失，主讲人出现在纯白背景前，画面底部有一条绿色横幅。画面上叠加有推广信息：“立即订阅”、“在 Patreon 上支持我的工作”以及“ProfessorDaveExplains@gmail.com”。

他说：“感谢观看，各位。请订阅我的频道以获取更多教学视频。欢迎通过 Patreon 支持我，让我能持续制作优质内容。一如既往，也欢迎随时发邮件联系我：professordaveexplains@gmail.com。”

视频以品牌化结束画面收尾，画面上显示“PROFESSOR DAVE EXPLAINS”，并配有导航文字：“上一节”“下一节”“订阅”“支持我的频道”，同时播放轻快的器乐背景音乐。

知识卡片

六个三角函数

视频首先回顾正弦、余弦、正切、余割、正割与余切在直角三角形中的标准定义。这些常规三角函数，正是定义其反函数的起点。

\sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}},\ \cos \theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}},\ \tan \theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}},\ \csc \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{opp}},\ \sec \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{adj}},\ \cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}

如何求一个反函数

求反函数的方法是：先用 y 表示函数，再交换 x 与 y，最后解出 y。示例 $f(x)=\sqrt{x}$ 变为 $y=\sqrt{x}$ ，再变为 $x=\sqrt{y}$ ，继而变为 $y=x^2$ ，最终得 $f^{-1}(x)=x^2$ 。从概念上讲，反函数逆转了原函数的所有运算。

f(x)=\sqrt{x}\ \Rightarrow\ y=\sqrt{x}\ \Rightarrow\ x=\sqrt{y}\ \Rightarrow\ y=x^2\ \Rightarrow\ f^{-1}(x)=x^2

推导反正弦函数

对 $y=\sin x$ 应用反函数法，交换变量后得到 $x=\sin y$ 。为解出 y，对等式两边取反正弦： $\sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y)$ ，从而得到 $y=\sin^{-1}x$ 。这将反正弦定义为从正弦值恢复对应角度的函数。

y=\sin x\ \Rightarrow\ x=\sin y\ \Rightarrow\ \sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y)\ \Rightarrow\ y=\sin^{-1}x

$\sin ^{-1} x$ 并不等于 $1 / \sin x$

视频中一个关键提醒是： $\sin^{-1}x$ 表示反正弦，而非正弦的倒数。正弦的倒数写作 $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ ，其值为 $\csc x$ 。这两种记号外观相似，但代表不同的运算。

\sin^{-1}x \neq \frac{1}{\sin x},\quad (\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}=\csc x

正弦函数与反正弦函数的输入与输出

对于 $y=\sin x$ ，你输入一个角度，输出一个正弦值；对于 $y=\sin^{-1}x$ ，你输入一个有效的正弦值，输出对应的角度。反函数逆转了这种关系的方向。

y=\sin x:\ \text{angle} \to \text{sine value};\quad y=\sin^{-1}x:\ \text{sine value} \to \text{angle}

反正弦的记号

反正弦函数也可写作 $\arcsin x$ 。这只是一种记号上的变化；视频中 $\sin^{-1}x$ 和 $\arcsin x$ 表示同一个函数。

y=\sin^{-1}x \equiv y=\arcsin x

水平线检验

视频最后指出：一个函数只有通过水平线检验，才存在反函数。伴随的动画展示了一条水平线扫过函数图像，以检查其与图像的交点情况。

反函数是关于直线 $y = x$ 的反射

视频从几何角度定义函数的反函数：将原函数图像关于直线 $y = x$ 进行反射。反射后所得的新图像，仅当它通过垂直线检验时，才被承认为一个函数。

y=x

水平线检验法判断可逆性

一个函数存在反函数，当且仅当任意一条水平线与其图像至多相交一次。完整的正弦函数图像作为主要反例：其反复被水平线穿过，表明它在整个定义域上不是一一映射的。

限制正弦函数以定义反正弦函数

由于无限制的正弦函数不满足水平线检验，视频仅保留其在区间(-π/2, $π/2$ )上的单调递增分支。该受限分支满足水平线检验，再将其关于直线 $y = x$ 作对称反射，即得反正弦函数的图像。

(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

反正弦函数：显示的定义域与值域

反正弦函数被呈现为受限正弦函数的镜像反射。视频为其指定显示的定义域为(-1, 1)，理由是这是正弦函数所有可能的输出值；指定显示的值域为(-π/2, $π/2$ )，理由是这些角度恰好来自前述受限分支。

y=\sin^{-1}x

利用单位圆计算 sin⁻¹(√ $2/2$ )

为计算一个反正弦值，视频在反正弦函数的值域内寻找正弦值等于给定数的那个角。在单位圆上，角度为 $π/4$ 的点的纵坐标为 √ $2/2$ ，因此 sin⁻¹(√ $2/2$ ) = $π/4$ 。

\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}

限制余弦函数以定义反余弦函数

视频从余弦函数在区间(0, π)上的单调递减分支出发定义反余弦函数。并解释：该限制方式与正弦情形不同，因为余弦函数在第一、二象限变化过程中已取遍其全部函数值。

(0,\pi)

反余弦函数：显示的定义域与值域

反余弦函数通过将受限余弦函数关于直线 $y = x$ 作对称反射而构造。视频为其指定显示的定义域为(-1, 1)，描述为余弦函数允许的取值范围；指定显示的值域为(0, π)，描述为能产生这些余弦值的角度范围。

y=\cos^{-1}x

常见误区：误以为正弦函数与余弦函数采用相同的定义域限制

视频明确指出，余弦函数的定义域限制不同于正弦函数的定义域限制：正弦函数通过第四象限和第一象限处理，而余弦函数通过第一象限和第二象限处理，对应区间分别为(-π/2, $π/2$ )和(0, π)。

未完成的例题：cos⁻¹(-1/2)

该片段开始第二个单位圆例题，要求计算cos⁻¹(-1/2)。题目显示在屏幕上，单位圆图示也已给出，但视频在选定角度或给出答案前即结束。

y=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)

反余弦主值示例： $\cos ^{-1}(-1/2)$

片段将 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 解释为：主值区间内，其余弦值为 -1/2 的角。通过高亮上半圆，再高亮点 (-1/2, √ $3/2$ )，读出答案为 $2π/3$ 。

y = \cos^{-1}(-1/2),\quad y = 2\pi/3

为何正切函数必须受限

在定义反正切函数之前，需将 $y = \tan x$ 的完整周期图像缩减为单一分支。旁白指出：将 x 限制在 -π/2 与 $π/2$ 之间，可使图像满足水平线检验。

-\pi/2 < x < \pi/2

通过反射构造反正切函数

一旦将正切函数的中心分支分离出来，即可通过对直线 $y = x$ 进行几何反射得到其反函数。所得图像标记为 $y = \tan ^{-1} x$ 。

y = \tan^{-1} x

主值反正切函数的定义域与值域

对于视频片段中展示的反正切函数，每个实数都是允许的输入，而输出角度则被限制在开区间 -π/2 到 $π/2$ 内。括号内的注释说明：定义域列出的是正切值，值域列出的是对应的角。

\operatorname{domain}=(-\infty,\infty),\quad \operatorname{range}=(-\pi/2,\pi/2)

利用单位圆求 $\tan ^{-1}$ (√3) 的值

该例题将正切条件改写为正弦与余弦的比值。单位圆上的点为 ( $1/2$ ，√3／2) 在 π／3 得到 (√3／2)／(1／2) ＝ √3，因此主角度为 π／3。

\frac{\sin y}{\cos y}=\sqrt{3},\quad \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},\quad y=\pi/3

用计算器求反三角函数值的方法

无需手动计算每一个反三角函数值，视频片段建议使用计算器。它强调需将计算器设置为弧度模式，并按下相应的反三角函数键，例如 $\sin ^{-1}$ 或 arcsin。某些正确答案可能以小数形式呈现，而非整齐的 π 的分数形式。

理解性检测提示

结尾幻灯片要求观众以角度制列出三个反三角函数值： $\sin ^{-1}(-1/2)$ 、 $\cos ^{-1}(0)$ 和 $\tan ^{-1}(-1)$ 。视频仅提供提示，未给出具体演算过程与答案。

\sin^{-1}(-1/2),\ \cos^{-1}(0),\ \tan^{-1}(-1)

以度为单位的反三角函数值

理解检验幻灯片要求给出三个反三角函数值，并直接以度为单位揭晓答案。所显示的答案即为对应给定正弦、余弦与正切输入的主值角。

\sin^{-1}(-1/2)=-30^\circ,\quad \cos^{-1}(0)=90^\circ,\quad \tan^{-1}(-1)=-45^\circ

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 37

$\theta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
显示的三角函数表在 sin θ、cos θ、tan θ、csc θ、sec θ 和 cot θ 中使用 θ。

符号

$\theta$

含义

六个三角函数定义中所用的角度变量

适用范围

角度

$\text{opp}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
opp 出现在显示的直角三角形比值的分子或分母中。

符号

$\text{opp}$

含义

直角三角形比值中的对边

适用范围

长度

$\text{adj}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
adj 出现在显示的直角三角形比值的分子或分母中。

符号

$\text{adj}$

含义

直角三角形比值中的邻边

适用范围

长度

$\text{hyp}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
hyp 出现在显示的直角三角形比值的分子或分母中。

符号

$\text{hyp}$

含义

直角三角形比值中的斜边

适用范围

长度

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $f(x) = \sqrt{x}$ 作为反函数示例的设定。

符号

$f(x)$

含义

示例平方根函数的函数记号

适用范围

实值函数的输入 x

x, y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
推导过程显示 $y = \sqrt{x}$ ，然后 $x = \sqrt{y}$ ，再得到 $y = x^2$ 。

符号

x, y

含义

交换变量以求解反关系

适用范围

实变量

$f^{-1}(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
流程图将反函数结果标记为 $f^{-1}(x) = x^2$ 。

符号

$f^{-1}(x)$

含义

f 的反函数

适用范围

函数记号

$\sin$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
正弦函数的推导与对比使用 $\sin x$ 和 $\sin y$ 。

符号

$\sin$

含义

正弦函数

适用范围

三角函数

$\sin^{-1} x$ , $\arcsin x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
推导得出 $y = \sin^{-1} x$ ，随后展示了另一种记法 $y = \arcsin x$ 。

符号

$\sin^{-1} x$ , $\arcsin x$

含义

反正弦函数；同一概念的两种记法

适用范围

输入是一个有效的正弦值；输出是一个角度

$\csc x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ ，同时对比了倒数记法与反函数记法。

符号

$\csc x$

含义

余割函数，即正弦函数的倒数

适用范围

三角函数

$y=x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，函数的反函数可通过将其图像关于直线 $y = x$ 作反射得到。
图示
观察依据
在反射演示过程中，坐标网格上出现一条虚线紫色对角线，上下文中标注为 $y = x$ 。

符号

$y=x$

含义

用于获得反函数图像的反射对角线。

适用范围

所显示坐标平面内的所有实数 x 和 y。

$\sin x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者先整体提及 sin x，再指向其一个受限区间段。
图示
观察依据
坐标网格上先显示一条红色正弦曲线，随后仅保留其中一段单调递增的分支。

符号

$\sin x$

含义

正弦函数在限制定义域前的完整图像，以及之后为求反函数而选定的受限分支。

适用范围

初始定义域为全体实数 x；此处所用的受限分支满足 $x \in (-π/2, π/2)$ 。

知识点 · 20

由直角三角形比值得出的六个三角函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
一张标题为“三角函数”的幻灯片列出了六个直角三角形中的比值。
声音
观察依据
主讲人说：“我们已经了解了六个三角函数。”

定义

解释

视频先回顾了正弦、余弦、正切、余割、正割和余切在直角三角形中的标准定义，再引入它们的反函数。

公式

\sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}},\quad \cos \theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}},\quad \tan \theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}},\quad \csc \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{opp}},\quad \sec \theta = \frac{\text{hyp}}{\text{adj}},\quad \cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}

适用条件

直角三角形背景
θ 表示一个角度

求反函数的一般方法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $f(x)=\sqrt{x}$ ，然后是 $y=\sqrt{x}$ ， $x=\sqrt{y}$ ，以及 $y=x^2$ 。
声音
观察依据
主讲人解释了将函数改写为 y 的形式，交换 x 和 y，再解出 y。
图示
观察依据
流程图指出：反函数必须能够逆转原函数所执行的运算。

方法

解释

要求反函数，需先将原函数改写为 y 的形式，再交换 x 与 y，最后解所得方程，求出新的 y。反函数的作用是逆转原函数所施行的全部运算。

公式

f(x)=\sqrt{x}\;\Rightarrow\; y=\sqrt{x}\;\Rightarrow\; x=\sqrt{y}\;\Rightarrow\; y=x^2\;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=x^2

适用条件

原函数必须存在反函数
交换变量后，解出新的因变量

先修条目

由直角三角形比值得出的六个三角函数

反正弦函数的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
推导过程显示： $y=\sin x$ ， $x=\sin y$ ， $\sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y)$ ，以及 $y=\sin^{-1}x$ 。
声音
观察依据
主讲人指出，解出 y 的唯一方法是对等式两边同时取反正弦。

定义

解释

从 $y=\sin x$ 出发，交换变量得 $x=\sin y$ ；对两边同时应用 $\sin^{-1}$ ，即可解出 y，得到 $y=\sin^{-1}x$ 。这便将反正弦函数定义为：对给定的正弦值，返回其对应角度的函数。

公式

y=\sin x \;\Rightarrow\; x=\sin y \;\Rightarrow\; \sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y) \;\Rightarrow\; y=\sin^{-1}x

适用条件

x 是一个合法的正弦值
逆运算抵消了对 y 的正弦运算

先修条目

求反函数的一般方法

反正弦的另一种记法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
方框中的表达式从 $y=\sin^{-1}x$ 变为 $y=\arcsin x$ 。
声音
观察依据
说话人指出，反正弦也可表示为 arcsine x。

定义

解释

反正弦函数可写作 $\sin^{-1}x$ 或 $\arcsin x$ ；这两种记法表示的是同一函数。

公式

y=\sin^{-1}x \quad \text{is equivalent to} \quad y=\arcsin x

适用条件

同一函数，不同记法

先修条目

反正弦函数的推导

可逆性的水平线检验

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕文字说明：函数必须通过水平线检验，才能存在反函数。
动画
观察依据
一条绿色水平线在坐标系中穿过一条红色曲线。
声音
观察依据
说话人指出，函数必须通过水平线检验，才能存在反函数。

待核验内容

语音句子在片段末尾被截断，因此“因为”之后的任何进一步解释在此片段中均不可见。

定义

解释

一个函数只有通过水平线检验才具有反函数，即任意水平线与其图像至多相交一次。

公式

适用条件

适用于检验函数是否存在反函数

先修条目

求反函数的一般方法

反函数的图像构造法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者解释：求反函数意味着将原函数图像关于直线 $y = x$ 作反射。
图示
观察依据
一条红色曲线在坐标网格上关于一条虚线紫色对角线作镜像反射。
字幕依据
观察依据
文字说明：反函数必须通过垂直线测试，才能成为函数。

方法

解释

视频以图形方式呈现一个函数的反函数：将原函数图像关于直线 $y = x$ 作反射。所得关系仅当通过垂直线测试时，才被接受为函数。

公式

y=x

适用条件

原函数必须能通过关于 $y = x$ 的反射得到一个反关系。
反射后的图像必须通过垂直线测试，才能被视为函数。

可逆性的水平线测试

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
开篇文字写道：“函数必须通过水平线测试，才能拥有反函数。”
声音
观察依据
讲解员指出，sin x 整体上没有反函数。
图示
观察依据
一条完整的正弦波被一条绿色水平线在多个点处穿过，同时出现一个巨大的红色叉号。

定义

解释

一个函数只有在没有任何一条水平线与其图像相交超过一次时，才可能拥有反函数。本片段以完整的正弦函数图像作为反例：重复出现的 y 值使得不加限制便无法实现反演。

公式

适用条件

该准则适用于判断给定函数图像是否表示一个一一映射函数。

先修条目

反函数的图像构造法

反射后的垂直线测试

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
文字显示：“反函数必须通过垂直线测试，才能成为函数。”
声音
观察依据
讲解者说：无论我们得到什么结果，都必须通过垂直线测试，才能被视为一个函数。
图示
观察依据
一条蓝色垂直线穿过反射后的曲线，用以演示该测试。

定义

解释

在关于直线 $y = x$ 反射之后，新图像只有在每条垂直线至多与其相交一次时，才是一个函数。这一条件确保了反射后的关系对每个输入都只分配一个输出。

公式

适用条件

该测试应用于反射后的图像，而非原始图像。

先修条目

反函数的图像构造法

限制正弦函数以使其可逆

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
文字显示：“让我们限制 sin x 的定义域”，并展示区间 “(-π/2, $π/2$ )”。
声音
观察依据
讲解者说：他们将转而考察该函数的一个受限定义域，即从负二分之π到二分之π。
图示
观察依据
仅保留正弦函数单调递增的中心分支，并在水平线测试后出现一个绿色对勾标记。

待核验内容

屏幕上显示的区间使用圆括号；视频片段未明确讨论端点是否包含在内。

方法

解释

由于完整的正弦函数无法通过水平线测试，视频仅保留区间 (-π/2, $π/2$ ) 上的分支，该分支上正弦函数单调递增且一一对应。然后将这一受限分支关于直线 $y = x$ 反射，从而定义反正弦函数。

公式

(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

适用条件

使用定义域限制，使原函数满足水平线检验。
本片段中，正弦函数选取的受限区间为 (-π/2, $π/2$ )。

先修条目

可逆性的水平线测试
反函数的图像构造法

反正弦函数及其所展示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
屏幕上显示 " $y = \sin$ ⁻¹ x"，并标注 "定义域：(-1, 1)" 和 "值域：(-π/2, $π/2$ )"。
声音
观察依据
讲解员指出，受限正弦函数段的反函数即为反正弦函数，并说明其定义域与值域。
图示
观察依据
反射后的曲线被展示为反正弦函数的图像。

待核验内容

本片段中定义域与值域均以开区间形式呈现；标准的闭区间约定在此未作讨论。

定义

解释

视频中将反正弦函数定义为受限正弦函数关于直线 $y = x$ 的反射图像；其展示的定义域为 (-1, 1)，理由是这些是正弦函数允许的输出值；其展示的值域为 (-π/2, $π/2$ )，理由是这些是对应的输入角度。

公式

y=\sin^{-1}x

适用条件

输入 x 必须落在所展示的定义域 (-1, 1) 内。
输出 y 落在所展示的值域 (-π/2, $π/2$ ) 内。
该函数源于先对正弦函数施加限制、再进行反射。

先修条目

限制正弦函数以使其可逆
反函数的图像构造法

限制余弦函数的定义域，使其可逆。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出反余弦函数是余弦函数在零到π区间上的反函数。
字幕依据
观察依据
文字显示“ $y = \cos$ ⁻¹ x”，其“值域：(0, π)”，随后“关于直线 $y = x$ 作反射”.
图示
观察依据
完整的余弦函数图像被缩减为从0到π的递减分支，再进行反射。

待核验内容

所展示的区间使用了圆括号；端点是否包含未作单独说明。

方法

解释

本视频选取余弦函数在区间(0, π)上的递减分支作为反函数的限制定义域。这与正弦函数的限制不同，因为余弦函数在经过第一、二象限的过程中已取遍其所有可能的函数值。

公式

(0,\pi)

适用条件

采用一种定义域限制，使余弦函数成为一一映射。
本片段中，余弦函数所选的限制区间为(0, π)。

先修条目

可逆性的水平线测试
反函数的图像构造法

反余弦函数及其所展示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
文字显示“ $y = \cos$ ⁻¹ x”，其“定义域：(-1, 1)”和“值域：(0, π)”。
声音
观察依据
讲解员指出定义域为负一到一，值域为零到π。
图示
观察依据
反射后的图像被标注为反余弦函数。

待核验内容

该片段展示的是开区间；未讨论端点是否包含在内。

定义

解释

反余弦函数是将限制定义域后的余弦函数关于直线 $y = x$ 作反射得到的。图中显示的定义域为 (-1, 1)，描述为余弦函数允许的取值范围；图中显示的值域为 (0, π)，描述为能产生这些余弦值的角度。

公式

y=\cos^{-1}x

适用条件

输入值 x 必须落在图中显示的定义域 (-1, 1) 内。
输出值 y 落在图中显示的值域 (0, π) 内。
该函数源于对余弦函数先作限制、再作反射。

先修条目

限制余弦函数的定义域，使其可逆。
反函数的图像构造法

定理与条件 · 12

反函数逆转原函数的运算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在 $f(x)=\sqrt{x}$ 与 $f^{-1}(x)=x^2$ 之间的流程图中写着“反函数必须逆转原函数的运算”
声音
观察依据
主讲人指出，反函数会按顺序逆转原函数作用于 x 的所有运算

命题

反函数将原函数对其输入所执行的运算进行逆转

前提

原函数存在反函数

量词

针对当前讨论的函数与其反函数这一对

反正弦函数不是正弦函数的倒数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上明确显示 $\sin^{-1}x \neq \frac{1}{\sin x}$
公式
观察依据
随后显示 ( $\sin x$ )^{-1}= $\frac{1}{\sin x}$ 以及 $\csc x=\frac{1}{\sin x}$
声音
观察依据
主讲人指出，反三角正弦函数 x 并不等于正弦函数 x 的倒数。

命题

符号 $\sin^{-1}x$ 表示反正弦函数，而非倒数 $\frac{1}{\sin x}$ ；正弦函数的倒数是 $\csc x$

前提

采用标准的三角函数记号

量词

在所呈现的记号对比中具有普适性

正弦函数与反正弦函数互换输入与输出的角色

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
并排标注指出， $y=\sin x$ 是将一个角度作为输入，输出对应的正弦值；而 $y=\sin^{-1}x$ 则是将一个有效的正弦值作为输入，输出对应的角度。
声音
观察依据
说话者对比了将角度代入正弦函数与将有效的正弦值代入反正弦函数两种操作。

命题

对于 $y=\sin x$ ，输入是角度，输出是正弦值；对于 $y=\sin^{-1}x$ ，输入是有效的正弦值，输出是对应的角度。

前提

x 在视频所述的每个函数的定义域范围内

量词

针对配对函数 $\sin$ 与 $\sin^{-1}$

存在反函数的前提是通过水平线检验

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕文字说明：函数必须通过水平线检验，才能存在反函数。
声音
观察依据
说话者指出，一个函数要存在反函数，必须通过水平线检验。

待核验内容

该片段在说话者完成以“因为”开头的解释性从句前结束。

命题

一个函数只有通过水平线检验，才存在反函数。

前提

所讨论的对象是一个函数

量词

针对可逆性进行检验的函数

完整的正弦函数没有反函数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“因此，正弦函数 $y = \sin x$ 整体上并不存在反函数。”
图示
观察依据
一条水平的绿色直线与完整的正弦波多次相交，并显示一个红色的叉号。

命题

正弦函数在其整个定义域上没有反函数。

前提

将 sin x 视为整体，不对其定义域作任何限制。
使用本片段前面所述的水平线检验准则。

量词

针对未加限制的正弦函数，在其完整显示的定义域上。

受限的正弦分支通过了水平线检验。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“这一段确实通过了水平线检验。”
图示
观察依据
一条水平的绿色直线仅与保留下来的中心分支相交一次，并出现一个绿色对勾标记。

命题

正弦函数在区间 (-π/2, $π/2$ ) 上保留的分支通过了水平线检验。

前提

将正弦函数限制在所示区间 (-π/2, $π/2$ ) 上。
按照本片段中所定义的方式应用水平线检验。

量词

针对所展示的 sin x 的受限分支。

反余弦函数源自余弦函数在区间 (0, π) 上的受限定义。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出反余弦函数是余弦函数在零到π区间上的反函数。
图示
观察依据
仅保留余弦函数从 0 到 π 的递减分支，然后将其关于直线 $y = x$ 作反射。

待核验内容

该片段未明确重述此分支的水平线检验，但画面中的限制已暗示其具有单射性。

命题

反余弦函数是通过对余弦函数在区间 (0, π) 上的分支关于直线 $y = x$ 反射而得到的。

前提

使用图中所示的、从 0 到 π 的余弦函数受限分支。
按片段所述，关于直线 $y = x$ 进行反射。

量词

针对所展示的 cos x 的受限分支。

反余弦函数在 -1/2 处的取值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员指出该角度必须是三分之二 π。
公式
观察依据
幻灯片上写着 $y = 2π/3$ 在 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 下方。

命题

在反余弦函数所示的主值区间内， $\cos ^{-1}(-1/2) = 2π/3$ 。

前提

输出值取自反余弦函数的主值区间。
输入的余弦值为 -1/2。

量词

对于特定输入 -1/2，所选主值角度为 $2π/3$ 。

受限的正切函数满足水平线检验。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员指出，将定义域限制在负二分之 π 到二分之 π 之间，可使其通过水平线检验。
图示
观察依据
讨论限制条件后，正切函数仅剩一个分支。

命题

将 $y = \tan x$ 限制在区间 -π/2 与 $π/2$ 之间，可得到一个满足水平线检验且可逆的分支。

前提

从正切函数出发。
将角度变量限制在 (-π/2, $π/2$ ) 内。

量词

对于图示的正切主分支，水平线检验成立。

反正切主分支的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片明确列出：定义域为 (-∞, $\infty$ )，值域为 (-π/2, $π/2$ )。
声音
观察依据
讲解者重复了这两条关于定义域和值域的陈述。

命题

反正切主函数的定义域为 (-∞, $\infty$ )，值域为 (-π/2, $π/2$ )。

前提

利用受限正切函数关于直线 $y = x$ 的反射，得到主分支。

量词

对每个实数输入 x，输出的角度均落在 (-π/2, $π/2$ ) 内。

√3 处的反正切函数值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者得出该角必定是三分之一π。
公式
观察依据
幻灯片显示 $y = π/3$ ，这是在计算 (√ $3/2$ )/( $1/2$ ) = √3 后得到的结果。

命题

在视频片段所示的主分支上， $\tan ^{-1}$ (√3) = $π/3$ 。

前提

使用反正切函数的主值范围。
寻找一个正切值等于 √3 的角。

量词

对于特定输入 √3，所选取的主值角为 $π/3$ 。

计算器输出结果可能无法化简为 π 的分数形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，你可能得到一个较复杂的答案，难以表示为 π 的分数形式，但它仍是正确答案。

命题

当在计算器上计算反三角函数时，数值结果可能无法简洁地表示为 π 的分数，尽管它仍代表正确的角度。

前提

计算器处于弧度模式。
反三角函数被数值化求值。

量词

对于某些输入，小数形式的输出是正确的，但它并非 π 的简单有理数倍数。

推导与证明 · 8

求 $f(x)$ =sqrt(x) 的反函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上依次显示 $f(x)=\sqrt{x}$ 、 $y=\sqrt{x}$ 、 $x=\sqrt{y}$ 和 $y=x^2$ 。
声音
观察依据
旁白描述了将 x 与 y 互换，然后对等式两边同时平方的过程。

严格证明

步骤

公式
$f(x)=\sqrt{x}$
解释
从屏幕上显示的示例函数开始。
步骤依据
视频中给出的函数。
视频直接表达
公式
$y=\sqrt{x}$
解释
用 y 表示因变量，重写该函数。
步骤依据
求反函数的标准步骤。
视频直接表达
公式
$x=\sqrt{y}$
解释
交换 x 与 y 的位置。
步骤依据
视频明确指出要让 x 和 y 互换位置。
视频直接表达
公式
$y=x^2$
解释
两边平方以解出 y。
步骤依据
屏幕上的注释写着“两边平方。”
视频直接表达
公式
$f^{-1}(x)=x^2$
解释
将解得的表达式命名为反函数。
步骤依据
流程图将该结果标注为反函数，它能撤销原始运算。
视频直接表达

结论

$f(x)=\sqrt{x}$ 的反函数是 $f^{-1}(x)=x^2$ 。

由 $y = \sin x$ 推导出 $y = \sin ^{-1} x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $y=\sin x$ ， $x=\sin y$ ， $\sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y)$ ，以及 $y=\sin^{-1}x$ 。
声音
观察依据
说话人称，实现这一点的唯一方法是对两边取反正弦。

严格证明

步骤

公式
$y=\sin x$
解释
从屏幕上写出的正弦函数开始。
步骤依据
给定起始关系式。
视频直接表达
公式
$x=\sin y$
解释
交换 x 和 y 以建立反关系式。
步骤依据
本视频早先已使用过相同的反函数求解步骤。
视频直接表达
公式
$\sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin y)$
解释
对等式两边同时应用反正弦函数。
步骤依据
视频指出，交换变量后这是求解 y 的唯一方法。
视频直接表达
公式
$y=\sin^{-1}x$
解释
利用反正弦函数消去作用在 y 上的正弦运算。
步骤依据
主讲人称这将抵消作用在 y 上的正弦运算。
视频直接表达

结论

$y=\sin x$ 的反函数是 $y=\sin^{-1}x$ 。

推导反正弦函数图像及其显示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者依次完成以下步骤：先限制正弦函数的定义域，再验证水平线检验，接着关于直线 $y = x$ 反射，最后给出反正弦函数的定义域与值域。
图示
观察依据
图像依次变化为：完整的正弦曲线 → 单一分支 → 被标记为 $y = \sin$ ⁻¹ x 的反射曲线。
字幕依据
观察依据
文字依次出现：限制定义域 → 现在关于 $y = x$ 反射 → $y = \sin$ ⁻¹ x → 定义域 → 值域。

待核验内容

所显示区间端点的包含关系未作推导或讨论。

视觉说明

步骤

公式
解释
从完整的正弦函数图像出发，并注意到它不满足水平线检验。
步骤依据
通过水平线反复与图像相交这一现象直接观察得出，且讲解者明确指出：正弦函数 sin x 作为一个整体没有反函数。
视频直接表达
公式
$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
解释
仅保留正弦函数在所显示的限制区间上的中心递增分支。
步骤依据
讲解者明确指出，需将 sin x 的定义域限制为 (-π/2, $π/2$ )，图像中也仅显示该分支被保留下来。
视频直接表达
公式
解释
验证所保留的分支满足水平线检验。
步骤依据
一条绿色水平线与该限制分支恰好相交一次，同时出现一个绿色对勾标记。
视频直接表达
公式
$y=x$
解释
将该限制分支关于直线 $y = x$ 作反射。
步骤依据
讲解者指出，求反函数即意味着关于 $y = x$ 进行反射，动画也展示了这一镜像过程。
视频直接表达
公式
$y=\sin^{-1}x$
解释
将反射所得曲线标注为反正弦函数。
步骤依据
反射完成后，屏幕文字变为 $y = \sin$ ⁻¹ x。
视频直接表达
公式
$(-1,1)$
解释
将反正弦函数的定义域表述为正弦函数所有可能的输出值构成的集合。
步骤依据
讲解者指出定义域为负一到一，因为这是正弦函数唯一可能取到的值；字幕显示定义域：(-1, 1)。
视频直接表达
公式
$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
解释
将反正弦函数的值域表述为受限正弦函数分支所对应的角。
步骤依据
讲解者指出值域为负二分之π到二分之π，因为这些角恰好对应每个唯一的正弦值；字幕显示值域：(-π/2, $π/2$ )。
视频直接表达

结论

视频通过将正弦函数限制在(-π/2, $π/2$ )上构造 $y = \sin$ ⁻¹ x，验证水平线测试，再关于直线 $y = x$ 作反射，最后读出所显示的定义域(-1, 1)和值域(-π/2, $π/2$ )。

推导反余弦函数图像及其所显示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者将反余弦函数引入为余弦函数x在零到π上的反函数，解释该限制为何不同于正弦函数，并进而陈述其定义域与值域。
图示
观察依据
余弦函数图像被缩减为从0到π的单调递减分支，然后关于直线 $y = x$ 作反射。
字幕依据
观察依据
文字显示 $y = \cos$ ⁻¹ x，定义域：(-1, 1)，值域：(0, π)，并关于直线 $y = x$ 作反射。

待核验内容

该片段未明确展示余弦分支的水平线测试验证，尽管该限制被呈现为反函数的来源。
所显示区间端点的包含与否未被讨论。

视觉说明

步骤

公式
解释
从余弦函数出发，确定待取反的分支。
步骤依据
讲解者指出反余弦函数是余弦函数在零到π区间上的反函数，且图像截取了该单调递减分支。
视频直接表达
公式
$(0,\pi)$
解释
将受限的余弦函数区间（0, π）作为反演的定义域。
步骤依据
该区间在音频中已明确说明，并对应于屏幕上所显示的 $y = \cos$ ⁻¹ x 的值域。
视频直接表达
公式
解释
将这一限制与正弦函数的限制进行对比，借助单位圆上的象限行为来理解。
步骤依据
讲解者解释道：正弦函数经由第四、第一象限，从 -1 变化到 1；而余弦函数经由第一、第二象限，从 1 变化到 -1；小的单位圆示意图直观呈现了这一对比。
视频直接表达
公式
$y=x$
解释
将受限的余弦函数分支关于直线 $y = x$ 作反射。
步骤依据
讲解者重申一般性的反函数构造规则，动画则展示该曲线关于虚线对角线的镜像。
视频直接表达
公式
$y=\cos^{-1}x$
解释
将反射所得的曲线标记为反余弦函数。
步骤依据
反射完成后，屏幕上的文字变为 $y = \cos$ ⁻¹ x。
视频直接表达
公式
$(-1,1)$
解释
将反余弦函数的定义域表述为所有允许的余弦函数取值。
步骤依据
讲解者说：“正如我们所预期的那样，其定义域为负一到一”，字幕显示：定义域：(-1, 1)。
视频直接表达
公式
$(0,\pi)$
解释
将反余弦函数的值域表述为能产生这些余弦值的所有角度。
步骤依据
讲解者指出值域为零到π，字幕显示：值域：(0, π)。
视频直接表达

结论

视频通过取 (0, π) 上的余弦分支来构造 $y = \cos$ ⁻¹ x，将其与正弦函数的限制区间对比，再关于直线 $y = x$ 作反射，最后给出所显示的定义域 (-1, 1) 和值域 (0, π)。

从单位圆推导 $\cos ^{-1}(-1/2)$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
单位圆的上半部分被框出，然后点 (-1/2, √ $3/2$ ) 在 $2π/3$ 处被圈出。
声音
观察依据
讲解者通过回忆单位圆来确定所需的角。

视觉说明

步骤

公式
解释
将 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 解释为：在主值区间内，求满足余弦值为 -1/2 的角 y。
步骤依据
这是视频片段中所呈现的反余弦函数的定义。
视频直接表达
公式
解释
观察单位圆的上半圆，因为视频将注意力限定在反余弦函数的主值区间内。
步骤依据
品红色方框仅高亮显示单位圆的上半部分。
视频直接表达
公式
解释
在单位圆上找出横坐标为 -1/2 的点；被高亮的点是 (-1/2, √ $3/2$ )。
步骤依据
在单位圆上，横坐标即为余弦值。
视频直接表达
公式
$y = 2\pi/3$
解释
读出该点所对应的角，即为 $2π/3$ 。
步骤依据
幻灯片用 $2π/3$ 标注了被圈出的点，讲解者也陈述了该值。
视频直接表达

结论

因此，该片段得出结论：cos⁻ $1(-1/2) = 2π/3$ 。

构建主值反正切函数的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
多支正切曲线被缩减为中央一支，随后出现虚线 $y = x$ ，并最终得到 $y = \tan$ ⁻1x 的图像。
声音
观察依据
讲解者说明了定义域限制、水平线检验以及关于直线 $y = x$ 的反射。

视觉说明

步骤

公式
$y = \tan x$
解释
从具有多个重复分支的完整正切函数图像出发。
步骤依据
幻灯片首先展示跨越多个周期的 $y = \tan x$ 图像。
视频直接表达
公式
$-\pi/2 < x < \pi/2$
解释
将角度输入限制在开区间 (− $π/2$ , $π/2$ ) 内。
步骤依据
讲解者指出，这一限制是为了使函数满足水平线检验。
视频直接表达
公式
解释
仅保留正切函数的中央分支。
步骤依据
动画移除其余分支，使所显示区间上函数呈现一一对应关系。
视频直接表达
公式
$y = x$
解释
引入直线 $y = x$ 作为反函数变换的对称轴（镜像线）。
步骤依据
在反函数图像出现之前，先显示虚线紫色对角线。
视频直接表达
公式
$y = \tan^{-1} x$
解释
将受限的正切函数分支关于直线 $y = x$ 作对称，得到其反函数的图像。
步骤依据
讲解者明确指出要关于 y 等于 x 作对称，最终图像标注为 $y = \tan ^{-1} x$ 。
视频直接表达

结论

对称后的图像是主值反正切函数，定义域为 (-∞, $\infty$ )，值域为 (-π/2, $π/2$ )。

利用单位圆坐标计算 $\tan ^{-1}$ (√3)。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片依次显示： $y = \tan ^{-1}$ (√3)，然后 $\sin y / \cos y$ = √3，接着 (√ $3/2$ )/( $1/2$ ) = √3，最后 $y = π/3$ 。
图示
观察依据
单位圆在 π/ 处标出点 ( $1/2$ , √ $3/2$ ) at $π/3$ 。

视觉说明

步骤

公式
$y = \tan^{-1}(\sqrt{3})$
解释
将问题重述为：求满足正切值为 √3 的主值角 y。
步骤依据
这是屏幕上展示的例题。
视频直接表达
公式
$\frac{\sin y}{\cos y} = \sqrt{3}$
解释
将正切条件改写为正弦与余弦的比值形式。
步骤依据
讲解者指出：产生正切值为根号三的角度，其正弦与余弦之比必等于根号三。
视频直接表达
公式
解释
在单位圆上寻找一个常见角度，使其坐标能给出该比值。
步骤依据
本视频在此处使用已知的单位圆上的点，而非计算器。
视频直接表达
公式
$\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
解释
在角度 $π/3$ 处，坐标为 ( $1/2$ , √ $3/2$ )，因此正弦与余弦的比值为 (√ $3/2$ )/( $1/2$ )。
步骤依据
圆圈标出的单位圆上的点及所显示的算术运算验证了该比值。
视频直接表达
公式
$y = \pi/3$
解释
得出结论：所求的主值角为 $π/3$ 。
步骤依据
幻灯片在比值检验后写出 $y = π/3$ 。
视频直接表达

结论

因此，在所示的主分支上， $\tan ^{-1}$ (√3) = $π/3$ 。

所显示的度数答案如何对应反三角函数的主值

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
显示的答案为—30°，90°，和—45°，分别对应 $\sin ^{-1}(-1/2)$ , $\cos ^{-1}(0)$ 和 $\tan ^{-1}(-1)$ , respectively.

待核验内容

视频未明确说明主值区间，因此值域约定需根据所显示的答案推断，而非通过口头陈述或文字直接给出。

直观解释

步骤

公式
$\sin^{-1}(-1/2)$
解释
第一个问题要求找出正弦值为 -1/2 的角度。
步骤依据
直接读取屏幕上的公式。
视频直接表达
公式
$-30^\circ$
解释
显示的答案为 -30 度。
步骤依据
在第一个表达式下方以红色显示，大约在9秒处。
视频直接表达
公式
$\sin(-30^\circ)=-1/2$
解释
这与标准特殊角事实一致：-30度角的正弦值为-1/2。
步骤依据
借助常见三角函数值进行编辑验证。
补充解释
公式
$\cos^{-1}(0)$
解释
第二个提示要求找出余弦值为0的角度。
步骤依据
直接读取屏幕上的公式。
视频直接表达
公式
$90^\circ$
解释
显示的答案为90度。
步骤依据
在第二个表达式下方以红色显示，大约在9秒处。
视频直接表达
公式
$\cos(90^\circ)=0$
解释
这与标准特殊角事实一致：余弦值等于0的角度为90度。
步骤依据
借助常见三角函数值进行编辑验证。
补充解释
公式
$\tan^{-1}(-1)$
解释
第三个提示要求找出正切值为-1的角度。
步骤依据
直接读取屏幕上的公式。
视频直接表达
公式
$-45^\circ$
解释
显示的答案为-45度。
步骤依据
在约9秒处，红色文字显示在第三个表达式下方。
视频直接表达
公式
$\tan(-45^\circ)=-1$
解释
这与标准的特殊角事实一致：正切值等于—1 在 -45 度。
步骤依据
利用常见三角函数值进行编辑校验。
补充解释

结论

屏幕上显示的三个答案与通常以度为单位的主值反三角函数值一致：arcsin(-1/2) = -30°，arccos(0) = 90°，arctan(-1) = -45°。

例题详解 · 7

例题： $\sqrt{x}$ 的反函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上展示的例题是 $f(x)=\sqrt{x}$ ，由此得出 $f^{-1}(x)=x^2$ 。
声音
观察依据
主讲人借助该例题逐步讲解“交换再求解”的步骤。

题目

求函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 的反函数。

已知条件

$f(x)$ 等于 x 的平方根

目标

求出 $f^{-1}(x)$ 的显式表达式。

步骤

公式
$y=\sqrt{x}$
解释
将函数改写为以 y 表示的形式。
步骤依据
交换变量前的准备工作。
视频直接表达
公式
$x=\sqrt{y}$
解释
交换 x 和 y。
步骤依据
视频中所述的标准反函数求法。
视频直接表达
公式
$y=x^2$
解释
两边同时平方，并解出 y。
步骤依据
代数法分离出新的因变量。
视频直接表达
公式
$f^{-1}(x)=x^2$
解释
用反函数记号替换 y。
步骤依据
最终为反函数命名。
视频直接表达

结果

f 的负1次方括号 x 等于 x 的2次方

检验

流程图解释为：反函数抵消了原始的平方根运算。

求 sqrt(2)/2 的反正弦值。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者提问：“根号二除以二的反正弦值是多少？”，并回答该角为四分之 π。
字幕依据
观察依据
文字显示 " $y = \sin$ ⁻¹ (√ $2/2$ )"，随后显示 " $y = π/4$ "。
图示
观察依据
单位圆标出了角度为 $π/4$ 的点，其坐标为 (√ $2/2$ , √ $2/2$ )。

题目

求 $y = \sin ^{-1}$ (√ $2/2$ )。

已知条件

使用单位圆。
本片段中相关的反正弦函数值域为 (-π/2, $π/2$ )。
目标正弦值为 √ $2/2$ 。

目标

在反正弦函数的值域内，求满足 sin y = √ $2/2$ 的角 y。

步骤

公式
$y=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
解释
将问题重述为：求正弦值等于 √ $2/2$ 的角。
步骤依据
这正是屏幕上显示并由旁白说出的表达式。
视频直接表达
公式
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解释
在单位圆上，于第一象限中找出纵坐标为√ $2/2$ 的角。
步骤依据
高亮点位于45° / $π/4$ 处，其坐标为(√ $2/2$ , √ $2/2$ )，因此它的正弦值为√ $2/2$ 。
视频直接表达
公式
$\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
解释
验证候选角是否落在所显示的反正弦函数定义区间内。
步骤依据
该片段将 $\sin ^{-1}x$ 的值域定义为(-π/2, $π/2$ )，而 $π/4$ 位于该区间内。
依据视频推导

结果

y 等于 π 除以4

检验

单位圆上 $π/4$ 处的点的纵坐标为√ $2/2$ ，与输入的正弦值一致，且 $π/4$ 落在所显示的反正弦函数定义区间内。

计算反余弦函数 -1/2 的值（视频片段中未完成）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
旁白提问：“负二分之一的反余弦值是多少？”，并开始回答：“嗯，那会……”，随后片段结束。
字幕依据
观察依据
文字显示为“ $y = \cos$ ⁻¹ (-1/2)”。
图示
观察依据
单位圆再次呈现，并特别强调与余弦值相关的上半圆部分。

待核验内容

该解法未在所提供的片段中完成。
视频结束前未显示或口述最终的角度值。

题目

求 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 。

已知条件

使用单位圆。
本片段中涉及的反余弦函数取值范围是（0, π）。
目标余弦值为 -1/2。

目标

在反余弦函数的取值范围内，找出其余弦值为 -1/2 的角 y。

步骤

公式
$y=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
解释
将问题重新表述为：求其余弦值等于 -1/2 的角。
步骤依据
这是屏幕上显示并由讲解员口述的表达式。
视频直接表达
公式
解释
该片段引入了单位圆方法，但在选定具体角度前即终止。
步骤依据
讲解员刚开始解释，视频便结束，未给出答案。
视频直接表达

结果

本片段中未提供。

检验

未进行验证，因为所提供的片段中该例题尚未完成。

计算 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片先显示 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ ，然后显示 $y = 2π/3$ 。
图示
观察依据
单位圆标出了点（－1／2，√3／2）在2π／3。

题目

求满足 $\cos y = -1/2$ 的主值角 y。

已知条件

该表达式为 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 。
视频将关注范围限定在单位圆的上半部分。

目标

确定 y。

步骤

公式
解释
将反余弦函数理解为：求一个角，使其余弦值为 -1/2。
步骤依据
这与视频片段中所采用的定义一致。
视频直接表达
公式
解释
在高亮标出的区间内，找到单位圆上横坐标为 -1/2 的点。
步骤依据
图中圈出了点 (-1/2, √ $3/2$ )。
视频直接表达
公式
$y = 2\pi/3$
解释
从单位圆上读出该点所对应的角。
步骤依据
幻灯片将该点标注为 $2π/3$ ，讲解员也给出了相同的数值。
视频直接表达

结果

y 等于2π 除以3

检验

所选的点位于高亮标出的主半圆上，且其余弦值为 -1/2。

计算 $y = \tan ^{-1}$ (√3)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片显示 $y = \tan ^{-1}$ (√3)， $\sin y / \cos y$ = √3，(√ $3/2$ )/( $1/2$ ) = √3，以及 $y = π/3$ 。
声音
观察依据
讲解员解释了比值法，并得出该角为三分之一 π。

题目

求满足 tan y = √3 的主值角 y。

已知条件

该表达式为 $y = \tan ^{-1}$ (√3)。
反正切函数的主值区间为 (-π/2, $π/2$ )。

目标

求 y 的值。

步骤

公式
$\frac{\sin y}{\cos y} = \sqrt{3}$
解释
将正切条件转化为正弦除以余弦的方程。
步骤依据
讲解者明确使用了这种比值形式。
视频直接表达
公式
解释
在单位圆常见角度中寻找符合该比值的角度。
步骤依据
视频通过观察单位圆直接得出答案。
视频直接表达
公式
$\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
解释
在 $π/3$ 处，正弦值为 √ $3/2$ ，余弦值为 $1/2$ ，二者之比即为所要求的比值。
步骤依据
被圈出的点 ( $1/2$ , √ $3/2$ ) 及屏幕上显示的运算过程证实了这一点。
视频直接表达
公式
$y = \pi/3$
解释
因此，主值角为 $π/3$ 。
步骤依据
幻灯片将 $y = π/3$ 写作最终结果。
视频直接表达

结果

y 等于 π 除以3

检验

角度 $π/3$ 位于区间 (-π/2, $π/2$ ) 内，且其正弦与余弦的比值等于 √3。

检查理解程度的提示语

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片显示文字：'检查理解程度（如需更多时间，请暂停播放）'，以及'请以度为单位列出以下各值：'，随后列出 $\sin ^{-1}(-1/2)$ 、 $\cos ^{-1}(0)$ 和 $\tan ^{-1}(-1)$ 。
声音
观察依据
讲解员说：'我们来检查一下理解程度。'

待核验内容

本片段中未展示任何解题过程。

题目

请以度为单位列出以下各值： $\sin ^{-1}(-1/2)$ 、 $\cos ^{-1}(0)$ 、 $\tan ^{-1}(-1)$ 。

已知条件

屏幕上展示了三个反三角函数表达式。
所要求的输出单位是度。

目标

请为每个反三角函数值提供对应的度数。

步骤

公式
$\sin^{-1}(-1/2)$
解释
第一个列出的练习题。
步骤依据
直接显示在理解程度检查幻灯片上。
视频直接表达
公式
$\cos^{-1}(0)$
解释
第二个列出的练习题。
步骤依据
直接显示在理解力幻灯片上。
视频直接表达
公式
$\tan^{-1}(-1)$
解释
第三项练习题。
步骤依据
直接显示在理解力幻灯片上。
视频直接表达

结果

本片段未提供任何答案。

检验

该片段仅呈现题目，并暂停以供观众思考作答。

检验理解程度：以度为单位的三个反三角函数值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片标题为‘检验理解程度’，指令为‘以度为单位列出以下数值’。
动画
观察依据
在约9秒处，红色答案出现在三个表达式下方。

题目

以度为单位列出以下数值： $\sin ^{-1}(-1/2)$ ， $\cos ^{-1}(0)$ ， $\tan ^{-1}(-1)$ 。

已知条件

屏幕上展示了三个反三角函数表达式。
要求的输出单位是度。

目标

为每个反三角函数表达式提供对应的度数度量。

步骤

公式
$\sin^{-1}(-1/2)$
解释
找出正弦值为-1/2的角度。
步骤依据
幻灯片中给出的表达式。
视频直接表达
公式
$-30^\circ$
解释
视频中显示第一个表达式的答案为 -30°。
步骤依据
红色答案文字出现在屏幕上。
视频直接表达
公式
$\cos^{-1}(0)$
解释
找出余弦值为0的角度。
步骤依据
幻灯片中给出的表达式。
视频直接表达
公式
$90^\circ$
解释
视频中显示第二个表达式的答案为90°。
步骤依据
红色答案文字出现在屏幕上。
视频直接表达
公式
$\tan^{-1}(-1)$
解释
找出正切值为 -1的角度。
步骤依据
幻灯片中给出的表达式。
视频直接表达
公式
$-45^\circ$
解释
视频中显示第三个表达式的答案为 -45°。
步骤依据
红色答案文字出现在屏幕上。
视频直接表达

结果

$\sin^{-1}(-1/2)=-30^\circ$ ,\ $\cos^{-1}(0)=90^\circ$ ,\ $\tan^{-1}(-1)=-45^\circ$

检验

每个结果都与标准的特殊角恒等式一致：sin(-30°) = -1/2，cos(90°) = 0，以及 tan(-45°) = -1。

图示与动画 · 23

六个三角函数比值的复习幻灯片

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
标题幻灯片标注为“三角函数”，以两列形式展示六个比值公式。

图中对象

标题文字
六个分式公式
主讲人

变化过程

三角函数复习幻灯片取代了开场动画

不变量

这些公式在此区间内保持固定

数学含义

该图示在课程转向反三角函数之前，先建立起常规三角函数的概念。

总结反函数逻辑的流程图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个红色边框的流程图将 $f(x)=\sqrt{x}$ 与 $f^{-1}(x)=x^2$ 相连，并标注‘反函数必须逆转运算’。

图中对象

顶部方框： $f(x)=\sqrt{x}$
中间标注
底部方框： $f^{-1}(x)=x^2$

变化过程

代数步骤被浓缩为概念图示

不变量

原函数表达式与反函数表达式始终成对出现在上下位置

数学含义

该图示直观地表明：求反函数意味着将原函数的运算步骤逆转。

反正弦函数的分步推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
方程逐行出现在‘理解反三角函数’标题下方。
公式
观察依据
彩色高亮强调了 y 与反正弦步骤的互换关系。

图中对象

y 等于 sin x
x 等于 y 的正弦值
1次幂的正弦反函数 x 等于 1次幂的正弦反函数（正弦 y）
y 等于 x 的反正弦函数的 1 次方

变化过程

每一新行都添加在前一行的下方。
关键符号通过变色来标示当前所讨论的运算。

不变量

标题始终保留在顶部。

数学含义

动画逐步追踪从正弦函数到反正弦函数的代数转换过程。

正弦函数与反三角正弦函数的输入/输出对比图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
两个并排的公式用箭头标注，分别标出角度、正弦值、有效的正弦值以及对应的角度。

图中对象

y 等于 sin x
y 等于 x 的反正弦函数的 1 次方
红色箭头
文字标签

变化过程

标签按顺序依次添加到每个公式上

不变量

两个公式始终保持并排，以便直接比较

数学含义

该图明确指出：正弦函数将角度映射为数值，而反三角正弦函数将数值映射回角度。

水平线检验演示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一条绿色水平线在坐标网格上沿垂直方向扫过一条红色曲线。
公式
观察依据
文字说明：函数必须通过水平线检验，才能存在反函数。

图中对象

坐标网格
红色曲线
位于原点的黄色点
移动的绿色水平线
文字说明

变化过程

绿色直线在图像上上下扫过

不变量

红色曲线本身并不发生变化

数学含义

该动画演示了如何利用水平交点来判断一个函数是否可逆。

通用的、通过对称反射求反函数的演示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
坐标网格上的一条红色曲线关于一条虚线紫色对角线对称；一个黄色点标记了该曲线与直线 $y = x$ 的交点。
字幕依据
观察依据
文字首先说明水平线测试的要求，然后补充指出：反函数必须通过垂直线测试。

待核验内容

开场几秒中出现的具体示例曲线在视频片段中未被命名。

图中对象

坐标轴
红色函数曲线
虚线紫色直线 $y = x$
黄色标记点
蓝色垂直测试线

变化过程

红色曲线关于虚线对角线进行反射。
引入一条蓝色垂直线来检验反射后的图像。

不变量

直线 $y = x$ 作为镜像线保持不变。
$y = x$ 上的标记点始终位于对称轴上。

数学含义

这一图示确立了一般规则：一个函数的反函数可通过其图像关于直线 $y = x$ 的反射得到；且反射后的图像必须仍满足垂直线检验，才能构成一个函数。

完整正弦图像不满足水平线检验

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
显示完整的红色正弦波；一条绿色水平线与其多次相交；出现一个大的红色叉号。

图中对象

完整正弦波
绿色水平线
红色叉号

变化过程

在正弦波上画出一条水平线。
显示出多个交点。
红色叉号表示检验失败。

不变量

正弦波本身在此检验过程中保持不变。

数学含义

重复出现的交点表明，同一个 y 值对应多个 x 值，因此无限制的正弦函数不是一一映射，若不加限制便无法拥有反函数。

受限后的正弦分支通过检验，成为反正弦函数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
仅保留正弦函数中央的递增分支；一条绿色水平线与之相交一次；出现一个绿色对勾标记；随后该分支关于直线 $y = x$ 作反射。
字幕依据
观察依据
文字显示“我们限制 sin x 的定义域”，并标出“(-π/2, $π/2$ )”，接着显示“现在关于 $y = x$ 作反射”，最后显示“ $y = \sin$ ⁻¹ x”。

图中对象

受限后的正弦分支
绿色水平线
绿色对勾标记
虚线 $y = x$
反射得到的反正弦曲线

变化过程

完整的正弦图像被缩减为单一分支。
水平线检验成功。
该分支关于 $y = x$ 作反射。
反射后的曲线标注为 $y = \sin$ ⁻¹ x。

不变量

镜像直线 $y = x$ 保持不变。
受限区间 (-π/2, $π/2$ ) 是该分支的定义域来源。

数学含义

动画展示了通过限制定义域如何恢复一一对应关系，以及随后通过反射如何得到反正弦函数图像。

反正弦函数的定义域与值域标注

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
绿色向上箭头表示反正弦函数图像的水平范围；蓝色向左箭头表示其垂直范围。
字幕依据
观察依据
文字显示“定义域：(-1, 1)”和“值域：(-π/2, $π/2$ )”，并附有说明性注释。

待核验内容

箭头在视觉上指示范围，但并未明确说明端点是否包含在内。

图中对象

反正弦函数图像
绿色箭头
蓝色箭头
定义域文字
值域文字

变化过程

添加绿色箭头以指示输入区间。
添加蓝色箭头以指示输出区间。
文字标签标注“定义域”和“值域”。

不变量

反正弦曲线本身保持固定，仅添加注释标记。

数学含义

视觉映射将图像的水平区间与定义域 (-1, 1) 关联，将垂直区间与值域 (-π/2, $π/2$ ) 关联。

用于计算反正弦函数的单位圆设置

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
出现一个标有角度和坐标的单位圆；角度为 $π/4$ 的点用洋红色圆圈高亮，并配有一条红色半径线。
字幕依据
观察依据
文字显示 " $y = \sin$ ⁻¹ (√ $2/2$ )"，随后显示 " $y = π/4$ "。

图中对象

单位圆
标出的角度与坐标
角度 $π/4$ 处的高亮点
红色半径线
方程文字

变化过程

画面从方格纸切换到单位圆。
$π/4$ 点被高亮显示。
答案 $y = π/4$ 写在问题下方。

不变量

单位圆的标注在整个例题中始终可见。

数学含义

高亮的点表明角度 $π/4$ 的正弦值为 √ $2/2$ ，从而直接得出反正弦值。

通过象限行为解释余弦函数的限制

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
余弦图像被缩减为从 0 到 π 的递减分支；小型单位圆象限图用于对比正弦与余弦的变化规律。
字幕依据
观察依据
文字显示“ $y = \cos$ ⁻¹ x”、“定义域：(-1, 1)”、“值域：(0, π)”，随后出现“关于直线 $y = x$ 作反射”。

待核验内容

小型象限图持续时间很短；除象限编号外，其内部具体标注不够清晰。

图中对象

余弦函数图像
受限的余弦分支
单位圆小象限示意图
反射线 $y = x$

变化过程

完整的余弦图像被缩小为从0到 π 的分支。
象限对比图用于解释为何该限制区间与正弦函数不同。
该分支已准备好关于直线 $y = x$ 进行反射。

不变量

在整个本说明中，余弦函数所选取的限制区间始终为（0, π）。

数学含义

图示将代数限制与单位圆上的几何行为联系起来：正弦函数在第四和第一象限中追踪，而余弦函数在第一和第二象限中追踪。

带定义域与值域标注的反余弦函数图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
受限的余弦分支关于直线 $y = x$ 反射后形成反余弦函数图像；绿色与蓝色箭头分别指示定义域与值域。
字幕依据
观察依据
文字显示“ $y = \cos$ ⁻¹ x”、“定义域：(-1, 1)”以及“值域：(0, π)”。

图中对象

反射得到的反余弦曲线
绿色箭头
蓝色箭头
定义域文字
值域文字

变化过程

余弦分支关于直线 $y = x$ 作镜像对称。
添加了标注以标示水平方向与垂直方向的范围。
最终标注完成的图像是 $y = \cos$ ⁻¹ x。

不变量

镜像线 $y = x$ 在反射过程中保持不动。

数学含义

反射后的图像直观地验证了反余弦函数的输入取自 (-1, 1)，输出角度取自 (0, π)。

易错点 · 10

混淆反正弦函数与正弦函数的倒数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上直接对比 $\sin^{-1}x \neq \frac{1}{\sin x}$ 与 ( $\sin x$ )^{-1}= $\frac{1}{\sin x}=\csc x$ 。
声音
观察依据
讲解者提醒，反正弦函数 x 并不等同于正弦函数 x 的倒数。

误区

看到 sin 上标有 -1，便将 $\sin^{-1}x$ 解释为 $\frac{1}{\sin x}$ 。

说明

在此语境中， $\sin^{-1}x$ 表示反正弦函数，而 $\frac{1}{\sin x}$ 表示正弦函数的倒数，等于 $\csc x$ 。

误以为正弦函数与反正弦函数接受相同类型的输入。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
箭头用于区分 $y=\sin x$ 中的角度与正弦值，以及 $y=\sin^{-1}x$ 中的有效正弦值与对应的角度。
声音
观察依据
说话者对比了正弦函数与反正弦函数各自所接受的输入。

误区

假设 $\sin x$ 和 $\sin^{-1}x$ 都接受同种类型的输入，并产生同种类型的输出。

说明

视频指出： $\sin x$ 接收一个角度，返回一个正弦值；而 $\sin^{-1}x$ 接收一个有效的正弦值，返回对应的角度。

假设完整的正弦函数具有反函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确指出：正弦函数 sin x 作为一个整体，并不存在反函数。
图示
观察依据
一条水平线多次穿过完整的正弦波形，随后出现一个红色叉号。

误区

人们可能认为，每个熟悉的函数（包括定义域上的 sin x）都自动拥有反函数。

说明

视频表明：未加限制的正弦函数无法通过水平线检验，因此只有在限制其定义域后，反函数才存在。

假设反射操作总能产生一个函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
文字说明：反函数必须通过垂直线测试，才能成为函数。
声音
观察依据
讲述者指出，无论得到什么结果，都必须通过垂直线测试，才能被视为函数。

误区

在关于直线 $y = x$ 反射后，人们可能认为所得图像自动就是一个函数。

说明

该片段强调：反射后的图像仍须通过垂直线测试；否则它就不是函数。

假设正弦函数与余弦函数采用相同的定义域限制

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者指出，这对余弦函数的限制与正弦函数不同，随后对比了正弦与余弦在各象限中的变化路径。
图示
观察依据
小尺寸的单位圆象限示意图，用于比较正弦与余弦的变化行为。

误区

人们可能预期余弦的反函数会采用与正弦相同的区间来构造。

说明

视频解释道：余弦函数被限制在区间（0, π）上，而正弦函数则被限制在（-π/2, $π/2$ ）上，这是因为余弦函数在第一、二象限内即可取到其全部函数值。

假设正切函数可在不加任何限制的情况下被反演。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，我们需要对函数加以限制……以确保其通过水平线检验。
图示
观察依据
未加限制的正切函数图像在缩减为单一分支前，呈现出重复的多个分支。

误区

人们或许会尝试从完整的周期性正切图像出发，定义其反函数。

说明

该片段表明，完整的正切函数图像必须先限制在区间 (-π/2, $π/2$ ) 内，才能通过水平线检验，并得到单值的反函数。

误以为反正切函数的值域包含 ± $π/2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示的值域以开区间形式写作 (-π/2, $π/2$ )。
声音
观察依据
讲解者称该值域为负二分之π到二分之π。

误区

学习者可能将端点角度视作反三角正切函数的取值（即认为端点被包含在内）。

说明

幻灯片采用开区间记号 (-π/2, $π/2$ )，表明所展示的主值域不包含端点。

在计算器上忘记切换至弧度模式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“只需确保计算器处于弧度模式。”
图示
观察依据
屏幕上明确显示文字：“设为弧度模式”。

误区

学生可能在未确认角度模式的情况下，直接用计算器求反三角函数的值。

说明

该片段特别指示用户：在计算反三角函数之前，须先将计算器设为弧度模式。

期待计算器给出的每个答案都是π的简洁分数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员提醒，结果可能显得杂乱，难以表示为π的分数形式，但它仍是正确的。

误区

若小数形式的结果不是π的简单倍数，就可能被误认为是错误答案。

说明

视频指出，某些正确的反三角函数输出在数值上较为杂乱，不易写成π的分数形式。

主值约定是隐含的，而非明示的。

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
该幻灯片给出了数值答案，但未写出反正弦、反余弦和反正切函数的主值区间。

待核验内容

这是一条分析性备注，并非视频中明确指出的误解。

误区

学习者可能误以为所展示的答案全局定义了反三角函数，而未意识到已选定某一主分支。

说明

所显示的结果符合标准主分支：arcsin 在 [-90°,90°] 内，arccos 在 [0°,180°] 内，arctan 在 (-90°,90°) 内。但视频本身并未明确写出这些取值范围。

概念关系 · 20

由直角三角形比值得出的六个三角函数 → 反正弦函数的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者从掌握六种三角函数，过渡到学习反三角函数。
图示
观察依据
三角函数表之后，标题为“反三角函数”。

先修

解释

先介绍普通三角函数，作为后续定义其反函数的对象。

求反函数的一般方法 → 反正弦函数的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
先以平方根例子演示换元求解过程，再将同样的“交换并求解”模式应用于 $y=\sin x$ 。
声音
观察依据
说话者在对正弦函数应用反函数方法之前，先回顾了反函数的一般方法。

应用

解释

将反函数的一般步骤具体应用于正弦函数。

反正弦函数的推导 → 反正弦的另一种记法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
方框标注的 $y=\sin^{-1}x$ 被替换为 $y=\arcsin x$ ，周围对比图示保持不变。

等价

解释

视频将 $\sin^{-1}x$ 和 $\arcsin x$ 呈现为同一反三角正弦函数的等价记号。

可逆性的水平线检验 → 求反函数的一般方法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文字链接指出：一个函数存在反函数，当且仅当它通过水平线检验。
动画
观察依据
移动的水平线直观地演示了这一判定准则。

先修

解释

在反函数存在之前，原函数必须满足视频中所述的水平线检验条件。

反正弦函数的推导 → 由直角三角形比值得出的六个三角函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
并排的注释对比了‘角度→正弦值’与‘正弦值→对应角度’的关系。

对比

解释

反三角正弦函数与普通正弦函数的对比，体现在输入与输出角色的互换上。

反函数的图像构造法 → 反射后的垂直线测试

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者将关于直线 $y = x$ 的反射操作，与‘结果必须通过垂直线测试’这一要求联系起来。
字幕依据
观察依据
文字将反函数的构造过程与垂直线测试这一条件配对呈现。

证明依赖

解释

反函数的图像作图法仅当反射后的图像满足垂直线测试时，才能作为有效的函数。

可逆性的水平线测试 → 限制正弦函数以使其可逆

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者首先指出，正弦函数在未加限制时没有反函数，随后提出需对其定义域加以限制。
图示
观察依据
完整的正弦函数图像不满足水平线测试，而经过限制后的分支则满足该测试。

应用

解释

水平线测试说明了在定义反正弦函数之前必须对正弦函数进行限制。

限制正弦函数以使其可逆 → 反正弦函数及其所展示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，这一受限分支的反函数即为反正弦函数。
图示
观察依据
受限的正弦分支被反射，并标注为 $y = \sin$ ⁻¹ x。

证明依赖

解释

视频片段中将反正弦函数定义为受限正弦分支的反射图像。

反正弦函数及其所展示的定义域与值域 → 利用单位圆求解反正弦函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者通过回忆单位圆上位于反正弦函数取值范围内的角度，来计算 sin⁻¹(√ $2/2$ )。
图示
观察依据
借助单位圆，选取 $π/4$ 作为正弦值为 √ $2/2$ 的角度。

应用

解释

计算反正弦函数时，需依据其定义所规定的取值范围，从中选出对应的角度。

限制正弦函数以使其可逆 → 限制余弦函数的定义域，使其可逆。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确指出，余弦函数的限制方式不同于正弦函数，并对比了二者在象限中的路径差异。
图示
观察依据
通过小型单位圆示意图，比较正弦与余弦函数的行为。

对比

解释

该片段对比了使正弦函数可逆所用的区间，与使余弦函数可逆所用的不同区间。

限制余弦函数的定义域，使其可逆。 → 反余弦函数及其所展示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出反余弦函数是余弦函数在零到π区间上的反函数。
图示
观察依据
受限的余弦分支被反射，并标注为 $y = \cos$ ⁻¹ x。

证明依赖

解释

该片段将反余弦函数定义为受限余弦分支的反射。

反正弦函数及其所展示的定义域与值域 → 反余弦函数及其所展示的定义域与值域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
对反正弦函数和反余弦函数，均陈述了同一条关于‘关于直线 $y = x$ 反射’的规则。
图示
观察依据
反正弦函数与反余弦函数的图像，均由各自受限分支关于虚线 $y = x$ 的镜像得到。

等价

解释

这两个反函数均通过同一作图方法构造：先限制原三角函数的定义域，再关于直线 $y = x$ 进行反射。

问题定位 · 24

反三角正弦函数是如何从 $y = \sin x$ 推导出来的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
推导过程明确得出 $y=\sin^{-1}x$ 。

涉及知识点

反正弦函数的推导
由 $y = \sin x$ 推导出 $y = \sin ^{-1} x$

为什么 $\sin ^{-1} x$ 不等于 $1 / \sin x$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕直接将 $\sin^{-1}x$ 与 $\frac{1}{\sin x}$ 和 $\csc x$ 进行比较。

涉及知识点

反正弦函数的推导
混淆反正弦函数与正弦函数的倒数

arcsin x 与 $\sin ^{-1} x$ 的含义有何不同？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
方框标注的记号由 $\sin^{-1}x$ 变更为 $\arcsin x$ 。

涉及知识点

反正弦的另一种记法

一个函数要存在反函数，必须满足什么条件？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一条水平线扫过图像，同时文字说明该测试称为水平线检验。

涉及知识点

可逆性的水平线检验

如何通过对换 x 和 y 来求一个函数的反函数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
例题演示了对 $f(x)=\sqrt{x}$ 应用“交换再求解”过程。

涉及知识点

求反函数的一般方法
例题： $\sqrt{x}$ 的反函数

为什么视频说反函数可通过关于直线 $y = x$ 反射得到？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，求反函数即关于直线 $y = x$ 进行反射。
图示
观察依据
一条曲线关于一条虚线对角线进行镜像。

涉及知识点

反函数的图像构造法
反射后的垂直线测试

为什么完整的正弦函数在不限制定义域的情况下无法拥有反函数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，正弦函数 sin x 整体上不存在反函数，因此需对其定义域加以限制。
图示
观察依据
完整的正弦波形无法通过水平线检验，而其中一段分支则可以通过。

涉及知识点

可逆性的水平线测试
限制正弦函数以使其可逆
完整的正弦函数没有反函数。

视频为 $y = \sin$ ⁻¹ x 指定了怎样的定义域和值域？原因是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明了反正弦函数的定义域和值域。
字幕依据
观察依据
文字显示：定义域为 (-1, 1)，值域为 (-π/2, $π/2$ )。

涉及知识点

反正弦函数及其所展示的定义域与值域
推导反正弦函数图像及其显示的定义域与值域

视频如何在单位圆上计算 sin⁻¹(√ $2/2$ )？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者借助单位圆计算反正弦函数在根号二除以二处的函数值。
图示
观察依据
单位圆上标出了角度为 $π/4$ 的点。

涉及知识点

利用单位圆求解反正弦函数
求 sqrt(2)/2 的反正弦值。

为什么反余弦函数采用区间 (0, π)，而非反正弦函数所用的区间？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，反余弦函数的限制条件与反正弦函数不同，并对比了第一、二象限与第四、一象限。
图示
观察依据
小尺寸的单位圆象限示意图对正弦与余弦进行了比较。

涉及知识点

限制余弦函数的定义域，使其可逆。
假设正弦函数与余弦函数采用相同的定义域限制
s120-cr-sine-versus-cosine-restriction

视频中给出的 $y = \cos$ ⁻¹ x 的定义域和值域分别是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者陈述了反余弦函数的定义域和值域。
字幕依据
观察依据
文字显示：定义域为 (-1, 1)，值域为 (0, π)。

涉及知识点

反余弦函数及其所展示的定义域与值域
推导反余弦函数图像及其所显示的定义域与值域

该片段是否完成了 cos⁻¹(-1/2) 这一例题？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者要求计算负二分之一的反余弦值，但片段在解释中途结束。
字幕依据
观察依据
文字显示 $y = \cos$ ⁻¹ (-1/2)。

待核验内容

所提供的片段中未包含答案。

涉及知识点

计算反余弦函数 -1/2 的值（视频片段中未完成）

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 开场口播与动态频道品牌展示；除主题预告外不含任何数学内容。

已覆盖 · 通过直角三角形的比值公式回顾六种三角函数。

已覆盖 · 过渡标题宣布将介绍反三角函数，并引出对反函数概念的复习。

已覆盖 · 运用 $f(x)$ =sqrt(x) 及“逆运算原理”讲解反函数的例题。

已覆盖 · 从 $y=\sin x$ 出发，逐步推导出 $y=\sin ^{-1}x$ 。

已覆盖 · 记号警示：区分反正弦函数与正弦函数的倒数（即余割函数）。

已覆盖 · 并列对比正弦函数与反正弦函数在输入与输出上的概念差异。

已覆盖 · 介绍 arcsin x 作为反三角正弦函数的等价记号。

已覆盖 · 陈述并图示水平线检验法：在图像上用一条移动的水平线进行演示。

已覆盖 · 一般规则：反函数图像由原函数图像关于直线 $y = x$ 反射得到，且反射后的图像必须通过垂直线测试。

已覆盖 · 完整的正弦函数图像被展示，并说明其不满足水平线测试。

已覆盖 · 正弦函数被限制在 (-π/2, $π/2$ ) 上，并通过水平线测试验证，再经反射得到反正弦函数图像。

已覆盖 · 反正弦函数图像被标注，其显示的定义域和值域得到解释。

已覆盖 · 通过单位圆的例题演算得出 sin⁻¹(√ $2/2$ ) = $π/4$ 。

已覆盖 · 余弦函数被限制在 (0, π) 上，并从象限角度与正弦函数的限制区间作对比。

已覆盖 · 反射得到的反余弦函数图像被展示，其定义域为 (-1, 1)，值域为 (0, π)。

已覆盖 · 第二个单位圆示例：cos⁻¹(-1/2)，在视频片段结束前被引入但未求解。

已覆盖 · 利用单位圆计算 $\cos ^{-1}(-1/2)$ 的例题解析。

已覆盖 · 解释正切函数必须限制在区间 (-π/2, $π/2$ ) 内，才能通过水平线检验。

已覆盖 · 通过关于直线 $y = x$ 的反射构造函数 $y = \tan ^{-1} x$ ，并给出其定义域与值域。

已覆盖 · 利用单位圆坐标计算 $\tan ^{-1}$ (√3) 的例题解析。

已覆盖 · 使用计算器求反三角函数值的方法，含弧度制模式提醒。

已覆盖 · 静态理解检测页：列出三个需以角度制求值的反三角表达式。

已覆盖 · 理解检测幻灯片以度为单位呈现了三个反三角函数表达式，但答案尚未显示。

已覆盖 · 红色答案 -30°、90° 和 -45° 分别出现在对应表达式的下方。

已覆盖 · 主持人结束语，叠加显示订阅、Patreon 和邮箱信息；无新数学内容。

已覆盖 · 静态品牌化结束卡片，含导航提示与纯音乐；无新数学内容。

探索视频中的知识

打开视频知识图谱 →

单位圆应用
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「利用单位圆计算 sin⁻¹(√ $2/2$ )」出现在 2:56——为计算一个反正弦值，视频在反正弦函数的值域内寻找正弦值等于给定数的那个角。在单位圆上，角度为 $π/4$ 的点的纵坐标为 √ $2/2$ ，因此 sin⁻¹(√ $2/2$ ) = $π/4$ 。
反函数讲解定位 0:20
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「如何求一个反函数」出现在 0:20——求反函数的方法是：先用 y 表示函数，再交换 x 与 y，最后解出 y。示例 $f(x)=\sqrt{x}$ 变为 $y=\sqrt{x}$ ，再变为 $x=\sqrt{y}$ ，继而变为 $y=x^2$ ，最终得 $f^{-1}(x)=x^2$ 。从概念上讲，反函数逆转了原函数的所有运算。
正切函数讲解定位 4:12
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「为何正切函数必须受限」出现在 4:12——在定义反正切函数之前，需将 $y = \tan x$ 的完整周期图像缩减为单一分支。旁白指出：将 x 限制在 -π/2 与 $π/2$ 之间，可使图像满足水平线检验。

反三角函数

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

六个三角函数

如何求一个反函数

推导反正弦函数

sin⁡−1x\sin ^{-1} xsin−1x 并不等于1/sin⁡x1 / \sin x1/sinx

正弦函数与反正弦函数的输入与输出

反正弦的记号

水平线检验

反函数是关于直线 y=xy = xy=x 的反射

水平线检验法判断可逆性

限制正弦函数以定义反正弦函数

反正弦函数：显示的定义域与值域

利用单位圆计算 sin⁻¹(√2/22/22/2)

限制余弦函数以定义反余弦函数

反余弦函数：显示的定义域与值域

常见误区：误以为正弦函数与余弦函数采用相同的定义域限制

未完成的例题：cos⁻¹(-1/2)

反余弦主值示例：cos⁡−1(−1/2)\cos ^{-1}(-1/2)cos−1(−1/2)

为何正切函数必须受限

通过反射构造反正切函数

主值反正切函数的定义域与值域

利用单位圆求 tan⁡−1\tan ^{-1}tan−1(√3) 的值

用计算器求反三角函数值的方法

理解性检测提示

以度为单位的反三角函数值

详细学习笔记

θ\thetaθ

opp\text{opp}opp

adj\text{adj}adj

hyp\text{hyp}hyp

f(x)f(x)f(x)

x, y

f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

sin⁡\sinsin

sin⁡−1x\sin^{-1} xsin−1x, arcsin⁡x\arcsin xarcsinx

csc⁡x\csc xcscx

y=xy=xy=x

sin⁡x\sin xsinx

由直角三角形比值得出的六个三角函数

求反函数的一般方法

反正弦函数的推导

反正弦的另一种记法

可逆性的水平线检验

反函数的图像构造法

可逆性的水平线测试

反射后的垂直线测试

限制正弦函数以使其可逆

反正弦函数及其所展示的定义域与值域

限制余弦函数的定义域，使其可逆。

反余弦函数及其所展示的定义域与值域

反函数逆转原函数的运算

反正弦函数不是正弦函数的倒数

正弦函数与反正弦函数互换输入与输出的角色

存在反函数的前提是通过水平线检验

完整的正弦函数没有反函数。

受限的正弦分支通过了水平线检验。

反余弦函数源自余弦函数在区间 (0, π) 上的受限定义。

反余弦函数在 -1/2 处的取值。

受限的正切函数满足水平线检验。

反正切主分支的定义域与值域

√3 处的反正切函数值

计算器输出结果可能无法化简为 π 的分数形式

求 f(x)f(x)f(x)=sqrt(x) 的反函数

由 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 推导出 y=sin⁡−1xy = \sin ^{-1} xy=sin−1x

推导反正弦函数图像及其显示的定义域与值域

推导反余弦函数图像及其所显示的定义域与值域

从单位圆推导 cos⁡−1(−1/2)\cos ^{-1}(-1/2)cos−1(−1/2)。

构建主值反正切函数的图像

利用单位圆坐标计算 tan⁡−1\tan ^{-1}tan−1(√3)。

所显示的度数答案如何对应反三角函数的主值

例题：x\sqrt{x}x​ 的反函数

求 sqrt(2)/2 的反正弦值。

计算反余弦函数 -1/2 的值（视频片段中未完成）

计算 y=cos⁡−1(−1/2)y = \cos ^{-1}(-1/2)y=cos−1(−1/2)。

计算 y=tan⁡−1y = \tan ^{-1}y=tan−1(√3)

检查理解程度的提示语

$\sin ^{-1} x$ 并不等于 $1 / \sin x$

反函数是关于直线 $y = x$ 的反射

利用单位圆计算 sin⁻¹(√ $2/2$ )

反余弦主值示例： $\cos ^{-1}(-1/2)$

利用单位圆求 $\tan ^{-1}$ (√3) 的值

$\theta$

$\text{opp}$

$\text{adj}$

$\text{hyp}$

$f(x)$

$f^{-1}(x)$

$\sin$

$\sin^{-1} x$ , $\arcsin x$

$\csc x$

$y=x$

$\sin x$

求 $f(x)$ =sqrt(x) 的反函数

由 $y = \sin x$ 推导出 $y = \sin ^{-1} x$

从单位圆推导 $\cos ^{-1}(-1/2)$ 。

利用单位圆坐标计算 $\tan ^{-1}$ (√3)。

例题： $\sqrt{x}$ 的反函数

计算 $y = \cos ^{-1}(-1/2)$ 。

计算 $y = \tan ^{-1}$ (√3)

误以为反正切函数的值域包含 ± $π/2$

反三角正弦函数是如何从 $y = \sin x$ 推导出来的？

为什么 $\sin ^{-1} x$ 不等于 $1 / \sin x$ ？

arcsin x 与 $\sin ^{-1} x$ 的含义有何不同？

为什么视频说反函数可通过关于直线 $y = x$ 反射得到？

视频为 $y = \sin$ ⁻¹ x 指定了怎样的定义域和值域？原因是什么？

视频如何在单位圆上计算 sin⁻¹(√ $2/2$ )？

视频中给出的 $y = \cos$ ⁻¹ x 的定义域和值域分别是什么？