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弧长

对足够正则的曲线积分其速率可得到弧长。

从不同角度理解

例题讲解：曲线弧长 | 定积分的应用 | AP 微积分 BC | 可汗学院
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已审核中文素材 v1：card「弧长公式」出现在 1:20——用于计算函数 $f(x)$ 在区间 [a, b] 上所定义曲线长度的公式。

关于弧长的常见问答

这里使用的 $\sqrt{u}$ 的原函数是什么？

$\sqrt{u}$ 的原函数是通过将平方根重写为分数幂 $u^{1/2}$ ，然后应用积分的幂法则来求得的。幂法则指出 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ 。对于 $n = 1/2$ ，这产生 $\frac{u^{3/2}}{3/2}$ ，简化后为 $\frac{2}{3}u^{3/2}$ 。

被积函数是 $\sqrt{u}$ ，等同于 $u^{1/2}$ 。
积分的幂法则适用。
对于实数值的平方根形式， $u \ge 0$ 。

例子：讲师解释说， $u^{1/2}$ 的原函数是 $u^{3/2}$ 除以 $3/2$ ，也就是乘以 $2/3$ 。黑板上将原函数显示为 $\frac{2}{3}u^{3/2}$ 。

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为什么在这个演示示例中 $9^{3/2}-1^{3/2}$ 变成 26？

表达式 $9^{3/2}-1^{3/2}$ 变成 26，因为 $9^{3/2}$ 的计算结果是 27，而 $1^{3/2}$ 的计算结果是 1。幂 $9^{3/2}$ 可以通过取 9 的平方根（即 3），然后对其进行立方来计算，结果为 $3^3 = 27$ 。从 27 中减去 1 得到 26。

该表达式使用整数幂进行精确计算。
$9^{3/2} = 27$ 且 $1^{3/2} = 1$ 。

例子：演讲者说道，“然后我们在里面会有 27 减 1 ……所以 27 减 1 就是 26。”黑板显示了从带括号的表达式到 $\frac{8}{27}\cdot 26$ 的转变。

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如何设置定积分以求曲线 $y = x^{3/2}$ 在区间 [0, $32/9$ ] 上的弧长？

要为曲线 $y = x^{3/2}$ 在区间 $[0, 32/9]$ 上的弧长设置定积分，首先应用幂法则求函数的导数，即 $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$ 。接下来，对该导数进行平方得到 $(f'(x))^2 = \frac{9}{4}x$ 。最后，将平方后的导数和积分限代入一般弧长公式 $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$ ，得到具体的积分 $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$ 。

曲线由函数 $f(x) = x^{3/2}$ 定义。
积分区间为 $[0, 32/9]$ 。
弧长公式 $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$ 适用。

例子：视频通过陈述函数 $y = x^{3/2}$ ，应用幂法则得到 $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$ ，将其平方得到 $\frac{9}{4}x$ ，并将这些代入公式以建立积分 $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$ 来演示这一设置过程。

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为什么主讲人在完成弧长积分之前提取公因数 $2/3$ ？

主讲人提取公因数 $\frac{2}{3}$ 是为了使随后的算术简化更容易。在上限和下限处评估原函数后，括号内的两项都包含因子 $\frac{2}{3}$ 。提取它允许主讲人将外部常数 $\frac{4}{9}$ 与 $\frac{2}{3}$ 结合得到 $\frac{8}{27}$ ，然后只需计算幂的差 $9^{3/2} - 1^{3/2}$ 。

要计算的表达式是 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$ 。
括号内的两项都包含相同的因子 $\frac{2}{3}$ 。

例子：演讲者明确说道，“实际上让我们只提取三分之二。这样更容易。”然后黑板显示了从 $\frac{4}{9}\left[\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\right]$ 到 $\frac{8}{27}\cdot 26$ 的转变。

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弧长公式有效需要哪些条件？

为了使弧长公式 $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$ 有效，函数 $f(x)$ 必须在闭区间 $[a, b]$ 上连续，并且其导数 $f'(x)$ 也必须在 $[a, b]$ 上连续。这些条件确保了曲线足够平滑，使得积分能够准确地表示其长度。

曲线由函数 $y = f(x)$ 定义。
积分区间为 $[a, b]$ 。
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。
$f'(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

例子：视频明确列出了弧长公式知识点的条件：“ $f(x)$ 必须在 [a, b] 上连续”和“f'(x) 必须在 [a, b] 上连续”。在演示示例中， $f(x) = x^{3/2}$ 和 $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$ 在 $[0, 32/9]$ 上都是连续的。

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显示的弧长积分获得的最终精确值是多少？

显示的弧长积分获得的最终精确值是 $\frac{208}{27}$ 。这是通过将外部常数 $\frac{8}{27}$ 乘以计算出的括号差值 26 来计算的。演讲者将乘法 $8 \cdot 26$ 分解为 $160 + 48$ 以得到分子 208，分母保持为 27。

积分已经完全代换并计算到 $\frac{8}{27}\cdot 26$ 这一步。
算术简化 $8 \cdot 26 = 208$ 是精确执行的。

例子：演讲者总结道，“所以它是 27 分之 208。我们就完成了。”黑板上写着 $=\frac{208}{27}$ 并将其框起来以标记演示示例的结束。

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在定积分中使用 u-代换时，积分限如何变化？

在定积分中使用 u-代换时，必须以 $x$ 表示的原始积分限必须转换为以 $u$ 表示的新积分限。这是通过将原始 $x$ 界限代入代换方程 $u(x)$ 来完成的。对于 $x$ 从 $0$ 到 $32/9$ 且 $u = 1 + \frac{9}{4}x$ 的弧长积分，下限变为 $u = 1 + \frac{9}{4}(0) = 1$ ，上限变为 $u = 1 + \frac{9}{4}(\frac{32}{9}) = 9$ 。

积分是定积分。
正在使用代换 $u = u(x)$ 。
原始积分限是以 $x$ 给出的。

例子：在演示示例中，讲师说道，“然后我们只需改变积分的界限。”他代入 $x=0$ 得到 $u=1$ ，代入 $x=32/9$ 得到 $u=9$ ，将积分界限从 $x$ 的 $[0, 32/9]$ 转换为 $u$ 的 $[1, 9]$ 。

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为什么在这个弧长积分中选择 $u = 1 + 9/4x$ ？

选择代换 $u = 1 + \frac{9}{4}x$ 是因为它正是弧长积分 $\int_0^{32/9}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx$ 中根号下的表达式。通过将 $u$ 设为这个内部表达式，复杂的被积函数简化为 $\sqrt{u}$ ，这使得使用幂法则进行积分变得容易得多。对 $u$ 求导得到 $\frac{du}{dx} = \frac{9}{4}$ ，从而允许将 $dx$ 替换为 $\frac{4}{9}du$ 。

要计算的积分是 $\int_0^{32/9}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx$ 。
被积函数在平方根下包含一个复合表达式。

例子：讲师明确说道，“直接使用代换。所以是 u-代换，”并写出 $u = 1 + \frac{9}{4}x$ ，因为它正是根号下的表达式，将被积函数变成了 $\sqrt{u}$ 。

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