时间序列讲座：ARIMA 模型

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，每月售出的锚的数量由变量 aₜ 表示。

2. 图示
   观察依据

   上方图像的纵轴标注为 aₜ，横轴标注为 t。

$a_t$

在时间周期 t 售出的锚的数量（单位：千个）。

t 表示月份或时间周期。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说明 t 即当前所处的月份或时间周期。

2. 图示
   观察依据

   两张图像均以 t 作为横轴标签。

t

时间索引，特指月份或时间周期。

示例中的离散时间周期。

1. 图示
   观察依据

   下方图像的纵轴标注为 zₜ。

2. 公式
   观察依据

   图中显示的关系式为 zₜ = $a_{t+1} - a$ₜ。

$z_t$

由 aₜ 的连续取值所得的差分序列。

由图中所示公式 zₜ = $a_{t+1} - a$ₜ 定义。

1. 声音
   观察依据

   主讲人介绍了ARIMA模型，并随后指出ARIMA代表自回归积分移动平均。

2. 图示
   观察依据

   黑板上的标题为ARIMA模型。

ARIMA

自回归积分移动平均模型。

本视频片段中讨论的时间序列模型类别。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问字母I在此处的含义，随后说明I代表积分。

2. 图示
   观察依据

   左侧缩写列表中，I旁边写着“Integrated”（积分）。

I

ARIMA的积分部分。

ARIMA缩写的一部分。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出AR代表自回归。

2. 图示
   观察依据

   左侧列表将A与Auto（自）、R与Regressive（回归）配对。

AR

模型名称中的自回归部分。

ARMA/ARIMA命名中的组成部分。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出 MA 代表移动平均。

2. 图示
   观察依据

   左侧列表将 M 与“移动”配对，A 与“平均”配对。

MA

模型名称中的“移动平均”部分。

ARMA/ARIMA 命名中的一个组成部分。

1. 图示
   观察依据

   右侧一个部分可见的公式中包含 $\phi_1$ 和省略号。

1. 完整公式被截断，无法完全辨识。

2. 主讲人在该片段中未解释此公式。

$\phi_1$

出现在黑板右侧一个部分可见的 ARIMA 相关公式中的一个系数。

仅部分显示；本片段中无法获得完整上下文。

1. 图示
   观察依据

   右侧一个部分可见的公式中包含 $\varepsilon_{t-1}$ 和 $\varepsilon_t$。

1. 完整公式被截断，无法完全辨识。

2. 该片段中未对这些符号作任何口头解释。

$\varepsilon_t$

出现在黑板右侧部分可见公式中的误差项或创新项。

仅部分显示；本片段中无法获得完整上下文。

1. 图示
   观察依据

   白板顶部中央显示标题“ARIMA模型”。

ARIMA

正在介绍的时间序列模型名称；左侧一栏将其展开为自回归积分移动平均。

时间序列建模的记号。

1. 图示
   观察依据

   右上方的图示是一个标注为“= $q_t$”的锚点。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说明该示例涉及“以千为单位售出的锚点数量”。

$q_t$

时刻t的原始时间序列值，由锚点图示表示，并用于差分公式中。

观测时间索引t；其取值通过口头描述给出，即以千为单位售出的锚点数量。

1. 公式
   观察依据

   两幅图之间，白板上写着“$z_t = q_{t+1} - q_t$”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将新序列$z_t$定义为从一个时间戳到前一个时间戳的差值。

$z_t$

通过对下一个原始值减去当前原始值得到的差分后时间序列。

时间索引t；由连续的q值构造而成。

1. 声音
   观察依据

   说话者表示将介绍时间序列分析中的一种模型，称为ARIMA模型。

2. 图示
   观察依据

   黑板标题为ARIMA MODEL。

该片段将ARIMA作为时间序列模型进行介绍。说话者指出，AR与MA分别代表自回归与移动平均，听众已对此有所了解，并着重解释新增的I成分。

1. 讨论属于时间序列分析范畴。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，ARIMA代表自回归积分移动平均，其中I代表积分。

2. 图示
   观察依据

   黑板左侧列表逐词写出：Auto、Regressive、Integrated、Moving、Average。

ARIMA通过语言描述与视觉呈现被定义为自回归积分移动平均；相对于ARMA，新增的要素是积分项，以I表示。

1. ARIMA模型简介

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，AR、MA或ARMA模型要求时间序列是平稳的。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将平稳性概括为：均值恒定、方差随时间恒定，且无季节性。

1. 该片段提供的是概述，而非形式化定义。

2. 主讲人说‘等等’，表明还有其他条件被省略。

视频指出，AR、MA 和 ARMA 模型均要求平稳性。在口述的概述中，平稳性意味着序列具有恒定均值、随时间恒定的方差，且无季节性。

1. 据主讲人所述，该要求适用于 AR、MA 和 ARMA 模型。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该序列除均值在移动外，看似平稳，因此不能直接使用标准 ARMA 模型。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，当序列除均值在移动外看似平稳时，应使用 ARIMA 模型。

ARIMA 中的差分部分被呈现为一种机制，用于处理那些本适合 ARMA 建模、但均值趋势非恒定的序列。该片段将 ARIMA 描述为对 ARMA 在此类情形下的扩展。

1. 当序列除均值在移动或存在趋势外，其余方面看似平稳时使用。

1. AR/MA/ARMA 模型的平稳性要求
2. ARIMA缩写的含义

1. 图示
   观察依据

   左栏在标题“ARIMA MODEL”下方依次写出“Auto”、“Regressive”、“Integrated”、“Moving”、“Average”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“在你因‘积分’二字而慌乱之前，请先明白：此处的‘Integrated’并非指微积分中的积分；它仅仅表示——我们不是直接预测时间序列本身，而是预测该序列在相邻两个时间戳之间的差值。”

本片段中，“Integrated”并不指向微积分中的积分运算，而是指对原始时间序列的差分进行建模，而非对原始序列本身建模。黑板通过将差分序列置于原始序列下方，并在二者之间写出变换式，直观地支持了这一解释。

1. 适用于本导论性片段所阐释的 ARIMA 术语。

2. 该解释以宏观层面展开，而非借助形式化理论。

1. 公式
   观察依据

   黑板在上下两幅图之间显示“$z_t = q_{t+1} - q_t$”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们将创建一个名为 Z 下标 T 的新时间序列，其定义为 A 下标 T 加一减去 A 下标 T。”

3. 声音
   观察依据

   随后他以二月锚点数减去一月锚点数为例，生成新序列中的一个数据点。

1. 口述时读作字母“A”，但板书公式中使用的是 q；板书公式更清晰，以板书为准。

视频引入了一个经变换得到的序列 $z_t$，该序列由对原始序列逐项取相邻时点之差而形成。板书上明确写出 $z_t = q_{t+1} - q_t$，主讲人解释为：用当月数值减去上月数值，从而得到新序列中的一个数据点。

1. 要求时间序列有序，且各项数值按时间索引。

2. 该片段通过具体的月度示例来讲解相邻时点的差分操作。

1. ARIMA 中“Integrated”的含义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出原始序列“看起来基本呈线性”，即围绕一条线性趋势存在随机波动。

2. 声音
   观察依据

   他接着说：“从线性函数的一个点走到下一个点，只需加上某个固定值”，因此差分结果应在某一常数附近波动。

3. 图示
   观察依据

   上方图示为一条橙色上升的锯齿状折线，视觉上符合“趋势加噪声”的特征。

该片段通过观察发现原始序列除随机噪声外近似呈线性，从而引出差分操作：对于线性函数，向前移动一个时间步长，函数值的变化量为常数，因此逐项取相邻差分可消除趋势成分，仅留下在恒定水平附近波动的数值。

1. 该论证以直观方式呈现，适用于近似线性趋势的情形。

2. 视频明确指出，此处不会深入理论探讨。

1. 差分序列 $z_t$ 的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“因此，我们已解决了时间序列非平稳的问题。现在它在时间上具有恒定的均值。”

2. 图示
   观察依据

   下方图示以粉红色锯齿状线条绘制，该线条在某一水平线上下振荡，而非持续上升。

3. 动画
   观察依据

   临近结尾时，演示者在下方图中添加了一条水平虚线，用以标示差分序列所围绕波动的水平。

1. 该片段以口头方式陈述了结论，但并未在此节选中对平稳性给出形式化定义。

在解释为何线性趋势的差分应大致为常数之后，视频得出结论：变换后的序列如今在时间上具有恒定均值，因此不再像原始的趋势性序列那样以相同方式表现出非平稳性。下方图表通过展示围绕稳定水平的波动，直观地强化了这一结论。

1. 这是视频对差分图的高层次解读。

2. 本片段未阐明平稳性的形式化条件。

1. 差分序列 $z_t$ 的定义
2. 为何当原始序列具有线性趋势时，差分操作会起作用

1. 声音
   观察依据

   主讲人将 ARIMA 定义为具有三个参数 p、d、q 的模型，其中 p 为自回归阶数，q 为移动平均阶数，d 为积分阶数。

2. 公式
   观察依据

   ARIMA(1,1,1) 及 p、d、q 写在黑板上。

ARIMA 模型通过增加差分阶数 d 将 ARMA 模型加以扩展。在记号 ARIMA(p,d,q) 中，p 表示自回归阶数，d 表示积分阶数（即差分阶数），q 表示移动平均阶数。本片段以 ARIMA(1,1,1) 作为最简单的例子。

1. p 是自回归部分的阶数

2. q 是移动平均部分的阶数

3. d 是差分整合部分的阶数

4. 本片段中的示例为 $p=1$, $d=1$, $q=1$

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出 $d=1$ 表示一阶差分，因为他们仅进行了首次差分。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $Z_t = q_{t+1} - q_t$。

一阶差分将原始的水平序列 $q_t$ 替换为一个由连续差分构成的新序列 $Z_t$。这正是对应于 $d=1$ 的整合步骤。

1. 原始序列按时间索引

2. 进行了一次差分

3. 这对应于$d=1$，在ARIMA(1,1,1)中。

1. ARIMA(p,d,q) 的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，你也可以选择进行二阶差分，从而构造出类似 $w_t = z_{t+1} - z_t$ 的新序列；你甚至可以进行三阶差分，但通常一阶差分已足够，具体取决于任务需求。

1. 黑板上未写出三阶差分的显式公式。

如果一阶差分仍不足够，那么差分后的序列本身还可以再次进行差分。视频片段将二阶差分描述为构造 $W_t = Z_{t+1} - Z_t$，并指出更高阶的差分虽有可能，但通常并不必要。

1. 在初始差分步骤之后应用

2. 当需要更多差分时使用

3. 主讲人表示，通常一阶差分已足够，但具体取决于任务需求

1. ARIMA 中的一阶差分

1. 声音
   观察依据

   主讲人写出并解释了最简单的 ARIMA 形式为 1,1,1，其表达式为 $Z_t$ = phi_1 $Z_{t-1}$ + theta_1 epsilon_{t-1} + epsilon_t。

2. 公式
   观察依据

   完整的方程显示在黑板上。

对于示例 ARIMA(1,1,1)，所建模的差分序列 $Z_t$ 等于滞后差分值的自回归项，加上滞后误差的移动平均项，再加上当前误差。

1. 这是具体的 $p=1$、$d=1$、$q=1$ 情形

2. $Z_t$ 必须已经是差分后的序列

3. 该方程是针对差分变量而非原始水平变量写出的

1. ARIMA(p,d,q) 的定义
2. ARIMA 中的一阶差分

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，在此处不能直接使用 AR、MA 甚至 ARMA 模型，因为这些模型均要求时间序列是平稳的。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出均值正以线性方式向上移动，因此无法直接使用标准的ARMA模型。

1. 该主张在此片段中是以非正式方式提出的，而非给出严格证明。

如果一个时间序列不是平稳的，那么AR、MA和ARMA模型便不能直接应用于它。

1. 当前讨论的序列具有非常数的均值趋势。

针对本片段中提到的AR、MA和ARMA模型。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，在此类情形下——即序列看似平稳，唯独均值在持续变动——应使用ARIMA模型。

1. 这是一个实践性动机陈述，而非形式化定理。

当一个序列除均值变动外看起来是平稳的，此时ARIMA模型是恰当的选择。

1. 该序列在其他方面满足本片段中所讨论的类平稳性条件。

针对说话者所描述的这类情形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，对于线性函数，从一个点到下一个点的增量是恒定值，因此其差分始终为常数。

1. 该陈述是针对所绘示例进行的非正式说明，而非在此片段中以代数方式加以证明。

如果一个函数是线性的，那么从一个输入移动到下一个输入时，输出的变化量恒定，因此逐次差分是常数。

1. 将潜在趋势视为线性的。

2. 连续观测在等时间间隔上进行。

针对线性函数的连续点。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，经过差分后，该序列预期将在某个常数附近波动，而这解决了非平稳性问题。

2. 图示
   观察依据

   下方图示显示差分后的序列在某一水平附近波动，并在末尾附近添加了一条虚线水平线。

1. 该片段将此作为示例所引出的直观结论，而非带有完整假设的一般性定理。

对于所展示的示例，对原始具有趋势的序列进行差分，得到的新序列随时间推移在某个常数均值附近波动。

1. 原始序列具有近似线性的趋势并叠加了噪声。

2. 应用变换 $z_t = q_{t+1} - q_t$。

针对图示的时间序列示例进行陈述。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出该序列在时间上具有恒定的标准差且无季节性，因此他们可以更有信心地使用 ARIMA 模型。

1. 该片段将此作为口头前提提出，但未从数学上形式化平稳性。

若该序列在时间上具有恒定的标准差且无季节性，则说话者认为采用 ARIMA 建模更为恰当。

1. 时间上恒定的标准差

2. 无季节性

针对本片段中所讨论的序列。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，本例中我们取d等于一，即一阶差分，因为我们仅进行了首次差分。

在所展示的 ARIMA(1,1,1) 示例中，$d=1$ 表示对原始序列进行一阶差分。

1. 该模型为 ARIMA(1,1,1)

2. 该序列已被差分一次

针对黑板上所展示的示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“ARIMA 模型并不比单纯的 ARMA 模型复杂多少。”

2. 公式
   观察依据

   在由 $q_t$ 定义 $Z_t$ 后，黑板上保持了相同的 ARMA 风格结构。

在本讲解中，ARIMA 被描述为本质上是在对具有趋势的时间序列进行差分变换后，所使用的 ARMA 模型。

1. 该时间序列呈现出明显的向上或向下线性趋势。

2. 差分后的序列是 ARMA 方程所作用的对象。

针对黑板上展示的ARIMA建模设置。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，差分阶数的选择本质上取决于时间序列何时变得平稳。

2. 声音
   观察依据

   主讲人补充道，若一阶差分后仍未平稳，可尝试二阶或三阶差分，但通常应尽可能保持阶数最低。

1. 该片段未对平稳性作形式化定义，也未指明具体的统计检验方法。

差分阶数 d 应选取为使变换后的时间序列达到平稳性的最小可能值，且优先选用其中最小的阶数。

1. 建模者可通过观察差分后的时间序列图来判断其是否平稳。

2. 若较低阶数的差分无法实现平稳性，则可采用更高阶数的差分。

ARIMA建模中关于选择 d 的实用准则。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，此时调整 p 或 q 就等同于拟合一个ARMA模型。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，AR部分的滞后项个数对应参数 p，MA部分的误差滞后项个数对应参数 q。

在所示的ARIMA模型中，p决定自回归滞后项的个数，q决定移动平均误差滞后项的个数，这与ARMA模型中的定义一致。

1. 该序列已按d阶进行过差分。

针对ARIMA(p,d,q)模型中的AR部分和MA部分。

1. 图示
   观察依据

   上方图表展示了 $a_t$ 随 t 变化的图像，是一条向上趋势的锯齿状橙色折线。

2. 公式
   观察依据

   两图之间有一条向下箭头，标注为 $z_t = a_{t+1} - a_t$。

3. 图示
   观察依据

   下方图表展示了 $z_t$ 随 t 变化的图像，是一条围绕某一水平线起伏较小的锯齿状紫色折线。

1. 该片段通过视觉方式直观呈现了这一变换，但并未证明 $z_t$ 的平稳性。

1. 公式

   $$a_t$$
   解释

   从原始的月度销售序列开始，该序列以时间为横轴绘制成图。

   步骤依据

   这是主讲人引入的变量，并在上方图表中标注出来。

   视频直接表达
2. 公式

   $$z_t = a_{t+1} - a_t$$
   解释

   通过将每个数值从其后一个数值中减去，构造一个新的序列。

   步骤依据

   该关系式明确写在两个图表之间的黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$z_t$$
   解释

   所得的下方图表代表经过变换后的序列。

   步骤依据

   下方图表标注为 $z_t$，是所展示减法规则的输出结果。

   视频直接表达

该片段利用所展示的公式 $z_t = a_{t+1} - a_t$，说明如何将具有趋势的序列 $a_t$ 转换为更平缓的序列 $z_t$，从而为 ARMA 建模前的“单整”步骤提供直观动机。

1. 声音
   观察依据

   主讲人先将原始序列描述为“带噪声的线性序列”，再解释线性函数的恒定增量，最后指出差分值在某个常数附近波动。

2. 图示
   观察依据

   黑板上对比了上方一条上升序列与下方一条波动序列，二者通过关系式 $z_t = q_{t+1} - q_t$ 相关联。

1. 这是一种直观推导，而非形式化证明；屏幕上未展示 $q_{t+1}-q_t$ 的代数展开过程。

1. 公式

   $$$$
   解释

   观察发现，原始绘制的序列除存在噪声外，整体近似呈线性。

   步骤依据

   主讲人明确将上方序列描述为“基本上是线性的”，即其围绕一条线性趋势存在噪声。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   回想一下，线性函数在相邻步长之间的变化量是恒定的。

   步骤依据

   主讲人指出，要从线性函数的一个点到达下一个点，需加上某个常数值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$z_t = q_{t+1} - q_t$$
   解释

   对原始序列实施逐次差分，以构造一个新的序列。

   步骤依据

   该变换写在黑板上，并被口头描述为利用相邻值来构造 Z 下标 T。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   得出结论：差分后的数值应在某一恒定水平附近波动，而不会持续上升。

   步骤依据

   说话者指出，若计算一个时间戳与前一个时间戳之间的差值，我们预期该差值将围绕某个常数上下波动。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   将下方图像解释为经过变换后的序列，并说明它现在具有随时间保持不变的均值。

   步骤依据

   说话者指向下方图像并说道：“因此，我们已解决了原始时间序列非平稳的问题；现在它具有随时间保持不变的均值。”

   视频直接表达

该片段的推理是：差分消除了明显的线性趋势，留下一个围绕稳定均值上下波动的序列。

1. 声音
   观察依据

   演讲者逐项构建方程，并将每一部分分别标识为自回归项（AR）、移动平均项（MA）或当前误差项。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的内容由空白变为 $Z_t$ = phi_1 $Z_{t-1}$ + theta_1 epsilon_{t-1} + epsilon_t。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从 ARIMA(p,d,q) 的一般参数含义出发：p 控制自回归阶数，d 控制差分阶数，q 控制移动平均阶数。

   步骤依据

   演讲者在定义 ARIMA(1,1,1) 时直接说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$Z_t = q_{t+1} - q_t$$
   解释

   由于 $d=1$，需用原始序列的一阶差分替代其原始水平序列，并对该新序列建模。

   步骤依据

   口述讲解，同时黑板上已写出公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\phi_1 Z_{t-1}$$
   解释

   由于 $p=1$，在差分序列中加入一个自回归滞后项。

   步骤依据

   主讲人明确将这部分称为自回归部分。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\theta_1 \epsilon_{t-1}$$
   解释

   由于 $q=1$，在误差项中加入一个移动平均滞后项。

   步骤依据

   主讲人明确将这部分称为移动平均部分。

   视频直接表达
5. 公式

   $$+ \epsilon_t$$
   解释

   加上当前时刻的误差项，以完成模型方程。

   步骤依据

   主讲人说，我们当然包含当前时段的误差项。

   视频直接表达
6. 公式

   $$Z_t = \phi_1 Z_{t-1} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t$$
   解释

   将各部分组合起来，得到差分序列的完整 ARIMA(1,1,1) 方程。

   步骤依据

   这是黑板上最终写出的方程。

   视频直接表达

该片段通过先进行一阶差分，再向差分序列添加一个自回归滞后项和一个移动平均滞后项，推导出具体的 ARIMA(1,1,1) 模型。

1. 公式
   观察依据

   逐步代数展开过程写在黑板左下方。

2. 声音
   观察依据

   主讲人口头演示代入过程：“$a_k$ 等于 $z_{k-1}$ 加上 $a_{k-1}$。我们继续展开：$a_{k-1}$ 等于 $z_{k-2}$ 加上 $a_{k-2}$……”

1. 公式

   $$z_t = a_{t+1} - a_t$$
   解释

   从一阶差分的定义出发。

   步骤依据

   黑板上展示的差分定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a_{t+1} = z_t + a_t$$
   解释

   重新整理该定义，以解出原序列的下一个值。

   步骤依据

   代数变形。

   依据视频推导
3. 公式

   $$a_k = z_{k-1} + a_{k-1}$$
   解释

   令 $t = k-1$，从而表示目标未来值 $a_k$。

   步骤依据

   应用重新整理后的公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a_k = z_{k-1} + (z_{k-2} + a_{k-2})$$
   解释

   将 $a_{k-1}$ 的表达式代入方程。

   步骤依据

   递归代入。

   视频直接表达
5. 公式

   $$a_k = \sum_{i=1}^{k-l} z_{k-i} + a_l$$
   解释

   持续向前递归代入，直至抵达最后一个已知观测值 $a_l$。求和式汇总了所有中间的差分项。

   步骤依据

   望远镜求和／递归展开。

   视频直接表达

未来值 $a_k$ 可通过预测差分项 $z_{k-1}$ 至 $z_{l+1}$ 的和，再加上最后一个已观测的实际值 $a_l$ 计算得出。

1. 公式
   观察依据

   左下角的推导从$q_k = Z_{k-1}+q_{k-1}$出发，并向后展开。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出：完成加法运算后，我们便得到了时间k处原始量的最佳估计值。

1. 公式

   $$Z_{k-1}=q_k-q_{k-1}$$
   解释

   将黑板上给出的定义$Z_t = q_{t+1} - q_t$代入$t = k-1$。

   步骤依据

   代入所展示的一阶差分定义式。

   依据视频推导
2. 公式

   $$q_k=Z_{k-1}+q_{k-1}$$
   解释

   重新整理前一个方程，解出$q_k$。

   步骤依据

   代数整理。

   视频直接表达
3. 公式

   $$q_k=Z_{k-1}+Z_{k-2}+q_{k-2}$$
   解释

   对$q_{k-1}$应用相同的关系式。

   步骤依据

   反复使用一阶差分恒等式进行代入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$q_k=\sum_{i=1}^{k-1}Z_{k-i}+q_1$$
   解释

   继续反向代入，直至到达初始值 $q_1$。

   步骤依据

   一阶差分的望远镜式累加。

   视频直接表达

原始水平 $q_k$ 通过将初始值 $q_1$ 与之前所有累加的差分值相加而恢复。

1. 声音
   观察依据

   主讲人设定了一位锚具销售员，其每月销售锚具的数量为 $a_t$（单位：千件）。

2. 图示
   观察依据

   锚具销量图标注为 = $a_t$。

3. 图示
   观察依据

   上方图表展示 $a_t$ 随时间 t 的变化趋势，呈上升态势。

4. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $z_t = a_{t+1} - a_t$，下方图表标注为 $z_t$。

1. 未提供任何数值型数据。

2. 该片段未完成预测计算。

一位销售员希望利用过去各月的锚具销量数据，预测下个月的锚具销量。

1. 每月锚具销量记作 $a_t$。

2. t 表示月份或时间期。

3. 销量单位为千件。

4. 所绘制的 $a_t$ 序列呈现出近似线性的上升趋势。

解释为何直接使用 ARMA 方法不适用，以及“差分”思想如何处理趋势。

1. 公式

   $$a_t$$
   解释

   绘制历史月度销量随时间变化的折线图。

   步骤依据

   主讲人描述制作一张图表：横轴为时间，纵轴为锚具销量。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{not stationary because the mean shifts upward}$$
   解释

   识别出该序列具有移动均值。

   步骤依据

   主讲人明确指出，均值正以线性方式向上偏移。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{AR/MA/ARMA require stationarity}$$
   解释

   得出结论：不能直接使用标准的 ARMA 模型。

   步骤依据

   主讲人指出，AR、MA 和 ARMA 模型均要求序列平稳。

   视频直接表达
4. 公式

   $$z_t = a_{t+1} - a_t$$
   解释

   引入差分序列以消除趋势。

   步骤依据

   该公式写在两张图表之间的黑板上。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{use ARIMA instead of plain ARMA}$$
   解释

   利用 ARIMA 中的“差分”成分，在应用 ARMA 风格建模前处理移动均值。

   步骤依据

   主讲人表示，当序列除存在移动均值外看似平稳时，适用 ARIMA 模型。

   视频直接表达

该示例将 ARIMA 动机阐释为：对具有移动均值的非平稳序列，在 ARMA 基础上增加一个差分（或积分）步骤。

验证是直观的：下方的 $z_t$ 图看起来比上方的 $a_t$ 图更平缓，这支持了差分操作所声明的目的，尽管未展示任何正式检验。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“简而言之，就是取某个月（例如二月）所售锚具数量（单位为千件），减去上一个月（例如一月）所售锚具数量（单位为千件）。”

2. 图示
   观察依据

   标注为 $q_t$ 的锚具示意图，将符号化序列与口头示例联系起来。

1. 未提供任何具体数值，仅说明概念上的逐月相减。

解释新差分序列中单个数值在锚具销量示例中所代表的实际含义。

1. 原始序列记录的是每月所售锚具数量（单位为千件）。

2. 该变换为 $z_t = q_{t+1} - q_t$。

说明单个 $z_t$ 值是如何由相邻两个月份生成的。

1. 公式

   $$z_t = q_{t+1} - q_t$$
   解释

   使用变换后序列的板书公式。

   步骤依据

   该公式直接写在两个图之间。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   代入文字示例：二月数值减去一月数值，得到新序列的一个数据点。

   步骤依据

   主讲人明确描述‘二月锚点数减去一月锚点数’生成 $z_t$ 的一个时间点。

   视频直接表达

$z_t$ 的一个取值，即锚点销量从一个月到下一个月的变化量，例如二月减一月。

答案既符合板书公式，也符合主讲人口述的逐月示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提到锚定销售额，并指出我们不再试图预测您的锚定销售额本身，而是预测您锚定销售额在相邻两个时间点之间的差值。

2. 图示
   观察依据

   一幅标注为 $q_t$ 的锚定图示出现在 ARIMA 符号旁。

3. 公式
   观察依据

   板书上写着：$Z_t = q_{t+1} - q_t$。

1. 锚定-销售序列的数值从未给出。

使用锚定-销售序列 $q_t$ 来说明：对序列进行差分后，ARIMA(1,1,1) 模型是如何设定的。

1. 原始序列表示为 $q_t$

2. 一阶差分定义为 $Z_t = q_{t+1} - q_t$

3. 模型阶数选定为 ARIMA(1,1,1)

写出预测目标，并为差分序列写出对应的 ARIMA(1,1,1) 方程。

1. 公式

   $$Z_t = q_{t+1} - q_t$$
   解释

   用其一阶差分替代原始的水平序列。

   步骤依据

   这是主讲人所解释的 $d=1$ 步骤。

   视频直接表达
2. 公式

   $$Z_t = \phi_1 Z_{t-1} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t$$
   解释

   使用一个自回归滞后项、一个移动平均滞后项以及当前误差，为差分序列写出 ARIMA(1,1,1) 模型。

   步骤依据

   这是板书上完成的方程，并由主讲人逐项口头展开讲解。

   视频直接表达

该示例用模型拟合了差分后的锚点销量序列，其形式为 $Z_t = \phi_1 Z_{t-1} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t$。

主讲人通过指出哪一项是自回归（AR）项、哪一项是移动平均（MA）项，以及如何通过建模 $Z_t$（而非 $q_t$）来体现差分整合部分，从而验证了模型设定的正确性。

1. 声音
   观察依据

   主讲人以这个例子说明：'我们希望预测下个月预计售出的船锚数量。'

2. 图示
   观察依据

   右上角画有一个船锚图标，并标注为“= $a_t$”。

给定船锚的历史销量数据（$a_0$, ..., $a_l$）以及对差分销量数据（$z_t$）拟合得到的 ARIMA(1,1,1) 模型，预测未来时刻 k 的船锚销量。

1. 历史序列 $a_0$, $a_1$, ..., $a_l$。

2. ARIMA(1,1,1) 模型用于 $z_t = a_{t+1} - a_t$。

3. 目标时间索引 $k > l$。

计算预测值 $a_k$。

1. 公式

   $$Fit ARIMA(1,1,1) to z_t$$
   解释

   利用历史数据估计参数 $\phi_1$、$\theta_1$，并生成未来 z 值的预测。

   步骤依据

   上下文所暗示的标准 ARIMA 建模流程。

   补充解释
2. 公式

   $$Forecast z_{l+1}, ..., z_{k-1}$$
   解释

   生成差分序列至时刻 k-1 的预测值。

   步骤依据

   恢复公式所需的输入。

   依据视频推导
3. 公式

   $$Apply recovery formula: a_k = \sum_{i=1}^{k-l} z_{k-i} + a_l$$
   解释

   将预测的差值求和，并加上最后一个实际观测值 $a_l$。

   步骤依据

   用于逆向差分的推导方法。

   视频直接表达

在时刻 k 预测售出的锚点数量为 $a_k$。

验证当 $k = l + 1$ 时，该公式退化为 $a_{l+1} = z_l + a_l$，这与差分的定义一致。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出 $q_k$ 表示第 k 个时间段内售出的船锚数量。

2. 图示
   观察依据

   一幅蓝色船锚简笔画标注为 =$q_t$。

3. 公式
   观察依据

   黑板在船锚销售示例中全程使用 $q_t$、$Z_t$ 和 ARIMA(1,1,1)。

1. 未提供任何数值数据，因此不计算具体数值预测结果。

对具有明显趋势的船锚销售时间序列 $q_t$ 进行建模：先对其作差分，再对差分后序列拟合 ARIMA(1,1,1) 形式的方程，最后还原得到原始销售量的预测值。

1. $q_t$ 表示时刻 t 售出的船锚数量。

2. 所绘制的 $q_t$ 序列呈现带有波动的线性上升趋势。

3. $Z_t = q_{t+1} - q_t$ 是一阶差分序列。

4. 所展示的模型是 ARIMA(1,1,1)：$Z_t=\phi_1 Z_{t-1}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$。

解释 ARIMA 如何处理具有趋势性的锚点销量序列，以及如何从建模所得的差分序列中复原 $q_k$。

1. 公式

   $$q_t \mapsto Z_t=q_{t+1}-q_t$$
   解释

   将具有趋势性的原始序列转换为差分序列。

   步骤依据

   视频指出，当序列具有明显的线性趋势时，采用一阶差分。

   视频直接表达
2. 公式

   $$Z_t=\phi_1 Z_{t-1}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$$
   解释

   对差分序列应用类似 ARMA 的方程。

   步骤依据

   这是所展示的 ARIMA(1,1,1) 方程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$q_k=\sum_{i=1}^{k-1}Z_{k-i}+q_1$$
   解释

   通过对预测得到的差分值进行累积相加，并加到 $q_1$ 上，从而复原原始销量水平。

   步骤依据

   这是写在黑板上的逆变换表达式。

   视频直接表达

锚点销量示例引出一种概念性预测流程：对具有趋势性的销量序列进行差分，用 ARIMA(1,1,1) 对差分序列建模，再将预测得到的差分值累加回初始销量值上。

复原公式可由 $Z_t=q_{t+1}-q_t$ 代数推导得出；视频片段中未提供数值验证。

1. 图示
   观察依据

   黑板左半部分绘制了两个上下堆叠的坐标图。

2. 公式
   观察依据

   上方纵轴标注为 $a_t$，下方纵轴标注为 $z_t$，两个横轴均标注为 t。

3. 公式
   观察依据

   二者之间的向下箭头标注为 $z_t = a_{t+1} - a_t$。

1. 上方图表，坐标轴标注为 $a_t$ 和 t

2. 橙色、呈上升趋势的锯齿状折线

3. 向下箭头，标注为 $z_t = a_{t+1} - a_t$

4. 下方图表，坐标轴标注为 $z_t$ 和 t

5. 紫色、更平缓的锯齿状折线

1. 讲解在概念上通过所显示的减法公式，从上方序列 $a_t$ 过渡到下方序列 $z_t$。

1. 两个图表共享同一横轴时间标签 t。

2. 视频片段中，版面布局始终保持不变。

上方呈上升趋势的图表与下方较为平缓的图表之间的视觉对比，说明了一阶差分的效果。

1. 图示
   观察依据

   右上方出现一个蓝色锚图标，旁边标注 = $a_t$。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，每月售出的锚数量由变量 $a_t$ 表示。

1. 蓝色锚图标

2. 标签 = $a_t$

1. 锚图像用于标识所建模的数量。

1. 锚符号始终代表月度销售变量 $a_t$。

该图示为抽象的时间序列变量提供了具体易记的助记方式。

1. 图示
   观察依据

   左侧列出了 A Auto、R Regressive、I Integrated、M Moving、A Average。

2. 声音
   观察依据

   说话人解释了 AR 和 MA，并随后指出 I 代表 integrated（差分）。

1. 竖排字母：A R I M A

2. 对应词语：自回归、回归、差分整合、移动、平均

1. 口述讲解将各字母与其展开术语一一对应。

1. 缩写顺序始终为A-R-I-M-A。

该列表以视觉方式将ARIMA拆解为其构成模型组件。

1. 图示
   观察依据

   白板布局分为三部分：左侧为缩写词列，中部为一对图表，右侧为 ARIMA 公式区。

2. 图示
   观察依据

   上方图表纵轴标为 $q_t$、横轴标为 t；下方图表纵轴标为 $z_t$、横轴标为 t。

3. 公式
   观察依据

   两图之间的向下箭头标注为 $z_t = q_{t+1} - q_t$。

1. 上方为橙色锯齿状上升折线图，标注为 $q_t$ 关于 t

2. 下方为粉色波动折线图，标注为 $z_t$ 关于 t

3. 向下的变换箭头，标注为 $z_t = q_{t+1} - q_t$

4. 右侧锚点图示及部分 ARIMA 记号

1. 主讲人反复先指向上方呈上升趋势的图表，再指向下方经差分处理后的图表。

2. 临近结尾时，一条水平虚线被添加到下方图表中，用以标示 $z_t$ 围绕其波动的水平位置。

1. 上方图表始终表示具有上升趋势的原始序列。

2. 下方图表始终表示经差分变换后的序列。

3. 公式 $z_t = q_{t+1} - q_t$ 始终作为两个图表之间的明确关联。

该视觉布局旨在说明：ARIMA 中的“积分（Integrated）”部分，是指用原始序列的逐期差分来替代它；且下方图表应比上方图表看起来更平稳。

1. 动画
   观察依据

   大约在 01:52 处，主讲人表示将改用另一种颜色，并在下方图表中画出一条水平虚线。

2. 声音
   观察依据

   他指出这些数值“很好地围绕某个均值上下波动”。

1. 该虚线所代表的确切数值水平并未标注。

1. 下方的 $z_t$ 图像

2. 水平虚线

1. 在口头讨论围绕均值波动之后，于下方图像中绘制了一条新的水平虚线。

1. 下方图像仍表示 $z_t = q_{t+1} - q_t$。

2. 该直线呈水平状，表明其为恒定水平而非趋势。

这条虚线在视觉上标出了说话人所声称的、差分序列如今具有的恒定均值。

1. 图示
   观察依据

   白板分为三部分：左侧为缩写词列，中间为一对时间序列图，右侧为带有锚点图示的 ARIMA 记号区块。

2. 公式
   观察依据

   可见文字包括：ARIMA MODEL、自回归积分移动平均（Auto Regressive Integrated Moving Average）、ARIMA(1,1,1)、p,d,q，以及正在填写的方程。

1. 标题：ARIMA MODEL

2. 缩写词列表：自（Auto）/ 回归（Regressive）/ 积分（Integrated）/ 移动（Moving）/ 平均（Average）

3. 上方图表标注为 $q_t$ 关于 t 的图像

4. 下方图表标注为 $Z_t$ 关于 t 的图像

5. 锚点图示标注为 $q_t$

6. 右侧记号为 ARIMA(1,1,1)，并附有 p,d,q

7. 用于填写 $Z_t$ = … 的方程区域

1. 右侧的ARIMA记号从 ARIMA( , , ) 补充完整为 ARIMA(1,1,1)。

2. p、d、q 写在 ARIMA 记号的下方。

3. 方程从空白处填充完成，变为 $Z_t$ = phi_1 $Z_{t-1}$ + theta_1 epsilon_{t-1} + epsilon_t。

4. 讲解者的手在缩写词、图表和方程各项之间依次指点，对应说明每一部分的作用。