利用单调收敛定理证明递归数列收敛：例1

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示的序列项在递推关系式及后续计算中写作$a_n$。

2. 声音
   观察依据

   讲师在书写$a_n$时，提到了这个递归定义的序列及其各项。

$a_n$

本课所研究的实数递归序列的第 n 项。

n 大于等于1

1. 公式
   观察依据

   黑板最上方一行写着$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“考虑 aₙ₊1 等于 $1/3$ 倍的 aₙ 加上 1。”

$a_{n+1}$

由前一项按给定递推关系所定义的序列下一项。

n 大于等于1

1. 公式
   观察依据

   黑板上在递推关系旁注明了条件$n \ge 1$。

2. 声音
   观察依据

   讲师称该递推关系对“n 大于或等于1”成立。

n

序列各项的下标变量。

n 大于等于1

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示了初始条件$a_1=1$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“a 下标1等于……a 下标1等于1。”

$a_1$

数列的首项，用作计算和数学归纳法的基准情形。

固定的初始值

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示了$a_2=\frac{1}{3}[1+1]=\frac{2}{3}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师口头计算$a_2$，将其表述为三分之一乘以一加一，结果为三分之二。

$a_2$

数列的第二项，通过将$a_1=1$代入递推关系式得到。

特定的数列项

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示了$a_3=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}+1\right]=\frac{5}{9}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师口头计算$a_3$，得到九分之五。

$a_3$

数列的第三项，通过将$a_2=\frac{2}{3}$代入递推关系式得到。

特定的数列项

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“断言：$a_n \ge \frac{1}{2}$”。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，第一个断言是：$a_n$项均大于或等于二分之一。

$a_n \ge \frac{1}{2}$

为序列每一项提出的下界。

对所有 $n \ge 1$

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“假设$a_n \ge \frac{1}{2}$”作为归纳假设。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“假设 a 下标 n 大于或等于1除以2。”

$a_n \ge \frac{1}{2}$

在归纳证明中，假设下界命题在第 n 步成立。

对某个固定 n 的归纳假设。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“我们的序列有下界。”

2. 声音
   观察依据

   讲师得出结论：“因此我们的序列有下界。”

bounded from below

结论：存在一个实数 L，使得每个序列项都满足$a_n \ge L$；此处给出的下界是$\frac{1}{2}$。

整个序列所具有的性质

1. 公式
   观察依据

   黑板在递推关系和证明中反复使用$a_n$、$a_{n+1}$和$a_1=1$。

2. 声音
   观察依据

   讲师在推导过程中提到“我们的数列$a_n$” while deriving $a_{n+1}-a_n$。

$a_n$

正在研究的递归定义序列。

对$n\ge 1$定义，且满足$a_1=1$和$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$。

1. 公式
   观察依据

   顶行写明$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$，讲师在其下方写下$a_{n+1}-a_n$。

$a_{n+1}$

递归序列中紧接$a_n$之后的下一项。

对于$n\ge 1$。

1. 公式
   观察依据

   黑板在初始设定的右上方标出$a_1=1$。

$a_1$

该序列的初始值。

一个等于$1$的固定常数。

1. 公式
   观察依据

   顶部板书行：“考虑$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1),\ n\ge 1,\ a_1=1$。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人介绍了一个递归定义的数列，并口头读出递推关系式和初始条件。

视频通过给出后一项关于当前项的规则、一个下标限制以及一个初始值来定义一个数列。屏幕上显示的规则是 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$，其中 $n\ge 1$，且 $a_1=1$。该数列的收敛性后续将通过单调收敛定理进行研究。

1. 该递推关系适用于$n\ge 1$。

2. 初始值固定为$a_1=1$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示希望使用单调收敛定理，因此需要证明该数列既有界，又单调不减或单调不增。

2. 图示
   观察依据

   尚未添加任何新公式；这是计算前的口头证明思路。

主讲人明确将该问题框定为单调收敛定理的一个应用。根据口头陈述的计划，要证明收敛性，只需验证该数列具备两个性质：有界性和单调性。在本例中，主讲人首先致力于证明数列有下界，随后宣布下一步任务是证明该数列单调不增。

1. 该方法应用于一个实数数列。

2. 视频指出了所需条件为有界性加单调性，但并未在黑板上写出单调收敛定理的完整陈述。

1. 该例数列的递归定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$a_2=\frac{1}{3}[1+1]=\frac{2}{3}$和$a_3=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}+1\right]=\frac{5}{9}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，这些数值有助于理解当前趋势，并提到该数列看起来呈下降态势。

在证明一般性结论之前，讲师将初始值代入递推关系，计算出$a_2$和$a_3$。运算结果为$a_2=\frac{2}{3}$和$a_3=\frac{5}{9}$。这些具体项支持了数列递减的直观印象，从而引出后续的单调性检验。

1. 使用递推关系$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$。

2. 从$a_1=1$出发。

1. 该例数列的递归定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“断言：$a_n \ge \frac{1}{2}$”。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，第一个断言是：数列的$a_n$项均大于或等于二分之一。

讲师明确分离出一个待证的辅助命题：该数列每一项都不小于$\frac{1}{2}$。这一断言正是最终应用单调收敛定理所需具备的有界性条件。黑板将其作为独立命题，计划用数学归纳法加以验证。

1. 适用于所有$n\ge 1$。

2. 这是一个待证的下界主张，在归纳证明完成之前尚未得到证实。

1. 该例数列的递归定义
2. 利用单调收敛定理的证明策略

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下“若$n=1$成立，则为真”，接着写下“假设$a_n \ge \frac{1}{2}$”，然后写出推出$a_{n+1}$的蕴含式。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称该命题显然成立，并将用数学归纳法加以证明。

为证明断言 $a_n\ge \frac{1}{2}$对所有 $n\ge 1$成立，讲师使用数学归纳法。黑板上展示的结构包含一个在 $n=1$处的归纳基础，并在归纳步骤中假设不等式在下标 $n$处成立，进而推导出其在下标 $n+1$ 使用递推关系。这是将逐项模式转化为关于整个序列的普遍性陈述的标准方法。

1. 基础情形必须在$n=1$处验证。

2. 归纳假设是$a_n\ge \frac{1}{2}$。

3. 必须利用递推关系从$a_n$过渡到$a_{n+1}$。

1. 数列所声称的普适下界
2. 该例数列的递归定义

1. 公式
   观察依据

   黑板顶部写着：“考虑$a_{n+1}=\frac13(a_n+1),\ n\ge1$”以及$a_1=1$。

2. 公式
   观察依据

   左侧已列出$a_2=\frac13(1+1)=\frac23$和$a_3=\frac13(\frac23+1)=\frac59$。

视频研究由$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$对$n\ge1$所定义的数列，其初始值为$a_1=1$。黑板上展示的前几项为$a_2=\frac23$和$a_3=\frac59$，由此引出后续断言：所有项均不小于$\frac12$。

1. 对应的式子为：$n\ge 1$

2. 对应的式子为：$a_1=1$

1. 声音
   观察依据

   “所以$a_{n+1}$减去$a_n$……我们会得到一个三分之一的$a_n$，再加上一个三分之一……然后这里会有一个负号$a_n$。”

2. 公式
   观察依据

   讲师写下$a_{n+1}-a_n=\frac13a_n+\frac13-a_n=-\frac23a_n+\frac13$。

为检验单调性，讲师从递推关系两边同时减去$a_n$。代入$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$后得到$a_{n+1}-a_n=\frac13a_n+\frac13-a_n$，该式化简为$-\frac23a_n+\frac13$。

1. 使用递推关系$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$。

2. 代数化简将$a_n$项合并。

1. 示例数列的递归定义。

1. 公式
   观察依据

   黑板上蓝色方框标注的断言：“断言：$-\frac23a_n+\frac13\le0 \iff \frac13\le\frac23a_n \iff \frac12\le a_n$。”

2. 声音
   观察依据

   “我们要证明这个值小于或等于零……这恰好等价于说三分之一大于或等于三分之二的$a_n$……我们的断言等价于$a_n$大于或等于二分之一，而这一点我们已通过归纳法得知成立。”

不等式$-\frac23a_n+\frac13\le0$在代数上等价于$\frac13\le\frac23a_n$，两边同除以$\frac23$得到$\frac12\le a_n$。因此，证明$a_{n+1}-a_n\le0$归结为使用先前已确立的下界$a_n\ge\frac12$。

1. 所有变换均可逆，因为它们仅涉及加法/减法以及除以正的常数$\frac23$。

2. 最后的推理步骤使用了业已证明的事实$a_n\ge\frac12$。

1. 根据递推关系计算$a_{n+1}-a_n$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$a_{n+1}-a_n\le0\Rightarrow a_{n+1}\le a_n$，并圈出$a_{n+1}\le a_n$。

2. 声音
   观察依据

   “因此现在我得到$a_{n+1}$减去$a_n$小于或等于零，这意味着$a_{n+1}$小于或等于$a_n$，而这正是说明该数列非增的准确表述。”

1. 口述的‘非减’与黑板上显示的不等式$a_{n+1}\le a_n$以及后续写出的短语‘有界且非增’相矛盾；黑板上的数学内容表明该数列为非增。

一旦确立$-\frac23a_n+\frac13\le0$，讲者即得出结论$a_{n+1}-a_n\le0$，从而得到$a_{n+1}\le a_n$。这正是非增数列的判定准则。黑板随后明确写出‘$\{a_n\}_{n=1}^\infty$有界且非增’。

1. 对每个$n\ge1$均成立，只要下界$a_n\ge\frac12$已知。

1. 差值非正性与界$a_n\ge\frac12$之间的等价性

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出‘$\{a_n\}_{n=1}^\infty$有界且非增’，然后写出‘单调收敛$\Rightarrow a_n\to L$。’

2. 声音
   观察依据

   “因此这使我们能够使用单调收敛定理……意味着$a_n$收敛于某个数$L$。”

由于该数列已被证明有下界且非增，讲者援引单调收敛定理，得出结论：$a_n$收敛于某个实数极限$L$。

1. 该数列必须是单调且有界的。

2. 此处有下界性已在黑板前文给出，而单调性为非增。

1. 从$a_{n+1}-a_n\le0$到$a_{n+1}\le a_n$

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$L=\frac13(L+1)\Rightarrow \frac23L=\frac13\Rightarrow L=\frac12$。

2. 声音
   观察依据

   “左边将收敛于$L$；右边将收敛于$L$的三分之一加一……$L$的三分之二等于三分之一，因此$L$等于二分之一。”

在已知$a_n\to L$后，主讲人对递推式$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$取极限。由于$a_n$和$a_{n+1}$均趋于$L$，所得极限方程为$L=\frac13(L+1)$，化简得$\frac23L=\frac13$，从而得出$L=\frac12$。

1. 要求$a_n$收敛，而这一点已由单调收敛定理得到保证。

2. 隐含地利用了仿射映射$x\mapsto \frac13(x+1)$的连续性，通过逐项取极限实现。

1. 单调收敛定理的应用

1. 公式
   观察依据

   黑板上陈述“命题：$a_n \ge \frac{1}{2}$”，随后得出结论：“我们的序列有下界。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人称该命题已由归纳法证毕，并由此得出该序列有下界。

对于由递推定义的序列，其中 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 且 $a_1=1$，有 $a_n\ge \frac{1}{2}$ 对每个 $n\ge 1$ 成立；因此该序列有下界。

1. $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$对$n\ge 1$成立。

2. 对应的式子为：$a_1=1$。

对所有 $n \ge 1$

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“现在我们来证明该数列是非增的。那么该怎么做呢？我们来看一下相邻项的差。”

2. 图示
   观察依据

   在片段结束前，实际上并未写出差的表达式。

1. 该片段在非增性论证完成之前就结束了。

2. 仅能听到检查差值的意图；实际表达式并未呈现。

讲师宣布下一个目标是证明该数列是非增的，并首先表示将考察相邻项的差。

1. 此前已证得的下界已经确立。

2. 当前讨论的是同一个递归定义的数列。

视频陈述了接下来要证明的命题，但未在此片段内完成证明。

1. 公式
   观察依据

   黑板上的绿色文字：“我们的序列有下界。”

2. 公式
   观察依据

   上方的归纳块中陈述：“断言：$a_n\ge\frac12$”，“当$n=1$时成立”，并使用$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)\ge\frac13(\frac12+1)=\frac12$完成归纳步骤。

对所有$n\ge1$，均有$a_n\ge\frac12$，因此该序列有下界。

1. $a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$对$n\ge1$成立

2. 对应的式子为：$a_1=1$

3. 归纳法已在本片段主要推导开始前在黑板上完成。

对每个整数$n\ge1$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$a_{n+1}-a_n\le0\Rightarrow a_{n+1}\le a_n$，随后写“有界且非增”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称此为‘说明我们的序列是非减的精确条件’，但所展示的数学表达式及后续书写均表明其为非增。

1. 口述的‘非减’与所写的不等式方向及后续书写的结论‘非增’不一致。

对所有$n\ge1$，$a_{n+1}\le a_n$；等价地，$\{a_n\}$是非增的。

1. $a_n\ge\frac12$对所有$n\ge1$成立

2. 对应的式子为：$a_{n+1}-a_n=-\frac23a_n+\frac13$

对每个整数$n\ge1$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写：“单调收敛$\Rightarrow a_n\to L$。”

2. 声音
   观察依据

   ‘这使我们能够使用单调收敛定理……意味着$a_n$收敛于某个数$L$。’

由于$\{a_n\}_{n=1}^\infty$有界且单调（非增），它收敛于某个实数$L$。

1. $\{a_n\}$有下界

2. $\{a_n\}$是非增的

存在一个实数$L$，使得$a_n\to L$当$n\to\infty$时。

1. 公式
   观察依据

   黑板上求解$L=\frac13(L+1)\Rightarrow \frac23L=\frac13\Rightarrow L=\frac12$。

2. 声音
   观察依据

   “因此$L$等于二分之一……我们的数列……利用单调收敛定理收敛于二分之一。”

若$a_n\to L$，则$L=\frac12$；故该递归定义的数列收敛于$\frac12$。

1. 对应的式子为：$a_n\to L$

2. 对应的式子为：$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$

对于极限$L=\lim_{n\to\infty}a_n$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上依次写出$a_2=\frac{1}{3}[1+1]=\frac{2}{3}$和$a_3=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}+1\right]=\frac{5}{9}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师逐个讲解每次代入与化简过程。

1. 公式

   $$a_2=\frac{1}{3}[1+1]$$
   解释

   将初始值$a_1=1$代入递推式$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$，其中$n=1$。

   步骤依据

   直接运用递归定义及给定的初始条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a_2=\frac{2}{3}$$
   解释

   将括号内化简为$2$，再乘以$\frac{1}{3}$。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$a_3=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}+1\right]$$
   解释

   将$a_2=\frac{2}{3}$代入递推式，其中$n=2$。

   步骤依据

   直接运用递归定义，并结合刚刚算出的$a_2$的值。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a_3=\frac{5}{9}$$
   解释

   重写$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，然后乘以$\frac{1}{3}$。

   步骤依据

   分数加法与乘法。

   视频直接表达

算得的项为$a_2=\frac{2}{3}$和$a_3=\frac{5}{9}$，从直观上看，该数列呈下降趋势。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在命题 $n=1$ 下方写下“若 $a_n\ge \frac{1}{2}$ 则成立”。先前的黑板还显示了 $a_1=1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称该命题显然成立，并开始用数学归纳法证明。

1. 显式不等式$1\ge \frac{1}{2}$并未单独写在黑板上，但它可直接由所展示的$a_1=1$推出。

1. 公式

   $$a_1=1$$
   解释

   数列的初始值写在黑板上。

   步骤依据

   递归定义数列所给定的假设。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1\ge \frac{1}{2}$$
   解释

   因此，当$n=1$时，所声称的不等式成立。

   步骤依据

   实数之间的基本比较。

   依据视频推导

命题$a_n\ge \frac{1}{2}$对$n=1$成立，故归纳法的初始情形成立。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出“假设$a_n\ge \frac{1}{2}$”，然后是链式表达式$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)\ge \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{2}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：根据归纳假设，该量至少为二分之一加一的三分之一，再化简得二分之一。

1. 公式

   $$a_n\ge \frac{1}{2}$$
   解释

   假设所期望的不等式在指标$n$处成立。

   步骤依据

   归纳假设。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$$
   解释

   利用递推关系写出下一项。

   步骤依据

   递归定义的数列的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$a_{n+1}\ge \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+1\right)$$
   解释

   在单调递增的仿射表达式中，将 $a_n$ 替换为其下界$\frac{1}{3}(x+1)$。

   步骤依据

   加法与乘以正的常数$\frac{1}{3}$的单调性，应用于归纳假设。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}$$
   解释

   化简括号内的和。

   步骤依据

   分数运算：$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$
   解释

   将分数相乘，得到最终的下界。

   步骤依据

   有理数运算中的约分。

   视频直接表达

若 $a_n\ge \frac{1}{2}$，则 $a_{n+1}\ge \frac{1}{2}$。结合基础情形，数学归纳法证明 $a_n\ge \frac{1}{2}$ 对所有 $n\ge 1$ 成立。

1. 声音
   观察依据

   讲师通过代入递推关系式并合并同类项，口述计算出$a_{n+1}-a_n$。

2. 公式
   观察依据

   书写结果：$a_{n+1}-a_n=\frac13a_n+\frac13-a_n=-\frac23a_n+\frac13$。

1. 公式

   $$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$$
   解释

   从给定的递推关系式出发。

   步骤依据

   序列的给定定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3}(a_n+1)-a_n$$
   解释

   等式两边同时减去$a_n$。

   步骤依据

   对等式的代数变形。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{3}-a_n$$
   解释

   将因子$\frac13$分配到$a_n+1$上。

   步骤依据

   乘法分配律。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}$$
   解释

   合并$a_n$项：$\frac13a_n-a_n=-\frac23a_n$。

   步骤依据

   同类项合并。

   视频直接表达

相邻两项的差为$a_{n+1}-a_n=-\frac23a_n+\frac13$。

1. 公式
   观察依据

   黑框标出的等价链：$-\frac23a_n+\frac13\le0\iff \frac13\le\frac23a_n\iff \frac12\le a_n$。

2. 声音
   观察依据

   讲师解释道，证明该表达式为$\le0$等价于$a_n\ge\frac12$，而后者已通过归纳法获知。

1. 公式

   $$-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}\le 0$$
   解释

   写出关于该差值的目标不等式。

   步骤依据

   目标是证明$a_{n+1}-a_n\le0$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{1}{3}\le \frac{2}{3}a_n$$
   解释

   将$a_n$项移至不等式另一边。

   步骤依据

   在不等式两边同时加上$\frac23a_n$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{1}{2}\le a_n$$
   解释

   两边同除以正数$\frac23$。

   步骤依据

   除以一个正常数不改变不等号方向。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a_n\ge \frac{1}{2}$$
   解释

   认出这正是此前已证得的下界。

   步骤依据

   此前已在黑板上通过归纳法建立。

   视频直接表达

由于$a_n\ge\frac12$，可推出$-\frac23a_n+\frac13\le0$，从而得到$a_{n+1}-a_n\le0$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$L=\frac13(L+1)\Rightarrow \frac23L=\frac13\Rightarrow L=\frac12$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，左边收敛于$L$，右边收敛于$\frac13(L+1)$，然后解出$L$。

1. 公式

   $$a_n\to L$$
   解释

   利用单调收敛定理所确立的收敛性。

   步骤依据

   有界单调数列必收敛。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a_{n+1}\to L$$
   解释

   收敛数列的平移子列具有相同极限。

   步骤依据

   数列极限的标准性质。

   依据视频推导
3. 公式

   $$L=\frac{1}{3}(L+1)$$
   解释

   在递推关系$a_{n+1}=\frac13(a_n+1)$中取极限。

   步骤依据

   仿射函数$x\mapsto \frac13(x+1)$的连续性及极限运算法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{2}{3}L=\frac{1}{3}$$
   解释

   展开并合并含$L$的项。

   步骤依据

   代数运算：$L-\frac13L=\frac13$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$L=\frac{1}{2}$$
   解释

   解出$L$。

   步骤依据

   两边同乘$\frac32$。

   视频直接表达