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误差传播

GlacierFilm, LLC. · YouTube · 7:03

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视频中的要点

01绝对不确定度
02相对不确定度
03误差与不确定度的术语辨析

来自学习笔记

\delta v = 0.2\ \mathrm{m/s}

绝对不确定度

选中时刻

由带有不确定性的速度计算动能

建议预备知识

分数与百分数的基本代数运算
基础微分知识：理解导数即函数在某点的斜率
动能的物理公式 $K=\frac12 mv^2$
普通导数
动能公式
基础代数求导
多变量函数
基础微分与偏导数
勾股定理／平方和
分式与平方项的代数运算
熟悉绝对不确定度与相对不确定度的表示法
基础代数
分数与百分数
简单导数/偏导数
勾股定理

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本 120秒动画课程介绍了不确定度记号及单变量误差传播。课程首先通过速度示例定义绝对不确定度， $v=13.2\ \mathrm{m/s}\pm0.2\ \mathrm{m/s}$ ，其中 $\delta v=0.2\ \mathrm{m/s}$ ，然后将相对不确定度定义为 $\frac{\delta v}{v}=1.5\%$ ，强调前者具有单位，而后者是无量纲的。在简要说明‘误差’与‘不确定度’在此几乎可互换使用之后，视频推导了函数 $z(x)$ 的一般规则：通过作切线并陈述 $\delta z=\frac{dz}{dx}\delta x$ 。接着将该规则应用于动能 $K(v)=\frac12 mv^2$ ，其中质量是精确值 $m=10\ \mathrm{kg}$ ，速度是测量值 $v=2.34\pm0.04\ \mathrm{m/s}$ ，得到 $\delta K=\frac{dK}{dv}\delta v=(mv)\delta v$ 。该片段结束于数值设定阶段；在这些 $K$ 或 $\delta K$ 的最终计算值均未显示120 秒内。这个120秒长的片段通过两个关联案例讲解不确定性传播。它首先利用δK ≈ (dK/dv)δv，根据带有不确定性的速度测量值计算动能，得到 $K = 27.4 \pm 0.9 J$ ；然后推广到两个具有不确定性的输入量，引入平方和公式δz = sqrt((∂z/∂x δx)^2 + (∂z/∂y δy)^2)。中间部分从几何与操作两个角度解释偏导数：几何上，偏导数是曲面 $z(x,y)$ 的切平面上沿x方向和y方向的斜率；操作上，则是固定其余变量、仅对某一变量求导。最后部分用直角三角形图示来阐明平方和合成的合理性：方向相反的误差可能相互抵消，方向一致的误差给出最坏情况之和 $e_1+e_2$ ，而独立的随机误差则被建模为夹角为90度的情形，从而得到sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )，该值小于完全相加所得的最坏情况。本120秒片段通过几何引入讲解误差传播，包含一个完整的动能计算实例，以及三条可复用的速算规则。它首先说明：以平方和方式合成两个不确定度分量，所得结果介于最大单一分量与它们的直接相加值之间；随后将双变量公式 $\delta K = \sqrt{(\partial K/\partial m\,\delta m)^2 + (\partial K/\partial v\,\delta v)^2}$ 应用于 $K = 1/2 m v^2$ ，其中 $m = 10.12$ +/- 0.11 千克， $v = 2.34$ +/- 0.04 米/秒，得出 $\delta K = 0.99$ 焦耳。片段其余部分归纳了常见模式：乘以常数会使绝对不确定度按比例缩放；加法与减法则以平方和方式合成绝对不确定度；乘法与除法则以平方和方式合成相对不确定度。本片段时长为 63 秒，讲授基础误差传播原理，核心是独立不确定度按平方和方式叠加的规则。首先展示乘积与商的情形，尤其强调相对不确定度公式 $\frac{\delta z}{z}=\sqrt{(\frac{\delta x}{x})^2+(\frac{\delta y}{y})^2}$ 。随后通过 0.03% 和 5.4% 的数值动画，说明何时可忽略较小的相对不确定度，从而引出简化示例 $\delta z\approx x$ \, $\delta y$ （对应 z=xy）。接着利用 2D 和 3D 直角三角形矢量图从几何角度解释平方和法则，并将公式推广至三个变量，以及借助偏导数推广至任意可微函数。最后部分为幽默饼图与片尾字幕。

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章节

0:00标题与Δ记号 0:07绝对不确定度示例 0:28相对不确定度 0:49误差与不确定度 0:57由斜率出发的一般传播规则 1:37动能示例的设定 2:00由带有不确定性的速度计算动能 2:10两个带有不确定性的测量量 2:26以平方和方式叠加不确定性 2:35花括号d（∂）符号的含义 2:49偏导数作为切平面的斜率 3:06计算偏导数的示例 3:20为何独立误差按平方和方式合成 4:00从直角三角形理解平方和合成的直观含义 4:08双变量动能计算实例 4:41技巧与捷径导引 4:45乘以常数 5:11加法与减法 5:33乘法与除法 6:00乘法与除法的不确定度公式 6:04主导相对不确定度近似 6:22示例：z = xy，且 δz ≈ xδy 6:292维与3维中的几何平方和 6:44总结规则及三变量推广 6:50结尾玩笑与致谢

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

该片段以标题“误差传播”开场，并立即突出显示符号 $\delta$ ，表明本课将采用不确定度记号，而不仅依赖纯文字描述。

一个雷达测速仪示例给出测得的速度 $v=13.2\ \mathrm{m/s}$ ，其正负偏差量为 $0.2\ \mathrm{m/s}$ 。旁白将该正负偏差量定义为绝对不确定度 $\delta v$ ，前提是它与测量值使用相同单位。

相同的数值随后被重新组织为一个比值： $\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}=0.0152=1.5\%$ 。这被认定为相对不确定度 $\frac{\delta v}{v}$ ；关键区别在于 $\delta v$ 带有单位，而 $\frac{\delta v}{v}$ 是无量纲的。

一段简短的术语插叙将“误差”和“不确定度”拟人化。数学上此处并未引入任何新内容；重点在于该片段不会拘泥于这两个词之间严格的字面区分。

课程随后从具体例子推广至一般情形：对于一个被测量的输入 $x$ 带有不确定性 $\delta x$ ，以及一个计算所得的输出 $z(x)$ ，图中显示曲线上的一点及该点处的切线。直观论据是：一个微小的水平偏移将产生一个与局部斜率成比例的垂直偏移，从而导出规则 $\delta z=\frac{dz}{dx}\delta x$ 。

最后，该规则被应用于动能计算。题目给出质量 $10\text{-kg}$ 、速度 $2.34\pm0.04\ \mathrm{m/s}$ ，要求计算动能。将 $m$ 视为精确值，则函数为 $K(v)=\frac12 mv^2$ ，因此传播得到的不确定度为 $\delta K=\frac{dK}{dv}\delta v=(mv)\delta v$ 。片段结束于将数值代入设定的过程，尚未显示任何最终数值结果。

该片段以一个具体的物理-微积分实例开场。屏幕上显示：一个10千克的质量，其测得速度为 $2.34 \pm 0.04$ 米/秒，并依据 $K(v)=1/2$ mv^2计算动能。代入后得到27.378焦耳；同时，K关于v的图像配有一条红色切线，提示局部斜率将主导不确定性。

下一步是传播速度的不确定性。屏幕上显示的关系式为δK = dK/dv δv = (mv)δv。代入 $m=10$ 千克、 $v=2.34$ 米/秒、 $δv=0.04$ 米/秒，得出0.94焦耳；最终框出的答案将该结果四舍五入为 $K = 27.4 \pm 0.9$ 焦耳。这确立了一元情形下的规则：将输入的不确定性乘以输出对该输入的导数。

随后，视频通过展示两个分别测量的物理量来提升难度：速度为 $13.2 \pm 0.02 m/s$ ，质量为 $11.6 \pm 0.1$ kg，二者共同代入动能公式 $K = 1/2 m v^2$ 。关键的概念转变在于：此时输出依赖于两个具有不确定性的输入，因此此前仅适用于单变量的导数公式已不再单独足够。

为处理该情形，屏幕将该物理量重写为一个通用的双变量函数 $K = z(x,y)$ ，并引入平方和公式 δz = sqrt((∂z/∂x δx)^2 + (∂z/∂y δy)^2)。讲解者将这一过程称为“以平方和方式叠加不确定度”。该公式表明：每个输入贡献一项一阶项，其值等于该变量对应的偏导数乘以其自身的不确定度；而这些贡献项则以平方和再开方的形式组合。

在使用该公式前，视频短暂停顿以解释符号含义。符号 ∂（倒置的字母 d）被明确为偏导数，意指每次仅对一个变量进行求导。画面上对 ∂/∂x、∂/∂y 和 ∂/∂z 的视觉隔离，帮助观众正确解读平方和表达式，而非将这些符号视作装饰性元素。

接着，视频展示了其几何意义：在一个3维曲面 $z(x,y)$ 上。普通导数表示曲线切线的斜率，而双变量函数则对应一个切平面；在此切平面上，∂f/∂x 表示沿 x 方向的斜率，∂f/∂y 表示沿 y 方向的斜率。这便将不确定度公式中出现的代数偏导数，与曲面上可直观感知的方向陡峭程度联系起来。

视频随后从概念理解转向实际计算。以函数 $f(x,y,z)=3$ xy^2z+√ $y+x^3/z$ 为例，演示了实用规则：选定一个变量，将其余所有变量视为常数，仅对含有该变量的项进行求导。屏幕上显示的结果为：∂f/∂ $x=3y^2z+3x^2/z$ ，∂f/∂ $y=6$ xyz+1/(2√y)，∂f/∂ $z=3$ xy^ $2-x^3/z^2$ 。其核心信息是：一旦其余变量被“冻结”，偏微分即可直接套用熟悉的单变量求导法则。

最后一部分解答了为何相互独立的不确定度需以平方和方式合成。动画对比了两种误差贡献 $e_1$ 与 $e_2$ 的三种情形：方向相反时，误差可能相互抵消；方向相同时，产生最坏情况的总误差 $e_1+e_2$ ；方向垂直时，则构成直角三角形，其斜边长度为 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )。讲解者指出，垂直情形代表随机且相互独立效应的平均关系。

视频结尾强调屏幕上呈现的不等式：斜边 < $e_1 + e_2$ 。因此，平方和合成结果小于完全相加的最坏情形，但仍大于任一单独的误差贡献。这一几何论证既为前述公式提供了直观动因，也将概率意义上的独立性假设，与不确定度传播中所采用的平方和开方规则联系起来。

画面起始处是一个直角三角形，其两条直角边分别标记为 $e_1$ 和 $e_2$ ，斜边标记为 $\sqrt{e_1^2 + e_2^2}$ 。旁注不等式指出：该斜边小于 $e_1 + e_2$ ，但大于 $e_1$ 或 $e_2$ 中的任意一个，由此以几何方式呈现了平方和合成法。

随后课程回归一个具体应用：含两个测量输入的动能。屏幕上显示的公式为 $K(v)=\frac{1}{2}mv^2$ ，题目给出的数据为 $m=10.12\pm0.11\,\text{kg}$ 和 $v=2.34\pm0.04\,\text{m/s}$ 。

为传播不确定度，视频写出 $\delta K=\sqrt{\left(\frac{\partial K}{\partial m}\delta m\right)^2+\left(\frac{\partial K}{\partial v}\delta v\right)^2}$ 。两个偏导数分别计算得 $\frac{\partial K}{\partial m}=\frac{1}{2}v^2$ 和 $\frac{\partial K}{\partial v}=mv$ 。

代入数值数据后得到 $\delta K=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(2.34\,\text{m/s})^2(0.11\,\text{kg})\right)^2+\left((10.12\,\text{kg})(2.34\,\text{m/s})(0.04\,\text{m/s})\right)^2}$ ，屏幕上最终显示的结果为 $\delta K=0.99\,\text{J}$ 。

完成这一例题后，视频转向可复用的模式，并在“技巧与捷径（常见情形）”标题下展开。

第一个捷径是乘以常数。从 $z(x)=Cx$ 出发，幻灯片推导出 $\delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\delta x=C\delta x$ 。一个数值示例说明：若 $x=5.614\pm0.006$ ，则 $10x=56.14\pm0.06$ 。

第二个捷径涵盖加法与减法。对 $z=\pm x\pm y$ ，将通用平方和公式结合 $\frac{\partial z}{\partial x}=\pm1$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}=\pm1$ 进行特化；由于这些符号被平方，结果简化为 $\delta z=\sqrt{(\delta x)^2+(\delta y)^2}$ 。

第三个捷径将乘法与除法一并处理。对 $z=xy$ ，原始传播形式为 $\delta z=\sqrt{(y\delta x)^2+(x\delta y)^2}$ ；对 $z=x/y$ ，则为 $\delta z=\sqrt{\left(\frac{1}{y}\delta x\right)^2+\left(-\frac{x}{y^2}\delta y\right)^2}$ 。两边同除以 $z$ 并化简两种情形，均得到相同的相对不确定度规则： $\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$ 。

画面以一张白色总结幻灯片开场，标题为“乘法与除法：”。左右并列展示两种情形：左侧为 $z(x)$ = xy，右侧为 $z(x) = x/y$ 。每种情形下方均标出绝对不确定度 $\delta z=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2}$ ，再下方则给出其相对形式 $\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$ 。底部文字阐明核心思想：相对不确定度按平方和方式相加。

随后画面聚焦于相对不确定度公式。根号内各项上方出现两条标注： $0.03\%$ ：精度极高的测量对应 $\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2$ ； $5.4\%$ ：粗略的测量对应 $\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2$ 。讲解员说明：当某一项测量在相对意义上显著更精确时，较小的相对不确定度有时可被忽略。

随着该解释继续，动画直观呈现这一近似过程： $0.03\%$ 项逐渐缩小消失，而 $5.4\%$ 项保留并被突出强调。数学上，这相当于将 $\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$ 近似替换为 $\sqrt{\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$ ，从而得到 $\frac{\delta z}{z}\approx \frac{\delta y}{y}$ 。

新行浮现：“我们假设…… $z(x,y)=xy$ 。”从简化关系式 $\frac{\delta z}{z}=\frac{\delta y}{y}$ 出发，分母 $z$ 被重写为 $xy$ ，得到 $\frac{\delta z}{xy}=\frac{\delta y}{y}$ 。公因子 $y$ 被约去，最终屏幕定格于 $\delta z=x\,\delta y$ 。一个对话框评论道：“哇，它的确表现得就像‘x’是常量一样！”，而画外音提醒：这种捷径虽可简化运算，但须谨慎使用。

课程随即转入几何图示。在一幅2维坐标风格的图中，一条蓝色向量 $e_1$ 与一条红色向量 $e_2$ 垂直相交，其对角线标为 $\sqrt{e_1^2+e_2^2}$ 。该图将平方和相加可视化为勾股构造，用以表示两个相互独立的不确定度分量。

图形旋转进入三维空间。一条绿色向量 $e_3$ 垂直加入前两个向量所张平面，新的空间对角线标为 $\sqrt{e_1^2+e_2^2+e_3^2}$ 。讲解员提问：当合并三个或更多测量时会发生什么？并回答：同一思想可推广——斜边即为所有三个不确定度的平方之和的平方根。

一张总结板将规则归纳为三大类：加法与减法： $\delta z=\sqrt{\delta x^2+\delta y^2}$ ；乘法与除法： $\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$ ；其余所有情况！（平方、平方根、对数等）： $\delta z=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2}$ 。每条公式随后均通过新增第三项 $q$ 得到扩展，呼应讲解员的提示：应将三项而非仅两项按平方和方式相加。

数学内容以一个幽默的饼图结束，标题为“与研究合作者争论所花的时间：”。其中一小块绿色扇形标注为“关于结果”，而一大块黄色扇形标注为“关于不确定性！”。随后出现一扇动画门，标有“物理实验室”。片尾致谢列出凯瑟琳·罗林斯和保罗·安德鲁·劳伦斯。

知识卡片

绝对不确定度

绝对不确定度是附加在测量值上的正负量，其单位与被测物理量相同。在开篇示例中，测得的速度为 $13.2\ \mathrm{m/s}$ ，绝对不确定度为 $0.2\ \mathrm{m/s}$ ，记作 $\delta v$ 。符号 $\delta$ 被专门引入，表示“……的绝对不确定度”。

\delta v = 0.2\ \mathrm{m/s}

相对不确定度

相对不确定度将不确定度的大小表达为被测值的一个分数或百分比。它通过将绝对不确定度除以测量值本身来计算。对于该示例，结果为 $\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}=0.0152=1.5\%$ ，写作 $\frac{\delta v}{v}$ 。与 $\delta v$ 不同，相对不确定度是无量纲的。

\frac{\delta v}{v}=\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}=0.0152=1.5\%

误差与不确定度的术语辨析

视频片段简要指出，人们常使用“误差”一词，尽管“不确定度”更能准确描述含义。讲解者明确告诉观众无需担心二者区别。本知识卡片仅记录相关术语；该片段中未另行给出“误差”的数学定义。

单变量传播规则

对于由某个测量值经函数 $z(x)$ 计算得到的物理量，视频利用局部斜率估算输出不确定度。图像在对应于所测 $x$ 的点处绘制切线，所展示的规则为 $\delta z=\frac{dz}{dx}\delta x$ 。从概念上讲，微小的输入不确定度通过乘以该点处的导数，转化为输出不确定度。

\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x

动能不确定度示例

该例题取 $K(v)=\frac12 mv^2$ 对应质量为 $10\text{-kg}$ 、速度为 $2.34\pm0.04\ \mathrm{m/s}$ 的情形。由于质量被视为精确值，仅 $v$ 贡献不确定度。应用一般规则得 $\delta K=\frac{dK}{dv}\delta v$ ，又因 $\frac{dK}{dv}=mv$ ，传播后的不确定度变为 $\delta K=(mv)\delta v$ 。该片段结束于数值代入阶段，尚未给出最终数值结果。

\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v = (mv)\delta v

动能公式

起始的物理关系为 $K(v)=1/2$ mv^2。在第一个例子中，质量 $m=10$ kg 被视为精确值，而速度 $v=2.34 m/s$ 是实测值，代入后得到 $K=27.378 J$ （四舍五入前）。

K(v)=\frac{1}{2}mv^2

单变量不确定度传播

当仅有速度存在不确定度时，动能的不确定度可通过速度不确定度乘以导数 dK/dv 来估算。由于 dK/dv=mv，该规则简化为 δK≈mv δv。

\delta K \approx \frac{dK}{dv}\,\delta v=(mv)\delta v

第一个例子的演算结果

代入 $m=10$ kg、 $v=2.34 m/s$ 和 $δv=0.04 m/s$ ，得到 $δK=0.94 J$ 。最终报告的动能四舍五入为 $K=27.4 \pm 0.9 J$ 。

K=27.4\pm 0.9\,\mathrm{J}

从一个不确定输入到两个

更复杂的情形是速度和质量均带有测量不确定性。由于动能 K 依赖于两个输入量，单变量导数法则必须替换为双变量误差传递公式。

以平方和的平方根方式合成不确定度

对于双变量量 $z(x,y)$ ，视频采用平方和的平方根，将各自的一阶贡献合并起来。这称为以平方和的平方根方式合成不确定度。

\delta z=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2}

偏导数的定义

符号 ∂ 表示偏导数：即每次仅对一个变量求导，而其余变量视为常量。

\frac{\partial z}{\partial x},\ \frac{\partial z}{\partial y}

在曲面上的几何意义

对于曲面 $z(x,y)$ ，普通的切线斜率被切平面所取代。偏导数 ∂f/∂x 表示沿 x 方向的斜率，∂f/∂y 表示沿 y 方向的斜率。

\frac{\partial f}{\partial x}=\text{slope along }x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\text{slope along }y

如何计算偏导数

计算偏导数时，仅对某一变量求导，并将所有其他变量视作常量；不含所选变量的项则直接消失。

\text{Hold the other variables constant, then differentiate.}

偏导数示例

对于函数 $f(x,y,z)=3$ xy^2z+√ $y+x^3/z$ ，其显示的偏导数为 ∂f/∂ $x=3y^2z+3x^2/z$ ，∂f/∂ $y=6$ xyz+1/(2√y)，以及 ∂f/∂ $z=3$ xy^ $2-x^3/z^2$ 。

\frac{\partial f}{\partial x}=3y^2z+\frac{3x^2}{z},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=6xyz+\frac{1}{2\sqrt{y}},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=3xy^2-\frac{x^3}{z^2}

为何采用平方和开方（quadrature）而非简单相加

若两种误差效应是随机且相互独立的，它们可能部分抵消，也可能部分叠加。本视频通过将各项贡献置于相互垂直的方向上来建模其平均关系，从而得到平方和开方的组合方式，而非最不利情形下的算术和。

直角三角形的直观动因

当两个垂直的误差贡献分别为 $e_1$ 和 $e_2$ 时，其合成大小即为斜边 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )。屏幕上明确指出该值小于 $e_1+e_2$ ，这与‘平方和开方结果小于最不利情形下的加性误差’这一理念一致。

\sqrt{e_1^2+e_2^2}<e_1+e_2

平方和与直接相加

对于两个正的不确定度分量 $e_1$ 和 $e_2$ ，其平方和组合 $\sqrt{e_1^2+e_2^2}$ 大于任一分量单独的值，但小于算术和 $e_1+e_2$ 。右图中展开的直角三角形直观地展现了这一大小关系。

\sqrt{e_1^2 + e_2^2} < e_1 + e_2,\quad \sqrt{e_1^2 + e_2^2} > e_1,\quad \sqrt{e_1^2 + e_2^2} > e_2

双变量绝对不确定度传播

当一个导出量依赖于两个被测变量时，视频采用由偏导数构建的平方和公式。每个输入变量贡献其不确定度乘以对应的灵敏度系数。

\delta K = \sqrt{\left(\frac{\partial K}{\partial m}\delta m\right)^2 + \left(\frac{\partial K}{\partial v}\delta v\right)^2}

动能计算实例

利用 $K=\frac{1}{2}mv^2$ ，并代入 $m=10.12\pm0.11\,\text{kg}$ 和 $v=2.34\pm0.04\,\text{m/s}$ ，得到偏导数为 $\frac{\partial K}{\partial m}=\frac{1}{2}v^2$ 和 $\frac{\partial K}{\partial v}=mv$ 。代入后得出所展示的传播不确定度 $\delta K=0.99\,\text{J}$ 。该片段并未计算 $K$ 本身的中心值。

乘以常数

若 $z=Cx$ ，其中 $C$ 为精确常数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=C$ ，因此绝对不确定度按相同方式缩放： $\delta z=C\delta x$ 。示例展示了 $x=5.614\pm0.006$ 变为 $10x=56.14\pm0.06$ 。

z=Cx \Rightarrow \delta z=C\delta x

加法与减法法则

对于 $z=\pm x\pm y$ ，其偏导数为 $\pm1$ 。由于传播公式对这些因子进行平方，符号选择随之消失，故加法与减法均给出相同的法则：绝对不确定度以平方和方式合成。

\delta z=\sqrt{(\delta x)^2+(\delta y)^2}

乘积与商的相对不确定度法则

对于 $z=xy$ 和 $z=x/y$ 两种情形，原始基于导数的表达式在除以 $z$ 后均简化为同一相对不确定度法则。这与加法和减法形成主要对比：乘法与除法在相对形式下处理最为简洁。

\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}

不确定度的求积法则

独立的不确定度贡献项通过取其平方和的平方根来合成。视频明确指出该法则适用于乘法与除法中的相对不确定度，随后又将同一模式延用于含三项的情形，以及一般的可微函数。

\sqrt{a^2+b^2}\quad\text{or}\quad\sqrt{a^2+b^2+c^2}

乘积与商的相对不确定度公式

对于 $z=xy$ 和 $z=x/y$ ，视频均采用相同的相对不确定度传播规则： $z$ 的相对不确定度等于 $x$ 与 $y$ 的相对不确定度的求积和。

\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 69

$\text{Propagation of errors}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：“误差传播。”
图示
观察依据
大幅标题文字显示：“误差传播”。

符号

$\text{Propagation of errors}$

含义

本课主题的标题。

适用范围

主题名称；不是数学变量

v

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者解释道，一次测量应附带一个不确定度，即某个量的正负偏差。
图示
观察依据
屏幕显示“测得的速度”位于“v =”上方，其值为“ $13.2 m/s$ ”，并用圆圈标出。

符号

含义

引入示例中测得的速度。

适用范围

速度，单位为米每秒

$\delta v$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
显示表达式“ $13.2 m/s$ +/- $0.2 m/s$ ”，随后“v 的绝对不确定度”标注在“ $\delta v$ =”旁，并用圆圈标出“ $0.2 m/s$ ”。
声音
观察依据
讲述者指出，以相同单位表示的正负量称为绝对不确定度，并使用小写希腊字母 delta 表示。

符号

$\delta v$

含义

测得速度示例中的绝对不确定度。

适用范围

速度的不确定度，单位为米每秒

$\delta$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“我们将用小写希腊字母 delta 这一符号来将其数学化地表示。”
图示
观察依据
屏幕显示“δ = ……的绝对不确定度”

符号

$\delta$

含义

该符号表示后续物理量的绝对不确定度。

适用范围

表示不确定度的运算符／符号前缀

$\Delta$ , $\sigma$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
文字显示：“（你可能还会见到的其他符号：Δ、σ）”

待核验内容

本片段中未对 Δ 或 σ 做定义。

符号

$\Delta$ , $\sigma$

含义

其他可能在别处见到的与不确定度相关的符号。

适用范围

本片段中提及但未加定义的符号

$\frac{\delta v}{v}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，表达不确定性的另一种方式是将其表示为被测物的百分比或分数，即 Δ某量除以某量。
公式
观察依据
屏幕上显示的计算式为：“ $0.2 m/s / 13.2 m/s = 0.0152 = 1.5$ % = $\frac{\delta v}{v}$ ”
图示
观察依据
红色标签写着“v 的相对不确定度 =”，并圈出该百分比／分数表达式。

符号

$\frac{\delta v}{v}$

含义

速度示例中的相对不确定度。

适用范围

无量纲分数或百分比

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“你已在实验中测量了一个量，我们称之为 x，并得到了它的不确定度。”
图示
观察依据
横轴标有“x”，其上标出一点“x”，该点附近标有区间标签“〔δx〕”。

符号

含义

通用的被测输入量

适用范围

横轴上的输入变量

$\delta x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“如果 x 可能存在一个大小为〔δx〕的偏差……”
图示
观察依据
在点 x 周围的小区间上标有“〔δx〕”。

符号

$\delta x$

含义

通用输入量 x 的绝对不确定度或偏移量

适用范围

x 的不确定度

$z(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说，人们希望计算另一个量，“我们称之为 z，它由某个关于 x 的公式 $z(x)$ 给出。”
图示
观察依据
纵轴标有“ $z(x)$ ”，其上绘制了一条曲线；曲线上的一点对应于“z”。

符号

$z(x)$

含义

由 x 计算得到的通用输出量

适用范围

关于 x 的函数

$\delta z$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者问道：“那么 z 可能偏离多少呢？即 Δz。”
图示
观察依据
z 周围的垂直不确定性区间标记为“δz”。

符号

$\delta z$

含义

z 所产生的绝对不确定性或偏移量。

适用范围

z 的不确定性

$\frac{dz}{dx}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，z 的变化量可根据该函数的斜率来确定。
公式
观察依据
屏幕上显示的公式为“ $δz = (dz/dx) δx$ ”。
图示
观察依据
在曲线上的该点处画出一条红色切线。

符号

$\frac{dz}{dx}$

含义

$z(x)$ 在点 x 处的导数（即斜率），用于关联微小偏移量。

适用范围

$z(x)$ 关于 x 的斜率

$K(v)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“你需要计算动能 K，它等于二分之一乘以质量 m 再乘以速度 v 的平方。”
公式
观察依据
屏幕上显示“ $K(v) = 1/2 m v^2$ ”。

符号

$K(v)$

含义

例题中动能关于速度的函数关系。

适用范围

能量，单位：焦耳（J）

知识点 · 23

绝对不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：每次测量都应附带一个不确定性，即正负某个量；若该不确定性与测量值使用相同单位，则称为绝对不确定性。
图示
观察依据
示例显示“ $13.2 m/s \pm 0.2 m/s$ ”，并标注“速度的绝对不确定度”为“ $\delta v = 0.2 m/s$ ”。

定义

解释

绝对不确定度是指附加在测量量上的“±”数值，其单位与该测量量相同。在视频片段的速度示例中，测得的速度为 $13.2\ \mathrm{m/s}$ ，绝对不确定度为 $0.2\ \mathrm{m/s}$ ，记作 $\delta v$ 。

公式

\delta v = 0.2\ \mathrm{m/s}

适用条件

适用于一个测量量。
不确定度以与测量量相同的单位表示。
符号 $\delta$ 被引入作为该量绝对不确定度的记号。

相对不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
解说员：表达不确定度的另一种方式是将其表示为被测量量的百分比或分数；这等价于“某个量的变化量除以该量本身”，称为相对不确定度。
公式
观察依据
屏幕上显示的计算式：“ $0.2 m/s / 13.2 m/s = 0.0152 = 1.5$ % = $\frac{\delta v}{v}$ ”。

定义

解释

相对不确定度将不确定度表示为测量值的一个分数或百分比；它由绝对不确定度除以测量量得到，因此没有单位。视频片段中计算出 $\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}=0.0152=1.5\%$ ，并指出其为 $\frac{\delta v}{v}$ 。

公式

\frac{\delta v}{v}=\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}=0.0152=1.5\%

适用条件

要求分母中的测量量不为零。
结果是一个无量纲的分数或百分比。
等价于绝对不确定度除以测量值。

先修条目

绝对不确定度

术语辨析：误差 versus 不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
旁白：“有人赶时间时说‘误差’，因为‘不确定度’音节太多。不必纠结二者区别。”
图示
观察依据
标注为“误差”和“不确定度”的对话框出现，各自附带思考气泡，分别表示发音简便性与描述准确性。

定义

解释

本片段中，“误差”与“不确定度”被作为同一测量概念的密切相关、非正式术语来呈现。旁白明确淡化二者区别，而视觉上的思考气泡则暗示：“误差”更易口述，“不确定度”更能准确描述其含义。

公式

适用条件

仅为术语说明。
本片段未单独给出“误差”的数学定义。

先修条目

绝对不确定度

通过局部斜率传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者解释道：若 x 可能存在 Δx 的偏差，则量 z 的偏差取决于该函数，并可由斜率求得。
公式
观察依据
显示公式：" $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ "
图示
观察依据
$z(x)$ 的函数图像，含切线及不确定度区间。

方法

解释

对于计算量 $z(x)$ ，输入量 $x$ 的微小不确定度可由该点处函数斜率乘以输入不确定度 $\delta x$ 来估算。直观上，曲线在该点附近被其切线替代，从而得到 $\delta z \approx \frac{dz}{dx}\delta x$ ；本片段将此线性估算写作等式。

公式

\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x

适用条件

当 $x$ 的不确定性足够小，可采用局部线性近似时使用。
导数在 $x$ 的测量值处计算。
视频通过切线图像来呈现这一关系。

先修条目

绝对不确定度

动能作为速度的函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
解说员：动能 K 等于二分之一乘以质量 m 再乘以速度 v 的平方。
公式
观察依据
屏幕显示“ $K(v) = 1/2 m v^2$ ”。

公式

解释

该例使用标准动能公式 $K(v)=\frac12 mv^2$ ，将 $K$ 视为关于速度 $v$ 的函数，同时保持质量 $m$ 不变。这给出了将一般误差传播规则具体应用的对象函数。

公式

K(v)=\frac{1}{2}mv^2

适用条件

本例中将 $m$ 视为常量。
片段指出 $m$ 是一个精确数。
$v$ 是带有不确定性的被测物理量。

先修条目

通过局部斜率传播

动能的不确定度传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
解说员：速度 v 存在不确定性 Δv；动能 K 的不确定性等于 K 对 v 的导数乘以 v 的不确定性。
公式
观察依据
屏幕上显示的公式为：“δK = (dK/dv) δv”，随后变为：“= (mv) δv”。

方法

解释

将通用规则应用于 $K(v)=\frac12 mv^2$ 得到 $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v$ 。由于 $\frac{dK}{dv}=mv$ ，视频片段将传播后的不确定度重写为 $\delta K=(mv)\delta v$ 。这是示例中所使用的单变量不确定度传播公式。

公式

\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v = (mv)\delta v

适用条件

在所述示例中，仅有 $v$ 具有不确定度。
$m$ 是精确值/常量。
使用 $K(v)$ 对 $v$ 的导数。

先修条目

通过局部斜率传播
动能作为速度的函数

动能公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $K(v) = 1/2 m v^2$ 。
公式
观察依据
代入 $m = 10$ kg 和 $v = 2.34 m/s$ ，得到 27.378 J。

公式

解释

视频使用标准的动能表达式 $K(v)=1/2$ mv^2，根据测得的质量和速度计算标称动能。在第一个例子中，质量被视作精确值，为10千克，而速度则带有不确定性。

公式

K(v)=\frac{1}{2}mv^2

适用条件

m 是质量
v 是动能公式中所用的速度或速率大小

单个不确定输入变量的线性传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示的关系式为 δK = dK/dv δv = (mv)δv。
声音
观察依据
讲解者指出，目标不仅是计算 K，还要计算 K 的不确定性。
图示
观察依据
在 K 关于 v 的曲线上画出一条切线，以此引出导数作为局部斜率的含义。

方法

解释

当仅有一个输入变量存在不确定性时，视频通过将该输入的不确定性乘以输出对该输入的导数，来近似得到输出的不确定性。对动能而言，dK/dv = mv，因此 δK ≈ mv δv。

公式

\delta K \approx \frac{dK}{dv}\,\delta v = (mv)\delta v

适用条件

此步骤中仅有一个输入变量带有不确定性
该函数在局部可微
不确定性足够小，可采用线性近似

先修条目

动能公式

对两个变量以平方和方式叠加不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 δz = sqrt((∂z/∂x δx)^2 + (∂z/∂y δy)^2)。
声音
观察依据
讲述者将这一过程称为‘以平方和方式叠加不确定度’。

公式

解释

对于依赖于两个彼此独立且各自带有不确定度的输入量 x 和 y 的量 z，视频通过取各自一阶贡献项的平方和的平方根，来合并这两个独立的一阶贡献；每一项贡献等于相应偏导数乘以该输入量的不确定度。

公式

\delta z = \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2}

适用条件

z 被视为关于两个变量 x 和 y 的函数
两项不确定度贡献以平方和方式合并
屏幕上显示的公式是一阶误差传递规则

先修条目

偏导数

偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者指出，这个带卷曲尾巴的 d 符号称为偏导数。
声音
观察依据
讲述者将其定义为每次仅对一个变量求导的导数。
公式
观察依据
屏幕先单独显示 ∂，再依次显示 ∂/∂x、∂/∂y 和 ∂/∂z。

定义

解释

偏导数用于衡量一个多元函数在仅让某一个选定变量变化、而其余变量保持不变时，函数值的变化情况。视频引入符号 ∂ 来表示这种每次只对一个变量求导的运算。

公式

\frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}

适用条件

该函数具有多个自变量
在求偏导数时，除求导变量外，其余所有变量均视为常数

偏导数的几何意义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者将普通导数解释为切线的斜率，并对比二维情形下对应的切平面
图示
观察依据
展示了一个3D曲面 $z(x,y)$ ，并高亮显示其中的一个平面截面
公式
观察依据
屏幕标注∂f/∂x为沿x方向的斜率，∂f/∂y为沿y方向的斜率

定义

解释

在二维情形中，视频将偏导数解释为曲面 $z(x,y)$ 的切平面上沿坐标方向的斜率：对x的偏导表示沿x方向的斜率，对y的偏导表示沿y方向的斜率

公式

\frac{\partial f}{\partial x}=\text{slope along }x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\text{slope along }y

适用条件

该曲面在局部足够光滑，从而存在切平面
这些斜率是沿坐标轴方向取的

先修条目

偏导数

计算偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者指出，应每次只关注一个变量，而将其他所有变量视作常数
公式
观察依据
示例中划去不含所选变量的各项，仅对剩余项进行求导

方法

解释

计算偏导数时，仅对选定的变量求导，而将所有其他变量视为常数。不含所选变量的项会消失，因为它们对该变量的导数为零。

公式

\text{Hold all other variables constant, then differentiate with respect to the chosen variable.}

适用条件

该函数用多个变量表示。
标准的单变量求导法则适用于其余因子。

先修条目

偏导数

定理与条件 · 11

绝对不确定度与相对不确定度的单位

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员：“因此，delta 某量表示绝对不确定度，它具有单位；相对不确定度则是一个分数或百分比，无量纲。”
图示
观察依据
蓝色圆圈标出带单位的 $\delta v$ ；红色圆圈标出以百分比表示的 $\frac{\delta v}{v}$ 。

命题

绝对不确定度 $\delta x$ 与被测物理量具有相同单位，而相对不确定度 $\frac{\delta x}{x}$ 是一个分数或百分比，无量纲。

前提

$x$ 是在构造 $\frac{\delta x}{x}$ 时具有非零值的测量量。
$\delta x$ 以与 $x$ 相同的单位表示。

量词

针对视频片段示例中所示的被测物理量及其不确定度。

通过导数实现的局部传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
旁白指出，z 方向上的变化量取决于该函数的斜率，随后说明 z 的偏移量等于导数乘以 x 的偏移量。
公式
观察依据
显示的公式为：" $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ "。
图示
观察依据
在曲线上的该点处画出一条红色切线。

待核验内容

该片段通过视觉方式引出局部线性近似的思想，但将结果写作等式形式，未明确指出被忽略的高阶项。

命题

若 $z=z(x)$ 和 $x$ 的偏移量为 $\delta x$ ，则对应 $z$ 的偏移量在片段中由 $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ 给出，该表达式源自点 $x$ 处的切线斜率。

前提

存在一个可微函数 $z(x)$ 。
讨论围绕点 $x$ 附近的一个微小偏移展开。
斜率在该点处取值。

量词

针对片段中的通用示例变量 $x$ 与计算量 $z(x)$ 。

动能示例中的导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕显示：" $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v$ = (mv) $\delta v$ "。
声音
观察依据
旁白指出，K 的不确定性等于 K 关于 v 的导数乘以 v 的不确定性。

待核验内容

中间求导步骤未口头说明，而是通过显示的化简过程推断得出。

命题

对于 $K(v)=\frac12 mv^2$ 且 $m$ 为常数的情形，视频片段使用 $\frac{dK}{dv}=mv$ ，因此 $\delta K=(mv)\delta v$ 。

前提

对应的式子为： $K(v)=\frac12 mv^2$ 。
$m$ 被视为精确值/常量。
$v$ 携带不确定度 $\delta v$ 。

量词

针对已演算的动能示例。

普通导数即切线的斜率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：“若常规导数是切线的斜率……”
图示
观察依据
此前，在K关于v的图像上画出了一条红色切线。

命题

对于单变量函数，导数被解释为函数图像在某一点处切线的斜率。

前提

该函数在所考虑的点处可导

量词

在普通导数存在的点处

偏导数即切平面上各坐标方向的斜率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，在二维情形下存在一个切平面，其中∂/∂x表示沿x方向的斜率，∂/∂y表示沿y方向的斜率。
公式
观察依据
屏幕上标注：∂f/∂x = 此处沿x方向的斜率，∂f/∂y = 此处沿y方向的斜率。

命题

对于二元函数所定义的曲面，其偏导数给出了切平面在坐标方向x和y上的斜率。

前提

该曲面在局部足够光滑，从而存在切平面
变量被区分为x和y

量词

在曲面上相关偏导数存在的点处

平方和介于完全抵消与完全相加这两种极端情形之间。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者指出，平方和的不确定度小于最坏情况，但大于任一单独的不确定度。
公式
观察依据
屏幕上显示斜边 < $e_1 + e_2$ 。
图示
观察依据
屏幕上显示一个直角三角形，其两条直角边分别为 $e_1$ 和 $e_2$ ，斜边为 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )。

待核验内容

对单独不确定度的口头比较很清晰，但最后一句在讲述者说完想法前被截断。

命题

对于两个正的不确定度贡献，其平方和组合 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ ) 小于完全相加的最坏情况 $e_1+e_2$ ，但大于任一单个贡献。

前提

$e_1$ 和 $e_2$ 被视为正的不确定度大小。
该组合通过垂直的几何构型建模。

量词

针对屏幕上显示的两个正贡献 $e_1$ 和 $e_2$ 。

加减运算中的符号选择在平方后即消失。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
手写注释指向代入的 ±1因子，并写道：注意：正负号无关紧要，因为它们最终会被平方！
声音
观察依据
讲解者指出，两个偏导数实际上都极易计算，且其绝对值均等于1。

命题

对于 $z = \pm x \pm y$ ，传播后的不确定度取决于 (∂z/∂x)^2 和 (∂z/∂y)^2，因此正负号不会改变最终的误差平方和公式。

前提

z 是两个测量量 x 和 y 的和或差。
传播公式对每个偏导数项分别进行平方。

量词

针对 $z = \pm x \pm y$ 中所展示的符号选择。

乘法与除法遵循相同的相对不确定度平方和模式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
乘积与商的两种推导均简化为同一显示表达式： $δz / z$ 。
声音
观察依据
讲解者指出，相对不确定度存在一种规律：它们以平方和方式相加。

待核验内容

相对不确定度的口头定义在说完之前被截断。

命题

将传播得到的绝对不确定度除以 z 后，z = xy 和 $z = x/y$ 均导出同一规则：x 与 y 的相对不确定度以平方和方式相加。

前提

z 为 xy 或 $x/y$ 二者之一。
x 与 y 均不为零，因此各比值均有定义。
正在使用平方和传播公式。

量词

针对屏幕上展示的两种函数形式：z = xy 与 $z = x/y$ 。

当一个相对不确定度占主导时的近似处理

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，如果某次测量的相对精度明显高于另一次测量，则有时可以忽略较小的相对不确定度，将该测量视为精确值。
图示
观察依据
（ $δx/x$ ）^2这一项在视觉上被缩小消失，而（ $δy/y$ ）^2则保持主导地位。

待核验内容

视频中并未给出“明显更精确”这一说法所对应的精确数值阈值，以判断何时可以忽略某一项。

命题

如果一个相对不确定度远大于另一个，则有时可以忽略较小的相对不确定度，从而使合成相对不确定度近似等于较大的那个。

前提

比较的是相对不确定度。
其中一次测量相对于另一次测量具有明显更高的精度。
该近似方法对于预期的精度要求是可接受的。

量词

有时

将x视为实际精确值所导致的推论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在简化为 $δz/z = δy/y$ 后，分母 z 被替换为 xy 并约去，从而得到 $δz = x δy$ 。
声音
观察依据
讲解者提醒：这将为你节省大量计算，但务必谨慎。
图示
观察依据
对话框中说：哇，它的确表现得好像“x”是常量一样！

待核验内容

视频将此作为该近似的一个示例性推论呈现，而非一个经过严格证明的定理。

命题

在x的相对不确定度可忽略不计的近似下，z=xy的传播绝对不确定度简化为δz≈x δy，从而使x表现得像一个常数乘子。

前提

z等于x乘以y。
x的相对不确定度与y的相对不确定度相比被忽略。

量词

在所述近似下

三维方和根解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说，可以利用三个不同来源的不确定度构建一个三维直角三角形，其斜边即为这三个不确定度各自平方后再求和的平方根。
图示
观察依据
3D矢量图将对角线标注为 $\sqrt{e_1^2+e_2^2+e_3^2}$ 。

待核验内容

视频并未明确证明该几何陈述，而是将其作为一种可视化模型呈现。

命题

对于三个相互独立的不确定度分量，合成不确定度由三维空间中直角三角形构造的斜边表示，即三个分量各自平方后求和的平方根。

前提

存在三个不确定度分量。
在可视化模型中，它们被表示为相互垂直的三条边。

量词

针对所展示的三分量构造

推导与证明 · 13

从速度示例计算相对不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
显示的计算序列：“ $0.2 m/s / 13.2 m/s = 0.0152 = 1.5$ % = $\frac{\delta v}{v}$ ”。
声音
观察依据
讲解人说明将不确定度表示为测量量的百分比或分数。

数值验证

步骤

公式
$\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}$
解释
用绝对不确定度除以测得的速度。
步骤依据
视频中所述的相对不确定度定义为 $\frac{\delta v}{v}$ 。
视频直接表达
公式
$=0.0152$
解释
数值计算该商。
步骤依据
屏幕上显示的算术过程。
视频直接表达
公式
$=1.5\%$
解释
将小数分数转换为百分数。
步骤依据
屏幕上显示的等价百分数形式。
视频直接表达
公式
$=\frac{\delta v}{v}$
解释
将结果识别为 $v$ 的相对不确定度。
步骤依据
屏幕上显示的标注及旁白，用于定义相对不确定度。
视频直接表达

结论

本例中的相对不确定度为 $1.5\%$ ，等价于 $\frac{\delta v}{v}$ 。精确小数 $0.0152$ 在屏幕上四舍五入为 $1.5\%$ 。

从斜率推导单变量误差传递规则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
曲线 $z(x)$ 、点 $(x,z)$ 、不确定度条 $\delta x$ 和 $\delta z$ ，以及一条红色切线。
公式
观察依据
显示的公式：" $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ "。
声音
观察依据
旁白指出 $z$ 的变化基于函数的斜率。

待核验内容

该片段以视觉方式呈现切线论证并给出公式，但未明确讨论近似符号或被忽略的高阶项。

视觉说明

步骤

公式
$z=z(x)$
解释
从一个计算得到的量 $z$ 开始，该量依赖于一个被测量的输入 $x$ 。
步骤依据
由叙述者口述并由图中标注 $z(x)$ 显示。
视频直接表达
公式
$x \mapsto x\pm \delta x$
解释
允许输入变化一个绝对不确定度 $\delta x$ 。
步骤依据
通过围绕 $x$ 的水平不确定度标记来显示。
视频直接表达
公式
$\text{slope at }x = \frac{dz}{dx}$
解释
使用曲线上点 $x$ 处的局部斜率。
步骤依据
在图上该点处画出红色切线。
视频直接表达
公式
$\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$
解释
将斜率乘以输入偏移量，得到输出偏移量。
步骤依据
公式在屏幕上显示，并由叙述者口述。
视频直接表达

结论

本片段的视觉推导通过工作点处的导数，将微小的输入不确定度与输出不确定度关联起来。

将速度的不确定性传递到动能的不确定性中

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕显示“ $K(v) = 1/2 m v^2$ ”，然后显示“ $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v$ = (mv) $\delta v$ ”。
声音
观察依据
叙述者称 $m$ 是精确的，而 $K$ 的不确定度等于 $K$ 对 $v$ 的导数乘以 $v$ 的不确定度。

待核验内容

从 $\frac12 mv^2$ 到 $mv$ 的求导步骤未作口头说明；仅通过最终显示的简化结果体现。

严格证明

步骤

公式
$K(v)=\frac{1}{2}mv^2$
解释
从本例的动能公式开始。
步骤依据
公式以显示形式呈现，并由解说员口述。
视频直接表达
公式
$m \text{ exact},\quad v \text{ has uncertainty }\delta v$
解释
将质量视为精确值，而将速度视为具有不确定性的测量量。
步骤依据
解说员明确指出 $m$ 是一个精确数值，并指出 $\delta v$ 是 $v$ 的不确定性。
视频直接表达
公式
$\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v$
解释
应用前一节介绍的单变量不确定性传递规则。
步骤依据
该通用方法在本视频片段早先已建立，并在解说中再次陈述。
视频直接表达
公式
$\frac{dK}{dv}=mv$
解释
对 $K(v)=\frac12 mv^2$ 关于 $v$ 求导，同时保持 $m$ 为常量。
步骤依据
由屏幕上展示的简化结果 $(mv)\delta v$ 所隐含；这是标准的求导法则。
依据视频推导
公式
$\delta K=(mv)\delta v$
解释
将导数代入不确定性传递公式。
步骤依据
在屏幕上显示。
视频直接表达

结论

对于质量精确的动能示例，动能的不确定性为 $\delta K=(mv)\delta v$ 。

从速度不确定度出发，逐步推导动能不确定度。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上依次显示 $K(v)=1/2$ mv^2，然后 δK=dK/dv δv=(mv)δv，接着代入数值，再显示 0.94 J，最后框出答案 $K=27.4$ +/- 0.9 J。
声音
观察依据
讲述者指出，本例目的是同时计算动能 K 及其不确定度。

数值验证

步骤

公式
$K(v)=\frac{1}{2}mv^2$
解释
从动能公式出发。
步骤依据
屏幕上显示公式。
视频直接表达
公式
$K=\frac{1}{2}(10\,\mathrm{kg})(2.34\,\mathrm{m/s})^2=27.378\,\mathrm{J}$
解释
代入给定的质量和速度，得到标称动能。
步骤依据
屏幕上展示直接数值代入过程。
视频直接表达
公式
$\frac{dK}{dv}=mv$
解释
将 K 对 v 求导，同时将 m 视为常量。
步骤依据
对 $1/2 m v^2$ 关于 v 求标准导数。
视频直接表达
公式
$\delta K=(mv)\delta v$
解释
对单个不确定变量使用线性传播规则。
步骤依据
屏幕上显示关系式 δK = dK/dv δv。
视频直接表达
公式
$\delta K=(10\,\mathrm{kg})(2.34\,\mathrm{m/s})(0.04\,\mathrm{m/s})=0.94\,\mathrm{J}$
解释
代入 m、v 和 δv 的数值。
步骤依据
屏幕上展示代入过程。
视频直接表达
公式
$K=27.4\pm 0.9\,\mathrm{J}$
解释
对标称值和不确定性进行四舍五入，得到最终报告结果。
步骤依据
屏幕上显示加框答案。
视频直接表达

结论

动能报告为 $27.4 \pm 0.9$ 焦耳。

偏导数的逐步计算过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $f(x,y,z)=3$ xy^2z+sqrt(y)+ $x^3/z$ ，随后展示三个偏导数。
动画
观察依据
不含所选变量的项被划掉，被忽略的因子上方标有“常数”一词。

数值验证

步骤

公式
$f(x,y,z)=3xy^2z+\sqrt{y}+\frac{x^3}{z}$
解释
从屏幕上显示的三元函数开始。
步骤依据
屏幕上显示的公式。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial x}=3y^2z+\frac{3x^2}{z}$
解释
仅对含 x 的项求导，并将 y 和 z 视为常数；sqrt(y) 项消失。
步骤依据
叙述者口述偏导数法则，并通过划掉不含 x 的项来图示说明。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial y}=6xyz+\frac{1}{2\sqrt{y}}$
解释
仅对含 y 的项求导，并将 x 和 z 视为常数； $x^3/z$ 项消失。
步骤依据
叙述者口述偏导数法则，并通过划掉不含 y 的项来图示说明。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial z}=3xy^2-\frac{x^3}{z^2}$
解释
仅对含 z 的项求导，并将 x 和 y 视为常数；sqrt(y) 项消失。
步骤依据
叙述者口述偏导数法则，并通过划掉不含 z 的项来图示说明。
视频直接表达

结论

图中显示的偏导数为 ∂f/∂ $x=3y^2z+3x^2/z$ ，∂f/∂ $y=6$ xyz+1/(2√y)，以及 ∂f/∂ $z=3$ xy^ $2-x^3/z^2$ 。

用几何方式说明为何应以平方和开方的方式合成不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
箭头 $e_1$ 与 $e_2$ 分别以方向相反、方向相同（共线）及互相垂直三种构型呈现。
公式
观察依据
直角三角形将斜边标记为 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )，屏幕上同时写出：斜边 < $e_1+e_2$ 。
声音
观察依据
讲解员说明了最优情况下的抵消、最差情况下的叠加，以及垂直情况所代表的随机独立效应的平均关系。

待核验内容

该片段提供的是几何直观动机，而非严格的概率推导。

视觉说明

步骤

公式
$e_1 \text{ 且 } e_2 \text{ can oppose}$
解释
动画首先展示两个贡献量指向相反方向，表示部分抵消。
步骤依据
可视化箭头构型配合关于最优情况的讲解。
视频直接表达
公式
$e_1+e_2$
解释
随后动画展示两个贡献量方向一致（共线），表示最差情况下的叠加总量。
步骤依据
共线箭头的可视化呈现配合关于最大误差的讲解。
视频直接表达
公式
$\sqrt{e_1^2+e_2^2}$
解释
垂直排列构成一个直角三角形，其斜边即为平方和开方所得之和。
步骤依据
屏幕上显示的直角三角形标注及其勾股定理形式。
视频直接表达
公式
$\sqrt{e_1^2+e_2^2}<e_1+e_2$
解释
由于直角三角形的斜边长度小于两条直角边长度之和，因此按平方和开方（求积）法得到的结果小于完全相加所得的最坏情况值。
步骤依据
屏幕上显示不等式：斜边 < $e_1 + e_2$ ，并辅以基础三角形几何知识。
视频直接表达

结论

垂直几何模型说明了为何独立的不确定度应通过平方和开方（求积）方式合成，而非简单相加。

动能不确定度示例的完整推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $K(v) = 1/2 m v^2$ ，随后是 δK 的平方和公式，接着是偏导数，再是数值代入，最后等于 0.99 J。
声音
观察依据
讲解者指出，每一不确定度来源均对应一个关于不同变量的导数，并说明需将所有数值代入。

数值验证

步骤

公式
$K(v)=\frac{1}{2}mv^2$
解释
从动能公式出发，将 m 与 v 均视为测量量。
步骤依据
题目陈述已显示在屏幕上。
视频直接表达
公式
$\delta K=\sqrt{\left(\frac{\partial K}{\partial m}\delta m\right)^2+\left(\frac{\partial K}{\partial v}\delta v\right)^2}$
解释
写出 K 的不确定度所对应的双变量传播公式。
步骤依据
叙述者表述为将两个不确定度来源以平方和的平方根方式相加。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial K}{\partial m}=\frac{1}{2}v^2$
解释
在保持v不变的情况下，对K关于m求偏导数。
步骤依据
对 $K=\frac{1}{2}$ mv^2直接进行偏微分。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial K}{\partial v}=mv$
解释
在保持m不变的情况下，对K关于v求偏导数。
步骤依据
对 $K=\frac{1}{2}$ mv^2直接进行偏微分。
视频直接表达
公式
$\delta K=\sqrt{\left(\frac{1}{2}v^2\delta m\right)^2+(mv\delta v)^2}$
解释
将两个导数结果代回误差传播公式。
步骤依据
将已求出的偏导数代入表达式进行代数替换。
视频直接表达
公式
$\delta K=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(2.34\,\mathrm{m/s})^2(0.11\,\mathrm{kg})\right)^2+\left((10.12\,\mathrm{kg})(2.34\,\mathrm{m/s})(0.04\,\mathrm{m/s})\right)^2}$
解释
代入题目中给出的m、v、 $\delta m$ 和 $\delta v$ 的数值。
步骤依据
根据所给测量数据代入具体数值。
视频直接表达
公式
$\delta K=0.99\,\mathrm{J}$
解释
计算该表达式，得到K的传播绝对不确定度。
步骤依据
屏幕上展示算术运算过程。
视频直接表达

结论

对于本题所给的动能示例，K的传播绝对不确定度为0.99 J。

乘以常数这一快捷规则的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片上写出 $z(x) = C x$ ，然后 δz = (∂z/∂x) δx，即 = C δx。
声音
观察依据
讲述者指出，z 关于 x 的导数就是 C，因此 z 的不确定度等于 C 乘以 x 的不确定度。

严格证明

步骤

公式
$z(x)=Cx$
解释
从一个由单个被测变量经常数倍得到的导出量出发。
步骤依据
作为屏幕上的标题案例显示。
视频直接表达
公式
$\delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\delta x$
解释
对 z 应用单变量不确定度传播模板。
步骤依据
这是此前展示过的平方和规则的单变量形式。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial x}=C$
解释
对 z = Cx 关于 x 求导。
步骤依据
直接求导。
视频直接表达
公式
$\delta z=C\delta x$
解释
将导数代入不确定度传播公式。
步骤依据
代数代入。
视频直接表达

结论

当一个测量值乘以一个精确常数时，其绝对不确定度也乘以该相同常数。

加法与减法快捷公式的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片展示 $z(x) = \pm x \pm y$ ，然后给出双变量公式，再将两个偏导数均替换为 ±1，最后化简为 √[(δx) $2 + (δy)2$ ]。
声音
观察依据
讲述者指出两个偏导数均为1，公式简化为两个原始不确定度的平方和开方。

严格证明

步骤

公式
$z=\pm x\pm y$
解释
从两个被测变量的和或差出发。
步骤依据
以该情形作为屏幕上的标题显示。
视频直接表达
公式
$\delta z=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2}$
解释
写出通用的双变量误差传递公式。
步骤依据
与动能示例中使用的模板相同。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial x}=\pm1,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\pm1$
解释
计算线性和或差的偏导数。
步骤依据
对 $z = \pm x \pm y$ 进行直接求导。
视频直接表达
公式
$\delta z=\sqrt{(\pm1\,\delta x)^2+(\pm1\,\delta y)^2}$
解释
将偏导数值代入误差传递公式。
步骤依据
代数代入。
视频直接表达
公式
$\delta z=\sqrt{(\delta x)^2+(\delta y)^2}$
解释
去掉正负号，因为平方运算使 ±1变为1。
步骤依据
屏幕上的注释明确指出，正负号（±）无关紧要，因为它们会被平方。
视频直接表达

结论

对于两个测量量的加法或减法运算，其绝对不确定度按平方和的平方根方式合成。

乘积与商的相对不确定度速算公式推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左栏由 $z(x)$ = xy 推导而来，其中 ∂z/∂ $x = y$ 且 ∂z/∂ $y = x$ ；右栏由 $z(x) = x/y$ 推导而来，其中 ∂z/∂ $x = 1/y$ 且 ∂z/∂ $y = -x/y^2$ 。
公式
观察依据
随后将两栏结果均除以 z，并化简为屏幕上所显示的同一表达式： $δz/z$ 。
声音
观察依据
讲述者指出，这些导数初看之下较为复杂，但若将等式两边同时除以 z，则可揭示出一个规律：相对不确定度按平方和的平方根方式合成。

待核验内容

该片段在讲述者完成相对不确定度的口头定义前即已结束。

严格证明

步骤

公式
$z=xy$
解释
先从乘积情形开始。
步骤依据
屏幕上以左侧情形展示。
视频直接表达
公式
$\delta z=\sqrt{(y\delta x)^2+(x\delta y)^2}$
解释
在算出 ∂z/∂ $x = y$ 和 ∂z/∂ $y = x$ 后，代入双变量不确定度传播公式。
步骤依据
直接进行偏微分，并代入平方和合成模板。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{y\delta x}{xy}\right)^2+\left(\frac{x\delta y}{xy}\right)^2}$
解释
将等式两边同除以 z = xy，从而将表达式改写为相对形式。
步骤依据
如讲解员所述，对 z 进行代数除法。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$
解释
约去每个平方项内部的公因式。
步骤依据
分数的化简。
视频直接表达
公式
$z=\frac{x}{y}$
解释
对商的情形重复该过程。
步骤依据
在屏幕上显示为右侧情形。
视频直接表达
公式
$\delta z=\sqrt{\left(\frac{1}{y}\delta x\right)^2+\left(-\frac{x}{y^2}\delta y\right)^2}$
解释
在计算出 ∂z/∂ $x=1/y$ 和 ∂z/∂ $y=-x/y^2$ 后，使用双变量传播公式。
步骤依据
直接进行偏微分，并代入求积模板。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$
解释
除以 $z=x/y$ 并化简；负号在平方后消失。
步骤依据
屏幕上展示的代数化简。
视频直接表达

结论

对于乘法和除法，结果的相对不确定度等于各输入量相对不确定度的方和根。

主导不确定度近似法的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
完整的相对不确定度公式在化简前显示。
动画
观察依据
项 ( $δx/x$ )^2 缩小并消失，而 ( $δy/y$ )^2 保持放大。
声音
观察依据
讲解者说明：当某次测量的准确度高得多时，可忽略较小的相对不确定度。

待核验内容

“高得多”这一说法的确切数值判据并未给出。

直观解释

步骤

公式
$\frac{\delta z}{z}=\sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$
解释
从乘法或除法的相对不确定度公式出发。
步骤依据
以乘积与商的标准规则形式显示在屏幕上。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta x}{x}\ll \frac{\delta y}{y}$
解释
假设 x 的相对不确定度远小于 y 的相对不确定度。
步骤依据
用口头语言表述为：某次测量相对而言准确得多时所满足的条件。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{z}\approx \sqrt{\left(\frac{\delta y}{y}\right)^2}$
解释
去掉平方根号内求和项中较小的平方项。
步骤依据
因一项相对不确定度远大于另一项，该近似成立。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{z}\approx \frac{\delta y}{y}$
解释
对剩余的平方项开平方根。
步骤依据
代数化简 $\sqrt{a^2}$ =|a|，其中不确定度比值被视为非负量。
依据视频推导

结论

当一项相对不确定度占主导时，合成相对不确定度约等于较大的那一个。

由简化后的相对不确定度推导 z=xy 的绝对不确定度。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示“假设…… $z(x,y)$ =xy”，以及 $\frac{\delta z}{z}=\frac{\delta y}{y}$ 。
动画
观察依据
分母 z 被重写为 xy，x 因子相消，得到 $\delta z=x\delta y$ 。
声音
观察依据
讲解者称此法可节省计算，但提醒需谨慎。

待核验内容

相消步骤以视觉方式呈现，未用语言完整说明。

视觉说明

步骤

公式
$z(x,y)=xy$
解释
引入 z 的具体乘积关系。
步骤依据
屏幕上写为“假设…… $z(x,y)$ =xy。”
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{z}=\frac{\delta y}{y}$
解释
使用忽略 x 的不确定度项后所得的近似。
步骤依据
沿用前一步主导项简化所得结果。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta z}{xy}=\frac{\delta y}{y}$
解释
将 z = xy 代入左侧分母中。
步骤依据
直接根据给定的函数关系式代入。
依据视频推导
公式
$\delta z=x\,\delta y$
解释
约去公因子 y，并在等式两边同乘 x。
步骤依据
通过屏幕上的消去动画展示的代数化简。
依据视频推导

结论

在 x 视为精确值的近似下，z = xy 的绝对不确定度为 δz ≈ x δy。

例题详解 · 9

速度测量值及其绝对不确定度与相对不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
雷达枪对准汽车；显示屏显示“13.2米/秒”，随后显示“±0.2米/秒”。
公式
观察依据
标签标出“测得的速度” $v=13.2\ \mathrm{m/s}$ 和“速度v的绝对不确定度” $\delta v=0.2\ \mathrm{m/s}$ 。
公式
观察依据
相对不确定度的计算表示为 $0.2/13.2=0.0152=1.5\%=\frac{\delta v}{v}$ 。

题目

某速度的测量值为 $13.2\ \mathrm{m/s} \pm 0.2\ \mathrm{m/s}$ 。请指出其绝对不确定度与相对不确定度。

已知条件

测得的速度为 $v=13.2\ \mathrm{m/s}$ 。
绝对不确定度为 $\delta v=0.2\ \mathrm{m/s}$ 。

目标

将不确定度同时以绝对量值和相对分数（或百分比）的形式表达。

步骤

公式
$\delta v = 0.2\ \mathrm{m/s}$
解释
直接将“±”后的数值读作绝对不确定度。
步骤依据
视频片段中给出的绝对不确定度定义。
视频直接表达
公式
$\frac{\delta v}{v}=\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}$
解释
用绝对不确定度除以测量值，构成比值。
步骤依据
视频片段中陈述的相对不确定度定义。
视频直接表达
公式
$=0.0152=1.5\%$
解释
计算并转换为百分数。
步骤依据
屏幕上显示的数值结果。
视频直接表达

结果

绝对不确定度： $\delta v=0.2\ \mathrm{m/s}$ 。相对不确定度： $\frac{\delta v}{v}=0.0152=1.5\%$ 。

检验

在 $\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}$ 中单位相互抵消，这与视频片段中所述“相对不确定度无量纲”一致。

动能示例的设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
题目文字：“一个质量为10千克的物体，测得其速度为 $2.34\pm 0.04$ 米/秒。求动能。”
公式
观察依据
屏幕先显示 $K(v)=1/2mv^2$ ，然后代入 $1/2(10\ \mathrm{kg})(2.34\ \mathrm{m/s})^2$ 。
公式
观察依据
屏幕显示 $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v = (mv)\delta v$ 。

待核验内容

视频片段在建立代入与传播公式后即停止；本片段中未给出 $K$ 或 $\delta K$ 的最终数值结果。120秒片段中。

题目

一个质量为 $10\text{-kg}$ 的物体，测得其速度为 $2.34 \pm 0.04\ \mathrm{m/s}$ 。求动能，并传播来自速度的不确定度。

已知条件

质量 $m=10\ \mathrm{kg}$ ，视为精确值。
测得的速度为 $v=2.34\ \mathrm{m/s}$ 。
速度的不确定度 $\delta v=0.04\ \mathrm{m/s}$ 。
公式 $K(v)=\frac12 mv^2$ 。

目标

列出 $K$ 的计算式及其传播不确定度 $\delta K$ 。

步骤

公式
$K(v)=\frac{1}{2}mv^2$
解释
写出本例中的动能公式。
步骤依据
公式以显示形式呈现，并由解说员口述。
视频直接表达
公式
$K=\frac{1}{2}(10\ \mathrm{kg})(2.34\ \mathrm{m/s})^2$
解释
将给定的质量和速度代入公式。
步骤依据
屏幕上展示代入过程。
视频直接表达
公式
$\delta K=\frac{dK}{dv}\delta v$
解释
应用单变量不确定度传播规则。
步骤依据
此前已建立并在此重申的一般方法。
视频直接表达
公式
$\delta K=(mv)\delta v$
解释
将 $\frac{dK}{dv}$ 替换为 $mv$ ，用于 $K(v)=\frac12 mv^2$ 。
步骤依据
屏幕上展示化简过程。
视频直接表达
公式
$\delta K=(10\ \mathrm{kg})(2.34\ \mathrm{m/s})(0.04\ \mathrm{m/s})$
解释
将数值代入传播不确定度公式。
步骤依据
直接由屏幕上显示的公式和所给数据得出；本片段结束时，讲解已进入设定阶段。
依据视频推导

结果

本片段中，例题被设定为 $K=\frac12(10\ \mathrm{kg})(2.34\ \mathrm{m/s})^2$ 和 $\delta K=(mv)\delta v=(10\ \mathrm{kg})(2.34\ \mathrm{m/s})(0.04\ \mathrm{m/s})$ ；在120秒之前未显示最终数值答案。

检验

该设定符合将通式 $\delta z=(dz/dx)\delta x$ 应用于 $z=K(v)$ 的一般规则，且 narration 中所述的 $m$ 保持精确不变。

速度存在不确定度时的动能

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
题目描述为：一个质量为10千克的物体，其测得速度为 $2.34 \pm 0.04$ 米/秒。求其动能。
公式
观察依据
屏幕计算得 $K = 27.378$ 焦耳， $δK = 0.94$ 焦耳，最终将结果框出为 $K = 27.4 \pm 0.9$ 焦耳。

题目

一个质量为10千克的物体，其测得速度为 $2.34 \pm 0.04$ 米/秒。求其动能。

已知条件

$m = 10$ 千克
$v = 2.34$ 米/秒
$δv = 0.04$ 米/秒
$K(v)=1/2$ mv^2

目标

计算动能及其不确定度。

步骤

公式
$K=\frac{1}{2}(10)(2.34)^2=27.378\,\mathrm{J}$
解释
将给定的质量和速度代入动能公式。
步骤依据
屏幕上显示直接计算过程。
视频直接表达
公式
$\delta K=\frac{dK}{dv}\delta v=(mv)\delta v$
解释
利用动能 K 对速度 v 的导数来传播速度的不确定度。
步骤依据
屏幕上显示线性传播公式。
视频直接表达
公式
$\delta K=(10)(2.34)(0.04)=0.94\,\mathrm{J}$
解释
代入数值并计算不确定度。
步骤依据
屏幕上显示代入过程。
视频直接表达
公式
$K=27.4\pm 0.9\,\mathrm{J}$
解释
对最终结果及其不确定度进行四舍五入。
步骤依据
屏幕上显示加框的答案。
视频直接表达

结果

K 等于 27.4 加减 0.9 倍的 J

检验

最终加框答案与屏幕上显示的标称值27.378 J（四舍五入至27.4 J）及显示的不确定度0.94 J（四舍五入至0.9 J）一致。

由两个具有不确定性的测量值计算动能

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕列出：速度 = $13.2 m/s \pm 0.02 m/s$ ，质量 = 11.6 kg ± 0.1 kg。
公式
观察依据
接着写出 $K = 1/2 m v^2$ ， $K = z(x,y)$ = 关于两个变量的函数，以及 δz = sqrt((∂z/∂x δx)^2 + (∂z/∂y δy)^2)。
声音
观察依据
讲解者指出，这是一个更复杂的情形：两个被测量的量各自存在不确定性，并共同用于计算动能。

待核验内容

该片段引入了双变量示例及平方和法则，但本段内并未完成完整的数值计算。

题目

假设速度与质量均存在测量不确定性，而你需要根据二者组合来求动能。

已知条件

速度 = $13.2 m/s \pm 0.02 m/s$
质量 = 11.6 kg ± 0.1 kg
$K = 1/2 m v^2$

目标

介绍如何将两个具有不确定性的测量值合并为一个导出量。

步骤

公式
$K=\frac{1}{2}mv^2$
解释
明确该导出量为动能，它同时依赖于质量和速度。
步骤依据
屏幕上显示公式。
视频直接表达
公式
$K=z(x,y)$
解释
将该量重新表达为两个变量的通用函数。
步骤依据
屏幕文字： $K = z(x,y)$ = 一个关于两个变量的函数。
视频直接表达
公式
$\delta z=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2}$
解释
应用平方和法则，合并两个相互独立的一阶不确定度贡献。
步骤依据
屏幕上显示公式，并口述术语“不确定度的平方和相加”。
视频直接表达

结果

该设定导出了δz的平方和公式；本两测量示例在视频片段中未给出最终数值结果。

检验

屏幕上显示的公式确认了所采用的方法，但该片段在得出具体数值答案前即结束。

计算偏导数的示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕显示：一个例子： $f(x,y,z)=3$ xy^2z+sqrt(y)+ $x^3/z$ 。
公式
观察依据
随后显示∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z。
动画
观察依据
不含所选变量的项被划掉，并标注为常数。

题目

计算函数 $f(x,y,z)=3$ xy^2z+√ $y+x^3/z$ 的偏导数。

已知条件

$f(x,y,z)=3$ xy^ $2z+\sqrt{y}+\frac{x^3}{z}$

目标

求∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z。

步骤

公式
$\frac{\partial f}{\partial x}=3y^2z+\frac{3x^2}{z}$
解释
将y和z视为常数，对含x的项进行求导。
步骤依据
通过划去√y，并对关于x的表达式3xy^2z和 $x^3/z$ 求导得到。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial y}=6xyz+\frac{1}{2\sqrt{y}}$
解释
将x和z视为常量，对含y的项求导。
步骤依据
通过划去 $x^3/z$ ，并对关于y的表达式3xy^2z和√y求导得到。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial f}{\partial z}=3xy^2-\frac{x^3}{z^2}$
解释
将x和y视为常量，对含z的项求导。
步骤依据
通过划去√y，并对关于z的表达式3xy^2z和 $x^3/z$ 求导得到。
视频直接表达

结果

∂f/∂ $x = 3y^2z + 3x^2/z$ , ∂f/∂ $y = 6$ xyz + 1/(2√y), ∂ $f/z = 3$ xy^ $2 - x^3/z^2$

检验

每个展示出的偏导数均符合标准的逐项求导法则，其余变量保持不变。

含两个测量变量的动能不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
题目文字为：一个质量为 $10.12 \pm 0.11$ kg 的物体，测得其速度为 $2.34 \pm 0.04 m/s$ 。求其动能。
公式
观察依据
解题过程显示 $K(v)=1/2 m v^2$ ，并给出完整的传播计算，最终结果为 = 0.99 J。
声音
观察依据
讲解者建议重新回顾涉及两个变量的动能示例，然后代入所有数值。

待核验内容

该片段仅计算并显示传播后的不确定度 $\delta K$ ，而不显示 K 本身的中心值。

题目

一个质量为 $10.12\pm 0.11$ kg 的物体，测得其速度为 $2.34\pm 0.04 m/s$ 。利用公式 $K = 1/2 m v^2$ 求动能的不确定度。

已知条件

$m = 10.12$ 千克
$δm = 0.11$ 千克
$v = 2.34$ 米/秒
$δv = 0.04$ 米/秒
$K(v) = 1 / 2 \times m \times v$ 的 2 次方

目标

传播测量不确定度以得到 $\delta K$ 。

步骤

公式
$\delta K=\sqrt{\left(\frac{\partial K}{\partial m}\delta m\right)^2+\left(\frac{\partial K}{\partial v}\delta v\right)^2}$
解释
写出 K 关于两个变量的不确定度传播公式。
步骤依据
讲解者指出，这两个不确定度来源需按平方和的平方根方式相加。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial K}{\partial m}=\frac{1}{2}v^2,\quad \frac{\partial K}{\partial v}=mv$
解释
计算所需的偏导数。
步骤依据
对 $K = 1/2$ mv^2 关于 m 和 v 求导。
视频直接表达
公式
$\delta K=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(2.34)^2(0.11)\right)^2+\left((10.12)(2.34)(0.04)\right)^2}$
解释
代入题目陈述中的数值。
步骤依据
屏幕上显示直接数值代入过程。
视频直接表达
公式
$\delta K=0.99\,\mathrm{J}$
解释
求该表达式的值。
步骤依据
屏幕上显示最终算术结果。
视频直接表达

结果

$δK = 0.99$ 焦耳

检验

屏幕上显示的答案与屏幕计算的最后一行一致。该片段未展示与 K 的中心值进行单独比对的验证步骤。

用具体数值说明常数倍乘运算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片上写道：若测得 $x = 5.614 \pm 0.006$ ，则 10 倍的 $x = 56.14 \pm 0.06$ 。
声音
观察依据
讲解员指出：当用常数乘以一个测量量时，其不确定度也需乘以同一常数。

题目

若某测量量为 $x = 5.614 \pm 0.006$ ，那么 10 倍的 x 是多少？

已知条件

x 等于5.614
$\delta x = 0.006$
乘数 $C = 10$

目标

应用常数缩放不确定度规则。

步骤

公式
$z=10x$
解释
将新量识别为 x 的一个常数倍。
步骤依据
例题明确要求计算 10 乘以 x。
视频直接表达
公式
$\delta z=10\delta x$
解释
将不确定度乘以相同的常数。
步骤依据
使用上方紧邻给出的规则 $δz = Cδx$ 。
视频直接表达
公式
$z=56.14,\quad \delta z=0.06$
解释
计算缩放后的数值及其缩放后的不确定度。
步骤依据
根据给定数字直接进行算术运算。
视频直接表达

结果

10 乘以 $x = 56.14 \pm 0.06$

检验

结果与屏幕上显示的例题行一致。

忽略一个明显更小的相对不确定度的数值示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
公式上方的文字显示：0.03%：高精度测量，指向( $δx/x$ )^2；5.4%：粗略测量，指向( $δy/y$ )^2。
动画
观察依据
0.03%项逐渐缩小消失，而5.4%项保持并放大。

待核验内容

该示例以定性方式呈现；未展示最终百分比的显式数值计算。

题目

在方和根公式中比较两个相对不确定度0.03%和5.4%，观察哪一项主导结果。

已知条件

其中一个相对不确定度为0.03%。
另一个相对不确定度为5.4%。
合成规则为 $\frac{\delta z}{z}=\sqrt{(\frac{\delta x}{x})^2+(\frac{\delta y}{y})^2}$ 。

目标

说明为何在此近似中可忽略较小的相对不确定度。

步骤

公式
$\sqrt{(0.03\%)^2+(5.4\%)^2}$
解释
将两个已显示的相对不确定度代入平方和公式。
步骤依据
直接代入所示规则。
依据视频推导
公式
$(0.03\%)^2\ll (5.4\%)^2$
解释
观察发现，小量的平方项与大量平方项相比可忽略不计。
步骤依据
对所显示的百分比进行数值比较。
依据视频推导
公式
$\frac{\delta z}{z}\approx 5.4\%$
解释
用较大的那个相对不确定度近似表示合成后的相对不确定度。
步骤依据
这与动画中移除较小项的操作及讲解员的解释一致。
视频直接表达

结果

合成后的相对不确定度约为5.4%。

检验

动画移除了0.03%的贡献，根号内仅保留5.4%这一项。

在忽略 x 的不确定性后，z=xy 的符号化示例。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示：设 $z(x,y)$ =xy，然后将〔δz〕/〔z〕=〔δy〕/〔y〕变形为〔δz〕=〔x〕〔δy〕。
图示
观察依据
对话框中评论道：哇，它的确表现得好像“x”是常量一样！

待核验内容

该示例是符号化的，而非数值化的。

题目

已知 z=xy，且 x 的相对不确定性可忽略不计，求 z 的相应绝对不确定性。

已知条件

z关于x和y的函数为 $z(x,y)$ =xy。
z的相对变化量δz除以z约等于y的相对变化量δy除以y。

目标

将该近似式改写为绝对不确定性关系式。

步骤

公式
$\frac{\delta z}{xy}=\frac{\delta y}{y}$
解释
将 z=xy 代入近似的相对不确定性方程。
步骤依据
根据所给函数直接代入。
依据视频推导
公式
$\delta z=x\,\delta y$
解释
约去 y 并解出〔δz〕。
步骤依据
屏幕上展示代数化简过程。
依据视频推导

结果

z的变化量δz约等于x乘以y的变化量δy。

检验

屏幕上的约去动画恰好在 $δz = x δy$ 处结束，对话框将 x 解释为表现得像一个常数。

图示与动画 · 26

片头标题与 delta 符号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一扇标有“物理实验室”的门打开，露出一个大型黄色 $\delta$ 符号；标题文字“误差传播”出现。

图中对象

标有“物理实验室”的门
黄色符号 $\delta$
标题文字“误差传播”

变化过程

门打开。
$\delta$ 符号显露出来。
标题文字出现。

不变量

场景始终是一个简洁的卡通风格实验室门框。

数学含义

开场画面以视觉方式引入不确定度符号 $\delta$ ，该符号后续将表示绝对不确定度。

雷达测速仪测速示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一只手握着雷达测速仪对准一辆青绿色汽车；显示屏依次从空白变为“ $13.2 m/s$ ”，再变为“± $0.2 m/s$ ”。

图中对象

青绿色汽车
雷达测速仪
显示屏显示“ $13.2 m/s$ ”和“± $0.2 m/s$ ”

变化过程

雷达显示屏首先显示所测得的速度值。
随后添加正负号形式的不确定度。

不变量

汽车与雷达测速仪的布置保持不变。

数学含义

该动画引入了一个具体的测量量及其对应的绝对不确定度。

按颜色编码的测量值分解

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
该表达式被重写并添加标注：黑色椭圆框住“ $13.2 m/s$ ”，下方标注为“测得速度 v =”；蓝色椭圆框住“ $0.2 m/s$ ”，下方标注为“v 的绝对不确定度”；红色椭圆框住百分数/分数，下方标注为“v 的相对不确定度”。
图示
观察依据
一支黄色箭头指向被蓝色圆圈标出的绝对不确定度，并附有文字：“如何求出这个值……？（那是另一段视频的内容。）”

图中对象

用圆圈标出的测量值
用圆圈标出的绝对不确定度
用圆圈标出的相对不确定度
黄色箭头注释

变化过程

单次测量表达式被拆分为带标签的各部分。
蓝色强调标记表示绝对不确定度。
红色强调标记表示相对不确定度。
关于如何求得绝对不确定度的说明延后至另一段视频中介绍。

不变量

底层数值示例仍为 $13.2\ \mathrm{m/s} \pm 0.2\ \mathrm{m/s}$ 。

数学含义

视觉编码区分了测量量、其绝对不确定度及相对不确定度。

术语卡通图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
两个对话框分别标注“误差”和“不确定度”，并配有思考气泡：“我更便于口头表达。”和“我更能准确描述你实际想表达的意思。”

图中对象

对话框：“误差”
对话框：“不确定性”
思考框

变化过程

这两个术语被拟人化为相互竞争的标签。

不变量

本场景中未引入任何新公式。

数学含义

该动画旨在评述术语用法，而非增添独立的数学规则。

通用误差传播图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一幅坐标图逐步构建：从坐标轴开始，到标有 $z(x)$ 的曲线，再到标记点 $x$ 、对应的 $z$ 、水平不确定性条 $\delta x$ 、垂直不确定性条 $\delta z$ ，以及一条红色切线。

图中对象

坐标轴分别标为 $x$ 和 $z(x)$
曲线 $z(x)$
点 $(x,z)$
水平标记 $\delta x$
垂直标记 $\delta z$
红色切线

变化过程

先绘制坐标轴和点。
曲线 $z(x)$ 出现。
在两个坐标轴上均添加不确定性区间。
在该点处绘制一条切线。
写出公式 $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ 。

不变量

该图像表示一个输入变量 $x$ 映射到一个输出 $z(x)$ 。

数学含义

图示表明：利用局部斜率，可将微小的水平不确定性转化为垂直不确定性。

已解动能可视化图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一张新图像标注为 $K(v)$ ，显示一条上升的曲线、一个点 $(v,K)$ 、位于 $v$ 处的蓝色垂直不确定性标记、位于 $K$ 处的绿色水平不确定性标记，以及一条红色切线。
公式
观察依据
文字与公式包含题目陈述、 $K(v)=1/2mv^2$ 和 $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v = (mv)\delta v$ 。

图中对象

问题陈述文字
坐标轴 $v$ 和 $K(v)$
曲线 $K(v)$
点 $(v,K)$
蓝色 $\delta v$ 标记
绿色 $\delta K$ 标记
红色切线
公式

变化过程

动能问题陈述出现。
函数 $K(v)$ 的图像被绘制出来。
速度不确定性以蓝色标在横轴上。
能量的不确定性在纵轴上用绿色标出。
画出一条切线，并写出传播公式。
对 $K$ 的数值代入从末尾附近开始。

不变量

质量被视为固定，而速度变化。

数学含义

本场景将通用的切线规则应用于特定函数 $K(v)=\frac12 mv^2$ 。

单变量不确定度传播的图示解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一条黑色曲线在纵轴标为K、横轴标为v的坐标系中上升。
图示
观察依据
一条红色切线在标记点处与曲线相切，虚线辅助线将该点连接至两坐标轴。
动画
观察依据
一支黄色箭头先指向27.378 J，再指向0.94 J。

图中对象

K关于v的曲线
红色切线
标记 v 和 K 的点
数值标签27.378J 和0.94J

变化过程

突出显示切线，以关联 dK/dv 与局部斜率。
黄色箭头将注意力从已计算的动能转移到已计算的不确定性上。

不变量

坐标轴仍标注为 K 和 v。
底层公式 $K=1/2$ mv^2保留在屏幕上。

数学含义

该图示将代数导数 dK/dv 与切线的几何斜率联系起来，从而支持线性估计 δK≈(dK/dv)δv。

从单次测量过渡到两次测量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一只手握着一台标有“测速激光雷达”的设备，显示13.2米/秒，误差为±0.02米/秒。
动画
观察依据
一台天平秤，一侧放着一辆汽车，另一侧放着一个标有11.6千克±0.1千克的砝码。

图中对象

速度枪显示屏
玩具车
天平
质量标签11.6千克 ± 0.1千克

变化过程

画面从单一的速度测量，过渡到速度与质量成对测量的情境。

不变量

两个例子均涉及动能。
每个被测物理量都附有明确的不确定度。

数学含义

画面直观地引出一种需求：需要一条规则，将两个相互独立且各自带有不确定度的输入量，合成为一个导出量。

偏导数符号的引入

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
画作《呐喊》出现，其对话框中包含符号∂。
公式
观察依据
孤立的∂符号随后依次显示为∂/∂x、∂/∂y和∂/∂z，并标注为“偏导数”。

图中对象

含符号∂的对话框
符号∂/∂x
记号 ∂/∂y
记号 ∂/∂z

变化过程

这个卷曲符号从周围公式中独立出来，并被冠以名称。

不变量

在整个引入过程中，该符号始终保持为 ∂。

数学含义

这一视觉序列将记号与计算分离开来，为观众后续理解几何意义与运算步骤做好铺垫。

偏导数的曲面可视化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个标有 $z(x,y)$ 的3D 曲面，其坐标轴分别为 X、Y 和 Z。
公式
观察依据
文字标注：∂f/∂x = 沿 x 方向的此处斜率，∂f/∂y = 沿 y 方向的此处斜率。
动画
观察依据
曲面上显示了一个高亮的平面截面或切平面。

待核验内容

视频片段中未给出所展示曲面的确切代数表达式。

图中对象

3D 曲面 $z(x,y)$
高亮的切平面
坐标轴标签：X、Y、Z
斜率标注

变化过程

该视角先强调曲面上 x 方向的斜率，再强调 y 方向的斜率。

不变量

该曲面仍是三维空间中一个关于两个变量的图像。

数学含义

动画将抽象记号 ∂/∂x 和 ∂/∂y 转化为切平面上沿坐标方向的斜率。

用于数值积分的向量式几何模型

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
标有 $e_1$ 和 $e_2$ 的箭头依次呈现相对、共线与垂直三种排列方式。
公式
观察依据
直角三角形的斜边标注为 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )。
公式
观察依据
屏幕上显示：斜边 < $e_1 + e_2$ 。

图中对象

箭头 $e_1$
箭头 $e_2$
直角三角形
斜边标签 sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )

变化过程

$e_1$ 与 $e_2$ 之间的相对角度从反向变为同向，再变为垂直。
最终的静态三角形突出了用于求积法的垂直情形。

不变量

这两项贡献在整个过程中均用相同的标签 $e_1$ 和 $e_2$ 表示。

数学含义

动画先对比极端误差组合，再利用垂直情形说明为何独立不确定度需按平方和开方规则合成。

直角三角形对平方和组合的可视化示意

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个直角三角形出现：蓝色的水平直角边标记为 $e_1$ ，红色的竖直直角边标记为 $e_2$ ，品红色的斜边标记为 $\sqrt{e_1^2+e_2^2}$ 。
字幕依据
观察依据
三角形下方的文字为：斜边 < $e_1 + e_2$ ，但 > $e_1$ 单独，且 > $e_2$ 单独。

图中对象

水平直角边标记为 $e_1$
竖直直角边标记为 $e_2$
斜边标记为 $\sqrt{e_1^2+e_2^2}$
三角形下方的不等式文字

变化过程

视频片段以已绘制完成的三角形及不等式语句开场，随后切换至路标图形。

不变量

该三角形在其短暂出现过程中始终保持为直角三角形。
各标签标识了两个分量及其平方和。

数学含义

该图示编码了不确定性分量按平方和方式相加背后的勾股定理关系，并在视觉上将该结果与简单相加进行对比。

易错点 · 9

过度纠结于“误差”和“不确定性”这两个词

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说，有些人用“误差”一词，是因为“不确定性”音节太多，并告诉观众不必纠结于这一区别。
图示
观察依据
卡通对话框对比了“误差”和“不确定性”。

误区

学习者可能认为必须先将“误差”和“不确定性”视为截然不同的概念，才能继续学习。

说明

本片段中，讲解员明确告诉观众无需担心术语差异；所教授的数学内容完全相同，即带正负号的不确定性概念。

混淆绝对不确定度与相对不确定度的单位

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员对比了绝对不确定性具有单位，而相对不确定性则为分数或百分比，无量纲。
图示
观察依据
$\delta v$ 以单位 $\mathrm{m/s}$ 呈现，而 $\frac{\delta v}{v}$ 以 $1.5\%$ 呈现。

误区

有人可能错误地将原始测量单位附加到相对不确定度上。

说明

该片段表明， $\delta v$ 保留了 $v$ 的单位，但 $\frac{\delta v}{v}$ 是无量纲的，因为单位相互抵消。

期待本片段解释绝对不确定度是如何获得的

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黄色箭头指向绝对不确定度，并配有文字：“如何求出这个……？（那是另一段视频的内容。）”

误区

观众可能期望本课讲解实验不确定度 $\delta v$ 本身是如何确定的。

说明

该片段明确将这一问题延后至另一段视频讲解，转而聚焦于给定不确定度如何在公式中传播。

误将偏导数当作一种全新的计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：‘你其实早就会做了，这个特殊符号只是让它看起来更厉害而已。’

误区

∂符号可能让人觉得需要掌握某种超越普通微分的全新微积分。

说明

视频指出，一旦选定一个变量并将其余变量视为常量，偏导数的计算方式就与常规导数完全相同。

假设所有不确定度直接相加

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员区分了最佳情况下的抵消、最差情况下的叠加，以及在90度所代表的随机独立情形。
公式
观察依据
屏幕上显示斜边 < $e_1 + e_2$ 。

误区

人们可能会认为总不确定度总是各个不确定度的算术和。

说明

视频指出，简单相加对应最坏情况，而相互独立的随机效应则用平方和开方（即‘方和根’）来建模，所得的合成值小于完全相加的结果。

误以为减法与加法在传播方式上有所不同

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
手写注释明确指出：注意：正负号无关紧要，因为它们会被平方！
公式
观察依据
推导过程将±1代入平方项，然后消去正负号。

误区

由于存在减号，人们可能预期 $z = x - y$ 会得出与 $z = x + y$ 不同的不确定度公式。

说明

在所示的平方和公式中，导数的符号被平方，因此加法与减法均简化为 $\delta z=\sqrt{(\delta x)^2+(\delta y)^2}$ 。

若停留在乘积与商的原始导数形式上

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者指出，初看结果显得杂乱，但若将等式两边同时除以 z，则可揭示出一种规律。
公式
观察依据
将 xy 和 $x/y$ 的原始导数表达式重写为一个统一的相对不确定度公式。

误区

涉及 $y\delta x$ 、 $x\delta y$ 、( $1/y$ ) $\delta x$ 和 (-x/y^2) $\delta y$ 的未化简表达式，可能使乘法与除法看似彼此无关或过于复杂。

说明

在除以 z 并化简后，两种情形均归结为同一相对不确定度规则： $\delta z/z=\sqrt{(\delta x/x)^2+(\delta y/y)^2}$ 。

忽略微小的不确定性并不总是安全的

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
旁白说道：这将为你省去大量数学运算，但需谨慎。你能想到一个不适用此法的例子吗？
图示
观察依据
对话框强调：在该近似下，x 的行为如同常量

待核验内容

视频要求举出反例，但本片段中并未提供

误区

由于舍去相对不确定性小得多的项可简化代数运算，人们可能误以为将更精确的测量值当作准确值处理总是合理的

说明

视频明确警告该捷径必须谨慎使用，并邀请观众思考哪些情况下不宜采用此方法。

开场函数记号可能引发混淆

时间近似

补充解释

来源依据

公式
观察依据
开场幻灯片将 $z(x)$ =xy 和 $z(x)=x/y$ 写作单变量函数形式，尽管其中实际存在两个自变量。
公式
观察依据
随后片段中写为 $z(x,y)$ =xy。

待核验内容

这是一条关于表述一致性的分析者备注，而非视频所陈述的误解。

误区

观众可能因标题写作 $z(x)$ 而推断 z 仅依赖于 x。

说明

后续幻灯片及公式本身清楚表明 z 同时依赖于 x 和 y；初始记号仅为简写或不够严谨。

概念关系 · 25

绝对不确定度 → 相对不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
相对不确定性写作 $\frac{\delta v}{v}$ ，前提是绝对不确定性 $\delta v$ 已被定义。

先修

解释

相对不确定度通过将绝对不确定度除以被测物理量来定义，因此绝对不确定度的概念在先。

相对不确定度 → 绝对不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的恒等式 $\frac{0.2\ \mathrm{m/s}}{13.2\ \mathrm{m/s}}=\frac{\delta v}{v}$ 将数值示例与一般比值形式联系起来。

对比

解释

该片段对比了具有单位的绝对不确定度与作为相应无量纲比值的相对不确定度。

绝对不确定度 → 通过局部斜率传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
不确定度传播规则使用了 $\delta x$ 和 $\delta z$ ，即前文引入的绝对不确定度记号。

先修

解释

传播法作用于绝对不确定度 $\delta x$ 和 $\delta z$ 。

通过局部斜率传播 → 动能的不确定度传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该示例写出 $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v$ ，直接对应一般形式 $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ 。

应用

解释

动能不确定度公式是单变量一般传播规则的直接应用。

动能作为速度的函数 → 动能的不确定度传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
由 $K(v)=\frac12 mv^2$ 出发，本片段得出 $\delta K=(mv)\delta v$ 。

证明依赖

解释

传播后的不确定度公式依赖于对具体动能表达式求导。

通过局部斜率传播 → 动能示例的设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
先展示通用的 $z(x)$ 图像，再展示具有相同切线结构的具体 $K(v)$ 图像。

特例

解释

动能示例是通用传播法的一个特例，其中 $z=K$ 和 $x=v$ 。

动能公式 → 单个不确定输入变量的线性传播

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
同一画面从 $K(v)=1/2$ mv^2 变为 δK=dK/dv δv=(mv)δv。

应用

解释

动能公式提供了所需函数，该函数的导数用于传播速度的不确定度。

单个不确定输入变量的线性传播 → 对两个变量以平方和方式叠加不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解完单变量示例后，叙述者说：‘我们让它稍微复杂一点。’
公式
观察依据
画面将单变量设定替换为 $K=z(x,y)$ 以及双变量的平方和开方公式。

推广

解释

双变量平方和开方规则将单变量线性传播思想推广到依赖于两个不确定输入的函数。

偏导数 → 对两个变量以平方和方式叠加不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
平方和开方公式中明确包含了 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y。
声音
观察依据
紧接着，叙述者解释了那些带花括号的 d 符号的含义。

先修

解释

在使用屏幕上显示的双变量不确定度传播平方和开方公式之前，必须理解偏导数。

偏导数 → 偏导数的几何意义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
叙述者首先定义偏导数，然后指出在二维情形下存在一个切平面。
图示
观察依据
曲面动画标出了坐标方向上的斜率。

包含

解释

几何切平面解释是理解偏导数定义含义的一种方式。

偏导数的几何意义 → 计算偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在讲解曲面含义之后，讲述者指出偏导数的计算与普通导数一样简单。
公式
观察依据
示例随后代数地计算了∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z。

对比

解释

该视频将偏导数的几何意义与其实际计算规则区分开来。

随机且相互独立的不确定度贡献 → 对两个变量以平方和方式叠加不确定度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者将随机且相互独立的影响与90次表示法联系起来。
公式
观察依据
直角三角形的斜边标注为sqrt( $e_1^2+e_2^2$ )。

证明依赖

解释

独立性与随机性假设是该片段中用于引出平方和合成规则的概念基础。

问题定位 · 26

符号 $\delta$ 在本课中表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
文本将“δ”定义为“……的绝对不确定度”。

涉及知识点

绝对不确定度

绝对不确定度与相对不确定度有何区别？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者对比了绝对不确定度的单位与无量纲的相对不确定度。
公式
观察依据
$\delta v$ 和 $\frac{\delta v}{v}$ 并排显示。

涉及知识点

绝对不确定度
相对不确定度

为什么相对不确定度被计算为 $\frac{\delta v}{v}$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
计算 $\frac{0.2}{13.2}=0.0152=1.5\%=\frac{\delta v}{v}$ 已展示。

涉及知识点

相对不确定度

该片段是否从数学上区分了“误差”与“不确定度”？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说，不必为“误差”与“不确定度”的区别而担忧。

涉及知识点

术语辨析：误差 versus 不确定度

视频在传播不确定度时为何要画切线？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在函数 $z(x)$ 的图像上画出了一条红色切线。
公式
观察依据
方程 $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ 出现。

涉及知识点

通过局部斜率传播

通过 $z(x)$ 传播不确定度的单变量公式是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
显示的公式： $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ 。

涉及知识点

通过局部斜率传播

$\delta K$ 是如何从 $K(v)=\frac12 mv^2$ 得到的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
显示的链式关系： $\delta K = \frac{dK}{dv}\delta v = (mv)\delta v$ 。

涉及知识点

动能作为速度的函数
动能的不确定度传播

为什么动能示例只从 $v$ 传播不确定度，而不从 $m$ 传播？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“假设 m 是一个精确数。”

涉及知识点

动能的不确定度传播

这个时长为120秒的片段是否给出了动能的最终数值及其不确定度？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
$K$ 的代入过程已展示，但片段在最终数值结果出现前结束。

待核验内容

后续片段是否完成全部算术运算，不属于本片段内容。

涉及知识点

动能示例的设定

为什么动能的不确定度使用dK/dv = mv？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示δK = dK/dv δv = (mv)δv。

涉及知识点

动能公式
单个不确定输入变量的线性传播

当质量与速度都存在不确定度，而不仅仅是速度有不确定度时，情况发生了什么变化？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：‘我们让它稍微复杂一点’，并引入两个各自带有不确定度的测量量。

涉及知识点

对两个变量以平方和方式叠加不确定度
随机且相互独立的不确定度贡献

不确定度公式中的偏微分符号 ∂ 表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者问道：‘那些卷曲的d符号是怎么回事？’并回答道，这称为偏导数。

涉及知识点

偏导数

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 标题卡及 $\delta$ 符号的开场呈现，引出了本主题与符号使用的背景。

已覆盖 · 雷达测速仪示例通过 $v=13.2\ \mathrm{m/s}$ 和 $\delta v=0.2\ \mathrm{m/s}$ 定义了绝对不确定度。

已覆盖 · 该片段计算了 $\frac{\delta v}{v}=1.5\%$ ，并对比了绝对不确定度与相对不确定度的单位。

已覆盖 · 术语说明：对“误差”与“不确定度”的用法进行简要比较。

已覆盖 · 函数 $z(x)$ 的通用图像及其切线，导出了不确定度传播规则 $\delta z = \frac{dz}{dx}\delta x$ 。

已覆盖 · 动能的例题演算设置了 $K(v)=\frac12 mv^2$ ，推导出 $\delta K=(mv)\delta v$ ，并开始数值代入；本片段内未出现最终数值答案。

已覆盖 · 第一个例题通过存在不确定性的速度，计算动能及其不确定度。

已覆盖 · 过渡到更复杂的情形：两个被测量的物理量，各自都带有不确定度。

已覆盖 · 展示了双变量的平方和平方根公式，并为其命名。

已覆盖 · 引入偏导数符号，并用语言给出定义。

已覆盖 · 偏导数被解释为切平面上沿坐标轴方向的斜率。

已覆盖 · 一个三变量示例演示了如何逐项计算偏导数。

已覆盖 · 几何动因解释了为何独立的不确定性按平方和开方（即‘平方和的平方根’）方式合成，而非按最坏情况下的简单相加方式合成。

已覆盖 · 开口三角形与不等式图示概括了两个不确定度分量的平方和合成方式。

已覆盖 · 过渡路标式图示将课程引回一个实际例子；本环节未引入任何新的数学内容。

已覆盖 · 完整的动能计算实例，包含两个测量变量及最终传播得到的不确定度0.99焦耳。

已覆盖 · 标题卡片引出‘技巧与速算规则’章节。

已覆盖 · 乘以常数的规则及其数值示例。

已覆盖 · 加法与减法的速算规则由通用平方和公式推导得出。

已覆盖 · 乘积与商的推导被简化为统一的相对不确定度规则；相对不确定度的口述定义在结尾处被截断，但本片段中所展示的数学内容是完整的。

已覆盖 · 开场幻灯片展示了乘积与商的情形，并列出了绝对不确定度与相对不确定度公式，以及平方和法则的表述。

已覆盖 · 动画对比了 0.03% 和 5.4% 的相对不确定度，说明可忽略较小的一项。

已覆盖 · 符号化示例 z=xy 将简化的相对关系转化为 δz≈xδy。

已覆盖 · 2D 和 3D 矢量图提供了平方和相加的几何解释。

已覆盖 · 总结板列出了加减、乘除及一般偏导数规则，并将每条规则分别推广至三个变量。

已覆盖 · 一张幽默的饼图，表现与科研合作者争论的情景；不包含新的数学内容。

已覆盖 · 片尾字幕及物理实验室门动画；不包含数学内容。

探索视频中的知识

打开视频知识图谱 →

不确定性传播讲解定位 2:03
查看关联依据
已审核中文素材 v1：知识点条目（formula）「适用于乘积与商的一般误差传递公式」从 2:03 起——对于由两个测量输入量通过乘法或除法得到的导出量，其绝对不确定度可表示为：z 对各输入量的偏导数，乘以该输入量的绝对不确定度。 $\delta z=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\delta x\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\delta y\right)^2} z$ 依赖于两个测量变量 x 和 y。; 该公式同时给出了 z=xy 和 $z=x/y$ 的形式。
偏导数讲解定位 2:35
查看关联依据
已审核中文素材 v1：knowledge_item「偏导数」出现在 2:35——偏导数用于衡量一个多元函数在仅让某一个选定变量变化、而其余变量保持不变时，函数值的变化情况。视频引入符号 ∂ 来表示这种每次只对一个变量求导的运算。

这个视频解答的问题

掌握方法

判断用途

掌握方法

认识概念

认识概念

掌握方法

理解原因

认识概念

误差传播

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

绝对不确定度

相对不确定度

误差与不确定度的术语辨析

单变量传播规则

动能不确定度示例

动能公式

单变量不确定度传播

第一个例子的演算结果

从一个不确定输入到两个

以平方和的平方根方式合成不确定度

偏导数的定义

在曲面上的几何意义

如何计算偏导数

偏导数示例

为何采用平方和开方（quadrature）而非简单相加

直角三角形的直观动因

平方和与直接相加

双变量绝对不确定度传播

动能计算实例

乘以常数

加法与减法法则

乘积与商的相对不确定度法则

不确定度的求积法则

乘积与商的相对不确定度公式

详细学习笔记

Propagation of errors\text{Propagation of errors}Propagation of errors

v

δv\delta vδv

δ\deltaδ

Δ\DeltaΔ, σ\sigmaσ

δvv\frac{\delta v}{v}vδv​

x

δx\delta xδx

z(x)z(x)z(x)

δz\delta zδz

dzdx\frac{dz}{dx}dxdz​

K(v)K(v)K(v)

绝对不确定度

相对不确定度

术语辨析：误差 versus 不确定度

通过局部斜率传播

动能作为速度的函数

动能的不确定度传播

动能公式

单个不确定输入变量的线性传播

对两个变量以平方和方式叠加不确定度

偏导数

偏导数的几何意义

计算偏导数

绝对不确定度与相对不确定度的单位

通过导数实现的局部传播

动能示例中的导数

普通导数即切线的斜率

偏导数即切平面上各坐标方向的斜率

平方和介于完全抵消与完全相加这两种极端情形之间。

加减运算中的符号选择在平方后即消失。

乘法与除法遵循相同的相对不确定度平方和模式

当一个相对不确定度占主导时的近似处理

将x视为实际精确值所导致的推论

三维方和根解释

从速度示例计算相对不确定度

从斜率推导单变量误差传递规则

将速度的不确定性传递到动能的不确定性中

从速度不确定度出发，逐步推导动能不确定度。

偏导数的逐步计算过程

用几何方式说明为何应以平方和开方的方式合成不确定度

动能不确定度示例的完整推导过程

乘以常数这一快捷规则的推导

加法与减法快捷公式的推导

乘积与商的相对不确定度速算公式推导

主导不确定度近似法的推导

由简化后的相对不确定度推导 z=xy 的绝对不确定度。

速度测量值及其绝对不确定度与相对不确定度

动能示例的设定

速度存在不确定度时的动能

$\text{Propagation of errors}$

$\delta v$

$\delta$

$\Delta$ , $\sigma$

$\frac{\delta v}{v}$

$\delta x$

$z(x)$

$\delta z$

$\frac{dz}{dx}$

$K(v)$

符号 $\delta$ 在本课中表示什么？

为什么相对不确定度被计算为 $\frac{\delta v}{v}$ ？

通过 $z(x)$ 传播不确定度的单变量公式是什么？

$\delta K$ 是如何从 $K(v)=\frac12 mv^2$ 得到的？

为什么动能示例只从 $v$ 传播不确定度，而不从 $m$ 传播？