整数线性规划 - 二进制（0-1）变量1，固定成本

1. 公式
   观察依据

   若选择项目 i，则 $X_i = 1$；否则 $X_i = 0$

$X_i$

表示是否选择项目 i 的二元决策变量

i 属于集合 {1, 2, 3, 4}

1. 公式
   观察依据

   最大化 $217X_1 + 125X_2 + 88X_3 + 109X_4$

$217X_1 + 125X_2 + 88X_3 + 109X_4$

所选项目的总净收益

$X_i$ 属于集合 {0, 1}

1. 公式
   观察依据

   $58X_1 + 44X_2 + 26X_3 + 23X_4 \le 120$

$58X_1 + 44X_2 + 26X_3 + 23X_4 \le 120$

一月份预算约束

$X_i$ 属于集合 {0, 1}

1. 公式
   观察依据

   $25X_1 + 29X_2 + 13X_3 + 17X_4 \le 80$

$25X_1 + 29X_2 + 13X_3 + 17X_4 \le 80$

二月份预算约束

$X_i$ 属于集合 {0, 1}

1. 公式
   观察依据

   $43X_1 + 25X_2 + 23X_3 + 29X_4 \le 95$

$43X_1 + 25X_2 + 23X_3 + 29X_4 \le 95$

三月预算约束

$X_i$ 属于集合 {0, 1}

1. 公式
   观察依据

   X下标1等于1，X下标2等于0，X下标3等于1，X下标4等于1

$X_1=1$, $X_2=0$, $X_3=1$, $X_4=1$

项目选择问题的最优解

$X_i$ 属于集合 {0, 1}

1. 公式
   观察依据

   最优收益 = 414

414

最优解所能获得的最大净收益

$X_i$ 属于集合 {0, 1}

1. 公式
   观察依据

   屏幕定义：$X_i$ = 第 i 台机器生产的单位数量（$i = 1$, 2, 3）。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“因此，对于生产的单位数量，我们写作 $X_i$ 等于第 i 台机器生产的单位数量。”

$X_i$

第 i 台机器生产的单位数量。

连续型非负生产量；具体实例为 $X_1$、$X_2$、$X_3$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕定义：$Y_i = 1$（若使用第 i 台机器），否则为 0（$i = 1$, 2, 3）。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“对于机器一，我们可以写 $Y_1$ 等于一（当使用机器一时），否则为零。”

$Y_i$

二元指示变量，表示第 i 台机器是否被使用。

取值于 {0,1} 的二元变量；具体实例为 $Y_1$、$Y_2$、$Y_3$。

1. 公式
   观察依据

   屏幕目标函数：最小化 $2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3 + 300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员朗读同一表达式，并解释：可变成本乘以生产单位数量，固定成本乘以对应的 0-1 变量。

$2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3 + 300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$

需最小化的总成本，包含可变生产成本与固定启动成本。

关于决策变量 $X_i$ 和 $Y_i$ 的线性目标函数。

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示约束：$X_1 + X_2 + X_3 = 1000$。

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“此处有一个订单，需供应1000个单位。因此我们写出 $X_1 + X_2 + X_3 = 1000$。”

$X_1 + X_2 + X_3 = 1000$

需求满足约束：要求所有机器的总产量恰好为1000个单位。

关于总产量的等式约束。

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示约束：$X_1 \le 400$，$X_2 \le 550$，$X_3 \le 600$。

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“通常我们直接写作 $X_1$ 小于或等于 400，$X_2$ 小于或等于 550，以及 $X_3$ 小于或等于 600。”

$X_i$ <= capacity_i

在将产量与二元使用变量关联之前，对各台机器产量施加的产能上限限制。

针对单台机器输出量的不等式约束。

1. 声音
   观察依据

   当面临‘是’或‘否’的情形时，采用二元变量，用于表示是否做出某项选择。

二元变量用于建模‘是’或‘否’的决策情形，例如是否选择某个项目。

1. 用于整数线性规划

2. 适用于选择类问题

1. 声音
   观察依据

   例如，假设我们需考虑四个不同的项目，对每个项目，我们只能选择实施或不实施。

项目选择问题涉及在二元变量和约束条件下，决定实施哪些项目。

1. 各项目具有相应的成本与收益

2. 存在预算约束

1. 二元变量定义

1. 声音
   观察依据

   现在我们来建模一个固定成本问题。假设一家小型公司接到一份订单，需供应1000单位的产品。

固定成本问题旨在满足生产需求的前提下，最小化总成本，同时考虑固定成本与可变成本。

1. 生产能力约束

2. 每台机器的固定成本与可变成本

1. 二元变量定义

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示：$Y_i = 1$（若机器 i 被启用），否则为 0（$i = 1$, 2, 3）。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释：由于固定成本仅在机器被启用时才发生，因此需定义另一组决策变量。

引入二元变量 $Y_i$，用于指示机器 i 是否被启用：当机器处于运行状态时，$Y_i$ 取值为1；当机器未启用时，$Y_i$ 取值为0。这使得固定成本可有条件地纳入目标函数。

1. 当固定成本与资源启用相关时使用。

2. 在生产规划模型中，按每台机器或每个设施分别应用。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示：Min $2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3 + 300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$。

2. 声音
   观察依据

   旁白说明这是用于最小化总成本的目标函数。

该目标函数将总成本最小化，其构成包括可变生产成本与固定启动成本之和。可变成本系数乘以各台机器的产量单位数，固定成本系数乘以对应的二元启用指示变量。

1. 同时需要连续型生产变量 $X_i$ 和二元启用变量 $Y_i$。

2. 仅当 $Y_i = 1$ 时，才计入固定成本。

1. 二元（0–1）决策变量

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示：$X_1 + X_2 + X_3 = 1000$。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释此处使用等式约束，是因为订单必须被精确满足。

所有机器的总产量必须等于客户订单的 1000 个单位。此处采用等式约束而非不等式约束，是因为问题要求恰好满足全部需求。

1. 适用于订单数量必须被精确满足的情形。

2. 假设不允许超产或欠产。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示：$X_1$ <= 400, $X_2$ <= 550, $X_3$ <= 600。

2. 声音
   观察依据

   讲解员先将这些约束介绍为常规产能约束，再讨论它们与固定成本的相互作用。

每台机器都有一个最大生产能力，限制了可在该机器上生产的单位数量。这些约束确保没有任何一台机器超出其物理或运行极限。

1. 适用于连续型生产变量 $X_i$。

2. 尚未考虑该机器是否实际被启用。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片指出：若使用机器i，则$Y_i = 1$；否则$Y_i = 0$。

2. 公式
   观察依据

   随后幻灯片补充$Y_i = 0-1$。

3. 声音
   观察依据

   讲解员说明了两种情形：$Y_1=1$与$Y_1=0$。

该模型为每台机器分别设置一个0-1变量，用于记录该机器是否被启用。取值1表示启用该机器，取值0表示不启用该机器。

1. 每台机器对应一个指示变量。

2. 该变量被限制为二进制取值。

1. 公式
   观察依据

   所显示的约束条件为 $X_1 \le 400Y_1$、$X_2 \le 550Y_2$、$X_3 \le 600Y_3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，当$Y_1$等于1时，最多可在机器400上生产1；而当$Y_1$ 等于 0，应生产零单位。

3. 动画
   观察依据

   $Y_1$ 这一项被高亮显示，随后分别代入 1 和 0，以展示由此得到的两个上界。

每项产量均以上限形式受限于其对应机器的产能乘以相应的二进制指示变量。这一单个不等式同时实现了两种约束：当机器被启用时，强制满足产能上限；当机器未被启用时，强制产量为零。

1. $C_i$ 表示机器 i 的产能。

2. $Y_i$ 是二进制变量。

3. $X_i$ 是非负变量。

1. 表示机器是否启用的二元指示变量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“接着我们可以把变量移到约束条件的左侧。”

2. 公式
   观察依据

   约束条件被重写为 $X_1 - 400Y_1 \le 0$，$X_2 - 550Y_2 \le 0$，$X_3 - 600Y_3 \le 0$。

关联不等式经过代数整理，使所有决策变量均出现在左侧，右侧化为 0。这使得模型呈现标准的线性规划表达形式。

1. 等价于 $X_i \le C$_iY_i，方法是在不等式两边同时减去 C_iY_i。

1. 将产量与机器启用状态关联起来

1. 公式
   观察依据

   幻灯片增加了 $X_i \ge 0$ 和 $Y_i = 0-1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者要求说明：$X_i$ 应为非负变量，$Y_i$ 应为二进制变量。

产量变量被限制为非负，而启用变量被限制为二进制的 0-1 变量。

1. 适用于模型中每一个机器下标 i。

1. 表示机器是否启用的二元指示变量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $X_1=0$，$X_2=550$，$X_3=450$，以及 $Y_1=0$，$Y_2=1$，$Y_3=1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者读出相同的解值，并指出仅应启用机器 2 和 3。

整数线性规划求解完成后，模型返回各产品的生产数量以及各台机器的使用指示变量。报告的解激活了机器2和3，使机器1处于未使用状态，并将550个单位的产量分配给机器2，将450个单位的产量分配给机器3。

1. 这是幻灯片中所展示的具体数值实例对应的解。

2. 视频并未展示求得该解的求解器运算步骤。

1. 将产量与机器启用状态关联起来
2. 决策变量的定义域限制

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：“每当固定成本与最低需求或最大产能相关联时，我们通常将产能乘以对应的二元变量。”

2. 公式
   观察依据

   屏幕上以概念方式展示标准产能约束被替换为涉及 $Y_i$ 的关联型约束。

当存在固定成本时，产能约束必须与二元启用变量关联，从而确保仅当机器被启用时才允许进行生产。

1. 使用机器会产生固定成本。

2. 生产变量 $X_i$ 表示在各台机器上生产的单位数量。

3. 二元变量 $Y_i$ 表示机器是否被启用。

对集合 {1,2,3} 中的每台机器 i。

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确解释了机器1对应约束在两种二元取值情况下的含义。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的不等式为 $X_1 \le 400Y_1$。

3. 动画
   观察依据

   $Y_1=1$ 与 $Y_1=0$ 的代入过程以可视化方式呈现。

对于机器 1，约束条件 $X_1 \le 400Y_1$ 允许最多生产 400 当 $Y_1 = 1$ 且强制 $X_1 = 0$ 当 $Y_1=0$，假设 $X_1 \ge 0$。

1. $Y_1$ 属于集合 {0,1}。

2. $X_1$ 大于等于 0。

3. 容量常数为400。

围绕二元变量 $Y_1$ 的取值进行分情况分析。

1. 公式
   观察依据

   显示的解为 $Y_1=0$，$Y_2=1$，$Y_3=1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这表明仅应使用机器2和机器3。

所报告的解使用了机器2和机器3，而未使用机器1。

1. 显示的解的数值被视作求解该模型所得的结果。

特指屏幕上展示的这个数值示例。

1. 声音
   观察依据

   本例中，我们的目标是最大化收益，即$217X_1 + 125X_2 + 88X_3 + 109X_4$。

1. 公式

   $$\text{Maximize } 217X_1 + 125X_2 + 88X_3 + 109X_4$$
   解释

   以净收益最大化为目标函数

   步骤依据

   依据各项目的净收益

   视频直接表达
2. 公式

   $$58X_1 + 44X_2 + 26X_3 + 23X_4 \le 120$$
   解释

   一月份预算约束

   步骤依据

   总支出不得超过可用资金

   视频直接表达
3. 公式

   $$25X_1 + 29X_2 + 13X_3 + 17X_4 \le 80$$
   解释

   二月份预算约束

   步骤依据

   总支出不得超过可用资金

   视频直接表达
4. 公式

   $$43X_1 + 25X_2 + 23X_3 + 29X_4 \le 95$$
   解释

   三月份预算约束

   步骤依据

   总支出不得超过可用资金

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_i \in \{0, 1\}$$
   解释

   二元约束

   步骤依据

   每个项目要么被选中，要么不被选中

   视频直接表达

最优解为 $X_1=1$，$X_2=0$，$X_3=1$，$X_4=1$，此时最大净收益为414。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上逐项显示目标函数，下划线分别标注为“可变成本”和“固定成本”。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释可变成本乘以产量、固定成本乘以0-1变量的过程。

1. 公式

   $$\text{Variable cost part: } 2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3$$
   解释

   将每台机器的单位可变成本乘以该机器生产的单位数量。

   步骤依据

   可变成本定义为单位成本乘以产量。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Fixed cost part: } 300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$$
   解释

   将每台机器的固定成本乘以其二元启用指示变量。

   步骤依据

   仅当机器被启用时（$Y_i = 1$），才产生固定成本。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\min\; (2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3) + (300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3)$$
   解释

   将可变成本与固定成本两部分相加，构成待最小化的总成本。

   步骤依据

   总成本等于可变成本加上固定成本。

   视频直接表达

目标函数正确地结合了条件固定成本和比例可变成本，使用了二元变量和连续变量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将简单的产能约束与因固定成本而需将其与二元变量关联的必要性进行对比。

2. 公式
   观察依据

   在解释修改之前，先展示了标准约束 $X_i$ <= capacity_i。

1. 最终修改后的约束在片段结束前未完全显示。

1. 公式

   $$X_1 \leq 400,\; X_2 \leq 550,\; X_3 \leq 600$$
   解释

   从基本产能限制出发，假设各台机器最多可达到其最大产能。

   步骤依据

   每台机器的物理产能。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{But if } Y_i = 0, \text{ then } X_i \text{ must be } 0$$
   解释

   意识到未启用的机器不应产生任何产出，尽管简单约束允许这种情况发生。

   步骤依据

   固定成本意味着存在启用决策；未启用的机器不能产生输出。

   依据视频推导
3. 公式

   $$X_i \leq C_i Y_i \quad \text{for } i=1,2,3$$
   解释

   将每个产能上限乘以对应的二元变量，以强制建立逻辑关联。

   步骤依据

   若 $Y_i=0$，则右侧变为 0，迫使 $X_i=0$；若 $Y_i=1$，则右侧恢复原始产能 $C_i$。

   依据视频推导

产能约束必须重新表述为 $X_i \le C_i Y_i$，以体现生产量与机器启用之间的逻辑依赖关系。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示约束式 $X_1 \le 400Y_1$。

2. 动画
   观察依据

   在高亮表达式中，$Y_1$先被替换为1，再被替换为0。

3. 声音
   观察依据

   讲解者解释每种情形的含义。

1. 公式

   $$X_1 \le 400Y_1$$
   解释

   从机器1的关联约束出发。

   步骤依据

   幻灯片上显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$Y_1 = 1 \Rightarrow X_1 \le 400(1)=400$$
   解释

   如果使用机器1，则约束变为满容量400。

   步骤依据

   将二进制值 $Y_1=1$代入该不等式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$Y_1 = 0 \Rightarrow X_1 \le 400(0)=0$$
   解释

   如果不使用机器1，则约束变为0。

   步骤依据

   将二进制值 $Y_1=0$代入该不等式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_1 \ge 0 \text{ 且 } X_1 \le 0 \Rightarrow X_1=0$$
   解释

   结合非负性，第二种情况迫使机器1上的产量恰好为零。

   步骤依据

   将显示的定义域限制 $X_i \ge 0$与代入后的不等式相结合。

   依据视频推导

单个不等式 $X_1 \le 400Y_1$同时编码了机器启用时的容量限制和停用时的关停条件。

1. 公式
   观察依据

   约束由 $X_i \le C$_iY_i 变为 $X_i - C$_iY_i ≤ 0。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，需将变量移至约束条件的左侧。

1. 公式

   $$X_1 \le 400Y_1,\; X_2 \le 550Y_2,\; X_3 \le 600Y_3$$
   解释

   从乘积形式的产能链接不等式出发。

   步骤依据

   重排前显示的内容。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_1 - 400Y_1 \le 0,\; X_2 - 550Y_2 \le 0,\; X_3 - 600Y_3 \le 0$$
   解释

   将每个不等式的右侧项从两边同时减去。

   步骤依据

   初等代数中，将某一项移至不等式另一侧时，不等号的方向保持不变。

   视频直接表达

该模型被重写为标准形式，所有决策变量位于左侧，0位于右侧。

1. 声音
   观察依据

   例如，假设我们需考虑四个不同的项目。

在预算约束下选择项目以最大化净收益。

1. 四个项目及其对应的成本与收益

2. 月度预算约束

最大化净收益

1. 公式

   $$\text{Maximize } 217X_1 + 125X_2 + 88X_3 + 109X_4$$
   解释

   目标函数

   步骤依据

   基于净收益

   视频直接表达
2. 公式

   $$58X_1 + 44X_2 + 26X_3 + 23X_4 \le 120$$
   解释

   一月份约束

   步骤依据

   预算上限

   视频直接表达
3. 公式

   $$25X_1 + 29X_2 + 13X_3 + 17X_4 \le 80$$
   解释

   二月份约束

   步骤依据

   预算限制

   视频直接表达
4. 公式

   $$43X_1 + 25X_2 + 23X_3 + 29X_4 \le 95$$
   解释

   三月约束

   步骤依据

   预算限制

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_i \in \{0, 1\}$$
   解释

   二元约束

   步骤依据

   选择决策

   视频直接表达

$X_1=1$，$X_2=0$，$X_3=1$，$X_4=1$，最大净收益为414。

该解满足所有约束条件，并使目标函数达到最大值。

1. 图示
   观察依据

   表格列出了三台机器的可变成本、固定成本和产能。

2. 声音
   观察依据

   讲解员逐步说明本案例中变量、目标函数及约束条件的定义过程。

一家公司接到订单，需供应1000个单位产品，必须决定在三台机器上各生产多少，同时使包含固定启动成本在内的总成本最小化。

1. 机器1：单位可变成本2.39，固定成本300，产能400

2. 机器2：单位可变成本1.99，固定成本250，产能550

3. 机器3：单位可变成本2.99，固定成本400，产能600

4. 订单需求：恰好1000个单位

建立整数线性规划模型，在满足需求约束和产能约束的前提下，使总成本最小化。

1. 公式

   $$X_i = \text{units produced on machine } i$$
   解释

   为每台机器定义连续型生产变量。

   步骤依据

   用于建模可变成本和产能占用。

   视频直接表达
2. 公式

   $$Y_i = \begin{cases}1 & \text{if machine } i \text{ is used}\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$$
   解释

   为每台机器定义二元激活变量。

   步骤依据

   用于条件性地包含固定成本。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\min\; 2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3 + 300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$$
   解释

   写出结合可变成本与固定成本的总成本目标函数。

   步骤依据

   成本结构在表格中给出，并通过口头方式说明。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_1 + X_2 + X_3 = 1000$$
   解释

   强制要求精确满足需求。

   步骤依据

   客户订单恰好需要1000个单位。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_i \leq C_i Y_i \quad (i=1,2,3)$$
   解释

   将生产能力与机器的激活状态关联起来。

   步骤依据

   防止在未激活的机器上进行生产，同时符合固定成本的逻辑。

   依据视频推导

完整模型包括目标函数、需求等式约束，以及关联的产能约束 $X_i \le C_i Y_i$，其中 $Y_i \in {0,1}$。

验证：若 $Y_i = 0$，则 $X_i = 0$；若 $Y_i = 1$，则 $X_i \le C_i$；同时验证总产量之和等于1000。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片展示了一个完整的数值生产模型，包含三台机器、1000单位的订单量、各项成本、产能限制以及一个已显示的解。

2. 声音
   观察依据

   讲解者先解释了连接约束，然后报告了解的各变量取值。

1. 该视频未展示求解器算法或分支定界法的中间步骤。

一家公司需使用三台机器供应1000单位产品；每台机器均有单位可变成本、启用时发生的固定成本，以及产能上限。请建立并求解由此产生的二进制整数线性规划模型。

1. 订单需求：总计1000单位。

2. 机器1：单位可变成本2.39，固定成本300，产能400。

3. 机器2：单位可变成本1.99，固定成本250，产能550。

4. 机器3：单位可变成本2.99，固定成本400，产能600。

5. $X_i$ 表示第 i 台机器的产量。

6. $Y_i$ 在第 i 台机器被启用时为1，否则为0。

在满足需求、遵守产能限制以及通过二元变量实现固定成本逻辑的前提下，最小化总成本。

1. 公式

   $$\text{Min } 2.39X_1 + 1.99X_2 + 2.99X_3 + 300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$$
   解释

   将目标函数写为总可变成本与总固定成本之和。

   步骤依据

   直接从所展示的模型中读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_1 + X_2 + X_3 = 1000$$
   解释

   施加需求约束：总产量等于1000单位。

   步骤依据

   所展示的等式约束。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_1 \le 400Y_1,\; X_2 \le 550Y_2,\; X_3 \le 600Y_3$$
   解释

   将每台机器的产量与其启用指示变量及产能关联起来。

   步骤依据

   所展示的约束条件及其口述解释。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_i \ge 0,\; Y_i \in \{0,1\}$$
   解释

   说明变量的定义域。

   步骤依据

   在重新整理后的约束之后，添加到幻灯片上。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_1=0,\; X_2=550,\; X_3=450;\quad Y_1=0,\; Y_2=1,\; Y_3=1$$
   解释

   报告求解该模型后所显示的解。

   步骤依据

   展示求解结果数值并进行口述解释。

   视频直接表达

使用机器 2 和 3 仅；生成 550 台机器上的单位数为 2 和 450 台机器上的单位数为 3，其中机器 1 未使用。

所展示的解满足需求方程，因为$0+550+450=1000$；且满足产能约束，因为$550\le 550$、$450\le 600$，同时机器1处于停机状态。

1. 图示
   观察依据

   展示各项目成本与收益的表格

1. 包含项目数据的表格

1. 各项目成本与收益的展示

1. 表格结构

该表格提供了构建优化问题所需的必要数据。

1. 图示
   观察依据

   持续显示的表格，列标题为机器1、2、3，行标题分别为单位可变成本、固定成本和产能。

1. 机器列

2. 可变成本行

3. 固定成本行

4. 产能行

1. 数值在整个片段中保持不变

1. 该片段中数值数据不发生变化

提供构建优化模型所需的全部参数。

1. 动画
   观察依据

   $X_i$ 和 $Y_i$ 的文字定义依次出现在表格下方。

1. $X_i$ 的定义行

2. $Y_i$ 的定义行

1. 定义逐条淡入

1. 底层表格保持可见

在视觉上区分模型所需的两类决策变量。

1. 动画
   观察依据

   目标函数各项被加下划线，并标注为“可变成本”和“固定成本”；圆圈突出显示 $Y_1=1$ 和 $Y_1=0$ 的情形。

1. 目标表达式

2. 下划线

3. 围绕 $Y_1$ 项的圆形注释

1. 注释逐步呈现，以强调结构

1. 数学表达式本身保持不变

阐明目标函数的每一部分分别对应何种成本类型及激活状态。

1. 动画
   观察依据

   需求约束最先出现，随后容量约束垂直排列于一条红色分隔线旁。

1. 需求方程

2. 产能不等式

3. 红色垂直分隔线

1. 约束条件自上而下依次出现

1. 一旦显示，数值不再发生变化

在视觉上组织约束部分，以区分全局需求与各台机器的单独限制。

1. 图示
   观察依据

   静态幻灯片显示标题、三台机器的成本/产能表格、变量定义、目标函数以及初始约束条件。

2. 动画
   观察依据

   项 $Y_1$ 在 $X_1 \le 400Y_1$ 被高亮显示，然后被（1)，之后由（0)。

1. 关于供应1000个单位的标题文字。

2. 包含机器1、机器2、机器3的表格。

3. $X_i$ 与 $Y_i$ 的定义。

4. 目标函数。

5. 约束条件：$X_1 \le 400Y_1$。

1. $Y_1$ 被高亮显示。

2. $Y_1$暂时被替换为1，以展示机器处于激活状态的情形。

3. 随后，$Y_1$被替换为0，以展示机器处于非激活状态的情形。

1. 在执行替换演示过程中，模型其余部分保持可见。

2. 容量常数400在情形演示期间保持固定。

动画直观地展示了单个二元变量如何在正值上界与零之间切换容量约束。

1. 动画
   观察依据

   三个关联约束被重写，使含Y的项移至左侧。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片随后在右侧添加$X_i \ge 0$以及$Y_i = 0-1$。

1. 重排后的不等式：$X_i - C$_iY_i ≤ 0。

2. 变量定义域标注：$X_i \ge 0$以及$Y_i = 0-1$。

1. 每个约束均从“乘积项在右侧”的形式转变为“所有变量均在左侧”的形式。

2. 变量定义域说明出现在重排之后。

1. 目标函数保持不变。

2. 需求方程 $X_1+X_2+X_3=1000$ 保持不变。

该幻灯片将逻辑上的产能约束转化为更标准的数学规划形式，并明确标出变量类型。

1. 动画
   观察依据

   解的数值依次显示在幻灯片顶部。

2. 图示
   观察依据

   在解区域中，机器2和机器3对应的列被红色方框标出。

1. X下标1等于0，X下标2等于550，X下标3等于450。

2. Y下标1等于0，Y下标2等于1，Y下标3等于1。

3. 机器2和机器3周围有红色矩形高亮。

1. 先显示 X 值，再显示 Y 值。

2. 红色方框强调机器2和机器3对应的解列。

1. 底层模型在解的下方持续可见。

2. 数值本身一旦显示，便不再发生变化。

视觉强调表明最优方案中选中了哪些机器。

1. 动画
   观察依据

   当前解消失，新的标题‘下一个视频’出现。

2. 字幕依据
   观察依据

   四行主题依次出现：多选约束、互斥约束、共需约束、条件约束。

3. 声音
   观察依据

   讲解员说明下一个视频将使用二元变量构建关系约束，包括上述四种类型。

1. 标题‘下一个视频’。

2. 四类约束的列表。

1. 当前示例从幻灯片顶部区域被清除。

2. 即将介绍的四个主题依次呈现。

1. 幻灯片下半部分仍显示已完成的固定成本模型。

结尾将固定成本关联约束置于更广泛的二元变量建模技术体系之中。

1. 声音
   观察依据

   讲解员提醒：仅写出 $X_i$ ≤ capacity_i 忽略了一个事实——未启用的机器不应进行生产。

2. 公式
   观察依据

   修正讨论前展示的标准产能约束。

仅写出 $X_i$ ≤ capacity_i 即可，无需考虑机器是否被启用。

若不与 $Y_i$ 关联，模型可能允许在固定成本未支付（$Y_i=0$）的机器上进行生产，从而违背逻辑一致性。

1. 声音
   观察依据

   讲解者分别解释了同一不等式下的两种情形：$Y_1=1$ 和 $Y_1=0$。

2. 公式
   观察依据

   约束条件 $X_1 \le 400Y_1$ 同时包含了容量常数和二元变量。

人们可能认为 $Y_i$ 仅用于记录某台机器是否被使用，并不影响产量上限。

但在本模型中，$Y_i$ 还会按比例缩放容量限制；因此令 $Y_i=0$ 不仅是将该机器标记为未启用，更会主动迫使 $X_i=0$。

1. 公式
   观察依据

   固定成本在目标函数中表示为 $300Y_1 + 250Y_2 + 400Y_3$。

2. 公式
   观察依据

   关联约束 $X_i \le C$_iY_i 是单独添加的。

人们可能认为，仅在目标函数中加入固定成本项就足以正确建模机器的启用情况。

该示例表明，二元变量还必须出现在关联约束中；否则，当某台机器未被启用时，模型无法强制其产量为零，也无法按预期方式实施容量上限约束。

1. 声音
   观察依据

   当存在是或否的情形时，采用二元变量。

二元变量用于建模项目选择问题。

1. 声音
   观察依据

   现在我们来建模一个固定成本问题。

固定成本问题引入了额外的考量因素，例如固定成本和可变成本。

1. 声音
   观察依据

   讲解员将 $Y_i$ 的定义直接与目标函数中固定成本的纳入相联系。

2. 公式
   观察依据

   $Y_i$ 项在定义之后立即出现在目标函数中。

二元变量使得固定成本能够有条件地被纳入目标函数。

1. 声音
   观察依据

   讲述者从基础产能约束过渡到因固定成本而需进行修正的必要性。

2. 公式
   观察依据

   基础约束在概念调整之前展示。

简单的产能上界无法刻画启用逻辑；必须将其与关联约束 $X_i \le C_i Y_i$ 进行对比。

1. 公式
   观察依据

   需求约束使用了此前定义的 $X_1$、$X_2$、$X_3$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者在陈述顺序要求时，回溯提及单位生产变量。

必须先定义生产变量，才能构建总需求约束。

1. 公式
   观察依据

   $Y_i$ 的定义紧接在将容量乘以 $Y_i$ 的约束之上。

2. 声音
   观察依据

   讲解者借助 $Y_1$ 的两个取值来解释该约束。

链接约束只有在引入用于区分已使用与未使用的机器的二元指示变量之后才有意义。

1. 公式
   观察依据

   该幻灯片将 $X_i \le C$_iY_i 重写为 $X_i - C$_iY_i $\le 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者明确指出，要将变量移到不等式左侧。

重新整理后的不等式在代数上等价于原始的链接约束。

1. 公式
   观察依据

   整张幻灯片是一个使用 $X_i$ 和 $Y_i$ 的数值化生产模型示例。

2. 声音
   观察依据

   讲解者总结道，这完成了固定成本问题的建模。

该示例将二元链接约束方法应用于一个具体的三台机器生产问题。

1. 公式
   观察依据

   解出的变量值直接显示在完成的模型下方。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“求解该模型后，我们得到……”

所报告的变量值是该示例解答结果的一部分。

1. 声音
   观察依据

   讲解者表示，下一视频将展示如何使用二元变量构建关系型约束。

2. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片列出了多选约束、互斥约束、共需约束和条件约束。

固定成本建模中使用二元变量，是二元变量约束构造方法大家族中的一个实例。

1. 声音
   观察依据

   当存在是或否的情形时，采用二元变量。

1. 二元变量定义

1. 声音
   观察依据

   例如，假设我们需考虑四个不同的项目。

1. 项目选择问题

1. 声音
   观察依据

   现在我们来建模一个固定成本问题。

1. 固定成本问题

1. 声音
   观察依据

   讲述者明确说明引入 $Y_i$ 是为应对固定成本。

1. 二元（0–1）决策变量

1. 公式
   观察依据

   目标函数清晰地区分了可变成本项与固定成本项。

1. 总成本目标函数

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明为何在存在固定成本的情况下，简单的产能约束是不够的。

1. 机器产能约束
2. 将产能与二元使用变量关联
3. 在产能约束中忽略二元关联

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确采用等式约束，因为订单必须被精确满足。

1. 需求满足约束

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明了 $Y_1=1$ 和 $Y_1=0$ 对生产的影响。

2. 公式
   观察依据

   展示了约束 $X_1 \le 400Y_1$。

1. 表示机器是否启用的二元指示变量。
2. 将产量与机器启用状态关联起来
3. 关于机器-1关联约束的情形分析

1. 公式
   观察依据

   目标函数同时包含可变成本项和乘以 $Y_i$ 的固定成本项。

2. 公式
   观察依据

   关联约束将 $X_i$ 与 $Y_i$ 联系起来。

1. 含三台机器的固定成本生产规划示例
2. 将产量与机器启用状态关联起来
3. 决策变量的定义域限制