例题讲解：曲线弧长 | 定积分的应用 | AP 微积分 BC | 可汗学院

1. 公式
   观察依据

   $y = x^{3/2}$

y

表示函数值的因变量。

实数

1. 公式
   观察依据

   $y = x^{3/2}$

x

自变量。

实数

1. 公式
   观察依据

   $f(x) = x^{3/2}$

$f(x)$

用于计算弧长的具体函数。

实数

1. 公式
   观察依据

   f'(x) = $\frac{3}{2}x^{1/2}$

f'(x)

函数 $f(x)$ 的导数。

实数

1. 公式
   观察依据

   $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

$\int_{a}^{b}$

积分上下限分别为 a 和 b 的定积分算子。

实数

1. 公式
   观察依据

   $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

a

积分下限。

实数

1. 公式
   观察依据

   $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

b

积分上限。

实数

1. 公式
   观察依据

   $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

dx

表示对 x 进行积分的微分符号。

实数

1. 公式
   观察依据

   白板上显示 $f(x) = x^{3/2}$。

$f(x)$

其图像用于弧长积分的函数。

$x \ge 0$

1. 公式
   观察依据

   白板上显示 f'(x) = $\frac{3}{2}x^{1/2}$。

f'(x)

$f(x)$ 的导数，用于弧长公式内部。

$x \ge 0$

1. 公式
   观察依据

   白板上显示 (f'(x))^$2 = \frac{9}{4}x$。

(f'(x))^2

导数的平方，代入弧长积分被积表达式中。

$x \ge 0$

1. 公式
   观察依据

   教师写下 $u = 1 + \frac{9}{4}x$。

2. 声音
   观察依据

   他说：“如果我说 u 等于 1 加上 9 除以 4 乘以 x。”

u

弧长积分中根号下表达式的换元变量。

在变换后的区间上，$u \ge 1$

1. 公式
   观察依据

   弧长 = $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

用于计算函数 $f(x)$ 在区间 [a, b] 上所定义曲线长度的公式。

1. $f(x)$ 必须在 [a, b] 上连续

2. f'(x) 必须在 [a, b] 上连续

1. 公式
   观察依据

   f'(x) = $\frac{3}{2}x^{1/2}$

用于求形如 $x^n$ 的函数导数的法则。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示弧长 = $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}$\,dx。

对于区间 [a,b] 上由 $y=f(x)$ 给出的曲线，其弧长通过积分 $\sqrt{1 加上 f 的导数的平方}$ 来计算。

1. f 在积分区间上可导

2. 该曲线写作 $y=f(x)$

1. 声音
   观察依据

   教师说："直接使用换元法，即 u 换元法。"

2. 公式
   观察依据

   他写出 $u = 1 + \frac{9}{4}x$，然后 $\frac{du}{dx}=\frac{9}{4}$，接着 du=$\frac{9}{4}dx$，再得 $dx=\frac{4}{9}$du。

为计算弧长积分，将根号内的表达式替换为新变量 u，将微分 dx 重写为 du 的形式，并将积分限从 x 值转换为 u 值。

1. 被积函数包含一个可通过换元简化复合表达式

2. 对于定积分，积分限也必须相应改变

1. 函数图像 $y=f(x)$ 的弧长公式

1. 声音
   观察依据

   他说：“然后我们只需改变积分的上下限。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$x = 0 \to u = 1$，以及 $x = 32/9 \to u = 9$。

在定积分中使用 u-换元法时，每个原始的 x 上下限均代入 $u = 1 + 9/4x$，以得到对应的 u 上下限。

1. 换元函数 $u(x)$ 已知

2. 原积分为定积分

1. 定积分的 u 换元法

1. 声音
   观察依据

   他说，$u^{1/2}$ 的原函数是 $u^{3/2}$ 除以 $3/2$，即乘以 $2/3$。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=1}^{u=9}$。

被积函数 $\sqrt{u} = u^{1/2}$ 利用幂函数积分法则进行积分，结果为 $\frac{2}{3}u^{3/2}$。

1. 为使实值平方根形式有意义，需满足 $u \ge 0$

1. 定积分的 u 换元法

1. 声音
   观察依据

   他说：“我们已知如何在此处应用微积分基本定理（或微积分第二基本定理）来计算该定积分。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上计算：$\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=1}^{u=9}$。

求得原函数后，定积分的值等于原函数在上限处的取值减去其在下限处的取值。

1. 已求得一个原函数

2. 该积分为定积分

1. 幂函数的原函数

1. 公式
   观察依据

   黑板可见部分已包含 $f(x) = x^{3/2}$、f'(x) = $\frac{3}{2}x^{1/2}$、(f'(x))^$2 = \frac{9}{4}x$，以及变换后的积分 $\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}$\,du。

1. 本片段中未口头陈述或书写一般弧长公式本身；仅展示了其特化后的结果。

本片段处理曲线 $y = x^{3/2}$ 的弧长被积函数。黑板显示其导数为 f'(x) = $\frac{3}{2}x^{1/2}$，故其平方为 $\frac{9}{4}x$。因此，剩余积分由 $\sqrt{1+\frac{9}{4}x}$ 构成，并通过变量代换改写为关于 u 的积分。

1. 该函数为 $f(x) = x^{3/2}$。

2. 所计算的区间为 $x \in [0,32/9]$。

3. 视频片段从完整设定已写在黑板上之后开始。

1. $f(x)$
2. f'(x)
3. (f'(x))^2

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$u=1+\frac{9}{4}x$，$\frac{du}{dx}=\frac{9}{4}$，du=$\frac{9}{4}dx$，$dx=\frac{4}{9}$du，以及端点转换：$x=0\to u=1$，$x=\frac{32}{9}\to u=9$。

通过引入新变量 u（令其等于根号内的表达式）来简化积分。对其求导得 du=$\frac{9}{4}dx$，因此 $dx=\frac{4}{9}$du。原积分的 x 型上下限被转换为 u 型上下限，从而得到一个完全关于 u 的定积分。

1. 当被开方数 $1+\frac{9}{4}x$ 被替换为单一变量时使用。

2. 微分和积分限都必须一致地变换。

1. 函数 $f(x) = x^{3/2}$ 对应的弧长被积函数。
2. u
3. $\frac{du}{dx}$
4. dx
5. $x=0$,\ $x=\frac{32}{9}$
6. $u=1$,\ $u=9$

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=1}^{u=9}$。

代换后，被积函数变为 √$u = u^{1/2}$。所展示的原函数为 $\frac{2}{3}u^{3/2}$，这是对 $u^{1/2}$ 应用幂函数积分法则所得结果。

1. 应用于代换后的被积函数 √u。

2. 作为从 $u=1$ 到 $u=9$ 的定积分进行计算。

1. 代换 $u=1+\frac{9}{4}x$
2. $\sqrt{u}$
3. $\frac{2}{3}u^{3/2}$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“实际上，我们直接把三分之二提出来，这样更简便。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$。

当原函数在两个端点处分别计算完毕后，每一项中均出现相同的系数 $\frac{2}{3}$。主讲人明确将其提出，再乘以外部常数 $\frac{4}{9}$。

1. 两个括号内的项均含有相同因子 $\frac{2}{3}$。

2. 此步骤属于算术化简，并非新的微积分定理。

1. √u 的原函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上先显示 $9^{3/2}$ 和 $1^{3/2}$，下一行变为 $\frac{8}{27}\cdot 26$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“然后括号内将是27减去1……所以27减去1就等于26。”

上限端点贡献 $9^{3/2}=27$，下限端点贡献 $1^{3/2}=1$。它们的差为 26。再结合 $\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，该表达式化为 $\frac{8}{27}\cdot 26$。

1. 使用精确的整数幂，而非小数近似。

2. 在提取公因子 $\frac{2}{3}$ 后应用。

1. 提取公因系数 $\frac{2}{3}$

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$\int_0^{32/9}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}$\,dx，即本例中特化的弧长积分。

对于 $f(x) = x^{3/2}$，其在区间 [0, $32/9$] 上的弧长积分化为 $\int_0^{32/9}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}$\,dx。

1. $f(x) = x^{3/2}$

2. f'(x) = $\frac{3}{2}x^{1/2}$

3. (f'(x))^{2} = $\frac{9}{4}x$

针对黑板上所示的具体函数与区间。

1. 公式
   观察依据

   黑板将该积分改写为 $\frac{4}{9}\int_{u=1}^{u=9}\sqrt{u}$\,du。

2. 声音
   观察依据

   他指出：对 u 从 1 到 9 的平方根函数作定积分，且将 dx 替换为 $\frac{4}{9}$du。

利用 $u = 1 + \frac{9}{4}x$，原定积分等于 $\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}$\,du。

1. $u = 1 + \frac{9}{4}x$

2. $dx = \frac{4}{9}$du

3. $x = 0$ 对应 $u = 1$

4. $x = \frac{32}{9}$ 对应 $u = 9$

针对本例中所展示的定积分。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2} - \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$。

2. 声音
   观察依据

   他计算得 $9^{3/2} = 27$，并指出下一项为 1。

化简后的表达式结果为 $\frac{208}{27}$。

1. $9^{3/2} = 27$

2. $1^{3/2} = 1$

针对本例中的这个具体定积分。

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $\frac{4}{9}\int_{u=1}^{u=9}\sqrt{u}$\,du。

1. 该片段未用文字重述原始弧长公式，仅展示已变换后的积分形式。

对于黑板上的例题，弧长积分已被重写为 $\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}$\,du，其中 $u = 1+\frac{9}{4}x$。

1. $f(x)=x^{3/2}$。

2. (f'(x))^$2=\frac{9}{4}x$。

3. 原 x 区间为 [0,$32/9$]。

4. $u=1+\frac{9}{4}x$，且 $dx=\frac{4}{9}$du。

针对黑板上所示的特定定积分，其 x 的取值范围为 [0,$32/9$]。

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=1}^{u=9}$，随后显示 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$。

代入后的积分结果为 $\frac{4}{9}\left(\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right)$。

1. 代入后的被积函数为 $\sqrt{u}=u^{1/2}$。

2. 一个原函数是 $\frac{2}{3}u^{3/2}$。

3. 积分限为 $u=1$ 和 $u=9$。

针对黑板上显示的定积分。

1. 公式
   观察依据

   黑板依次显示 $\frac{8}{27}\cdot 26$，然后框出 $\frac{208}{27}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人总结道：“所以结果是 208 除以 27。我们完成了。”

黑板上显示的定积分的值为 $\frac{208}{27}$。

1. 前述代换与求原函数步骤是正确的。

2. $9^{3/2}=27$ 且 $1^{3/2}=1$。

3. $8\cdot 26=208$。

针对黑板上的具体例题。

1. 公式
   观察依据

   $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$

1. 公式

   $$f(x) = x^{3/2}$$
   解释

   识别给定的函数。

   步骤依据

   题目中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$$
   解释

   使用幂函数求导法则求该函数的导数。

   步骤依据

   幂函数求导法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(f'(x))^2 = \frac{9}{4}x$$
   解释

   对导数进行平方。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$$
   解释

   将导数的平方以及积分上下限代入弧长公式。

   步骤依据

   弧长公式。

   视频直接表达

求弧长所需的定积分表达为 $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上依次写出 $u=1+\frac{9}{4}x$，$\frac{du}{dx}=\frac{9}{4}$，du=$\frac{9}{4}dx$，$dx=\frac{4}{9}$du。

2. 声音
   观察依据

   教师逐条讲解每一步代数变形。

1. 公式

   $$u=1+\frac{9}{4}x$$
   解释

   令 u 为根号内的表达式。

   步骤依据

   这将 $\sqrt{1+\frac{9}{4}x}$ 简化为 $\sqrt{u}$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{du}{dx}=\frac{9}{4}$$
   解释

   对 u 关于 x 求导。

   步骤依据

   1 的导数是 0，而 $\frac{9}{4}x$ 的导数是 $\frac{9}{4}$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$du=\frac{9}{4}dx$$
   解释

   将导数关系改写为微分形式。

   步骤依据

   在等式 $\frac{du}{dx}=\frac{9}{4}$ 两边同乘 dx。

   视频直接表达
4. 公式

   $$dx=\frac{4}{9}du$$
   解释

   解出 dx，以便在积分中用其替换 dx。

   步骤依据

   在等式两边同乘 $\frac{4}{9}$。

   视频直接表达

原关于 x 的积分可改写为关于 u 的积分，其中 $dx=\frac{4}{9}$du。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：当 $x=0$ 时，$u=1$；当 $x=\frac{32}{9}$ 时，$u=9$。

2. 声音
   观察依据

   他解释为何选取该上界 x 值，使得对应的 u 界为 9。

1. 公式

   $$x=0 \Rightarrow u=1+\frac{9}{4}(0)=1$$
   解释

   将下限 x 值代入换元公式。

   步骤依据

   直接计算 $u(x)$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=\frac{32}{9} \Rightarrow u=1+\frac{9}{4}\cdot\frac{32}{9}=1+8=9$$
   解释

   将上限 x 值代入换元公式。

   步骤依据

   直接计算 $u(x)$。

   视频直接表达

定积分的积分限由 x 上的 [0,$32/9$] 变为 u 上的 [1,9]。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\frac{4}{9}\int_{u=1}^{u=9}\sqrt{u}$\,du，接着是 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{u=1}^{u=9}$，最后是 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$。

2. 声音
   观察依据

   他明确调用微积分第二基本定理，并计算 $9^{3/2}=27$。

1. 公式

   $$\int_0^{32/9}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx=\frac{4}{9}\int_1^9\sqrt{u}\,du$$
   解释

   利用换元法替换被积函数与微分，并用变换后的上下限替换积分限。

   步骤依据

   定积分的 u-换元法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sqrt{u}=u^{1/2}$$
   解释

   将平方根改写为分数指数形式。

   步骤依据

   平方根幂的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}$$
   解释

   求 $u^{1/2}$ 的一个原函数。

   步骤依据

   幂函数的积分法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^9$$
   解释

   对定积分应用微积分基本定理。

   步骤依据

   将原函数分别代入上限和下限并相减。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{4}{9}\left(\frac{2}{3}\cdot 27-\frac{2}{3}\cdot 1\right)$$
   解释

   计算上下限处的幂值。

   步骤依据

   $9^{3/2}=27$ 且 $1^{3/2}=1$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}(27-1)=\frac{8}{27}\cdot 26=\frac{208}{27}$$
   解释

   化简算术运算，得到最终的精确值。

   步骤依据

   代数化简。

   依据视频推导

弧长积分的值为 $\frac{208}{27}$。

1. 公式
   观察依据

   黑板在视频片段开始时已预先写出代入后的积分和原函数。

2. 声音
   观察依据

   主讲人叙述了提取公因子 $\frac{2}{3}$、计算 $27-1=26$，再将 $8\cdot 26$ 相乘得到 208 的过程。

3. 图示
   观察依据

   光标在每一行新内容书写时，指向正在化简的项。

1. 从一般弧长公式推导至 $\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}$\,du 的前期步骤未在本片段中口述；仅作为黑板预写内容可见。

1. 公式

   $$\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}\,du$$
   解释

   从黑板上已写出的代入后定积分出发。

   步骤依据

   视频片段开始时黑板的可见状态。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{9}$$
   解释

   用原函数替换被积函数，并保留关于 u 的积分上下限。

   步骤依据

   幂函数积分法则应用于 $u^{1/2}$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$$
   解释

   在上限和下限处计算原函数的值。

   步骤依据

   定积分的微积分基本定理。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left[9^{3/2}-1^{3/2}\right]$$
   解释

   从括号内的两项中提取公因数 $\frac{2}{3}$。

   步骤依据

   说话人明确指出：“我们直接把三分之二提出来。”

   视频直接表达
5. 公式

   $$=\frac{8}{27}\left[27-1\right]$$
   解释

   计算 $\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，并求出 $9^{3/2}=27$ 和 $1^{3/2}=1$。

   步骤依据

   算术化简与精确幂运算。

   视频直接表达
6. 公式

   $$=\frac{8}{27}\cdot 26$$
   解释

   在括号内作减法。

   步骤依据

   说话人说：“27 减去 1 就是 26。”

   视频直接表达
7. 公式

   $$=\frac{208}{27}$$
   解释

   将分子 8 乘以 26。

   步骤依据

   说话人将 $8\cdot 26$ 拆解为 $160+48=208$。

   视频直接表达