链式法则与乘积法则

该模型通过连续的局部线性近似追踪微小的输入变化 $dx$。首先，内层函数 $h(x)=x^2$ 将其导数 $h'(x)=2x$ 作为缩放因子作用于输入变化。

适用条件：函数 $h$ 和 $g$ 在相关点可导。；输入变化 $dx$ 是无穷小的。；外层导数是在内层函数的输出 $h(x)$ 处求值，而不是在 $x$ 处。

只要内部函数 $h$ 在 $x$ 处可微，且外部函数 $g$ 在 $h(x)$ 处可微，链式法则就成立。如果 $h'(x)=0$，公式 $g'(h(x))h'(x)$ 正确地给出 0。

适用条件：$h$ 在 $x$ 处可微；$g$ 在 $h(x)$ 处可微；不要求 $h'(x) \neq 0$

通过追踪微小的输入变化 $dx$ 穿过嵌套映射 $x \to h(x) \to g(h(x))$。对于 $x=1.5$，$h=x^2$，$g=\sin$，内部速率为 $h'(1.5)=3$，将 $dx$ 缩放为 $dh \approx 3dx$。

适用条件：内部函数 $h(x)$ 在 $x$ 处可微；外部函数 $g(u)$ 在 $u=h(x)$ 处可微；示例使用 $h(x)=x^2$ 和 $g(u)=\sin u$，接近 $x=1.5$

常数倍法则是乘积法则的一个特例，其中一个因子是常数 $c$。从几何上看，将函数乘以常数会将其输出高度（因此也是其面积条带）缩放 $c$ 倍。

适用条件：$c$ 是常数。；函数 $f$ 是可导的。

视频建议首先识别表达式的结构层次。确定最外层的运算是求和、乘积还是复合。

适用条件：表达式涉及多种运算（求和、乘积、复合）。；学习者旨在正确应用微分法则。

该项消失是因为可微性保证了 $\Delta f$ 和 $\Delta g$ 都与输入增量 $h$ 成正比（即 $O(h)$ 阶）。当除以 $h$ 时，乘积 $\frac{\Delta f \Delta g}{h}$ 变为 $O(h^2)/h = O(h)$ 阶的表达式，随着 $h \to 0$ 趋向于零。

适用条件：函数 $f$ 和 $g$ 在所讨论的点处是可微的；输入增量 $h$ 趋近于零

角落项代表两个微小变化的乘积，$\Delta f \Delta g$。由于函数是可导的，$\Delta f$ 和 $\Delta g$ 都是 $h$ 的同阶量（与输入增量成正比）。

适用条件：函数 $f$ 和 $g$ 在该点可导。；输入增量 $h$ 趋近于零。；几何模型假设一个边长为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的矩形。

通过将函数 $f$ 和 $g$ 可视化为相互堆叠的垂直高度，共同的输入增量 $dx$ 会产生单独的变化 $\Delta f$ 和 $\Delta g$。和 $f+g$ 的总变化恰好是这些单独变化之和。

适用条件：函数 $f$ 和 $g$ 是可导的。；输入增量对两个函数是共同的。

莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为 $\Delta y = [g'(u)+\epsilon]\Delta u$，其中 $\epsilon \to 0$。

适用条件：函数是可导的。；内层导数 $du/dx$ 可以为零。；论证需要严格的极限定义，而不是非正式的代数。

求和法则通过堆叠垂直高度来可视化，其中输入增量导致高度的加法变化（$(f+g)'=f'+g'$）。相比之下，乘积法则可视化为边长为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的扩展矩形，其中面积变化由两个矩形条和一个小的角方块组成（$\Delta(fg) = g\Delta f + f\Delta g + \Delta f \Delta g$）。

适用条件：比较线性组合与乘法交互；使用微分的几何模型

外层导数 $g'$ 必须在内部函数的输出处求值，即在 $h(x)$ 处，而不是在原始输入 $x$ 处。这反映了复合的顺序性质：$x$ 的变化影响 $h$，而 $g$ 的敏感度取决于 $h$ 的当前值。

适用条件：计算 $g(h(x))$ 的导数；应用链式法则 $g'(h(x))h'(x)$