导数｜The Organic Chemistry Tutor

必须约去 $h$，因为直接将 $h=0$ 代入差商 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 会导致不定式 $0/0$。代数简化（如多项式的展开和约分，或根式的有理化）消除了 $h=0$ 处的奇点，从而允许通过直接代入简化后的表达式来计算极限。

适用条件：函数 $f$ 在 $x$ 处可导。；当 $h=0$ 时，差商最初产生 $0/0$ 形式。；代数操作对非零 $h$ 有效。

对于 $f(x)=\sqrt{x}$，导数的极限定义在 $x=0$ 处无法产生有限导数。虽然公式对 $x>0$ 给出 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$，但代入 $x=0$ 会导致除以零，表明该点切线的斜率是垂直的，导数未定义（无穷大）。

适用条件：$f(x)=\sqrt{x}$。；评估点是 $x=0$。；极限取 $h \to 0^+$（因为定义域是 $x \ge 0$）。

要求 $f(x)=x^2$ 的导数，将其代入差商得到 $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$。展开分子得到 $2xh+h^2$。

适用条件：$f(x)=x^2$。；在约分步骤中 $h$ 是非零的。；简化后取 $h \to 0$ 的极限。

要求 $f(x)=\sqrt{x}$ 的导数，将其代入差商 $\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$。将分子和分母同时乘以共轭表达式 $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ 以使分子有理化。

适用条件：$f(x)=\sqrt{x}$。；为了使导数为有限值，$x > 0$。；在代数操作期间 $h$ 是非零的。

当有限极限存在时，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。我们不直接将 $h=0$ 代入商中；而是计算其极限。

适用条件：有限极限必须存在。；$h$ 趋近于零。