几何布朗运动

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们称过程 S 服从几何布朗运动。”

2. 公式
   观察依据

   字母 S 出现在定义中，随后也出现在随机微分方程（SDE）中。

S

服从几何布朗运动的随机过程。

随机过程

1. 公式
   观察依据

   变量 t 出现在随机微分方程（SDE）的微分 dt 中，以及伊藤引理中的 $f(W,t)$ 里。

t

时间变量

实数

1. 公式
   观察依据

   变量 W 出现在随机微分方程（SDE）的微分 dW 中，也作为伊藤引理中 $f(W,t)$ 的自变量出现。

W

标准布朗运动（维纳过程）

随机过程

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“其中 mu 和 sigma 为常数。”

2. 公式
   观察依据

   希腊字母 mu 出现在随机微分方程（SDE）的漂移项中。

$\mu$

几何布朗运动随机微分方程中的常数漂移参数。

实常数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“对于常数 mu 和 sigma”。

2. 公式
   观察依据

   希腊字母 sigma 出现在该随机微分方程的扩散项中。

$\sigma$

几何布朗运动随机微分方程中的常数波动率参数。

实常数

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“如果我们考虑 f 关于 W 和 t 的函数”。

2. 公式
   观察依据

   在伊藤引理中，函数 f 写作以 (W, t) 为自变量的形式。

$f(W,t)$

一个关于布朗运动 W 和时间 t 的函数，伊藤引理将应用于该函数。

二元函数

1. 公式
   观察依据

   偏导数 $f_t$ 出现在伊藤引理展开式的首项中。

$f_t$

f 关于时间 t 的偏导数。

函数

1. 公式
   观察依据

   二阶偏导数 f_{WW} 在伊藤引理的 dt 项中乘以 $1/2$。

f_{WW}

函数 f 关于 W 的二阶偏导数。

函数

1. 公式
   观察依据

   一阶偏导数 $f_W$ 在伊藤引理中乘以 dW。

$f_W$

函数 f 关于 W 的一阶偏导数。

函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上在定义和试探解 $S = f(W,t)$ 中均展示了过程符号 S。

S

满足几何布朗运动随机微分方程的随机过程。

过程取值；视频未明确给出其具体取值范围。

1. 公式
   观察依据

   黑板在随机微分方程中写出 dW，并将 W 作为 $f(W,t)$ 的自变量。

W

驱动该随机微分方程的布朗运动。

视频未明确给出定义域。

1. 公式
   观察依据

   黑板在随机微分方程中写出 dt，并将 t 作为 $f(W,t)$ 的第二个自变量。

t

随机微分方程及试探解 $f(W,t)$ 中的时间变量。

视频未明确给出具体的时间区间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人陈述了几何布朗运动的定义及其对应的随机微分方程。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着：‘我们称一个过程 S 遵循几何布朗运动，当且仅当它满足如下随机微分方程：dS = $\mu S dt + \sigma S$ dW，其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 为常数。’

若一个随机过程 S 满足指定的随机微分方程，且该方程中的漂移项与波动率项系数均为常数，则称 S 遵循几何布朗运动。

1. $\mu$ 和 $\sigma$ 是常数

1. S
2. $\mu$
3. $\sigma$
4. t
5. W

1. 声音
   观察依据

   主讲人回顾了关于函数 $f(W,t)$ 的伊藤引理。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着文字：‘伊藤引理：$f(W,t)$ ⇒ df(W,t) = [$f_t + \frac{1}{2} f$_{WW}] $dt + f_W$ dW。’

伊藤引理给出了依赖于标准布朗运动 W 和时间 t 的函数 f 的微分表达式，该表达式同时包含一阶与二阶偏导数，以反映布朗运动的特性。

1. f 是关于 W 和 t 的足够光滑的函数

1. $f(W,t)$
2. $f_t$
3. f_{WW}
4. $f_W$
5. W
6. t

1. 公式
   观察依据

   黑板顶部第一行：我们称过程 S 服从几何布朗运动，当且仅当它满足如下随机微分方程：dS = $\mu S dt + \sigma S$ dW，其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 为常数。

视频通过指定过程 S 必须满足的随机微分方程来定义几何布朗运动，其中系数 $\mu$ 和 $\sigma$ 为常数。

1. μ 是常数

2. σ 是常数

1. 公式
   观察依据

   黑板第二行：伊藤引理：$f(W,t)$ ⇒ df(W,t) = [$f_t + \frac{1}{2} f$_{WW}] $dt + f_W$ dW。

黑板上依据伊藤引理写出 $f(W,t)$ 的微分，它由两项组成：一项是含 $f_t$ 和二分之一 f_{WW} 的 dt 项，另一项是含 $f_W$ 的 dW 项。

1. 应用于布朗运动与时间的函数 $f(W,t)$

2. 视频未明确列出光滑性假设

1. 公式
   观察依据

   黑板第三行：寻求形如 $S = f(W,t)$ 的解。

2. 声音
   观察依据

   讲师表示，将仅考察以布朗运动和时间为自变量的函数，作为该随机微分方程可能的解类。

为求解该随机微分方程，讲师将注意力限定于可表示为布朗运动与时间之函数的过程。

1. 该方法仅在 (W,t) 的函数中搜索

1. 通过随机微分方程定义几何布朗运动。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：由伊藤公式，$f_W = \sigma S = f \cdot \sigma$，且 $f_t + \frac{1}{2} f$_{WW} = $\mu S = f \cdot \mu$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，他们考虑这一组偏微分方程。

将试探解代入伊藤引理，并与随机微分方程比较，得到关于 f 的两个系数匹配方程。

1. 使用关系式 $S = f(W,t)$

2. 使用随机微分方程 dS = $\mu S dt + \sigma S$ dW

3. 使用伊藤引理

1. 通过随机微分方程定义几何布朗运动。
2. 关于布朗运动与时间的函数的伊藤引理
3. 试探解类：$S = f(W,t)$

1. 公式
   观察依据

   黑板将第一个方程改写为 $f_W = \sigma f$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，该偏微分方程中不显含 t，因此它实际上只是一个常微分方程。

由于方程 $f_W = \sigma f$ 不含对 t 的导数，且仅将 t 视为参数，因此可将其作为关于 W 的常微分方程求解。

1. $\sigma$ 为常数

2. t 仅以参数形式出现

1. 通过匹配伊藤系数所得的偏微分方程组

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(W,t) = \varphi(t) e^{\sigma W}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说，这表明 $f(W,t)$ 是一个形如 $\varphi(t) e^{\sigma W}$ 的常数函数。

由 $f_W = \sigma f$ 可解得 f 关于 W 呈指数依赖，再乘以一个关于 t 的任意函数。

1. 由 $f_W = \sigma f$ 推出

2. 此时 $\varphi(t)$ 是任意的

1. 第一个偏微分方程约化为关于 W 的常微分方程

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f_t = \varphi$'(t)$e^{\sigma W}$，$f_W = \varphi(t)\cdot \sigma e^{\sigma W}$，以及 f_{WW} = $\varphi(t)\cdot \sigma^2 e^{\sigma W}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说，他们将取 f 的这种形式代入第二个偏微分方程，并计算 $f_t$、$f_W$ 和 f_{WW}。

在得到 $f(W,t)=\varphi(t)e^{\sigma W}$ 后，讲师计算第二个偏微分方程所需的各阶导数。

1. 对 $f_t$ 使用乘积法则

2. 在 W 上对 $f_W$ 和 f_{WW} 进行重复求导

1. 由第一个偏微分方程得出的 f 的一般形式

1. 公式
   观察依据

   黑板最上方一行写的是：我们称过程 S 服从几何布朗运动，当且仅当它满足如下随机微分方程：dS = mu S dt + sigma S dW，其中 mu 与 sigma 为常数。

视频中将一个过程 S 定义为几何布朗运动，当且仅当它的随机微分方程具有成比例的漂移项与扩散项，且系数 mu 与 sigma 均为常数。

1. μ 和 σ 是常数

1. 公式
   观察依据

   黑板第二行写的是：伊藤引理：$f(W,t)$ ⇒ df(W,t) = [$f_t + 1/2 f$_{WW}]$dt + f_W$ dW。

对于关于布朗运动 W 和时间 t 的函数 f，其微分 df(W,t) 包含一个 dt 项——该项由 f 对时间的偏导数加上 f 对 W 的二阶偏导数的一半构成；还包含一个 dW 项——该项由 f 对 W 的一阶偏导数构成。

1. f 在 (W,t) 上足够光滑，这是讲座所作的假设

1. 几何布朗运动的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板第三行写的是：设解为 $S = f(W,t)$。

为求解该随机微分方程，讲者将未知过程 S 设为布朗运动与时间的函数 f。

1. 几何布朗运动的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f_W = \sigma S = f \cdot \sigma$ 以及 $f_t + \frac{1}{2} f$_{WW} = $\mu S = \mu f$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，根据伊藤引理，$f_W$ 等于 sigma S，且 $f_t$ 加上二分之一 f_{WW} 等于 mu S。

若 $S = f(W, t)$ 满足 dS = $μ S dt + σ S$ dW，则 df(W, t) 中的系数必须满足 $f_W = σ f$ 且 $f_t + \frac12 f$_{WW} = μ f。

1. S 满足几何布朗运动的随机微分方程

2. 设 S 为形如 $S = f(W, t)$ 的函数

3. 伊藤引理适用于 $f(W, t)$

对于试探解类 $S = f(W, t)$，所展示的恒等式按系数逐项成立。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，请注意该偏微分方程中不显含变量 t，这意味着它实际上只是一个常微分方程。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $f_W = \sigma f$。

方程 $f_W = σ f$ 可视为关于 W 的常微分方程，因为 t 不参与求导，仅作为参数出现。

1. σ 是常数

2. 该方程是关于 W 建立的，而 t 保持固定

对每个固定的 t，该关系式都是关于 W 的常微分方程。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(W,t) = φ(t)e^{σW}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说，这表明 $f(W,t)$ 是形如 $φ(t) e^{σW}$ 的函数，其中 $φ(t)$ 是仅关于 t 的函数。

$f_W = σ f$ 的通解形式为 $f(W,t) = φ(t)e^{σW}$，其中 φ 仅依赖于 t。

1. $f_W = σ f$ 成立

2. σ 是常数

存在一个仅关于 t 的函数 $φ(t)$，使得 $f(W,t) = φ(t)e^{σW}$。

1. 公式
   观察依据

   黑板最上方一行写出了几何布朗运动所满足的定义性随机微分方程。

若过程 S 满足 dS = $μ S dt + σ S$ dW，且 μ 与 σ 为常数，则称 S 遵循几何布朗运动。

1. μ 和 σ 为常数

对于一个过程 S 及常数 μ、σ。

1. 公式
   观察依据

   黑板第二行写出了推导中所采用形式的伊藤引理。

对于函数 $f(W,t)$，有 df(W,t) = [$f_t + 1/2 f$_{WW}]$dt + f_W$ dW。

1. 本讲假设了应用伊藤引理所需的通常光滑性条件，但未明确陈述这些条件。

对于关于 W 和 t 的足够光滑的函数 f。

1. 公式
   观察依据

   黑板右侧展示了应用伊藤引理后通过匹配系数所得的方程组。

若 $S=f(W,t)$ 是该随机微分方程的解，则 f 必须满足 $f_W$ = sigma f 且 $f_t + 1/2 f$_{WW} = mu f。

1. 采用试探解形式 $S=f(W,t)$ 并应用伊藤引理。

针对所求的解 f。

1. 公式
   观察依据

   黑板中右部的推导在消去 e^{sigma W} 后，将第二个偏微分方程约化为一个常微分方程。

将 $f(W,t)$=phi(t)e^{sigma W} 代入第二个偏微分方程，得到 phi'(t) + ($1/2$ sigma^2 - mu)phi(t)=0，等价地，phi'(t)=(mu - $1/2$ sigma^2)phi(t)。

1. f（W，t）等于 phi（t）乘以 e 的 sigma W 次方

2. 函数 $f_t$、$f_W$、f_{WW} 的导数公式成立。

对所考虑定义域内的所有 t。

1. 公式
   观察依据

   黑板底部给出了 S 的最终显式表达式。

推导所得的解为$S = c_1 \exp$(sigma W + (mu - $1/2$ sigma^2)t)，且$c_1 = S_0$ 当$t=0$。

1. mu 和 sigma 为常数。

2. 设解为 $S=f(W,t)$ 是合理的。

3. 使用了常微分方程 phi(t) 的解。

针对讲座中构造的随机过程 S。

1. 公式
   观察依据

   黑板上从 $S = f(W,t)$ 出发，接着写出‘由伊藤公式得’，然后写下 $f_W = σ S = f\cdot σ$ 和 $f_t + 12 f$_{WW} = $μ S = f\cdot μ$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“那么根据伊藤引理，即由伊藤公式可得，$f_W$ 乘以 σS 加上 $f_t$，再加上二分之一 f_{WW} 乘以 μS。”

1. 公式

   $$S = f(W,t)$$
   解释

   从过程 S 的待定解类出发

   步骤依据

   板书上写明的试探解形式

   视频直接表达
2. 公式

   $$df(W,t) = \left[f_t + \frac{1}{2} f_{WW}\right]dt + f_W dW$$
   解释

   对试探函数 $f(W,t)$ 应用伊藤引理

   步骤依据

   伊藤引理已写在黑板上

   视频直接表达
3. 公式

   $$dS = \mu S dt + \sigma S dW$$
   解释

   与几何布朗运动的定义性随机微分方程进行比对

   步骤依据

   该方程由黑板最上方一行给出

   视频直接表达
4. 公式

   $$f_W = \sigma S = f \cdot \sigma$$
   解释

   比较两个微分式中 dW 的系数，并代入 $S = f(W,t)$

   步骤依据

   代入后的系数比对

   视频直接表达
5. 公式

   $$f_t + \frac{1}{2} f_{WW} = \mu S = f \cdot \mu$$
   解释

   比较两个微分式中 dt 的系数，并代入 $S = f(W,t)$

   步骤依据

   代入后的系数比对

   视频直接表达

随机微分方程（SDE）与试探解 $S = f(W, t)$ 一起导出方程组：$f_W = \sigma f$ 以及 $f_t + \frac12 f$_{WW} = $\mu f$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：$f_W = \sigma f \Rightarrow f(W,t) = \varphi(t)e^{\sigma W}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，第一个偏微分方程表明 $f_W$ 等于 sigma 乘以 f；又因 t 未显式出现，这实际上是一个常微分方程，从而解得 $f(W,t) = \varphi(t)e^{\sigma W}$。

1. 公式

   $$f_W = \sigma f$$
   解释

   取偏微分方程组中的第一个方程。

   步骤依据

   此前通过系数匹配法推导得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{treat } t \text{ as a parameter}$$
   解释

   注意该方程仅对 W 求导，故 t 仅以参数形式出现。

   步骤依据

   讲座音频中已明确指出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(W,t) = \varphi(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   求解关于 W 的所得常微分方程；积分“常数”可依赖于 t。

   步骤依据

   形如 y' = $\sigma y$ 的标准解，其中 t 为参数。

   视频直接表达

第一个偏微分方程强制要求试探解具有分离变量形式 $f(W,t) = \varphi(t)e^{\sigma W}$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：$f_t = \varphi$'(t)$e^{\sigma W}$，$f_W = \varphi(t) \cdot \sigma e^{\sigma W}$，以及 f_{WW} = $\varphi(t) \cdot \sigma^2 e^{\sigma W}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们将采用函数 f 的形式，并将其代入第二个偏微分方程，计算 $f_t$、$f_W$ 和 f_{WW}。

1. 公式

   $$f(W,t) = \varphi(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   从第一个偏微分方程所得的一般形式出发。

   步骤依据

   此前的推导步骤。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f_t = \varphi'(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   对 t 求导，使用乘积法则；$e^{\sigma W}$ 关于 t 是常量。

   步骤依据

   常规求导法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f_W = \varphi(t)\sigma e^{\sigma W}$$
   解释

   对 W 求导；$\varphi(t)$ 关于 W 是常量。

   步骤依据

   $e^{\sigma W}$ 关于 W 的导数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f_{WW} = \varphi(t)\sigma^2 e^{\sigma W}$$
   解释

   再次对 W 求导 $f_W$。

   步骤依据

   对指数因子重复求导。

   视频直接表达

这三个导数公式即为代入第二个偏微分方程所需的量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了假设形式 $S=f(W,t)$、伊藤引理，以及由此得到的方程组 { $f_W$ = sigma $S = f$ sigma ; $f_t + 1/2 f$_{WW} = mu $S = f$ mu }。

1. 公式

   $$S=f(W,t)$$
   解释

   假设解可表示为布朗运动与时间的函数。

   步骤依据

   写在黑板上，作为搜索的试探解形式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$df(W,t)=\left[f_t+\frac{1}{2}f_{WW}\right]dt+f_W\,dW$$
   解释

   对假设的形式应用伊藤引理。

   步骤依据

   伊藤引理写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$$
   解释

   与几何布朗运动的定义性随机微分方程（SDE）进行比较。

   步骤依据

   由黑板最上方一行给出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f_W=\sigma f,\qquad f_t+\frac{1}{2}f_{WW}=\mu f$$
   解释

   通过比较 dW 项和 dt 项的系数，得到关于 f 的两个方程。

   步骤依据

   伊藤展开式与随机微分方程之间的系数比较。

   视频直接表达

该随机微分方程被转化为偏微分方程组：$f_W=\sigma f$ 和 $f_t+\frac{1}{2}f$_{WW}=$\mu f$。

1. 公式
   观察依据

   左栏显示 $f_W$ = sigma f ⇒ $f(W,t)$ = phi(t)e^{sigma W}，以及导数列表。

1. 公式

   $$f_W=\sigma f$$
   解释

   从第一个偏微分方程出发。

   步骤依据

   由系数匹配得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(W,t)=\phi(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   求解关于 W 的一阶方程，允许积分“常数”依赖于 t。

   步骤依据

   关于 W 的常微分方程的标准解法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f_t=\phi'(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   对 t 求导。

   步骤依据

   对分离形式直接求导。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f_W=\phi(t)\sigma e^{\sigma W}$$
   解释

   对 W 求一次导。

   步骤依据

   对分离形式直接求导。

   视频直接表达
5. 公式

   $$f_{WW}=\phi(t)\sigma^2 e^{\sigma W}$$
   解释

   对 W 求二次导。

   步骤依据

   对分离形式直接求导。

   视频直接表达

分离表示法提供了求解第二个偏微分方程所需的精确导数表达式。

1. 公式
   观察依据

   中心右侧推导显示 phi'(t)e^{sigma W} + $1/2$ sigma^2 phi(t)e^{sigma W} = phi(t) mu e^{sigma W}，然后消去并整理。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，结合以上结果，第二个常微分方程意味着 phi'(t)e^{sigma W} + $1/2$ sigma^2 phi(t)e^{sigma W} 必须等于 phi(t) mu e^{sigma W}；随后他消去 e^{sigma W} 并整理。

1. 公式

   $$\phi'(t)e^{\sigma W}+\frac{1}{2}\sigma^2\phi(t)e^{\sigma W}=\phi(t)\mu e^{\sigma W}$$
   解释

   将导数公式代入第二个偏微分方程：$f_t + \frac{1}{2} f$_{WW} = $\mu f$。

   步骤依据

   使用之前推导出的 $f_t$ 和 f_{WW} 的表达式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\phi'(t)+\left(\frac{1}{2}\sigma^2-\mu\right)\phi(t)=0$$
   解释

   从每一项中约去非零公因子 $e^{\sigma W}$。

   步骤依据

   代数化简过程在黑板上展示并口头说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\phi'(t)=\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\phi(t)$$
   解释

   将该线性常微分方程整理为标准形式。

   步骤依据

   将 φ 项移至等式右侧。

   视频直接表达

第二个偏微分方程简化为一阶线性常微分方程：φ'(t) = ($\mu - \frac{1}{2} \sigma^2$) $φ(t)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $φ(t) = c_1 \exp ((μ - 1/2 σ^2)t)$，接着写出 $S = f(W, t) = c_1 \exp (σW + (μ - 1/2 σ^2)t)$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出该常微分方程的解为 $φ(t) = c_1 e$^{(mu - $1/2 σ$²)t}，随后写出该随机微分方程的解，并指出 $c_2$)t}, then writes the solution of the SDE 且 notes $c_1$ 在 $t = 0$ 时成立。0.

1. 公式

   $$\phi(t)=c_1 e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t}$$
   解释

   求解关于 $φ(t)$ 的常微分方程。

   步骤依据

   一阶线性常微分方程的标准指数形式解。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S=f(W,t)=\phi(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   回到 f 的分离形式。

   步骤依据

   由之前对 $f_W = σ f$ 的求解得到。

   视频直接表达
3. 公式

   $$S=c_1 e^{\sigma W+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t}$$
   解释

   将各因子合并为一个指数函数。

   步骤依据

   指数函数的代数乘法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$c_1=S_0$$
   解释

   在 $t = 0$ 处取值，以将常数与初始值对应起来。

   步骤依据

   视频片段结尾处的口述结论。

   视频直接表达

显式解为 $S = c_1 e^{σ W + (μ - 1 / 2 σ^2) t}$，其中 $c_1$ 由初始条件 $S_0$ 确定。

1. 公式
   观察依据

   设解为 $S = f(W,t)$。由伊藤引理得：{$f_w = σS = f\cdot σ$；fₜ + $1/2 f$_{ww} = $μS = f\cdot μ$}。

2. 公式
   观察依据

   f 关于 w 的偏导数等于 σ 乘以 f，即 f 关于 W 和 t 的函数等于 φ 关于 t 的函数乘以 e 的 σW 次方。

3. 公式
   观察依据

   φ 关于 t 的导数乘以 e 的 σW 次方加上 1 除以 2 再乘以 σ 的 2 次方，再乘以 φ 关于 t 的函数乘以 e 的 σW 次方，等于 φ 关于 t 的函数乘以 μ 再乘以 e 的 σW 次方。

4. 公式
   观察依据

   φ 关于 t 的导数加上（1 除以 2 再乘以 σ 的 2 次方减去 μ）再乘以 φ 关于 t 的函数，等于 0；因此 φ 关于 t 的导数等于（μ 减去 1 除以 2 再乘以 σ 的 2 次方）再乘以 φ 关于 t 的函数。

5. 公式
   观察依据

   φ 关于 t 的函数等于 c 下标 1 乘以 e 的（μ 减去 1 除以 2 再乘以 σ 的 2 次方）乘以 t 次方。

6. 公式
   观察依据

   S 等于 f 关于 W 和 t 的函数，即 c 下标 1 乘以 e 的（σW 加上（μ 减去 1 除以 2 再乘以 σ 的 2 次方）乘以 t）次方。

1. 公式

   $$S = f(W,t)$$
   解释

   假设解 S 可表示为布朗运动 W 和时间 t 的函数 f。

   步骤依据

   待定系数法／试探函数法

   视频直接表达
2. 公式

   $$df(W,t) = \left[f_t + \frac{1}{2}f_{ww}\right]dt + f_w dW$$
   解释

   对假设的函数 $f(W, t)$ 应用伊藤引理。

   步骤依据

   伊藤引理

   视频直接表达
3. 公式

   $$f_w = \sigma f \quad \text{且} \quad f_t + \frac{1}{2}f_{ww} = \mu f$$
   解释

   将伊藤展开式中 dW 和 dt 的系数，与原随机微分方程 dS = 〔μ〕 S dt + 〔σ〕 S dW 中对应项的系数相等。

   步骤依据

   随机微分方程的系数匹配

   视频直接表达
4. 公式

   $$f(W,t) = \phi(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   求解关于 W 的偏微分方程 $f_w$ = 〔σ〕 f。

   步骤依据

   分离变量法／求解关于 W 的一阶常微分方程

   视频直接表达
5. 公式

   $$\phi'(t)e^{\sigma W} + \frac{1}{2}\sigma^2 \phi(t)e^{\sigma W} = \mu \phi(t)e^{\sigma W}$$
   解释

   将 $f(W,t)$ = 〔φ〕(t)e^{〔σ〕 W} 及其导数代入第二个偏微分方程。

   步骤依据

   代入

   视频直接表达
6. 公式

   $$\phi'(t) + \left(\frac{1}{2}\sigma^2 - \mu\right)\phi(t) = 0$$
   解释

   两边同除以非零项 e^{〔σ〕 W}，并整理得到关于 〔φ〕(t) 的常微分方程。

   步骤依据

   代数运算

   视频直接表达
7. 公式

   $$\phi(t) = c_1 \exp\left(\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t\right)$$
   解释

   求解关于 $φ(t)$ 的一阶线性常微分方程。

   步骤依据

   标准常微分方程求解方法

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8. 公式

   $$S = f(W,t) = c_1 \exp\left(\sigma W + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t\right)$$
   解释

   将 $φ(t)$ 的结果与 W 中的指数项合并，得到 S 的最终显式解。

   步骤依据

   代回试探解

   视频直接表达