素因数分解 | 什么是素因数分解？ | Math with Mr. J

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字将质因数分解定义为：“将一个数分解为其质因数（即相乘后等于原数的质数）。”

Prime Factorization

将一个数分解为其质因数，这些质因数是相乘后等于原数的质数。

大于1的正整数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“现在30是一个合数，意味着30除了1和30之外还有其他因数。”

Composite Number

除了1和它本身之外还有其他因数的数。

大于1的正整数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们接下来要使用的这个方法叫做因数树。”

Factor Tree

一种可视化方法，通过将数不断分支为因数对，直至只剩下质数，从而将其分解为质因数。

大于1的正整数

1. 图示
   观察依据

   黑板标题为“质因数分解”。

2. 图示
   观察依据

   标题下方的副标题为：“将一个数分解为其质因数（即相乘后等于原数的质数）。”

Prime Factorization

将一个数分解为其质因数的过程，这些质因数是相乘后等于原数的质数。

大于1的正整数。

1. 图示
   观察依据

   黑板上的第一个例题标注为“1) 30”。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“这是30的质因数分解。”

30

第一个例题中被分解的合数。

整数分解示例。

1. 图示
   观察依据

   黑板上的第二个例题标注为“2) 63”。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们来看第二题，题目给出的是63。”

63

第二个例题中被分解的合数。

整数分解示例。

1. 图示
   观察依据

   黑板上的第三个例题标注为“3) 48”。

1. 本片段中未对48进行任何音频或视觉上的分解。

48

质因数分解所列的第三个数字，本片段中尚未开始讲解。

整数因式分解示例。

1. 图示
   观察依据

   30的因数树从30分支出2和15，再从15分支出3和5。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明15是合数，可分解为3和5。

30 -> 2, 15; 15 -> 3, 5

一幅分支图，展示用于将30逐步分解为质数的一系列因数对。

分解30的第一种方法。

1. 图示
   观察依据

   30的第二棵因数树从30分支出5和6，再从6分支出2和3。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们尝试从5和6开始，看看最终得到什么结果。”

30 -> 5, 6; 6 -> 2, 3

同一数字30的另一种分支图，用于比较最终得到的质因数是否保持一致。

分解30的第二种方法。

1. 图示
   观察依据

   63的因数树从63分叉为9和7。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“九和七是因数。九乘以七等于六十三。”

1. 9的分解过程被宣布，但在片段结束前未完成。

63 -> 9, 7

63的因数树的第一层，展示了一组有效的因数对。

第二个例题。

1. 图示
   观察依据

   黑板上写着“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“因此我们可以将它写成：30等于……2乘以3乘以5。”

$30 = 2 \times 3 \times 5$

30的质因数分解，按质因数从小到大的顺序写成乘积形式。

整数相等。

1. 图示
   观察依据

   第一棵树中的叶子 2、3 和 5 对于 30 已用圆圈标出。

2. 图示
   观察依据

   在30的第二个因数树中，叶子节点5、2和3被圈出。

3. 声音
   观察依据

   讲解员说：“三和五都是质数，所以分解完成了。”

circled terminal nodes

用于标记某一分支已到达一个质数、因而终止的视觉标识。

因数树记号。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字：“质因数分解：将一个数分解为其质因数（即相乘后等于原数的质数）”

2. 声音
   观察依据

   说话人朗读并进一步阐释质因数分解的定义。

质因数分解是将一个数拆解为其质因数的过程。这些质因数是若干个质数，它们相乘的结果等于原数。

1. 适用于大于1的正整数。

1. 质数的定义

1. 声音
   观察依据

   Speaker states, 'And remember, prime numbers only have two factors, one 且 the number itself. For example, 2、3、5、7和11都是质数。”

质数是指恰好有两个不同正因数的数：1和它本身。

1. 必须是大于1的正整数。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘现在30是一个合数，也就是说30除了1和30之外还有其他因数。’

合数是指具有至少一个除1和它本身以外的正因数的正整数。

1. 必须是大于1的正整数。

1. 质数的定义

1. 声音
   观察依据

   讲解者介绍因数树法：‘我们这里将采用的方法叫做因数树。现在开始时，我们需要找出30的两个因数……我们将从30出发分出这两支。然后继续向下分解，直到所有末端都只剩下质数。’

因数树是一种用于求一个数的质因数分解的直观方法。你从树顶的这个数开始，将其拆分为任意两个因数，然后继续对合数因数进行拆分，直到所有末端分支都成为质数为止。

1. 用于对合数进行因式分解。

1. 质因数分解的定义
2. 合数的定义

1. 图示
   观察依据

   板书持续显示该主题定义：“将一个数分解为其质因数（即相乘等于原数的质数）。”

2. 声音
   观察依据

   讲述者反复将该结果称为“30的质因数分解”。

质因数分解是指将一个数仅重写为若干质数的乘积。本课中，该过程通过因数树直观呈现：先将该数拆分为两个因数，再持续分解其中的合数因数，直至所有末端分支均为质数为止。

1. 起始数字是一个大于1的正整数。

2. 最终得到的所有因数都必须是质数。

3. 最终各质因数的乘积必须等于原数。

1. 图示
   观察依据

   对于30，图板上显示30分出2和15两条分支，接着15又分出3和5两条分支。

2. 图示
   观察依据

   对于63，图板上显示63分出9和7两条分支。

3. 声音
   观察依据

   讲述者说：“我们可以继续将其进一步分解。那么我们来想一想它的两个因数。”

视频使用因数树进行质因数分解：从顶部的目标数开始，任选两个乘积等于该数的因数，将其作为分支写在下方，并对每个合数分支重复此过程，直至所有叶节点均为质数。

1. 每个父节点必须等于其两个子因数的乘积。

2. 合数分支必须再次拆分。

3. 质数分支是终止分支，本课中用圆圈标出。

1. 质因数分解的定义

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：“十五则是合数，我们可继续将其分解。”

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“三和五都是质数，因此分解完成。”

3. 声音
   观察依据

   讲解员说：“五是质数，所以此处分解完成。”

4. 声音
   观察依据

   讲解员说：“但七是质数，所以此处分解完成。”

本课从操作角度区分合数与质数：合数仍可继续分解，而质数标志着一个分支的终点。正因如此，15、6和9需进一步展开，而2、3、5和7则被圈出且保持不变。

1. 仅当当前数字为合数时，才继续延伸该分支。

2. 一旦当前数字为质数，该分支即停止。

1. 因数树的操作步骤

1. 图示
   观察依据

   黑板上写出“$30 = 2 x 3 x 5$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“我将把这些质因数按从小到大的顺序排列，并将它们相乘。”

当因数树完成后，将所有素数叶子收集起来，并写成一个等于原数的乘法算式。在本例中，讲解者按从小到大的顺序排列这些素数，得到 $30 = 2 \times 3 \times 5$。

1. 仅使用已完成因数树中的素数叶子。

2. 将它们写成一个等于原数的乘积。

3. 按从小到大排序是一种惯例，并非数学上的必要要求。

1. 因数树的操作步骤
2. 质因数分解的定义

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“如果我们得到了正确的素数，它们相乘的结果就等于原来的数。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“二乘三得六，再乘五得三十。所以这里没问题，我们的结果是正确的。”

视频通过重新计算素因数的乘积来检验答案。若乘积恰好等于原数，则该因式分解被认定为正确。对于 30，检验过程为 $2 \times 3 = 6$，然后 $6 \times 5 = 30$。

1. 相乘的因数必须是所声称的素因数。

2. 乘积必须严格等于原数。

1. 将最终的因式分解写成有序乘积

1. 字幕依据
   观察依据

   持续显示的页眉文字为：“质因数分解”以及“将一个数分解为其质因数（即相乘等于原数的质数）”

2. 声音
   观察依据

   教师反复将合数因子继续拆分为更小的因子，直至所有因子均为质数，再写出最终的乘积形式。

视频通过不断将合数因子拆分为两个因子来演示质因数分解，直到每个叶节点都是质数；随后将所有质数叶节点相乘，表示原数。

1. 起始数是一个大于1的正整数。

2. 每次拆分都必须保持各因子的乘积不变。

3. 当所有剩余因子均为质数时，该过程终止。

1. 声音
   观察依据

   在 01：38—01：43 the instructor says, "Four 且 twelve are both composite, so we need to break both down."

2. 声音
   观察依据

   在 01：54—01：58 the instructor says, "So two is prime, so we are done over here."

3. 声音
   观察依据

   在 02：12-02：18 the instructor says, "Three is prime, so we are done here, but four is composite, so let's break four down."

在此方法中，当当前因数为质数时，该分支终止；若当前因数为合数，则必须继续分解。

1. 该规则适用于因数树中的每个节点。

2. 质数节点是终止节点。

3. 合数节点必须展开。

1. 用因数树法进行质因数分解

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕字幕将该主题定义为：“将一个数分解为其质因数（即相乘等于原数的质数）。”

2. 声音
   观察依据

   在例题讲解结束时，说话人说：“这就是质因数分解。”

本片段中，质因数分解被介绍为将一个数拆解成质因数的过程，即拆解为若干个相乘后等于原数的质数。黑板上通过30、63和48三个已完成的示例展示了这一概念。

1. 目标是将一个正整数表示为质数的乘积。

2. 所列出的因数必须是质数。

3. 所列出质数的乘积必须等于原数。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们换一种方式再来一遍，看看是否能得到相同的素因数。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者总结道：“我们得到了相同的质因数：二、三和五。因此，用这种方法我们也得到了相同的结果。”

3. 图示
   观察依据

   30 的两棵不同因数树，最终都以质数叶子 2、3 和 5 结束。

对于数字 30，若从 2 和 15 开始构建因数树，或从 5 和 6 开始，所得的最终质因数集合相同：2、3 和 5。

1. 被分解的数是 30。

2. 每一分支都被分解为合法的因数对。

3. 该过程持续进行，直至所有叶子节点均为质数。

在视频所展示的具体示例中予以演示，而非作为一般性定理加以陈述。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“而十五是一个合数，我们可以继续将其分解。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“六十三是一个合数，因此我们可以将其分解。”

3. 声音
   观察依据

   讲解者说：“现在九是合数，因此我们可以继续将其分解。”

如果因数树中的某个数是合数，那么它可以被拆分为更小的因数，分解过程便可继续进行。

1. 当前分支的数值是合数。

在例题中反复应用于15、63和9。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“三和五都是质数，所以分解完成。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“五是质数，因此此处分解完成。”

3. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“二是质数，三是质数，所以分解完成。”

4. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“但七是质数，所以此处分解完成。”

5. 图示
   观察依据

   质数叶子被画圈标出，且不再进一步展开。

一旦某一分支到达一个质数，该分支即告完成，不再继续分解。

1. 当前分支的数值是质数。

在所展示的例题中，应用于2、3、5和7。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说道：“如果我们找出了正确的质数，它们相乘的结果就等于原来的数。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者验证道：“二乘以三等于六，再乘以五等于三十。”

若一个数所分解出的质因数是正确的，那么将这些质因数相乘就能得到原数。

1. 所列出的因数是从因数分解过程中得到的质因数。

用文字一般性地陈述，并对30进行数值验证。

1. 声音
   观察依据

   在 00：47-00：56 the instructor says, "Now forty-eight is an 偶数 number, 且 whenever we have an 偶数 number, we have a factor of two that we can start with."

如果一个数是偶数，那么2就是该数的一个因数。

1. 当前所考虑的数是一个偶整数。

对任意偶数均成立。

1. 声音
   观察依据

   在 01：03-01：13 the instructor says, "Now do we have to start with a two if we have an 偶数 number? No, but it can be a good starting point."

对于偶数，从2开始构建因数树是可选的，而非必须的。

1. 该数是偶数。

2. 所选的第一个分解仍是一组有效的因数对。

以所示的48为例。

1. 公式
   观察依据

   左下角的等式为“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

2. 图示
   观察依据

   两个关于30的因数树最终都终止于质数2、3和5。

所示的30的质因数分解是$30 = 2 \times 3 \times 5$。

1. 正在被分解的数是30。

2. 图中展示的两棵因数树的末端因数分别是2、3和5。

针对特定整数30的一个详细解题示例。

1. 公式
   观察依据

   底部中间的等式为“$63 = 3 \times 3 \times 7$”。

2. 图示
   观察依据

   63的因数树最终终止于3、3和7。

所示63的质因数分解为$63 = 3 \times 3 \times 7$。

1. 正在分解的数是63。

2. 图中因数树的末端因数为3、3和7。

针对特定整数63的一个详细解题示例。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“因此，这就是48的质因数分解。”

2. 公式
   观察依据

   右下角的等式补全为“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”。

3. 图示
   观察依据

   48的因数树最终终止于四个2和一个3。

所示的48的质因数分解为$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$。

1. 被分解的数是48。

2. 所展示的因数树中的末端因数为2、2、2、2和3。

针对特定整数48给出的一个完整演算示例。

1. 声音
   观察依据

   讲解者演示为30构建因数树的步骤：选择因数2和15，并指出2是质数，无法进一步分解。

2. 图示
   观察依据

   因数树的直观图示：从30开始，分支为2和15，并将2圈出。

1. 公式

   $$$$
   解释

   将数字30置于树的顶端作为起始。

   步骤依据

   这是因数树方法的初始设置。

   视频直接表达
2. 公式

   $$30 = 2 \times 15$$
   解释

   将30拆分为因数对2和15。

   步骤依据

   2和15是30的因数，因为它们的乘积是30。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   确认2是质数，并将其圈出。

   步骤依据

   质数无法进一步分解，因此该分支已完整。

   视频直接表达

的因数树第一步得到质因数30和合数因数2，该合数因数将进一步分解。15, which will be broken down further.

1. 图示
   观察依据

   黑板上显示30分出两个分支：2和15，接着15又分出两个分支：3和5。

2. 图示
   观察依据

   黑板随后写出“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

3. 声音
   观察依据

   讲解员逐一解释每次分解，并验证乘积。

1. 公式

   $$30 \rightarrow 2,\ 15$$
   解释

   从30开始，将其拆分为因数对2和15。

   步骤依据

   讲解员判定2为质数，而将15视为合数，因此这棵因数树从这一有效的因数对开始。

   视频直接表达
2. 公式

   $$15 \rightarrow 3,\ 5$$
   解释

   将复合分支15拆分为3和5。

   步骤依据

   讲解者说道：“三和五都是十五的因数。三乘以五等于十五。”

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{terminal primes: }2,\ 3,\ 5$$
   解释

   当所有叶节点均为质数时停止。

   步骤依据

   讲解员指出3和5是质数，且先前的分支2已是质数；这些叶节点被圈出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$30 = 2 \times 3 \times 5$$
   解释

   收集所有质数叶节点，并将它们写成一个乘积，使其等于原数。

   步骤依据

   讲解员明确写出因式分解过程，并说明质因数按从小到大的顺序排列。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2 \times 3 = 6,\quad 6 \times 5 = 30$$
   解释

   通过将各因数相乘来验证结果。

   步骤依据

   讲解员指出，正确的质数相乘应等于原数，并执行了这一算术验证。

   视频直接表达

从第一棵分解树得到的30的质因数分解为$30 = 2 \times 3 \times 5$，并经乘法验证成立。

1. 图示
   观察依据

   30的第二棵分解树先分出5和6，然后6再分出2和3。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“我们尝试从5和6开始，看看最终得到什么结果。”

3. 声音
   观察依据

   讲解者总结道：“我们得到了相同的质因数：二、三和五。”

1. 公式

   $$30 \rightarrow 5,\ 6$$
   解释

   用不同的第一对因数重新开始对30进行质因数分解。

   步骤依据

   讲解者特意引入这条替代路径，以检验最终的质因数是否保持不变。

   视频直接表达
2. 公式

   $$5\ \text{is prime}$$
   解释

   将5作为末端叶节点保留。

   步骤依据

   讲解者说道：“五是质数，因此此处分解完成。”

   视频直接表达
3. 公式

   $$6 \rightarrow 2,\ 3$$
   解释

   将合数分支6拆分为2和3。

   步骤依据

   讲解者明确指出：“六可以分解为二和三。”

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{terminal primes: }5,\ 2,\ 3$$
   解释

   当所有叶节点均为质数时停止。

   步骤依据

   讲解者指出2和3均为质数，因此这棵分解树已完成。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\{2,3,5\}=\{2,3,5\}$$
   解释

   将所得的质数叶节点与第一棵树中的质数叶节点进行比较。

   步骤依据

   讲解者明确说道：“我们得到了相同的质因数：二、三和五。”

   视频直接表达

对30采用不同的初始拆分方式，仍得到相同的质因数2、3和5。

1. 图示
   观察依据

   黑板上显示63分出两个分支：9和7。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“嗯，九和七都是因数，九乘以七等于六十三。”

3. 声音
   观察依据

   讲解者补充道：“现在九是合数，因此我们可以继续将其分解；但七是质数，所以此处分解完成。”

1. 下一组对9的分解在视频片段结束前已被宣布，但未展示。

1. 公式

   $$63 \rightarrow 9,\ 7$$
   解释

   为63选择一对因数，并将其写为树状图的第一层。

   步骤依据

   讲解员指出9和7是因数，因为$9\times 7$＝63。

   视频直接表达
2. 公式

   $$7\ \text{is prime}$$
   解释

   将7标记为终止分支。

   步骤依据

   讲解者说：“七是质数，因此我们在此结束。”

   视频直接表达
3. 公式

   $$9\ \text{is composite}$$
   解释

   识别出9需要进一步分解。

   步骤依据

   讲解者说：“现在九是合数，因此我们可以继续将其分解。”

   视频直接表达

63的因数树已启动，采用了有效的分解方式：$63\to 9$、7；其中7已完成分解，而9在此片段之后仍需继续分解。

1. 声音
   观察依据

   在00:00-00:11处，讲师说：“现在回到九，三乘三等于九。三 是九的因数，所以我们得到三和三。”

2. 声音
   观察依据

   在00:11-00:19处，讲师说：“三是质数，因此此处分解完成。不能再继续分解了。我们已得到全部质数。”

3. 声音
   观察依据

   在00:19-00:30处，讲师说：“所以六十三等于三乘三乘七。”

4. 声音
   观察依据

   在00:30-00:41处，讲师说：“我们来验证一下：三乘三得九，九乘七得六十三。因此我们的质因数分解是正确的。”

5. 图示
   观察依据

   黑板上显示63被拆分为9和7，接着9被拆分为3和3，最终写出的等式为$63 = 3 \times 3 \times 7$。

1. 公式

   $$63 = 9 \times 7$$
   解释

   从黑板上已展示的63的分解出发。

   步骤依据

   观察图示，并延续之前例题的口头讲解。

   视频直接表达
2. 公式

   $$9 = 3 \times 3$$
   解释

   将复合因数9拆分为两个因数。

   步骤依据

   在时间点00:00-00:11的音频中说：“三乘以三等于九”。

   视频直接表达
3. 公式

   $$63 = 3 \times 3 \times 7$$
   解释

   替换 9 为 $3 \times 7$？不，替换 9 为 $3 \times 3$，同时保持另一个因数 7。

   步骤依据

   代入63的乘积表示形式。

   依据视频推导
4. 公式

   $$3 \times 3 \times 7 = 63$$
   解释

   通过反向相乘验证：$3\times 3=9$，然后$9\times 7=63$。

   步骤依据

   在时间点00:30-00:41的音频中明确执行了这一验证。

   视频直接表达

63的质因数分解为$63=3\times 3\times 7$。

1. 声音
   观察依据

   在时间点01:13-01:23，教师说：“因为我们一开始对第一个数用了二，那么第三个数我们来试试别的。那么四十八还有哪些因数可以作为起点呢？”

2. 声音
   观察依据

   在时间点01:23-01:33，教师说：“四和十二是四十八的因数。四乘以十二等于四十八。所以我们从四和十二开始。”

3. 声音
   观察依据

   在时间点01:38-01:43，教师说：“四和十二都是合数，因此都需要进一步分解。”

4. 声音
   观察依据

   在时间点01:43-01:54，教师说：“我们先从四开始。二乘以二是四，所以二是它的因数。于是我们得到二和二。”

5. 声音
   观察依据

   在01:58-02:07处，讲师说：“现在来看十二，我们来想一想十二的两个因数。比如三和四怎么样？三乘以四等于十二。”

6. 声音
   观察依据

   在02:12-02:23处，讲师说：“三是质数，所以这里分解完成；但四是合数，因此我们把四进一步分解为二和二。”

7. 声音
   观察依据

   在02:23-02:28处，讲师说：“二是质数，所以这里和这里都已完成分解，不能再继续分解了。”

8. 图示
   观察依据

   黑板上显示48被拆分为4和12，接着4被拆分为2和2，然后12被拆分为3和4，最后第二个4被拆分为2和2。

1. 公式

   $$48 = 4 \times 12$$
   解释

   选择一个非2起始因数对：48。

   步骤依据

   在01:23-01:33处的音频说：“四和十二是四十八的因数。”

   视频直接表达
2. 公式

   $$4 = 2 \times 2$$
   解释

   将合数因数4分解为质因数。

   步骤依据

   在01:43-01:54处的音频说：“二乘以二等于四。”

   视频直接表达
3. 公式

   $$12 = 3 \times 4$$
   解释

   将合数因数12拆分为两个因数。

   步骤依据

   在01:58-02:07处的音频说：“比如三和四怎么样？三乘以四等于十二。”

   视频直接表达
4. 公式

   $$4 = 2 \times 2$$
   解释

   将剩余的合数因数4分解为质数。

   步骤依据

   音频在02：12—02：23 states "four is composite, so let's break four down into two 且 two."

   视频直接表达
5. 公式

   $$48 = 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2$$
   解释

   收集已完成的因数树中所有末端的质数叶子。

   步骤依据

   通过所展示的因数树进行代入。

   依据视频推导

使用起始拆分$4 \times 12$，该因数树以质数叶子2、2、3、2和2终止，从而得到48的质因数分解。

1. 图示
   观察依据

   48的最右侧因数树明显以四个圈出的2和一个圈出的3结束。

2. 公式
   观察依据

   例3下方的等式被逐步写出，直至呈现为“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”。

3. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们把它写成48等于2乘以2乘以2乘以2”，然后接着说“再乘以3”。

1. 公式

   $$48$$
   解释

   从最右侧因数树顶端的数开始。

   步骤依据

   这是当前音频中正在讲解、同时在黑板上展示的示例。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4 \times 12$$
   解释

   48首次展示的拆分是拆分为4和12。

   步骤依据

   例3的因数树中可见的分支结构。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2 \times 2 \quad \text{且} \quad 3 \times 4$$
   解释

   复合分支进一步拆分：4拆分为2和2，而12拆分为3和4。

   步骤依据

   以3为例的因数树中可见的分支结构。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2 \times 2$$
   解释

   剩余的复合数4再次拆分为2和2。

   步骤依据

   以3为例的因数树中可见的分支结构。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2, 2, 2, 2, 3$$
   解释

   从完成的因数树中收集所有末端的质数叶节点。

   步骤依据

   这些即图中用圆圈标出的质数终点。

   视频直接表达
6. 公式

   $$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$$
   解释

   将收集到的质数叶节点写成一个乘积式，使其等于原始数字。

   步骤依据

   这是写在3示例下方的最终等式，由讲解者朗读。

   视频直接表达

48的因数树得出其质因数分解为$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们来此处双重验证一下：2乘以2得4，再乘以2得8，再乘以2得16，再乘以3得48。因此结果正确。”

1. 公式

   $$2 \times 2 = 4$$
   解释

   先将前两个因数相乘。

   步骤依据

   音频中直接陈述，作为双重验证的起始步骤。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4 \times 2 = 8$$
   解释

   将当前累积乘积乘以下一个因数2。

   步骤依据

   音频中直接陈述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$8 \times 2 = 16$$
   解释

   将当前累积乘积乘以下一个因数2。

   步骤依据

   音频中直接陈述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$16 \times 3 = 48$$
   解释

   将当前累积乘积乘以最后一个因数3。

   步骤依据

   音频中直接陈述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$48 = 48$$
   解释

   将所得结果与原始数字进行比较。

   步骤依据

   说话人总结道：“因此我们的答案是正确的。”

   视频直接表达

对所列因数进行重复相乘，得到48，从而验证了所写的因式分解是正确的。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字列出第一例为“1) 30”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过因数树的方法，演示如何求出30的质因数分解。

3. 图示
   观察依据

   30的因数树示意图。

1. 视频在30的因数树完全完成前中断。

求30的质因数分解。

1. 数字30。

将30分解为其质因数。

1. 公式

   $$30 = 2 \times 15$$
   解释

   为30选择一对因数，例如2和15，并以它们作为分支从30引出。

   步骤依据

   2和15是30的因数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   检查各因数是否为质数：2是质数，因此将其圈出；15是合数，需进一步分解。

   步骤依据

   目标是使所有分支末端均为质数。

   视频直接表达

本片段未完成；下一步是因式分解15。

将最终的质因数相乘，以确认其乘积等于30。

1. 图示
   观察依据

   黑板将第一个例子标注为“1) 30”，并为30分别完成了两棵独立的因数树。

2. 图示
   观察依据

   最终写出的答案是“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

3. 声音
   观察依据

   讲解员先求解 30，使用 2 和 15，然后重复执行 5 和 6，并检验乘积。

求出30的质因数分解，并检验换用另一组初始拆分是否得到相同的质因数。

1. 待分解的数是30。

2. 因数树可以从任意一组有效的因数对开始。

3. 质数叶子节点使树终止。

将30表示为质数的乘积，并比较两条不同的因数树路径。

1. 公式

   $$30 \rightarrow 2,\ 15$$
   解释

   第一棵树从将30拆分为2和15开始。

   步骤依据

   这是黑板上展示的第一组因数对。

   视频直接表达
2. 公式

   $$15 \rightarrow 3,\ 5$$
   解释

   将合数分支15拆分为3和5。

   步骤依据

   讲解者指出3和5是15的因数，并将它们相乘以验证15。

   视频直接表达
3. 公式

   $$30 = 2 \times 3 \times 5$$
   解释

   将质数叶节点按顺序写成乘积形式。

   步骤依据

   讲解者明确指出，质因数按从小到大的顺序书写。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2 \times 3 \times 5 = 30$$
   解释

   通过将各因数重新相乘来验证答案。

   步骤依据

   讲解者验证乘积是否等于原数。

   视频直接表达
5. 公式

   $$30 \rightarrow 5,\ 6$$
   解释

   换用另一组初始因数对，检验最终质数结果的唯一性。

   步骤依据

   讲解者引入另一种方法，以检验是否得到相同的质因数。

   视频直接表达
6. 公式

   $$6 \rightarrow 2,\ 3$$
   解释

   将合数分支6分解为2和3。

   步骤依据

   讲解者指出6可被分解为2和3。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\text{same primes: }2,\ 3,\ 5$$
   解释

   将第二棵分解树的末端质数与第一棵树的末端质数进行比较。

   步骤依据

   讲解者得出结论：得到的质因数相同。

   视频直接表达

对应的式子为：$30 = 2 \times 3 \times 5$

讲解者计算$2\times 3$＝6，然后计算$6\times 5$＝30，以此验证因式分解的正确性。

1. 图示
   观察依据

   黑板上将第二个例子标记为“2) 63”，并从63画出一条分支指向9和7。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“六十三是一个合数，因此我们可以将其分解。”

3. 声音
   观察依据

   讲解者说：“九和七是它的因数，九乘以七等于六十三。”

1. 本片段中未完成63的完整质因数分解。

使用因数树法，开始求63的质因数分解。

1. 待分解的数是63。

2. 63是合数。

3. 图中展示的一组因数对是9和7。

构建因数树的第一层，并指出哪一分支仍需进一步分解。

1. 公式

   $$63\ \text{is composite}$$
   解释

   认识到63还可进一步分解。

   步骤依据

   讲解者明确指出63是一个合数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$63 \rightarrow 9,\ 7$$
   解释

   选择因数对9和7作为第一次分解。

   步骤依据

   讲解者指出$9 \times 7 = 63$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$7\ \text{is prime}$$
   解释

   将7视为一个终止分支。

   步骤依据

   讲解者称7是质数，因此该分支已完成。

   视频直接表达
4. 公式

   $$9\ \text{is composite}$$
   解释

   识别出9是下一个必须继续分解的分支。

   步骤依据

   讲解者称9是合数，可以继续分解。

   视频直接表达

分解树已初步构建为$63 \to 9$, 7，其中7已完成分解，而9仍需进一步分解。

通过所陈述的乘法式$9 \times 7 = 63$来验证所选的第一层分解。

1. 声音
   观察依据

   在00:00-00:41处，教师完成了63的因数树，并通过乘法验证了结果。

2. 图示
   观察依据

   黑板上显示$63 \to 9$和7，然后$9 \to 3$和3，接着写出等式$63 = 3 \times 3 \times 7$。

用因数树求63的质因数分解。

1. 这个数是63。

2. 黑板上已给出初始拆分$63 = 9 \times 7$。

将63表示为质数的乘积，并验证结果。

1. 公式

   $$9 = 3 \times 3$$
   解释

   将合数因子9拆分为两个因子。

   步骤依据

   音频说明：“三乘以三等于九”。

   视频直接表达
2. 公式

   $$63 = 3 \times 3 \times 7$$
   解释

   写出所有质因数叶子的乘积。

   步骤依据

   从因数树中进行代入。

   依据视频推导
3. 公式

   $$3 \times 3 \times 7 = 63$$
   解释

   通过反向相乘来检验答案。

   步骤依据

   音频明确计算了$3 \times 3 = 9$以及$9 \times 7 = 63$。

   视频直接表达

对应的式子为：$63 = 3 \times 3 \times 7$

将各因数相乘得到$3 \times 3 = 9$和$9 \times 7 = 63$，结果与原数一致。

1. 声音
   观察依据

   在时间点00:42–02:28，教师引入了48，讨论了可能的起始因数，并完成了一棵以$4 \times 12$为起点的因数树。

2. 图示
   观察依据

   黑板上显示：$48 \to 4$和12，接着$4 \to 2$和2，再接着$12 \to 3$和4，最后第二个$4 \to 2$和2。

1. 本片段中，黑板上未写出48的最终紧凑乘积形式。

2. 本片段中未听到对48进行明确的乘法检验。

使用因数树求48的质因数分解，起始因数对不能是$2\times 24$。

1. 这个数是48。

2. 教师指出$2\times 24$是一种可能的起始方式，但选择了另一条路径。

3. 所选的初始拆分是$4\times 12$。

将48持续分解，直到所有因数都是质数。

1. 公式

   $$48 = 4 \times 12$$
   解释

   从因数对4和12开始。

   步骤依据

   音频说明：“四和十二是四十八的因数。”

   视频直接表达
2. 公式

   $$4 = 2 \times 2$$
   解释

   将第一个合数因数4分解为质数。

   步骤依据

   音频说明：“二乘二等于四。”

   视频直接表达
3. 公式

   $$12 = 3 \times 4$$
   解释

   将合数因数12拆分为两个因数。

   步骤依据

   音频说明：“试试三和四？三乘四等于十二。”

   视频直接表达
4. 公式

   $$4 = 2 \times 2$$
   解释

   将剩余的合数因数4分解为质数。

   步骤依据

   音频说明：“四是合数，因此我们把四拆分为二和二。”

   视频直接表达
5. 公式

   $$48 = 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2$$
   解释

   列出已完成的因数分解树中的所有终端质数叶子。

   步骤依据

   从完成的因数分解树中依次读出各质因数。

   依据视频推导

48 的完整因数分解树的质数叶子为 2、2、3、2 和 2。

在本片段中，教师未口头将最终的质因数相乘以还原为 48；因此，验证过程未在所提供片段中呈现。

1. 图示
   观察依据

   例题1展示了30的两棵因数树：其中一棵将30拆分为2和15，再将15拆分为3和5；另一棵将30拆分为5和6，再将6拆分为2和3。

2. 公式
   观察依据

   左下角的等式为“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

求30的质因数分解。

1. 该数为30。

2. 为30绘制了两棵因数分解树。

3. 两棵树末端的质数均为2、3和5。

将30表示为质数的乘积。

1. 公式

   $$30 \to 2 \times 15$$
   解释

   其中一棵展示的树首先将30拆分为2和15。

   步骤依据

   在示例1的左分支中可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$15 \to 3 \times 5$$
   解释

   合数因数15随后被拆分为3和5。

   步骤依据

   在同一棵树中可见。

   视频直接表达
3. 公式

   $$30 \to 5 \times 6$$
   解释

   另一棵展示的树首先将30拆分为5和6。

   步骤依据

   在示例1的右分支中可见。

   视频直接表达
4. 公式

   $$6 \to 2 \times 3$$
   解释

   合数因子6随后被拆分为2和3。

   步骤依据

   在同一个第二棵树中可见。

   视频直接表达
5. 公式

   $$30 = 2 \times 3 \times 5$$
   解释

   收集所有质数叶节点，并将它们写成乘积形式。

   步骤依据

   这是例题1下方所示的等式。

   视频直接表达

对应的式子为：$30 = 2 \times 3 \times 5$

两棵展示的树均以相同的质数叶节点2、3和5结束，与所写的乘积一致。

1. 图示
   观察依据

   例题2展示了63的因数树，其中将63拆分为9和7，再将9拆分为3和3。

2. 公式
   观察依据

   中间底部的等式为“$63 = 3 \times 3 \times 7$”。

求63的质因数分解。

1. 该数为63。

2. 所展示的因数树将63拆分为9和7。

3. 合数因子9被拆分为3和3。

将63表示为质数的乘积。

1. 公式

   $$63 \to 9 \times 7$$
   解释

   首先将63拆分为9和7。

   步骤依据

   在例2的因数树中可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$9 \to 3 \times 3$$
   解释

   将合数因子9拆分为3和3。

   步骤依据

   在同一个因数树中可见。

   视频直接表达
3. 公式

   $$63 = 3 \times 3 \times 7$$
   解释

   收集末端的质因数，并写出其乘积。

   步骤依据

   这是例2下方所示的等式。

   视频直接表达

对应的式子为：$63 = 3 \times 3 \times 7$

树的末端叶节点是3、3和7，与所写的因式分解结果一致。

1. 图示
   观察依据

   例3展示了48的因数树，其末端为四个2和一个3。

2. 公式
   观察依据

   右下角的等式逐步写出，最终呈现为“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”。

3. 声音
   观察依据

   主讲人说：“所以这是48的质因数分解”，随后通过将各因数相乘验证结果是否等于48。

求出48的质因数分解，并验证结果是否正确。

1. 这个数是48。

2. 所展示的因数树最终分解为2、2、2、2和3。

3. 主讲人逐个读出这些因数，并验算它们的乘积。

将48写成质数的乘积形式，并确认该乘积等于48。

1. 公式

   $$48 \to 4 \times 12$$
   解释

   从将48拆分为4和12开始构建因数树。

   步骤依据

   在例题3的因数树中可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4 \to 2 \times 2$$
   解释

   将合数因数4拆分为2和2。

   步骤依据

   在同一棵因数树中可见。

   视频直接表达
3. 公式

   $$12 \to 3 \times 4$$
   解释

   将合数因数12拆分为3和4。

   步骤依据

   在同一棵因数分解树中可见。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4 \to 2 \times 2$$
   解释

   将剩余的合数因数4拆分为2和2。

   步骤依据

   在同一棵因数分解树中可见。

   视频直接表达
5. 公式

   $$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$$
   解释

   收集所有末端的质因数，并写出它们的乘积。

   步骤依据

   这是示例3下方展示的最终等式，并需朗读出来。

   视频直接表达
6. 公式

   $$2 \times 2 = 4$$
   解释

   从相乘前两个因数开始验证。

   步骤依据

   在音频双重核对中已说明。

   视频直接表达
7. 公式

   $$4 \times 2 = 8$$
   解释

   继续乘以下一个因数。

   步骤依据

   在音频双重核对中已说明。

   视频直接表达
8. 公式

   $$8 \times 2 = 16$$
   解释

   继续乘以下一个因数。

   步骤依据

   在音频双重核对中已说明。

   视频直接表达
9. 公式

   $$16 \times 3 = 48$$
   解释

   通过乘以3完成验证。

   步骤依据

   音频中已说明，请再次核对。

   视频直接表达

对应的式子为：$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$

主讲人明确地逐步验算乘积，并得出结论：“因此，我们的结果是正确的。”

1. 图示
   观察依据

   讲解者为数字30画出一个因数树，将其分解为2和15，然后圈出数字2。

1. 数字30

2. 数字2

3. 数字15

4. 分支

5. 圈出

1. 写出数字30。

2. 从30向下画出两条线，分别连接至2和15。

3. 在数字2周围画一个圈。

1. 数学关系式$2 * 15 = 30$在整个作图过程中保持不变。

视觉事件演示了使用因数树将一个合数分解为一个质因数与另一个因数的第一步。

1. 图示
   观察依据

   黑板顶部显示标题“质因数分解”，其下方是一句青色说明性语句，黑板上横向排列三个编号例题：1) 30，2) 63，3) 48。

1. 标题“质因数分解”

2. 讲解质因数的字幕

3. 例题1) 30

4. 例题2) 63

5. 例题3) 48

1. 在例题1下方添加新书写内容，随后在其旁边添加第二棵因数树，接着在例题2下方开始书写。

1. 标题与字幕始终可见。

2. 三个编号的例题持续列于黑板顶部区域。

该版面布局将本课组织为一系列逐步展开的因数分解例题，当前解题过程从左向右推进。

1. 图示
   观察依据

   在“1) 30”下方，数字30分解为2和15；接着15分解为3和5；叶节点2、3和5被圈出。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说明15是合数，可分解为3和5，随后表示该因数树已完成。

1. 根节点30

2. 分支节点2和15

3. 子分支3和5

4. 围绕末位质数的圆圈

1. 该树从30向下生长，分出2和15。

2. 合数节点15被展开为3和5。

3. 末位质数被画上圆圈，以表示分解完成。

1. 每个父节点等于其子节点的乘积。

2. 根节点在整个此树中始终为30。

直观的树形图编码了逐次提取因数的过程，直至仅剩质数叶节点。

1. 图示
   观察依据

   第一棵树下方，黑板上写着“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说明质因数按从小到大的顺序书写，然后验算乘法结果。

1. 方程“$30 = 2 \times 3 \times 5$”

1. 树的末端质数被重写为一个横向的乘法表达式。

1. 质数2、3和5同时出现在树与方程中。

2. 乘积仍等于30。

该方程以标准代数形式总结了因数树的结果。

1. 图示
   观察依据

   第二棵因数树位于第一棵树右侧，根节点为30，分出两个分支5和6；其中6再分出两个子分支2和3，末端质数用圆圈标出。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说明：这种不同的起始方式用于检验是否得到相同的质因数。

1. 根节点30

2. 分支节点5和6

3. 子分支2和3

4. 末端质数外加圆圈

1. 一棵新树绘制在第一棵树旁边。

2. 第一次分解不同：30分解为5和6，而非2和15。

3. 复合节点6被展开为2和3。

1. 根节点的数值仍为30。

2. 最终的质数叶节点仍为2、3和5。

并排呈现的两棵树直观地表明：不同的中间因数选择可能导向相同的末级质数集合。

1. 图示
   观察依据

   在“2) 63”下方，板书从63向9和7画出一条分支。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出9和7是63的因数，并说明7是质数，而9是合数。

1. 视频片段结束前未再绘制任何分支。

1. 根节点63

2. 分支节点9和7

1. 一棵新树在例题2下开始构建。

2. 第一次分裂$63 \to 9$, 7被写出。

1. 根节点仍为63。

2. 图中显示的因数对满足$9 \times 7 = 63$。

视觉标记标示出从已完成的例题30过渡到下一个已解例题63。

1. 图示
   观察依据

   黑板始终在顶部显示标题“质因数分解”，其下方为定义，中间横向排列三个编号例题：1) 30，2) 63，3) 48。

1. 标题“质因数分解”

2. 定义句

3. 例题 1：30

4. 例题 2：63

5. 例题 3：48

1. 例2下方的文字从9展开为3和3。

2. 等式$63 = 3 \times 3 \times 7$写在例2下方。

3. 例3下方的文字先从48展开为4和12，再展开为2、2、3以及另一个4，最后展开为2和2。

1. 顶部标题与定义始终可见。

2. 例1和例2保留在屏幕上，同时逐步推导例3。

视觉编排支持并排比较多个因数树示例。

1. 图示
   观察依据

   在9下方的分支以两个3完成，最终等式$63 = 3 \times 3 \times 7$出现在其下方。

1. 对应的式子为：63

2. 对应的式子为：9

3. 对应的式子为：7

4. 对应的式子为：3

5. 对应的式子为：3

6. 等式 $63 = 3 \times 3 \times 7$

1. 9被拆分为3和3。

2. 写出63的乘积表达式。

1. 7作为质数叶节点保持不变。

2. 原始数字63仍为根节点。

类似动画的板书演示表明：当所有叶节点均为质数时，因数分解即告完成。

1. 图示
   观察依据

   板书显示：48被拆分为4和12，接着4被拆分为2和2，然后12被拆分为3和4，最后第二个4被拆分为2和2。

1. 对应的式子为：48

2. 对应的式子为：4

3. 对应的式子为：12

4. 对应的式子为：2

5. 对应的式子为：2

6. 对应的式子为：3

7. 对应的式子为：4

8. 对应的式子为：2

9. 对应的式子为：2

1. 48被拆分为4和12。

2. 左侧的4被拆分为2和2。

3. 12被拆分为3和4。

4. 右侧的4被拆分为2和2。

1. 根仍为48。

2. 每次拆分均保持父因子的乘积不变。

直观的数列演示表明，不同的有效起始因数对可以得到相同的最终质数叶节点。

1. 图示
   观察依据

   黑板中部横向分为三个编号示例：1) 30、2) 63和3) 48。

2. 字幕依据
   观察依据

   顶部的标题与副标题始终显示在示例上方。

1. 标题“质因数分解”

2. 副标题定义文字

3. 1号示例：30

4. 2号示例：63

5. 3号示例：48

6. 底部的乘积等式

1. 除例题3下方逐步书写外，视频片段的大部分时间未引入新的数学内容。

1. 三个编号例题在整个教学部分始终可见。

2. 标题与副标题始终固定显示在顶部。

黑板以一组并列的示范例题呈现质因数分解，本片段中口语强调的是例题48。

1. 动画
   观察依据

   例题3右下方的等式逐次出现：先显示“48”，再显示“48 =”，随后依次添加各个因数，直至整行完整显示为“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”。

2. 声音
   观察依据

   书写过程与说话同步：“我们把它写成48等于2乘以2乘以2乘以2”，然后接着说“乘以3”。

1. 例题3下方的等式行

2. 因数2、2、2、2和3

3. 乘号

1. 随着每个因数被读出并写出，等式从左向右逐步延展。

2. 最终状态是完整的乘积形式：“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”。

1. 在书写等式的过程中，上方的因数分解树保持不变。

2. 原始数字48保留在等号左侧。

动画将因数分解树末端的质数叶子节点与质因数分解的乘法表达式关联起来。

1. 动画
   观察依据

   大约在37秒时，数学板消失，取而代之的是深色黑板风格的结束画面，上面以大号白色文字显示“感谢观看！”

2. 动画
   观察依据

   约在40秒时，文字变为“下次再见……”

3. 动画
   观察依据

   从约42秒开始，屏幕显示文字“和平”，并配有一个绿色的和平手势手形图示。

1. “感谢观看！”文字

2. “下次再见……”文字

3. “和平”文字

4. 绿色和平手势手形图示

1. 教学板被结束文字卡片取代。

2. 文字依次变化为：谢谢、下次再见、和平。

1. 黑板消失后，未再出现任何额外的数学符号。

该时间段充当视频结尾，而非数学讲解的一部分。

1. 声音
   观察依据

   主讲人回应学生可能产生的想法：‘现在你或许在想，5乘以6也等于30。我们能否这样操作？当然可以……无论2在右侧、15在左侧，还是反过来，都不影响结果。两种方式最终得到的质数都相同。’

学生可能认为启动因数树只有一种正确方式，或认为因数的顺序会影响结果。

任何有效的因数对都可用于启动因数树，且分支的左右顺序不会影响最终所得质因数的集合。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将2对比为质数，而15为合数，并继续分解15，直至得到3和5。

2. 图示
   观察依据

   仅圈出质数叶节点，而不圈出合数中间节点15。

有人可能一旦将一个数拆分为两个因数，就立即停止，并将其视作最终的质因数分解。

视频指出，该过程尚未结束，直到每个叶节点都是质数；像15这样的合数分支必须进一步分解。

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确尝试对30采用另一种初始拆分方式，以检验是否得到相同的质因数。

2. 图示
   观察依据

   30对应的两棵分解树最终均得到相同的质数叶节点2、3和5。

学习者可能认为，从5和6开始分解因数树，而非从2和15开始，会导致不同的质因数分解结果。

针对30所展示的两棵已完成的因数树表明，即使初始拆分方式不同，最终得到的质因数仍然相同。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：“我将把这些质因数按从小到大的顺序排列。”

2. 图示
   观察依据

   书面答案为“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

由于讲解员将质因数按从小到大的顺序排列，学习者可能误以为这种排序是保证答案正确的必要条件。

编者说明：对质因数进行排序是一种呈现惯例；其本质要求仅是这些质因数的乘积等于原数。

1. 声音
   观察依据

   在 01：03—01：13 the instructor asks, "Now do we have to start with a two if we have an 偶数 number? No, but it can be a good starting point."

部分学习者可能认为偶数的因数树必须从2开始。

视频明确指出2并非必需的起始因数；它仅是一种便捷的选择。

1. 图示
   观察依据

   在全部三个例子中，复合的中间因数（如15、6、9、4和12）被进一步拆分，而非保留为最终答案。

2. 公式
   观察依据

   最终写出的乘积仅包含质数，不包含中间的合数因数。

1. 视频并未明确将此作为警告提出；该要点是从所展示的方法中推断得出的。

学习者可能误以为只要将一个数拆分为两个因数，因数分解就已完成。

所展示的方法持续分支，直至每个末端节点均为质数；最终乘积中仅使用这些末端质数。

1. 公式
   观察依据

   63的例子写作“$63 = 3 \times 3 \times 7$”，保留了重复的3。

2. 公式
   观察依据

   48的例子写作“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”，保留了全部四个2。

3. 声音
   观察依据

   说话人明确说道：“我们有四个二乘以三。”

1. 视频中并未口头提醒避免合并重复的因数；这一点需从所展示的记号中推断得出。

学习者可能只列出每个不同质因数一次，例如将48写成$2 \times 3$，或将63写成$3 \times 7$。

板书在乘积中保留了重复出现的质因数，以此表明质因数分解中重数至关重要。

1. 声音
   观察依据

   主讲人先从质数角度定义质因数分解，再明确给出质数的定义。

理解什么是质数，是理解质因数分解的前提条件。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将因数树作为求质因数分解的方法进行介绍。

应用因数树法进行质因数分解。

1. 图示
   观察依据

   黑板上关于质因数分解的定义紧随其后，便以30为例展开因数树演算。

2. 声音
   观察依据

   讲解员依据该定义，将30逐步分解为质因数。

因数树法是用于落实黑板上所列质因数分解定义的具体操作工具。

1. 声音
   观察依据

   讲解员根据一个数是合数还是质数，来决定是否继续向下分支。

2. 图示
   观察依据

   合数节点被展开，而质数节点则被画圈。

因数树过程依赖于‘质数—合数’终止规则，以判断某一分支是否完成。

1. 图示
   观察依据

   完成30的因数树后，板书将质数叶节点重写为“$30 = 2 x 3 x 5$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，质因数按从小到大的顺序书写。

因数树完成后，其末端的质数叶节点被转化为质因数分解的标准乘积形式。

1. 声音
   观察依据

   在写出$30 = 2 \times 3 \times 5$后，讲解员验证该乘积是否等于30。

验证步骤依赖于所写的乘积表达式：它检验所声称的质因数能否重构出原数。

1. 图示
   观察依据

   并排展示了30的两棵不同因数树。

2. 声音
   观察依据

   讲解员比较了两棵树的结果，并指出得到了相同的质因数。

“不同的初始拆分方式会得到相同的质因数”这一论断，由针对30所展示的两棵已解因数树直接支持。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：“我们来看第二题，这里给出的是63。”

2. 图示
   观察依据

   板书从已完成的30转向在2) 63下方构建一棵新因数树。

在30上示范的方法随后被用于开始下一个例子63。

1. 字幕依据
   观察依据

   标题将质因数分解定义为：将一个数拆解为若干质因数，这些质因数相乘后等于原数。

2. 图示
   观察依据

   两个已演示的例子均采用分支式因数树，最终抵达质数叶节点。

在因数树方法中，通过应用‘质数与合数节点的终止规则’来生成质因数分解。

1. 声音
   观察依据

   在00:47-00:56处，讲师利用48是偶数这一事实，提出2可作为可能的起始因数。

2. 声音
   观察依据

   在01:23-01:33处，讲师转而以$4 \times 12$作为起始。

关于偶数的命题为讨论48的可能起始因数提供了依据，尽管示例中选择了另一种有效的起始方式。

1. 字幕依据
   观察依据

   字幕将质因数分解定义为：把一个数拆解成若干质数，这些质数相乘后等于原数。

2. 图示
   观察依据

   因数树直观地展示了这种拆解过程。

因数树法正是板书上用来落实质因数分解定义的具体操作步骤。

1. 图示
   观察依据

   每棵因数树中均标出了终止于质数的叶节点。

2. 公式
   观察依据

   这些叶节点被重写为乘积形式，例如“$30 = 2 \times 3 \times 5$”和“$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$”。

当因数树识别出所有质数叶节点后，乘积记号便记录下最终的质因数分解结果。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字：质因数分解的定义

1. 质因数分解的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人讲解并演示因数树法。

1. 因数树法
2. 为30构建因数树

1. 声音
   观察依据

   主讲人讨论其他可能的因数对以及分支的排列顺序。

1. 因数树中初始因数对的选择

1. 图示
   观察依据

   黑板上的标题和副标题定义了本课主题。

1. 质因数分解的定义

1. 图示
   观察依据

   分别为30和63画出因数树。

1. 因数树的操作步骤
2. 利用质数与合数性质确定停止规则

1. 图示
   观察依据

   因数树中末端的质数被圈出。

1. 利用质数与合数性质确定停止规则

1. 图示
   观察依据

   完成因数树后，黑板上写出“$30 = 2 \times 3 \times 5$”。

1. 将最终的因式分解写成有序乘积
2. 对30进行质因数分解，使用两组不同的初始因数对。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将各质因数相乘以验证结果。

1. 通过将素因数重新相乘来验证

1. 图示
   观察依据

   30的两棵不同因数树，最终都得到2、3和5。

1. 不同的初始因数选择，最终为 30 得到相同的质因数。
2. 对30进行质因数分解，使用两组不同的初始因数对。

1. 图示
   观察依据

   黑板从63开始画因数分解树，第一层分支为9和7。

1. 开始对63进行质因数分解。
2. 因数树的操作步骤

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板标题直接定义了质因数分解。

1. 用因数树法进行质因数分解

1. 声音
   观察依据

   教师反复强调：当一个因数是质数时，对应的分支就完成了；当它是合数时，则需要继续分解。

1. 因数树分支的终止规则