二元函数极限演示

该极限不存在，因为函数沿不同路径趋近原点时会趋向不同的值。epsilon-delta 定义要求对每个附近的定义域点进行统一控制，这意味着所有路径必须产生相同的极限。

适用条件：函数为 $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$。；极限在 $(x,y) \to (0,0)$ 时评估。；定义域排除原点 $(0,0)$。

沿直线 $y=kx$，代入函数得到 $f(x,kx) = \frac{k}{1+k^2}$（对于 $x \neq 0$）。该值取决于斜率 $k$，且与 $x$ 无关。

适用条件：函数为 $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$。；路径为直线 $y=kx$。；$x \neq 0$。

如果定义域允许从两侧趋近，且左极限和右极限都存在并相等，则一元双侧极限存在。这种一致性确保了无论趋近方向如何，函数都趋向同一个值。

适用条件：定义域允许从该点的两侧趋近。；左极限 $\lim_{x\to0^-}f(x)$ 存在。；右极限 $\lim_{x\to0^+}f(x)$ 存在。；左极限和右极限等于同一个值 $A$。

epsilon-delta 定义要求对于每一个 $\varepsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$，使得足够接近但与原点不同的每个定义域点都给出接近 $A$ 的输出。这意味着对每个附近的定义域点进行统一控制，而不仅仅是检查几条路径。

适用条件：输入是平面中的一个点 $(x,y)$。；极限在 $(x,y) \to (0,0)$ 时评估。；函数在包含原点去心邻域的定义域上有定义。